沪教版(上海)数学高二下册-1两条直线的夹角教学课件
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沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
11.3（2） 两条直线的夹角
一、复习引入
（1）相交
（2）重合
二、学习新课
当两条直线相交时，必然会产生夹角，共有几个角？它们有什么关系？ 怎样定义两条直线的夹角呢？ 请大家画一画夹角 和 3 的两组直线.
44
夹角公式推导
夹角公式
例题分析
解：设l1与l2 的夹角为 ，则由两条直线的夹角公式得
，有人坐在对面不说话也不尴尬。你一个眼神，他大概就懂了。频率相似的人顺其自然就会聚在一起，磁场不合的人讲几句话也在翻山越岭， 你始终到不了。
7 、拼搏高考，今生无悔;越过高三，追求卓越! 9 、用心观察成功者，别老是关注失败者。 8 、这个世界不是因为你能做什么，而是你该做什么。 8 、这个世界不是因为你能做什么，而是你该做什么。 9 、用心观察成功者，别老是关注失败者。 15 、健康的身体是实现目标的基石。 4. 人不是坏的，只是习气罢了，每个人都有习气，只是深浅不同罢了。只要他有向善的心，能原谅的就原谅他，不要把他看做是坏人。 5 、生命就是一个一直在支出时间的过程，等时间支完了，生命也就走到了尽头。 13) 虽然我们不能决定自己生命的长度，但可以拓宽它的宽度;虽然我们不能改变容貌，但可以展现笑容;虽然我们不能控制他人，但可以掌握 自己;虽然我们不能预知明天，但可以把握今天;虽然你不能样样顺利，但你可以事事尽力。
例
2：若直线
l1
：
y
a 3
x
1 3
与
l2
：
2x
(a
1)
y
1
0
互相垂直，
求实数 a 的ห้องสมุดไป่ตู้.（补充）
巩固练习
思考题：
1.光线沿直线l 1：2x y 2 0 照射到直线l 2： x 2y 2 0上后反射， 求反射线所在直线l3 的方程. 提示：先求反射点
一、复习引入
（1）相交
（2）重合
二、学习新课
当两条直线相交时，必然会产生夹角，共有几个角？它们有什么关系？ 怎样定义两条直线的夹角呢？ 请大家画一画夹角 和 3 的两组直线.
44
夹角公式推导
夹角公式
例题分析
解：设l1与l2 的夹角为 ，则由两条直线的夹角公式得
，有人坐在对面不说话也不尴尬。你一个眼神，他大概就懂了。频率相似的人顺其自然就会聚在一起，磁场不合的人讲几句话也在翻山越岭， 你始终到不了。
7 、拼搏高考，今生无悔;越过高三，追求卓越! 9 、用心观察成功者，别老是关注失败者。 8 、这个世界不是因为你能做什么，而是你该做什么。 8 、这个世界不是因为你能做什么，而是你该做什么。 9 、用心观察成功者，别老是关注失败者。 15 、健康的身体是实现目标的基石。 4. 人不是坏的，只是习气罢了，每个人都有习气，只是深浅不同罢了。只要他有向善的心，能原谅的就原谅他，不要把他看做是坏人。 5 、生命就是一个一直在支出时间的过程，等时间支完了，生命也就走到了尽头。 13) 虽然我们不能决定自己生命的长度，但可以拓宽它的宽度;虽然我们不能改变容貌，但可以展现笑容;虽然我们不能控制他人，但可以掌握 自己;虽然我们不能预知明天，但可以把握今天;虽然你不能样样顺利，但你可以事事尽力。
例
2：若直线
l1
：
y
a 3
x
1 3
与
l2
：
2x
(a
1)
y
1
0
互相垂直，
求实数 a 的ห้องสมุดไป่ตู้.（补充）
巩固练习
思考题：
1.光线沿直线l 1：2x y 2 0 照射到直线l 2： x 2y 2 0上后反射， 求反射线所在直线l3 的方程. 提示：先求反射点
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件(共13张PPT)
？
