结构动力学第三章多自由度
结构动力学三自由度振型叠加
结构动力学三自由度振型叠加
结构动力学三自由度振型叠加是指以系统无阻尼的振型（模态）为空间基底，通过坐标变换，使原动力方程解耦，求解n个相互独立的方程获得各阶模态振型，进而通过叠加各阶模态振型的贡献求得系统的响应。
在振型叠加法中，由于利用了振型的正交性，使得质量与刚度矩阵中的非对角项、耦合项得以消除，将联立的运动微分方程转换为N个独立的正规坐标方程，分别求解每一个正规坐标的反应，然后根据叠加原理得出用原始坐标表示的反应。
振型叠加法只适用于线性体系的动力分析，若体系为非线性，则可采用逐步积分法进行反应分析。
振动力学与结构动力学-(第一章).
摩擦力： Fd cdx2sgxn
c d ：阻力系数
在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
Ecdx2sgxndx2
T/4
c T/4 d
x3dt
8 3
cd02
A2
等效粘性阻尼系数：
ce
8
3
cd0
A
24
四、结构阻尼
由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起 的阻尼称为结构阻尼
特征：应力－应变曲线存在滞回曲线
6
第一章 概 论
§1-1 动荷载及其分类 - 从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减
小的反复变化，就可以称这种运动为振动。 - 如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移
、速度、加速度、应力及应变等，这种振动便称为机械振动 。 - 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动
7
– 知识要点：结构被动控制、主动控制的基本概念。常用主动 控制方法的原理。结构主动控制在机械、土木结构工程中应 用简介。
– 重点难点：理解各种控制方法的原理及其具体实现。 – 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合。
主要参考书： • 刘延柱.振动力学.北京：高等教育出版社,1998 • 倪振华. 振动力学. 西安：西安交通大学出版社，1989 • 张准、汪凤泉. 振动分析.南京：东南大学出版社，1991 • 陈予恕.非线性振动. 天津：天津科技出版社，1983 • 龙驭球等编著.《结构力学》下册. 北京：高等教育出版 社，1994
– 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合
• 第六章 结构反应谱与地震荷载计算（8学 时）
– 知识要点：结构反应谱、单自由度和多自由度地震 荷载计算公式、规范中地震荷载计算公式。
《多自由度体系》课件
热力学
1 统计力学基础
在热力学中，统计力学提供了对多自由度体系内能和熵的理解。
2 多自由度体系的自由能
自由能是描述多自由度体系热力学性质的重要概念。
3 熵和热力学基本方程
熵是多自由度体系热力学性质的度量，热力学基本方程描述了多自由度体系的热力学关 系。
应用
分子动力学模拟
多自由度体系在分子动力学模拟 中有广泛应用，用于研究分子结 构和材料性质。
拉格朗日方程和哈密顿方程是多自由度体系建模中常用的基本方程。
动力学
1
自由度分离
将多自由度体系中的自由度分离，简化系统的求解和分析。
2
能量守恒定律
能量在多自由度体系中守恒，能量守恒定律对系统动力学的理解至关重要。
3
特殊情况下的动力学：谐振子、单摆、刚体
针对特殊情况下的多自由度体系，如谐振子、单摆和刚体，可以得到特定的动力 学方程。
材料科学中的应用
多自由度体系理论在材料设计和 性能优化中具有重要作用。
生物学中的应用
多自由度体系理论被应用于研究 生物分子的结构和功能。
结论
1 多自由度体系的重要性
多自由度体系的研究对科学和工程领域具有重要意义。
2 研究多自由度体系的意义
研究多自由度体系有助于深入理解复杂系统的行为和优化设计。
3 今后的研究方向
多自由度体系
本PPT介绍了多自由度体系的概述、建模、动力学、热力学、应用以及结论。 多自由度体系在科学研究和应用中的重要性不可忽视。
概述
1 什么是多自由度体系
多自由度体系是由多个相 互作用、相互影响的质点 或刚体组成的系统。
2 为什么研究多自由度
体系
研究多自由度体系可以深 入理解复杂系统的行为， 解决实际问题。
结构动力学习题答案
结构动力学习题答案在结构动力学中，习题答案通常涉及对结构在动态载荷下的行为进行分析和计算。
这些习题可能包括自由振动分析、受迫振动分析、随机振动分析、模态分析、响应谱分析等。
以下是一些典型的结构动力学习题答案示例。
习题一：单自由度系统的自由振动问题：一个单自由度系统具有质量m=2kg，阻尼系数c=0.5N·s/m，弹簧刚度k=800N/m。
初始条件为位移x(0)=0.1m，速度v(0)=0。
求该系统自由振动的位移时间历程。
