C能控性与能观性

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线性系统的能控性与能观性-问题的提出
RC RC
duc2 (t) dt
duc1 (t) dt
u(t) u(t)
uc1 uc2
(t) (t)
2RC 2RC
duc1 (t) dt
duc2 (t) dt
取：x1(t) uc1 (t) x2 (t) uc2 (t)
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线性系统的能控性与能观性-问题的提出
例1
(1)求系统状态空间表达式
1 R
(u(t)
uc1
(t)
RC
duc1 (t) dt
)
C
duc1 (t) dt
C
duc2 (t) dt
1 R
(u(t)
uc2
(t)
RC
duc2 (t) ) dt
C
duc1 (t) dt
C
duc2 (t) dt
1
(t
) 2 2 (t)
2
(t
)
1
(t
2
)
(t)
2
2
(t
)
2 4 3 0 1 1, 2 3
1 2
et et
e3t e3t
et et
e3t e3t
化有限项
12
(t) (t)
11
1 3
1
et e3t
3 et 1 e3t
2 1
et
2 1
e3t
2 2
求t0 0, x(t0 ) 0时状态方程 的解：
1：一般教材的能控性定义中x f 0；而从零状态出发可以到达任
意非零状态的系统称为能达；
2：对输入量u几乎没有限制，系统状态轨线也不唯一；
3：对某一个x0 , 如果存在u使系统能在有限时间内转移到任意指定 的状态，称状态x0能控。
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线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性
– 如果有这样的系统，如何描述？ – 如果有这样的系统，如何判断？ – 不能任意控制的系统是否部分能控？
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线性系统的能控性与能观性-问题的提出
例2
取：x1 iL1 x2 iL2
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x
2 1
12x 10u
y
1
1x
6
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线性系统的能控性与能观性-问题的提出
e At
1 2
e e
t t
e3t e3t
et et
e3t e3t
当u 0时，x(t) eAt x(0)
y(t) cx(t) 1
1
1 2
et et
e3t e3t
e3t e3t x0
x1(0) x2 (0)e3t
et et
e3t e3t
x0
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使得：0 x f
t f e A(t f ) Bu( )d
0
t f e A(t f ) Bu( )d 0
T [ t f eA(t f )Bu( )d ]T 0 0
x(t) eAt x0
t e A(t )bu( )d
0
11
t 0
et u(
)d
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线性系统的能控性与能观性-问题的提出
• 结果：无论u(t)是什么，都会有x1(t)=x2(t)； • 提出问题：
– 系统是否可以在控制的作用下从任意状态出发到达 任意指定的状态？
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线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性
一、线性定常系统能控性定义
讨论系统:xy
Ax Cx
Bu
能控性
x
Ax
Bu.or.(A,
B)
定义1：称线性定常系统 ( A, B)能控，如果状态空间中 任意的初始状态
x(0) x0，及任意的终点状态 x f ,都存在输入 u(t)使得系统在有限时间 内从x0转移到x f。否则称系统 ( A, B)不能控。 注：
第四章 线性系统的能控性与能观性
① 能控性与能观性问题的提出； ② 线性定常系统的能控性及其判据； ③ 线性时变系统的能控性及其判据； ④ 线性离散系统的能控性及其判据； ⑤ 线性系统的能观性及其判据； ⑥ 对偶系统与对偶原理； ⑦ 能控与能观规范型； ⑧ 线性定常系统的结构分解； ⑨ 传递函数矩阵的实现。
线性系统的能控性与能观性-问题的提出
• 结果： 只要x1(0)-x2(0)=a(常数)，系统的输出y(t)相 同；
• 提出问题：
– 是否可以通过系统的输出确定系统的初始状态？ – 如果有这样的系统，如何描述？ – 如果有这样的系统，如何判断？ – 是否可以通过系统的输出确定系统部分状态？
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量 0
使得： TWc (t f ) 0 T
e BB e d t f A(t f )
T AT (t f )
0
tf
B eT AT (t f )
2
d
B eT AT (t f )
0.or. T e A(t f ) B 0
0
( A, B)能控，取x0 eAtf , x f 0,则必存在u(t)
二、能控性判别
结论1：系统( A, B)能控的充要条件是如下 定义的n n矩阵Wc (t) (Gram矩阵)，t f 0使得Wc (t f )是非奇异的。
Wc (t) ˆ
t e A BB Te AT d t e A(t ) BB Te AT (t )d
0
0
证明：1wc (t)非奇异 ( A, B)能控
3R 3R
C C
duc1 dt duc2 dt
2uc1 uc2 u uc1 2uc2 u
系统状态空间表达式
x
2 1
Байду номын сангаас12x 11u
y
0
1x
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线性系统的能控性与能观性-问题的提出
(2)求系统状态转移矩阵
det(I
A)
det
2
1
1
2
e At 1(t)I 2 (t) A
对任意的 x0和x f 取：u(t) BT e AT (t f t)Wc1(t f )[e At f x0 x f ]
x(t f ) eAtf x0
t f e A(t f ) Bu( )d
0
e Atf x0
tf 0
e A(t f
BB e )
T AT (t f
)Wc1(t f
)[e At f
x0
xf
]d
e At f x0 e At f x0 x f x f
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线性系统的能控性与能观性-定常系统的能控性
2( A, B)能控 Wc (t)非奇异(反证法)
设( A, B)能控，但t f 0, st.Wc (t f )奇异。则存在不全为零的n维列向