努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能 无尽黑暗中找到光明。我受过的伤都是我的勋章。 而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世 的恶意，然后开启爱他吗谁谁的快意人生。第二名 着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累 你正在走上坡路。如果每个人都理解你，那你得普 么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 现以前的自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永 大于本事。你那能叫活着么？你那“你如今的气质 着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是 问题，和未成年没关系。总会有人是第一，那为什 是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果 取得了成功，一定是昨天我拼上了全部努力。阳光 孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度 世界那么大，我要赚钱带父母去看看人情世故要看
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
努力，未来老婆的婚纱都是租的。只有你的笑才能 无尽黑暗中找到光明。我受过的伤都是我的勋章。 而不世故，是最善良的成熟。愿你早日领教过这世 的恶意，然后开启爱他吗谁谁的快意人生。第二名 着你是头号输家——科比·布莱恩特。当你感觉累 你正在走上坡路。如果每个人都理解你，那你得普 么样。赚钱的速度一定要超过父母变老的速度。不 现以前的自己是个傻逼的过程，就是成长。脾气永 大于本事。你那能叫活着么？你那“你如今的气质 着你走过的路，读过的书，和爱过的人。”素质是 问题，和未成年没关系。总会有人是第一，那为什 是我？你可以没钱没颜，但你不可以不努力。如果 取得了成功，一定是昨天我拼上了全部努力。阳光 孩子风雨里做个大人。枯木逢春犹再发，人无两度 世界那么大，我要赚钱带父母去看看人情世故要看
11.3 两条直线的夹角
我们已经学习了两直线的位置关系有 平行、重合和相交。当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置 关系呢？
1、两条直线的夹角的定义
问题
2、求两条直线的夹角
系数确定直线的方程，方程确定直线及其位置， 所以可以利用方程系数来计算夹角。
例1
例2
例3
高中数学沪教版高二下- 1两条直线的位置关系PPT全文课件
解：对应方程组
kk21xx
y y
3k1 3k2
1 1
0 0
考虑方程组的系数行列式 D k2 k1 , Dx 3(k1 k2 ) , Dy k2 k1 6k1k2
1 当D 0,即k1 k2时，直线l1与l2相交 2 当D＝0,即k1＝k2时，Dx 6k1, Dy 6k12
所以, 当k1＝k2＝0时，直线l1与l2重合 当k1＝k2 0时，直线l1与l2相交
）有惟一解
x
y
Dx D Dy D
此时直线l1
,l2相交于一点，交点坐标是（
Dx D
，Dy ） D
(2)D 0，即a1b2＝a2b1时 :
1 Dx , Dy中至少有一个不为0，方程组（）无解
此时直线l1 ,l2没有公共点，即两直线平行
2 Dx ＝Dy＝0，方程组（）有无穷多解
此时直线l1 ,l2重合
二元一次方程组
aa21xx
b1x b2 x
c1 c2
0（ 0
）
解的情况取决于系数构成的行列式的值
其中，D a1 a2
b1 b2
, Dx
－c1 －c2
b1 b2
, Dy
a1 a2
－c1 －c2
高中数学沪教版高二下- 1两条直线的位置关系PPT全文课件【完 美课件 】
(1)D
0，即a1b2
a2b1时，方程组（
x
(1)相交
(2)平行
O
x
(3)重合
复习：
二元一次方程组的解的判别
aa21xx
b1 b2
y y
c1 c2
(1)D
0,
方程组（）有惟一解
x
y
沪教版(上海)数学高二下册-11.3 两直线的夹角 课件
若0 时: 若 为钝角时:
2 于是得:cos cos
d1 y
yd1
d2
d2
l2
o
l1
d
x
2
l2
x
o
l1
1)
2)
向量推导
解:根据l1与l2的方程,取 d1 (b1, a1), d2 (b2, a2 )
为 l1与 l2的方向向量.
由向量的夹角公式得: cos d1 d2
两直线的夹角
复习巩固
平面内两直线的位置关系有哪些？
相交、平行、重合
两相交直线可以用什么量来刻画它们的 相交程度？
新知学习
一、两直线夹角定义及范围
βα
图1
图2
1.两条相交直线的夹角: 两条相交直线所成的锐角或直角.