答案：首先，确定系统的自然频率ωn：\[ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{800}{2}}\text{ rad/s} \]然后，计算阻尼比ζ：\[ \zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}} = \frac{0.5}{2\sqrt{2 \cdot 800}} \]由于ζ < 1，系统将进行衰减振动。
可以使用以下公式计算位移时间历程：\[ x(t) = A e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t + \phi) \] 其中，\( \omega_d = \sqrt{\omega_n^2 - \zeta^2 \omega_n^2} \) 是阻尼频率，A是振幅，\( \phi \)是相位角。
初始条件给出x(0)=0.1m，v(0)=0，可以解出A和\( \phi \)。
最终位移时间历程的表达式为：\[ x(t) = 0.1 e^{-\zeta \omega_n t} \cos(\omega_d t) \]习题二：单自由度系统的受迫振动问题：考虑上述单自由度系统，现在施加一个简谐力F(t)=F_0sin(ωt)，其中F_0=100N，ω=10 ra d/s。
求系统的稳态响应。
答案：稳态响应可以通过傅里叶级数或直接应用受迫振动的公式来求解。
对于简谐力，系统的稳态响应为：\[ x_{ss}(t) = \frac{F_0}{k - m\omega^2} \sin(\omega t + \phi) \]其中，\( \phi \) 是相位差，可以通过以下公式计算：\[ \phi = \arctan\left(\frac{2\zeta\omega}{\omega_n^2 -\omega^2}\right) \]习题三：多自由度系统的模态分析问题：考虑一个二自由度系统，其质量矩阵M和刚度矩阵K如下：\[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix},\quad K = \begin{bmatrix} k_1 & -k_c \\ -k_c & k_2\end{bmatrix} \]其中，\( m_1 = 2kg \)，\( m_2 = 1kg \)，\( k_1 = 800N/m \)，\( k_2 = 1600N/m \)，\( k_c = 200N/m \)。
结构动力学多自由度
▪ 振型方程：
(K i2M)ji 0 (i 1, 2, 3, n)
▪∵
K 2i M 0
▪ ∴ 第i 个振型方程中的n 个方程中只有n-1个是独立的！ ▪ ——无法得到j1i、 j2i、 … 、 jni 的确定值， ▪ 但可以确定各质点振幅之间的相对比值： ▪ —— 振型的幅值是任意的，但形状是惟一的。
一致质量矩阵：
L
pava m13v1 0 fI ( x)v( x)dx
L
0
m( x) 3( x)v3
L
1( x)v1dx
mij 0 EI ( x)i ( x) j ( x)dx
L
cij 0 c( x) i ( x) j ( x)dx
其中，c(x)表示分布的粘滞阻尼特性。
一致节点荷载
L
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
N
2)
2
)
y32
(t
)
jˆ
32
s
in
(
2
t
2
)
1
jˆ
2i
yi
(t
)
jˆ3i
s
in(i
t
i
)
jˆ ni
1
jˆ 21
jˆ 31
jˆ 32
1
jˆ 22
将N个振型中的每一振型形式，用F表示N个振型所组成的方阵。
11 12 13 1N
结构动力学-第三章 单自由度体系 (Part 1)
结构动力学Dynamics of Structures 第三章单自由度体系Chapter 3 Single-Degree-of-Freedom SystemsPart 1华南理工大学土木工程系马海涛/陈太聪本章主要目的及内容目的:z 通过单自由度体系介绍动力学的基本概念z 若干实际问题的解内容:(1)无阻尼自由振动(2)有阻尼自由振动(3)对简谐荷载的反应(4)对周期荷载的反应(5)对任意荷载的反应(6)体系的阻尼和振动过程中的能量(7)隔振(震)原理(8)结构地震反应分析的反应谱法自由振动free vibration强迫振动forced vibration第三章单自由度体系SDOF Systems自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。
0mucu ku ++= 无阻尼自由振动单自由度系统的运动方程()mucu ku P t ++=00c muku =⇒+= 自由振动运动方程单自由度系统无阻尼自由振动的运动方程0muku += 初始扰动：00(0)(0)t t u u uu ==== 初始位移初始速度二阶齐次常微分方程Homogeneous second orderordinary differential equation无阻尼自由振动的数学模型000;(0),(0)t t muku u u uu ==+=== 初始条件Initial conditions2()0stC ms k e +=设解有以下形式()stu t Ce=代入方程得 C 和s 为待定常数。
