C能控性与能观性

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控制系统的能控性和能观测性

解
根据定理3-5，系统（1）能控；系统（2）不能控
（定理（3-4）、定理（3-5）不仅可以判断系统能控性，而且对于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。）说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等价的。
2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此，能控性判据同样可以判断能达性。
一般情况下，系统方程可以表示为
Ax Bu x y Cx
（1）
状态能控与否，不仅取决于B 阵（直接关系），还取决于A 阵（间接关系）。系统能观测问题是研究测量输出变量 y 去确定状态变量的问题。
y(t )为输出量，两个电例3-3 电路如下图所示。选取 u(t )为输入量，感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为
λi Ji 0
1 λi
0 1 阵 B 中与每一个约当子块最下面一行对应行的元素不全为零。
例3-7 有如下两个线性定常系统，判断其能控性。
0 4 1 0 （1） x 0 4 0 x 4 u 0 2 0 3 0 4 1 4 2 （2） x 0 4 0 x 0 0 u 0 2 0 3 0
3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的。 4）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。
x(0) e Aτ Bu( τ ) d τ
0
t1
（3）
5）当系统中存在不依赖于 u(t ) 的确定性干扰 f (t ) 时，f (t ) 不会改变系统的能控性。 Ax Bu f (t ) x （4）

第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性

第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。

能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。

能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。

但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。

所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。

4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。

反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。

对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。

4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。

现代控制理论-线性控制系统的能控性与能观性例题精选全文完整版

x Ax Bu
如果线性定常系统： y Cx 是状态不完全能控的，它的能控性判别矩阵的秩
rankM n1 n
则存在非奇异变换：x Rcxˆ
将状态空间描述变换为：
xˆ y
Aˆ xˆ Cˆ xˆ
Bˆ u
n1 n n1
其中：
xˆ
xˆ1
xˆ
2
n1
n n1
Aˆ
R c1AR c
Aˆ 11 0
3.6.1 线性系统的对偶关系
线性系统1、2如下：
1：yx 11
A1x1 C1x1
B1u1
2：
x 2 y 2
A2x2 C2x2
B2u2
如果满足如下关系
A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
则称两系统是互为对偶的.
u1(t) B
x1(t)
x1(t)
++
∫
y1(t) C
A
y2(t) BT
0
A 0 1 0 , b 0, c 1 1 1
1 4 3
1
解：能控性矩阵
0 1 4
M b Ab A2b 0 0
0
1 3 8
rankM 2 n1 dim A n 3 不能控
构造变换矩阵
0 1 0 Rc 0 0 1
1 3 0
✓与前2个列向量线性无关； ✓尽可能简单
结构分解
u
co
y
co
依据能控能观性，将系统分解
co
为四个子系统
co
x Ax Bu
y Cx Du
特殊的线性变换
x xTco xTco xTco xTco
分解步骤：
1、将系统分解成能控与不能控子系统；

能控性和能观性

状态能控性判据（三）
如果输入u(t)对状态X(t)的传递函数（阵）没有零极点对消，那么系统可控，否则系统不可控。
( sI − A ) −1 B
状态能控性判据例子5
状态能控性判据 MATLAB 实现
MATLAB中可以用ctrb(A,B)函数求系统的能控判别矩阵M，并用RANK（M）求M的秩。
A=[1 2 0;3 -1 1;0 2 0]; B=[2;1;1]; C=[0 0 1]; D=0; To1=obsv(A,C) [Ao1,Bo1,Co1,Do1]=ss2ss(A,B,C,D,To1)
Ex_2ObsvI.m
离散时间系统的可控性/可观性
（略，自学）
若系统（A,B）具有两两相异的特征值，则系统状态完全能控的充要条件为：系统经过线性变换成对角规范型后， + Bu ⎥ λn ⎥ ⎦
B 不包含元素全为0的行。
状态能控性判据例子3
⎡ x1 ⎤ ⎡ −7 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −5 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 5 ⎥ u ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 7 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡ −7 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −5 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 4 0 ⎥ ⎡ u1 ⎤ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢u ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 7 5 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ x1 ⎤ ⎡ −7 0 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢ 0 −5 0 ⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢ 0 ⎥ u ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 0 0 −1⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎢ 9 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(整理)控制系统的能控性和能观测性

第三章控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。

可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。

二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为：x 2不能控y2则系统不能控，若2121,C C R R ==⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有：根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得：即：由凯莱-哈密尔顿定理：令上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。