2.如果两条直线平行或重合,我们
规定它们的夹角为 0
3.平面上两条直线夹角的范围:
0,
2
y
x
o
y
x o
二、两直线夹角公式的探究
已知两直线方程求夹角 已知两条直线：l1 : a1x b1y c1
l2 : a2x b2y c2
求两直线夹角 的大小.
0(a1,b1不同时为0) 0(a2,b2不同时为0)
探究1：
两直线 l1、l2的夹角 与方向向量 d1、d2 的夹角
之间有何关系？
解：（1）根据l1与l2的方程及两直线夹角公式可得:
cos 3 2 1 (1) 2
(1)2 32 12 22 2
因为 0，,所2 以
即直线 l1 和
4
l2 的夹角为
4
练习：求下列各组直线的夹角：
(1)l1 : 3x y 12 0,l2 : x 0; (2)l1 : y 3x 12,l2 : x y 0;
沪教版(上海)数学高二下册-11.3两条直线的夹角精品课件_2
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两条直线的夹角的概念
规定两条相交直线所成的锐角或直角为两 条直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，规定它们的夹 角为0.
两条直线的夹角的取值范围是
0,
2
注:两条直线的夹角与倾斜角、两个 向量所成角范围的比较
两条直线的夹角公式的推导
设 l1 : a1x b1y c1 0(a1,b1不全为0） l2 : a2x b2 y c2 0(a2,b2不全为0）
注意：在使用两条直线的夹角的余弦公式 时，应先将直线方程化成一般式。
例2：已知直线 l 经过 P(2, 3) ,
求且该和直直线线的l0方: x程
3y 2 0 的夹角为
3
,
思考：光线沿直线l1 : 2x y 2 0, 照射到 直线 l2 : x 2y 2 0 上后反射 ,求反射线
注意：在使用两条直线的夹角的余弦公式时，应先将直线方程化成一般式。
是两条直线垂直的充分非必要条件
例2：已知直线 经过
,
注意：在使用两条直线的夹角的余弦公式时，应先将直线方程化成一般式。
探索1：两条直线的夹角与倾斜角有怎样的关系？
两条直线的夹角的概念
（3）直线
和
的夹角是————
思考：当 k1k2 1时，这两条直线的夹 角是多少呢？
k1k2 1
是两条直线垂直的充分非必要条件
例1：
（1）直线 l1 :3x y 2 0
的夹角是————
和
l2 : 2x y 3 0
（2）直线 l1 : 3x 4y 12 0和 l2 : x 3 的夹角是————
（3）直线
l1 :
x 2
y
2 3
的夹角是————
和 l2 : y x 4 0
沪教版高中数学高二下册：11.3 两条直线的位置关系-两条直线的夹角 课件
谢谢大家！
4 、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了 不在生活面前屈服。--奥斯特洛夫斯基 14 、人不能有丝毫的自满心理。因为学无止境，活到老学到老，浅尝辄止或半途而废，就学不到高深的技艺。 1 、成功就是凭着勇气和努力，不断地超越自己，做最好的自己。 9 、眼泪不是我们的答案，拼搏才是我们的选择。 16 、生命的奖赏远在旅途终点，而非起点附近。我不知道要走多少步才能达到目标，踏上第一千步的时候，仍然可能遭到失败。但我不会因 此放弃，我会坚持不懈，直至成功! 16 、生命的奖赏远在旅途终点，而非起点附近。我不知道要走多少步才能达到目标，踏上第一千步的时候，仍然可能遭到失败。但我不会因 此放弃，我会坚持不懈，直至成功! 13 、不断进取，勇于面对一切困难，努力克服它，战胜它，这是生存的法则。相反，逃避是懦夫的作为，最终只能带来更多的危机。 7 、一个获得成功的人，从他的同胞那里所取得的，总是无可比拟地超过他对他们所做的贡献。 7 、居善地，心善渊，与善仁，言善信，政善治，事善能，动善时。夫唯不争，故无尤。 7 、有时不合逻辑的举动却恰恰有助于应付变化多端的事态，而正常的逻辑有时却只能将自己带进一个死胡同。这就需要我们有逆反思维。 14 、男人最大的武器是眼神，女人最大的武器是眼泪。 2 、所谓的成功并不需要你比所有的人都强，你只需要强过自己的对手或同行，就足够能显示你的价值。 17 、您得相信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走 下去，才必须勉为其难地去达到它。
19 、做任何事都要经受得挫折，要有恒心和毅力，满怀信心坚持到底。 7 、顶天立地的铮铮男儿，有着坚韧不拔的气质，忠诚和保卫国家，忠于和保护人民，吃苦在前，享乐在后，把祖国和人民的利益放在第一位 ;无条件的服从命令，听从指挥，跟着党走，一心一意;始终保持自信的战斗力，坚决果断，有第一就争，有红旗就要抗在自己的肩上;无怨无悔 ，自强不息，为国分忧，为民尽力，“一日为兵，终日为兵”。
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所在直线 l3 的方程.