因此，方程通解为：121212()n n i ti ts t s tu t C e C eC eC eωω−=+=+或模型求解0muku += 2ms k ⇒+=1,2n ks i mω⇒=±=±()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+00(0)(0)t n t u A u uB u ω====== (0)()(0)cos sin n n nuu t u t tωωω=+(0)(0),nuA uB ω⇒==利用初始条件，我们有单自由度系统无阻尼自由振动问题的解其中n kmω=无阻尼自由振动为简谐运动Simple harmonic motion ωn 称为圆频率或角速度Angular frequency / velocity ()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+振幅无阻尼自由振动问题解的图示（1）振幅–Amplitude of motion[]220(0)(0)n u u u ω⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦基本参数（2）固有周期–Natural period of vibration2n nT πω=（3）固有频率–Natural frequency of vibration1n nf T =Hz (赫兹)固有频率s (秒)固有周期rad/s (弧度/秒)固有圆频率单位定义物理量名称2n nT πω=1n nf T =n k m ω=单自由度系统无阻尼自由振动系统参数§3.2 有阻尼自由振动0c uk u m u ++= 运动方程2()0stC ms cs k e ++=设解有以下形式()stu t Ce =代入方程得解为：221,222nc c s m m ω⎛⎞=−±−⎜⎟⎝⎠粘性阻尼模型2ms cs k ++=2c k s s m m++=22n c s s mω++=阻尼系数影响此项的取值进一步决定解的特征Critical damping and damping ration临界阻尼22022n cr n c c m m k c m ωω⎛⎞−=⇒⎜⎟⎝⎠===此时运动方程的解为12ns s ω==−()()n tu t A Bt e ω−=+0mucu ku ++= 验证—分别将两个解代入方程()n tu t Aeω−=()n tu t Bteω−=()22220n t nnnAem m m ωωωω−=−+=()2n t nnAem c k ωωω−−+左端=()()221n t nnnBem t c t kt ωωωω−⎡⎤−++−+⎣⎦左端=()2220n tnnnBec m t m k ωωωω−⎡⎤=−+−+=⎣⎦Critical damping and damping ration运动方程的解为()()n tu t A Bt e ω−=+()()(0)(1)(0)n tn u t u t ut e ωω−=++ (0)(0)n u AuA B ω==−+ 因此，解为根据初始条件，有()()n tn u t A Bt B eωω−=−++⎡⎤⎣⎦ 对应的速度表达式为(0)(0)(0)n A u B u uω==+ 或者(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦ 解的特征由此项控制当阻尼大于临界阻尼时，0mucu ku ++= 220n n uu u ζωω++= 2n crc cm c ζω==其中，阻尼比1221120()s ts ts s u t C e C e<<=+临界阻尼可定义为：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。
结构动力学多自由度体系的自由振动
11
21
1
Y 1
1 1
Y
2
1 1
12
22
对称体系的振型分 成两组: 一组为对称振型
一组为反对称振型
按对称振型振动
m
l/3 l/6
=1 l/3
11
5 162
l3 EI
2 1 m11
5.692 EI / ml3
按反对称振型振动
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
三.求多自由度体系频率、振型例题
例1.求图示体系的频率、振型
解
11
22
4 243
l3 EI
12
21
7 486
l3 EI
I 2 m 0
m1 m m2 m EI
l/3 l/3 l/3 1
11
21
1
11m1 1/ 2
m212
0
m1 21
22m2 1/ 2
令
1
11m1
2
1 12 / 11 0 21 / 11 1
(I 2 m)Y 0
频率方程
I 2 m 0
6。求振型、频率可列幅值方程.