判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：⎰-+=ft f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ⎰⎰---=--=-ff t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 01)()()()()()()0(τττφφτττφφ⎰--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1)()(n k kk A A eτατφτ∑⎰⎰∑-=-=-=-=101)()()()()0(n k t k k t n k k k ff d u B A d Bu A x ττταττταkt k u d u f=⎰)()(ττταUQ u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k kk -=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-=--=∑ 321121],,,[)0(能控性矩阵Q C =[B ，AB ，A 2B ，…A n-1B]满秩。

对于单输入系统，Q C =[b ，Ab ，A 2b ，…A n-1b] 如果系统是完全能控的，称（A 、B ）或（A 、b ）为能控对。

系统的能控性能观测性稳定性分析

系统的能控性能观测性稳定性分析1. 能控性（Controllability）能控性是指系统输出能否通过适当的输入方式对系统进行控制。

如果一个系统是能控的，意味着通过控制器的输入信号，我们能够将系统的输出发展到我们所期望的状态。

对于一个线性时不变（LTI）系统，能控性可以通过判断其控制矩阵的秩来确定。

控制矩阵（也称为控制可达矩阵）是由系统的状态方程和控制器的输入方程组成的。

如果控制矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能控的；否则，系统是无法被完全控制的。

能控性的分析可以帮助我们选择合适的控制策略和控制器设计。

当系统的能控性差时，我们可能需要通过增加或修改系统的状态变量或控制器的输入方式来提高系统的能控性。

2. 能观测性（Observability）能观测性是指系统的内部状态能否通过系统的输出信号来判断。

一个能观测的系统意味着我们可以通过观测系统的输出来估计系统的状态。

对于一个线性时不变系统，能观测性可以通过判断其观测矩阵的秩来确定。

观测矩阵（也称为观测可达矩阵）是由系统的状态方程和输出方程组成的。

如果观测矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能观测的；否则，系统的一些状态是无法通过输出来观测到的。

能观测性的分析可以帮助我们选择合适的观测器设计，以实现对系统状态的估计。

当系统的能观测性差时，我们可能需要增加或改变系统的输出方程来提高系统的能观测性。

3. 稳定性（Stability）稳定性是指系统在受到扰动后是否会逐渐恢复到原来的状态。

对于线性时不变系统，稳定性可以分为几种类型：零状态稳定、有限状态稳定和无限状态稳定。

零状态稳定（Zero-state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到零。

有限状态稳定（Finite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到一些有限值。

无限状态稳定（Infinite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在无限时间内收敛到一些有限值。

第3章能控性和能观性

t 0, t 1
0
W (0, t1 ) 奇异，
与已知条件矛盾
rank W n
说明：1.
在应用格拉姆矩阵判据时计算矩阵指数
函数以及积分的计算量非常大，所以这一判据主要用在理论分析中。 2. 矩阵W可以利用Matlab函数ctrb(A,B)来计算，不过其计算在数值上容易导致病态，所以建议使用
1.2 可观性
［例］电路 ((信息)观测的可能性)
如果 u 0，不管电容储存了多少电荷, 由于 y 0 无法知道状态（信息）图假定输入恒为0
u
R
R C R
y
R
(信息)观测的可能性
y ce At x0 （未知量
有输入时
At t
(u 0) x0 ）
y y ce
0
y ce x0 ce A(t )bu( )d

, T An1B 0
B AB
T

系统不可控。
n1 T A B W 0 rank W n
充分性：证明过程与上相反。
所以输入维数增加那么特征值 i 不可控。约当标准形判据线性定常系统可控的充分必要条件是系统可控的可能性增加。
T i T i
t 0 A( t )
bu ( )d 可将它看做输出
已知
可观性的直观意义和定义
所谓系统可观是指通过观测系统的外部变量即输入输出变量就能正确地知道系统的内部状态。定义如果基于有限长的输入输出数据:
u(t ), y(t ),
0 t T
能唯一地确定系统的初始状态 x0 ，则称点 x0 可观测。进一步，如果状态空间中任意的初始状态 x0 都可观测，则称系统可观测。