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的夹角 教学课件
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的夹角 教学课件
小结： 1．本节课我们用两种方法推导出两条直 线的夹角公式，采用的都是将未知转化为 已知的思想方法； 2．在运用两条直线的夹角公式时应注意 公式成立的条件. 3．进一步讨论了求直线方程的方法：运 用待定系数法时，可设直线方程为点法向 式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时， 需要分类讨论.并注意数形结合 .
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的夹角 教学课件
练习：
• 若直线：6x (a 1) y 8 0 与：(a 4)x (a 6)y 16 0 互相垂直，则实数a的值为_______
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的夹角 教学课件
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探索2：两条直线的夹角与方向向 量有怎样的关系？
情况1： y
情况2：
y
O
x
图1
O
x
图2
设 l1 与 l2的一方向向量分别 为d1 与d 2 ，其夹角为，则 不论 还是 均有
.
ห้องสมุดไป่ตู้
cos | cos || d1 d2 |
| a1a2 b1b2 |
| d1 | | d2 |
a12 b12 a2 2 b2 2
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的夹角 教学课件
思考：当 k1k2 1时，这两条直线的夹 角是多少呢？
小练习：若直线 6x (a 1) y 8 0
与 (a 4)x (a 6) y 16 0 互相垂直，则实数的值为 _______
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的夹角 教学课件
（2）直线 l1 : 3x 4y 12 0和 l2 : x 3 的夹角是————
（3）直线
l1 :
x 2
y
2 3
的夹角是————
和 l2 : y x 4 0
注意：在使用两条直线的夹角的余弦公式 时，应先将直线方程化成一般式。
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的夹角 教学课件
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引例：判断下列各组直线的位置关系。
（1） l1 : 3x y 2 0
l2 : 2x y 3 0
（2） l1 : 3x 4 y 12 0
l2 : x 3
（3） l1 : 3x 4 y 12 0 l2 : 6x 8y 5 0
思考：前面（1）（2）中，当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？
例2：已知直线 l 经过 P(2, 3) ,
求且该和直直线线的l0方: x程
3y 2 0 的夹角为
3
,
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的夹角 教学课件
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思考：光线沿直线l1 : 2x y 2 0, 照射到 直线 l2 : x 2y 2 0 上后反射 ,求反射线
如何根据两条直线的方程两条直线的夹角?
y
O
x
图1
探索1：两条直线的夹角与倾斜角 有怎样的关系？
情况1：
y
1 2
情况2：
(1 2 )
y
=
O
2
1 x
O
2
1
x
l1
l1
图12
图1
l2
l2
tan tan(1 2)
=
tan1 tan2 k1 k2 1 tan1 tan2 1 k1 k2
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的夹角 教学课件
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的夹角 教学课件 沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的夹角 教学课件
谢谢！
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的夹角 教学课件
两条直线的夹角公式
(1)cos =
a1a2 b1b2
a12 b12 a22 b22
(2)tan k1 k2
1 k1k2
注
意: (1)公式使用的条件
(2)两条直线垂直的充要条件是
a1a2 b1b2 0
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思考：当 k1k2 1时，这两条直线的夹 角是多少呢？
k1k2 1
是两条直线垂直的充分非必要条件
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例1： （1）直线 l1 :3x y 2 0
的夹角是————
和 l2 : 2x y 3 0
两条直线的夹角的概念
规定两条相交直线所成的锐角或直角为两 条直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，规定它们的夹 角为0.