按振型振动时
y1 y2
Y1 sin( t ) Y2 sin( t )
yy21
Y1 2 Y2 2
sin( t sin( t
) )
FI
1
(t
)
FI 2 (t)
m1Y12 sin( t ) m2Y22 sin( t )
YY1222
s
in(2t
2)
通解
yy12((tt))
A1
YY1211
结构动力学3
2)当m1=nm2 , k1=nk2
[(n1)k
2
2
nm2
](k2
2m2
)k
2 2
0
k11=（1+n）k2，k12=－k2
求频率：
2 1 2
1 2
2
1 n
+
4 n
1 n2
k2 m2
求振型：Y2 k11 2m1 (n 1)k2 2nm2
k m
2 2
3 2
5
k m
2.61803 k m
2 1.61803
k m
求振型： ω1→第一主振型：
Y11 k12
Y21 k11 12m1
k
1
2k 0.38197k 1.618
ω2→第二主振型：
Y12 k12
Y22 k11 22m1
k
1
2k 2.61803k 0.618
质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2
m2
k21
1
k2 1 k11
m1
k1
k22 k12
解：求刚度系数：
k2
k1
k11=k1+k2 , k21=－k2 ,
k21
k2
k22
k11
k22=k2 ,
k12=－k2
k12
k
k1 k2
k2
k2
k2
例题：12,2质量m12集2 中kmk1112在楼km2层22 上+m1、12m2km，111层1间km2侧22 k移k12121刚度k1为1k2km211、mkk2122k121k12k22
结构动力学3-2
0
0
频率比 ω /ωn
1 2 1 2
时， Rd 1 ，即体系不发生放大反应。
2
ζ=0.2
( 2) 当
时 ， ( R d ) m ax
1 2 1
2
, (
) n 峰值
1 2
2
。
1
ζ=0.8 ζ =1
0 0 1
ζ=0.5
2 3
23/73
， Rd ( 3) 当 / n 1 （ 共 振 时 ） ( 4) 当 / n
C ust D ust
1 ( / n ) [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
2
u(t ) e t ( AcosDt B sinDt ) (C sint D cost )
n
2 / n [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
3.3.3 共振反应（=n）
u(t)/ust
1/2ζ
u ( A cosDt B sin Dt ) st cost 2
u C 0 , D st 2
满足零初始条件：
A
1 1 u st , B u st 2 2 1 2
1/2ζ
u sin Dt ) cosnt 运动解：u(t ) st e nt (cosDt 2 2 1 u st 当=0时 ： u ( t ) ( n t cos n t sin n t ) 2 与无阻尼时的结果完全相同 19/73
tan
1
2 ( / n ) 1 ( / n ) 2
总体反应 稳态反应
ζ=0.02
结构动力学-多自由度系统振动
k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。
结构动力学第三章
x(t)
m
− m&x&
l
EI
Psinθt
EI
Psinθt
EI EI
l
l
解：结构的变形、质量的运动和自由度如右上图所示，列出质量处变形方程：
x(t) = δ11 ⋅ (−m&x&) + δ12 ⋅ Psinθt
其中柔度系数δ 和δ 的物理意义如下图所示
1
2
δ11
δ12
1
1
作出两个力单位弯矩图如下，
1 M1
第3章 单自由度体系
• 单自由度体系，就是只有1个自由度的结构动力系统，是最 简单也是最重要的结构振动系统。其重要性体现在：
– 工程实际中许多结构体系简化为单自由度体系，得到的 结果具有相当高的精度，完全满足工程误差要求，而对 单自由度体系的研究比对多自由度体系的研究简便得 多；
– 单自由度体系振动的研究和结论是研究多自由度体系和 无限自由度体系的基础。
弯矩图如右下图所示，由结构力学的图乘法
1
l/2
1
EI
δ
M
l/4
δ = 1 (1 ⋅ l ⋅l × 2 ⋅ l + 1 ⋅ l ⋅ l × 2 ⋅ l × 2) = 5l 3
EI 2 2 3 2 2 4 2 3 4
48EI
将柔度系数带入变形方程并化简得
m&y& +
48EI 5l 3
y
=0
例3.9 简支梁的右端为弹簧支承，跨中有一集中质量。
m
− m&y&
EI
k
=
48EI l3
l/2
l/2
EI y (t)
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学是力学中的一个分支，研究的是结构在外界载荷作
用下的动力响应和变形。
而模态分析是结构动力学中常用的分析
方法之一，它可以帮助我们深入了解结构的固有特性和动力响应。
在多自由度系统中，模态分析更是必不可少的方法之一。
一、模态分析的原理和方法
模态可以理解为结构在其内部和外部刺激或载荷下，自然振动
的特征方程根的值，也叫固有频率。
模态分析旨在通过求解结构
的特征值和特征向量来研究结构的固有特性。
具体的分析方法可