第三章能控性与能观性

(3-11) Ax Bu x 式中,x为n维状态向量，u为r维输入向量, A、B分别为 n n、 n r 常数阵。式(3-11)系统状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵
Qc B AB A2 B An1 B
满秩,即
(3-12)
rankQc rankB AB A2 B An1 B n
24
rankQc rankB AB A2 B An1 B n
25
【例3-5】动态系统的状态方程如下，试判断其能控性。
0 0 x a 0 1 0 a1 0 0 0 u 1 x a2 1
解
2
本章首先介绍能控性与能观测性的概念及定义，在此基础上，介绍判别系统能控性与能观测性的准则，及如何通过线性非奇异变换将能控系统和能观测系统的状态空间表达式化为能控标准型与能观测标准型。然后介绍能控性与能观测性之间的对偶关系、能控性及能观测性与传递函数的关系，以及如何对不能控和不能观测系统进行结构分解。再后，讨论线性离散系统的能控性与能观测性问题。本章最后介绍MATLAB在系统能控性与能观测性分析中的应用。
13
2.系统能观测对于式（3-10）所示线性时变连续系统，如果指 t f > t0 ，定初始时刻t0 Td ，存在一个有限时刻 t f Td ， t [t 0 , t f ] 对于所有，系统的输出 y(t)能惟一确定 t 0 时 t0 时 x0 刻的任意非零的初始状态向量，则称系统在刻状态是完全能观测，简称系统能观测。如果系统对于任意均是能观测的（即系统的能观测性与初 t0 Td t0 Td 始时刻的选取无关），则称系统是一致完全能观测。

线性系统理论第4章线性系统的能控性和能观测性

解??33112201112?????????????????kckcrankqhgghhq系统是能控的2u1011u1210u3214122223xhugx??????????????????????????????????????????????????582145令03x?????????????11?????????????????????????????????????????????????852u1u0u41222u1u0u101121321若令02x????????????????????????????????0621u0u101121无解
满秩，即rankQ o=n
结论5
n 维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：
SI A rank n S C C
或
i I A 为系统特征值 rank n , 1 , 2 ,n C
Wc [0, t1 ] e At BBe A t dt
T

t1
0
为非奇异。
结论3：n 维连续时间线性时变系统 x A(t ) x B(t )u x(t 0 ) x0
设A(t),B(t)对t为n-1阶连续可微，定义
t, t0 J
M 0 (t ) B (t ) d M 0 (t ) dt d M 2 (t ) A(t ) M 1 (t ) M 1 (t ) dt d M n 1 (t ) A(t ) M n 2 (t ) M n 2 (t ) dt M 1 (t ) A(t ) M 0 (t )
6/8,9/45
1 L QC [b, Ab] 0
R3 R4 1 R1 R2 2 L R1 R2 R3 R4 1 R2 R4 LC R1 R2 R3 R4

第6章线性系统的能控性和能观性(第四章)

ˆ y = [ 0 L 0 1] x
1 α n −1 L α1 CAn −1 O O M M Q= O α n −1 CA 1 A
给定完全能观测单输入单输出连续时间线性时不变系统：例 4.21 给定完全能观测单输入单输出连续时间线性时不变系统：
ϕ T = BT (t )ψ T
对偶原理：对偶原理：
Σ 完全能控 ⇔ Σ d完全能观测 Σ 完全能观测 ⇔Σ d完全能控
4.8 能控规范形和能观测规范形
单输入单输出情形能控规范形
Σ:
& x = Ax + Bu,
y = Cx
线性非奇异变换下，能控性、能观测性，线性非奇异变换下，能控性、能观测性，可控指数、可控指数集，能观测指数和能观测可控指数、可控指数集，指数集保持不变。指数集保持不变。
4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据
& x = Ax + Bu, x (0) = x0 ,
t≥0
系统完全能控的充分必要条件为：系统完全能控的充分必要条件为：
rankQC = rank B
例：
AB L An −1 B = n
4 0 1 & x = x + u 0 −5 2
t∈J
说明: 说明:
表征系统状态可到达任意目标的定性属性， (1) 表征系统状态可到达任意目标的定性属性，不关注运动的轨迹形态；不关注运动的轨迹形态；对控制无限制； (2) 对控制无限制； (3) 线性时不变系统与 t0 无关；无关；线性时不变系统能控性与能达性等价。 (4) 线性时不变系统能控性与能达性等价。系统完全能控/能达：系统完全能控/能达：指所有非零状态系统不完全能控/能达：系统不完全能控/能达：

