机械动力学-5

当不存在外加激振力，且不考虑阻尼时，上式可简化为 无阻尼自由振动方程 kx 0 m x 这是振动的最简单情况。令 k m 则无阻尼自由振动方程可改写为
x 0 x λ为正实数，根据微分方程的理论，这一齐次线性微分 方程的解具有如下形式： x A1 cosnt A2 sin nt
E
L 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 x 2 1 qL 2 q ( X ) dx ( ) X 2 L 2 3
二、有阻尼自由振动
物体表面间的摩擦力、周围介质的阻力、材料的内摩 擦等，这类阻力统称为阻尼。 阻尼的性质可能很复杂，通常把它简化为所谓的粘性 阻尼。粘性阻尼的特点是阻尼力的大小与速度成正比，阻 尼力的方向与速度相反。采用粘性阻尼使得在数学处理上 大为简化。有阻尼自由振动的运动微分方程为
arctan
2 1 2
F0 F0 h st 2 2 k mn n
λ——频率比，激振频率与固有频率之比
n
方程的全解为
x x1 x2 ent (C1 cosd t C2 sin d t ) B cos(t )
x eat [ A1 cosh t A2 sinh t ]
式中， a n 。此式所标示的运动是一个非周期性的运动而不 是一个振动。
2 2
2、临界阻尼 当 a n 或 1 时称为临界阻尼。此时特征根为二重根，方程解 为 x eat ( A A t )
1 2
此式所表示的运动也是一个非周期性的运动。
3、小阻尼 当 a n 或 1 时称为小阻尼。此时特征根为一对共轭复根。令
2 d n a 2 1 2 n
此时方程的解为
x eat ( A1 cosd t A2 sin d t )
式中的待定系数A1、A2根据初始条件确定。设振动物体具有初 0，则系统对初始条件的响应为 位移x0何处速度 x

x A sin(nt )
式中：A称为振幅； 称为初相位，单位为rad。 无阻尼自由振动是一个以固有频率为频率的简谐振动。
设初始时刻t=0时的位移为x0、速度为v0，则可得
2 A x0 (v0 / 0 ) 2
x00 arctan 0 x
2、工程实例 机器或结构中的构件受一静负荷后要产生变形，其内 部要产生应力，分别称为静变形和静应力。而当受冲击或 产生振动时，构件要产生动变形和动应力。
例题
在一般的质量-弹簧系统中，都认为弹簧是一个没有质 量的弹性体。如果要计算的精确一些，也应计入弹簧的质 量（如图）。在弹簧坐标为x处取一微元长度dx，则此微元 长度的动能为 1 2 dx dE qx 2 式中q为弹簧单位长度的质量。弹簧上端的 速度即为质量块的速度 ，弹簧下端的速 度为零，可以认为弹簧沿高度方向的速度 呈线性分布，即 x X x L 弹簧的动能为
§5.1 单自由度系统的自由振动
一、无阻尼自由振动
1、理论分析
如图，是单自由度线性振动系统的模型，其中m是振动 物体的质量，k是弹簧刚度，c是阻尼器的阻尼系数，F（t） 是外加激振力， st 是在重力作用下弹簧的静变形，x是从静 力平衡位置O-O量起的位移。根据质量m的受力图，注意到 k st mg ，用牛顿定律 可建立系统的运动方程 如下： cx kx F (t ) m x 能用线性微分方程 来描述的振动系统即称 为线性振动系统。
§5.2 单自由度系统的受迫振动
一、简谐激振动作用下的受迫振动
1、理论分析 在简谐激振力 F (t )
F0 cos(t )
的作用下，系统的运动方程为
cx kx F0 cos(t ) m x
或写为
2 2n x n x x h cos(t )
cx kx 0 m x
令 则有
2a
c m
2 2ax n x x0
2 r a a 2 n
则该方程的特征根为
引入量纲一的量

a
n
称为阻尼比或相对阻尼系数。下面根据特征根的取值，分三种 情况讨论：
1、大阻尼 当 a n 或 1 时称为大阻尼。此时特征根为两个不等的负实根。 方程的解为
设特解具有下列形式：
x2 B1 cos(t ) B2 sin(t )
由以上式子可解得B1、B2，特x2可改写为
x2 B cos(t )
式中：B——受迫振动的振幅 B
st
(1 2 ) 2 4 22
θ——受迫振动的响应和激振动的相位差 δst——静变形
式中
k n m
称为系统的圆频率，单位为rand/s。
1 1 f n 2 2
k m
称为系统的频率，单位为Hz（赫兹）。 n 和f的单位虽不 同，但他们只和系统的固有参数有关，因此也均称为系统 的固有频率。 振动的周期T为
1 1 T 2 f n
单位为s。齐次线性微分方程的解还可表示为
式中：
2 n 2a
F c 2 k , n , h 0 m m m
根据微分方程的理论，非齐次方程的全解由两部分组成：与之对应的齐 次方程的通解x1和非齐次方程的特接x2。则通解为
x1 ent (C1 cosd t C2 sin d t )
式中C1、C2为积分常数。
x e ( x0 cosd t
at
也可改写为 式中
d x Aeat sin(d t )
0 ax0 x
0 ax0 x
sin d t )
2 A x0 (
d
)2
arctan
d x0
0 ax0 x
从上面的式子可以看出，这时系统的运动为周期性的振动。其 振动圆频率为d ，称为有阻尼振动的固有频率，它比无阻尼自由振 动的固有频率 n 略小。振幅Ae-at随时间成指数形式衰减。如图给 出了这种衰减振动的响应曲线。