以分为三步：建立结构模型，求解结构特征值和特征向量，利用
特征值和特征向量进行分析。
二、模态分析的应用
在结构工程中，模态分析有广泛的应用。
首先，在结构设计阶段，我们可以通过模态分析确定结构的自然振动模型，确保结构
固有频率超出工作载荷频率，避免发生共振。
此外，模态分析还
可以帮助优化结构材料、结构形式及构件设计等方面。
在结构运
行和维护阶段，模态分析可以用于诊断结构的损伤，预测结构的
剩余寿命等。
三、多自由度系统和模态分析
多自由度系统指的是系统中有多个自由度，其模态分析和单自
由度系统有相似之处，但分析复杂度更高，需要运用更复杂的数
学模型和方法。
对于多自由度系统，我们可以利用有限元法建立
数学模型进行模拟分析，求解结构特征值和特征向量。
总之，在结构设计、分析和维护过程中，模态分析是一种十分
重要的手段。
通过模态分析，我们可以深入了解结构的固有特性，为结构设计和运行提供更可靠的保障。
结构动力学多自由度
pbT
~ fpa
paT ~fpb paT ~fpb T pbT ~f T pa pbT ~fpa
故 ~f 、 k 均为对称矩阵。
单元刚度矩阵
单元刚度系数表示由单位节点位移所引起的节点力。
单元刚度系数由虚位移法求得。
例如，课本P106图11-5所示简支梁中，令a端发生单位转角， 并给该处一竖向虚位移，零外力所做的功，等于内力所做的 功。
表示一个自由度发生相应单位位移而其他节点不动时在结构中所 产生的的力。
弹性特性
柔度的定义：
~ fij —在j坐标施加单位荷载而引起的i坐标的挠度。
则任意荷载组合下： vi ~fi1 p1 ~fi2 p2 ~fiN pN
用矩阵表示：
v1
vi
v N
略去阻尼矩阵和施加的荷载向量的影响： mv kv 0
假定以上多自由度体系的振动是简谐振动：
v(t) vˆ sin(t )
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
无阻尼自由振动—振动频率分析
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
WE va pa v1 k13
Lபைடு நூலகம்
WI v1 0 EI ( x) 1''( x) 3''( x)dx
结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；
(完整版)结构动力学基础
my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
x a
作用时间： 恒载 活载 作用位置： 固定荷载 移动荷载 对结构产生的动力效应： 静荷载 动荷载
静荷载： 动荷载：
大小、方向和作用点不随时间变 化或变化很缓慢的荷载。
大小、方向或作用点随时间变化 很快的荷载。
快慢标准： 是否会使结构产生显著的加速度
显著标准： 质量运动加速度所引起的惯性力 与荷载相比是否可以忽略
FP (t ) FI FD FS1 FS2 0
其中各力的大小：
惯性力： FI my 弹性力Fs=Fs1+Fs2： 位移法：柱子一端产生单位平移时的杆端剪力
1
12i
l2
柱端发生平移 y 时产生的梁-柱间剪力：
EI
12 EI FS1 l13 y
12EI
FS 2
l
3 2
y
l
等效粘滞阻尼力： FD cy
大型桥梁结构 的有限元模型
第二章 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。
▪ 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。
▪ 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 ▪ 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
8
比较：
c k
结构力学应用-结构动力学
（小阻尼） 令
有阻尼的自振频率
1
2
y(t ) e
t
y0 y0 ( y0 cos t sin t )
*写成
y(t ) b e
2 0
t
sin(t )
(14-12)
y0 y0 2 其中 b y ( )
柔度法（力法）
MY KY 0 MY Y 0
10、按柔度法求解
振型方程： ([ ][ 2 [ 1 M ]){Y } 00} ([ I ] M ] ][ [ I ]){Y } { 2 频率（特征）方程
D [ ][ M ] [ I ] 0
y0 tg y0 y0
位移－时间曲线如图示：
阻尼比——阻尼的基本参数： a.阻尼对频率（周期）的影响
k
2m
1 2
T T 1 2 T
0.2
T T
b、阻尼对振幅的影响
be
t
——振幅随时间逐渐衰减
11m1
1
12 m2
(k )
0 0
(14 63)
{Y }
(k )
Y1 Y2
(k )
11m1 k 12 m2
12 m2
k2
（k=1、2）
结构的刚度和质量分布 ——对称 其主振型 ——对称、反对称 计算自振频率： ——分别就正、反对称情况 ——取半跨结构计算 ——两个单自由度问题计算 显然，振型分别为： [1 1]T、[1 -1]T
1
0.2,
yn ln 2 j yn j 相隔j个周期： 1
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T U Qi qi qi qi
.. .