现代控制工程-第5章能控性和能观性分析

传递函数判据
如果系统的传递函数的极点和零点都位于复平面的左半部分，则该系统是能控的。
能控性的应用
系统设计和ห้องสมุดไป่ตู้化
在系统设计和优化过程中，能控性分析可以帮助确定系统的可控性和可观性，从而更好地选择和设计控制器和观测器。
控制性能评估
通过能控性分析，可以对系统的控制性能进行评估和比较，从而选择更优的控制方案。
现代控制工程-第5章能控性和能观性分析
目录
• 能控性分析 • 能观性分析 • 能控性和能观性的关系 • 系统设计中的能控性和能观性 • 现代控制工程其他章节概述
01
能控性分析
定义与概念
能控性定义
对于一个给定的线性时不变系统，如果存在一个状态反馈控制器，使得系统的任何初始状态都能通过该控制器在有限的时间内被控制到任意指定的状态，则称该系统是能控的。
快速性
系统应具有快速的响应能力，以便在短时间内达到设定值或消除外部扰动。
准确性
系统应具有高精度的输出，以满足各种控制要求和保证产品质量。
可靠性
系统应具有高的可靠性和稳定性，以确保长期稳定运行和减少故障率。
系统设计中的能控性和能观性考虑
能控性考虑
在系统设计中，需要考虑系统的能控性，即能否通过输入信号控制系统的输出状态。对于不能控制的系统，需要采取措施进行改进或重新设计。
描述
分解性是控制系统分析中的一个重要性质。在大型复杂系统中，如果系统具有分解性，那么我们可以将系统分解为若干个子系统，分别对子系统进行能控性和能观性分析，从
而简化系统分析和设计的难度。
04
系统设计中的能控性和能观性
系统设计的基本原则
稳定性

第 11 讲能控性和能观测性

• 格拉姆（Gram）矩阵判据
连续时间线性时不变系统{A,B}为完全能控的充分必要条件为，存在时刻tf>0, 使格兰姆矩阵非奇异。
W (0, t f ) e
0
tf
At
BB e
T
AT t
dt
e At B 的n个行在t∈[0，tf]上或等价地，矩阵线性无关。 11
Jørgen Pedersen Gram (June 27, 1850 – April 29, 1916)
2 4 0 0 1 0 2 Qk B AB A B 1 1 5
rank (Qk ) 3
故此系统的状态完全可控。
18
特征值规范型判据
1 0 x 0
0
2
0
0 b1 x Bu b 0 2 n b 3

29
具有约当规范形状态方程的线性时不变系统完全能控的充要条件是，对于每一个i=1,2, … , l,由Bik(k=1,2, … , α) 的最后一行组成的α×p矩阵
bri1 bri 2 bri
2
11.1 能控性和能观性的定义
u1 u2 up
y1
x1,x2, xn
y2 yq
能控性研究系统内部状态是否可由输入影响能观性研究系统内部状态是否可由输出反映
3
例子 4 0 1 x x u y 0 5 2
0
6 x
x1 4 x1 u x2 5x2 2u
状态可由输入影响
y 6 x2
状态不能由输出完全反映
4
1
x1

能控性与能观性

通过以上分析的一下几点结论： 1. 系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b。 2.在A为对角线型矩阵的情况下，如果b的元素有为0的，则与之相应的一阶标量状态方程必为齐次微分方程，而与u(t)无关；这样，该方程的解无强制分量，在非零初始条件时，系统状态不可能在有限时间tf内，衰减到零状态，从状态空间上说，xT=[x1 x2 ....xn]T是不完全能控的。 3.在A为约旦标准矩阵的情况下，由于前一个状态总是受下一个状态的控制，故只有当b中相应于约旦块的最后一行的元素为零时，与其相应的为一个一阶标量齐次微分方程，而成为不完全能控的。
根据能控性定义，对任意的初始状态矢量x(t0)，应能找到u(t)，使之在有限时间 tf>t0内转移到零状态[x(tf)=0]。令t=tf，x(tf)=0，得
Φ (t f t0 ) x (t0 ) Φ (t f )bu( ) d
即
x (t0 ) Φ (t0 )bu( ) d
x (t0 ) [b
Ab
0 1 A2b An 1b] n 1
要使系统能控，则对任意给定的初始状态x(t0)，应能从式(3-21)解出ɤj来，因此，必须保证
M [b
Ab
A2b An 1b]
其秩必须等于n。判据得证。在单输入系统中，其传递函数阵为
转换成约旦标准型的判别方法
线性时不变系统的A为对角线矩阵
x (t0 ) x0 c11 c12 c c22 21 C c m1 cm 2 c1n c2 n cmn
y Cx
0 1 2 A Λ 0 n
2.2 直接从A与B判别系统的能控性单输入系统