两条直线的夹角的取值范围是
0,
2
注:两条直线的夹角与倾斜角、两个 向量所成角范围的比较
两条直线的夹角公式的推导
设 l1 : a1x b1y c1 0(a1,b1不全为0） l2 : a2x b2 y c2 0(a2,b2不全为0）
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小结： 1．本节课我们用两种方法推导出两条直 线的夹角公式，采用的都是将未知转化为 已知的思想方法； 2．在运用两条直线的夹角公式时应注意 公式成立的条件. 3．进一步讨论了求直线方程的方法：运 用待定系数法时，可设直线方程为点法向 式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时， 需要分类讨论.并注意数形结合 .
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练习：
• 若直线：6x (a 1) y 8 0 与：(a 4)x (a 6)y 16 0 互相垂直，则实数a的值为_______
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探索2：两条直线的夹角与方向向 量有怎样的关系？
情况1： y
情况2：
y
O
x
图1
O
x
图2
设 l1 与 l2的一方向向量分别 为d1 与d 2 ，其夹角为，则 不论 还是 均有
.
ห้องสมุดไป่ตู้
cos | cos || d1 d2 |
| a1a2 b1b2 |
| d1 | | d2 |
a12 b12 a2 2 b2 2
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思考：当 k1k2 1时，这两条直线的夹 角是多少呢？
小练习：若直线 6x (a 1) y 8 0
与 (a 4)x (a 6) y 16 0 互相垂直，则实数的值为 _______
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（2）直线 l1 : 3x 4y 12 0和 l2 : x 3 的夹角是————
（3）直线
l1 :
x 2
y
2 3
的夹角是————
和 l2 : y x 4 0
注意：在使用两条直线的夹角的余弦公式 时，应先将直线方程化成一般式。
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引例：判断下列各组直线的位置关系。
（1） l1 : 3x y 2 0
l2 : 2x y 3 0
（2） l1 : 3x 4 y 12 0
l2 : x 3
（3） l1 : 3x 4 y 12 0 l2 : 6x 8y 5 0
思考：前面（1）（2）中，当两条直线相交时， 用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？
例2：已知直线 l 经过 P(2, 3) ,
求且该和直直线线的l0方: x程
3y 2 0 的夹角为
3
,
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思考：光线沿直线l1 : 2x y 2 0, 照射到 直线 l2 : x 2y 2 0 上后反射 ,求反射线
如何根据两条直线的方程两条直线的夹角?
y
O
x
图1
探索1：两条直线的夹角与倾斜角 有怎样的关系？
情况1：
y
1 2
情况2：
(1 2 )
y
=
O
2
1 x
O
2
1
x
l1
l1
图12
图1
l2
l2
tan tan(1 2)
=
tan1 tan2 k1 k2 1 tan1 tan2 1 k1 k2
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两条直线的夹角公式
(1)cos =
a1a2 b1b2
a12 b12 a22 b22
(2)tan k1 k2
1 k1k2
注
意: (1)公式使用的条件
(2)两条直线垂直的充要条件是
a1a2 b1b2 0
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的夹角 教学课件
思考：当 k1k2 1时，这两条直线的夹 角是多少呢？
k1k2 1
是两条直线垂直的充分非必要条件
沪教版（上海）数学高二下册-1 两条直线的夹角 教学课件
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例1： （1）直线 l1 :3x y 2 0
的夹角是————
和 l2 : 2x y 3 0
两条直线的夹角的概念
规定两条相交直线所成的锐角或直角为两 条直线的夹角. 如果两条直线平行或重合，规定它们的夹 角为0.
两条直线的夹角的取值范围是
0,
2
注:两条直线的夹角与倾斜角、两个 向量所成角范围的比较
两条直线的夹角公式的推导
设 l1 : a1x b1y c1 0(a1,b1不全为0） l2 : a2x b2 y c2 0(a2,b2不全为0）