M q C q Kq Q
3.2 无阻尼自由振动
3.2.1 多自由度系统的固有频率
Mx Kx 0 x t sin t
M2 sin t K sin t 0
2U kij qi q j
0
kij k ji
则有
1 n n 1 T U kij qi q j q Kq 2 i 1 j 1 2
U 是关于广义坐标 的二次型， U 0 ，等于零对应 无有势力作用下的运动，关于广义坐标的正半定二
q
次型。所以，矩阵 K 是对称半正定的。
3.2.2 系统的主振型 从代数上是一个广义特征值问题，可化为标
1 2 1 M K I 0， 准特征值问题 其中 M K 一般不对 称除非 M 是对角阵。求出 i 后回代方程
( K Mi2 )i 0
, ,..., ni ，则 得到 n 个 特征向量， i 1i 2i x(i ) t i sin it i
M j 0 ， K j 0
T i
T i
i j
证明：
K M 由
2 i i
0
，得
j
2 K M Ki M j j i ， i
2
T T 分别前乘 j ， i 得
2 T T K j i i j Mi
（ 1） （2）
M j 0
T i
代入（3）式有
iT K j 0
当i j 时 令其为
（4）式恒成立，通常
iT Mi 0
Mi iT Mi ，
称为第 i 阶模态质量，同理
Ki iT Ki ，
称为第 i 阶模态刚度，且有（由（3）式） ：
iT Ki i2iT Mi
Ki i2 i Mi Ki Mi
由于 i 各元素取值有一个任意的比例数， M i 和 Ki 有一定任意性，但比值是固定的。为方便起见，希 望 i 的任意数的选取方法使得 M i 1 ，则
Ki i2
即在原振型向量的基础上（经计算 M i 1） ，各个元 素同乘
1 Mi
对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
Rk k rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 rk dqi n rk dq j 1 k rk rk k dt j 1 q j dt k 1 2 k 1 2 i 1 qi
0
静平衡位置为势能零点。 U0 0
U qi
广义坐标的零点取在静平衡位置上，势能函数是关于 0 广义坐标的二阶以上函数，代入零广义坐标一定为零。 0 由于是微振动，第四项为高阶微量，省略．
1 n n 2U U 0 qi q j 2 i 1 j 1 qi q j ， 令
2 K M 0
K M2 0
2 ，关于 的 n 次代数方程
i）由 M 正定，K 正半定，由矩阵理论可知，特征 根均为正数或零， 即有实数的 i ， 称为固有频率。 ii) i 有不等实根（多数情况下，多数的实际工程 系统） 。
1 2 ... n
但可能 1 0 ，对应系统有刚性运动（在振动同 时伴随有刚体运动） iii） 有重根，称为亏损系统
Y ( F M Y ) M Y 1Y F
M Y kY F
..
..
..