线性系统的能控性和能观性

例3.4 判断下列系统的能控性
(1)、A
2
0
0 1 1, B 0
(2)、A
2
0
0 1 1, B 1
(3)、A
1
0
01B
1 1
3 1 0 0 0
(4)、A
0
3 0, B 2 1
0 0 1 0 3
4 1 0 0
(5)、A
0
4
0 , B 1
0 0 4 2
所以A为约旦阵，但有两个相同特征值的约旦块对应b虽为最后一行全为0的元素行，仍不能控，可算出rank[M]<3.
,t0)
tf t0
(
t
f
, )B()u()d
x(t0 )
tf t0
(
t
0
,
)B()u
()d
意义：系统状态x(t0)能控，即[t0,tf]区间上受 u(t)控制。
（三）能控性判据 [定理3.1]系统∑(A(t),B(t),C(t))在t0时刻或[t0,tf]
完全能控的充要条件是矩阵Φ(t0,t)*B(t)是行线性无关的（满秩的、非奇异的）
例：x
1
0
-
-
02x 10u, y 1 1x
分析： 1、x1与输入u无关，不能控，x2能控， x1, x2不完全能控。 2、y= x1+ x2 , x1或x2 都能对y产生影响，通过y能确定x1或x2 ，能观测。
3、能控能观是最优制和最优估计的设计基础。
3.1 线性连续系统的能控性
)d
x(t f ) (t f )x(0) 0t f (t f )B( )u( )d x(0) 0t f ( )Bu( )d

现代控制理论第3章能控性和能观测性ppt课件

1 2
解:计算
G1
0
2
0 4
2 4
2G1
0
4
1 10
故 S2 G1 G1
0 0 2G1 0 1
1 0
1 2 0 2 0 4
2 4 0 4 1 10
显见由前三列组成的矩阵的行列式
0 0 1 det 0 1 0 0
1 0 0
故rank S2 3，系统可控。
S2 G2 G2
0 1 2G2 0 0
任意初态x0转移到xn 0 。
方程(3-11)的解为： k 1
x k kx 0 k1iGu i
i0
(3-12)
令 k n，，且两端左乘 n得：
n1
x 0 1iGu i
i0
1Gu 0＋2Gu 1 nGu n 1
1G 2G
u0
nG
பைடு நூலகம்
u 1
u n 1
令
S1 1G 2G nG
1 0
1 －2 00 01
显见出现全零行，rankS2 2 3 ，故不能控。
2 3 0 0 1 －2
多输入系统能控阵 S2，其行数小于列数，在计算列写能控阵时，若有显时见可通过矩计S阵2算的秩为Sn的2，秩S便T2 是不否必为把n来判矩断S阵2多的输所入有系列统都的写能出控。性。这只是需因计为算，一当次n阶非行奇列S异式2 时即，可确定能必S控非2 性奇ST2，异但，在而计算为S方2 S阵T2 ，
解 rank S1 rank g g 2g rank 2 2 2 1 3
故不能控。
1 1 1
关于研究单输入离散系统状态可控性的方法可推广到多输入系统。设系统状态方程为：
xk 1 xk Guk

现代控制理论-4-线性系统的能控性和能观测性-第7讲

能控性的定义
能控性是指对于一个线性系统，如果存在一个控制输入，使得系统状态能够在有限的时间内从任意初始状态转移到任意目标状态，则称该系统为能控的。
能控性的判断依据是系统的能控性矩阵，如果该矩阵满秩，则系统能控。
能观测性的定义
能观测性是指对于一个线性系统，如果存在一个观测器，能够通过系统的输出测量并估计出系统的所有状态，则称该系统为能观测的。
传递函数判据
对于线性时不变系统，如果传递函数的零点和极点个数满足一定条件，则系统能观测；否则系统不能观测。
03
能控性和能观测性的应用
在控制系统设计中的应用
系统性能分析
通过分析系统的能控性和能观测性，可以评估系统的稳定性和动态性能，从而优化系统设计。
控制器设计
在控制器设计中，需要考虑系统的能控性和能观测性，以确保控制器能够有效地控制系统的状态并观测系统的状态。
初始状态和目标状态
系统初始和目标状态的定义，以及它们对最优控制策略的影响。
最优控制问题的求解方法
动态规划
将最优控制问题分解为一系列子问题，通过求解子问题的最优解逐步逼近原问
题的最优解。
极大值原理
通过求解极值条件来找到最优控制输入，适用于具有特定性能指标的最优
控制问题。
线性二次调节器
通过最小化状态和控制输入的二次范数来求解最优控制问题，适用于线性二次最优控制问题。
现代控制理论-4-线性系统的能控性和能观测性-第7讲
目录
• 线性系统的能控性和能观测性的定义
• 能控性和能观测性的判定方法 • 能控性和能观测性的应用 • 线性系统的状态反馈和状态观测
器设计
目录
• 线性系统的最优控制问题 • 现代控制理论的发展趋势和前沿