通常当质点较多， 约束比较复杂时， 适 合用能量分析方法，例如 Lagrange 第 2 类方程。m 个质点，r 个约束，n 个广义坐标 qi (i 1, 2,..., n) 。
n 3m r
结 构 动 力 学
第三章 多自由度系统振动
主讲教师：于开平
2011年春季学期
哈尔滨工业大学航天学院
3.1 多自由度系统的数学模型 3.1.1 多自由度系统的基本概念 用多于一个的有限独立坐标描述的振动系统， 称为多自由度系统。 实际工程结构经过适当的离散或简化， 可以简 化成由有限个无弹性的质量（惯性元件） ，质点到 刚体，有限个无质量的弹簧（弹性元件）和阻尼器 （阻尼元件）组成。由无惯性的弹性元件和阻尼元 件连接的质点系或质点刚体系，也称集中参数系 统，反之称分布参数系统。
m1 M 0 0 k1 k2 c k2 0
0 m2 0
0 0 m3
c1 c2 c c2 0
c2 c2 c3 c3
0 c3 c3 c4
k2 k 2 k3 k3
0 k3 k3 k 4
T iT K j 2 j i M j
对第（1）式转置有
iT K T j i2iT M T j
iT K j i2iT M j
（2）～（3）得
2 2 T j i i M j 0
（3）
（4）
由于 i j ，无重根所以 i j ，故有
rk rk 1 m mk qi q j qi q j i 1 j 1 2 k 1 n n 1 1 mij qi q j qT Mq 2 i 1 j 1 2
n n
在完整约束系统中，势能只是定义坐标的函数
U U q1, q2 ,..., qn
对于 m 个质点的质点系， 共约束是 r 个， 那么广义 坐标系 n＝3m－r 个，也就是有 n 个自由度数。
刚体在空间运动有六个 DOF
有限单元法将连续体离散成若干有限单元构成
3.1.2 多自由度系统振动微分方程（动力学方程，运 动控制方程）的建立。 可用牛顿力学与分析力学的任何一种方法均 可， 常用的牛顿第二定律、 达朗贝尔原理， Lagrange 第二类方程。 例 1：
' ，新的归一化后的振型为 i i
Mi
则归一化后的 M i 的计算为
Mi 1 T M i M i 1 Mi Mi
'T i ' i
每一个振型都这样处理以后，构成的模态矩阵 称为归一化模态矩阵。即有
1T M 1 1T M 2 ... 1T M n 1T T T T T 2 M 1 2 M 2 ... 2 M n T M M 1 , 2 ,.. n 2 T T T T n n M 1 n M 2 ... n M n M1 diag M2 I ... Mn
T
i
称为第 i 阶主振动
x
(i )
t x
(i ) 1
, x ,..., x
(i ) 2
(i ) T n
这里的 i 称为第 i 阶主振型，也称第 i 阶模态 （modal） 。由于没有重根所以， i 回代后仅有一 个方程不独立
k11 m11i2 1i k12 m12i2 2i ... k1n m1ni2 ni 0 . . . kn1 mn1i2 1i kn 2 mn 2i2 2i ... knn mnni2 ni 0
m
cij c ji 是对称的， 0
rk rk 1 n n m k qi q j 2 i 1 j 1 qi q j k 1 1 n n 1 T cij qi q j q Cq 2 i 1 j 1 2
n 个方程中仅有一个不独立，在 1i ,..., ni 中有一个 可任意选取，而其它都与之成一定比例。不失一般 性去掉第一个方程， 将其它方程中有 1i 项移到方程 右边有
k
2 2 2 m ... k m m 22 22 i 2i 2n 2n i ni 21 i k 21 1i
7 l 13 31 12 EI
作用单位力后在 mi 上产生的位移，用 ij 表示。
.. .. .. y1 F1 m1 y1 11 F2 m2 y 2 12 F3 m3 y3 13
.. .. .. y2 F1 m1 y1 21 F2 m2 y 2 22 F3 m3 y3 23
所以C是正半定的
代入拉格拉日方程， L T U ，
d L L Qi dt qi qi
通常情况下，势能与广义速度无关
d T T U Qi dt qi qi qi
对于有耗散力的方程为
d T dt qi
.. .. .. y3 F1 m1 y1 31 F2 m2 y 2 32 F3 m3 y3 33
.. .. F1 m1 y1 y1 y 1 .. .. y2 F2 m2 y 2 ( F M y 2 ) y .. .. 3 F3 m3 y 3 y3
rk rk q1, q2 ,..., qn
（质点 k 的矢径）
稳定约束。所以有
n n drk rk dqi r Vk k qi dt dt i 1 qi i 1 qi
系统动能等于各质点动能之和
显然 mij m ji 是对称的。 则T是关于广义速度的二次型， 由于T>0，是正定二次型，则M正定对称的。
通常将静平衡位置作为势能零点， 并且以静平衡 位置为坐标原点。 我们研究的是在静平衡位置附 近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有