2004年安徽省高中数学竞赛_初赛试卷及解析

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2004年安徽省普通高中理科实验班招生考试数学试卷

2004年安徽省普通高中理科实验班招生考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（每小题10分，共50分）1．C 2．B 3．C 4．D 5．B二、填空题（每小题8分，共40分）6．1684 7．7 8．－1＜b a -＜5 9．a ＞－1且a ≠010．35534+-=x y三、解答题（每小题15分，共60分）11．（本题满分15分）解（1）如图1，最多有10个交点； ……………………（4分）图1 图2（2）可以有4个交点，有3种不同的情形，如图2． ……（10分）（3）如图3所示． …………………（15分）图312．（本题满分15分）解：设甲库原来存粮a 袋，乙库原来存粮b 袋，依题意可得90)90(2+=-b a ．（1）再设乙库调c 袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即)(6c b c a -=+．（2） ………………（5分）由（1）式得2702-=a b ．（3）将（3）代入（2），并整理得1620711=-c a ． ………………（10分）由于7)1(42327162011++-=-=a a a c ．又a 、c 是正整数，从而有7162011-a ≥1，即a ≥148；并且7整除)1(4+a ，又因为4与7互质，所以7整除1+a ．经检验，可知a 的最小值为152．答：甲库原来最少存粮153袋． …………………（15分）13．当点P 运动时，CD 的长保持不变． …………………（4分）证法一：A 、B 是⊙O 1与⊙O 2的交点，弦AB 与点P 的位置无关．……（6分）连结AD ，∠ADP 在⊙O 1中所对的弦为AB ，所以∠ADP 为定值． ……………（10分） ∠P 在⊙O 2中所对的弦为AB ，所以∠P 为定值． ……………（12分）因为∠CAD ＝∠ADP ＋∠P ，所以∠CAD 为定值．在⊙O 1中∠CAD 所对弦是CD ，∴CD 的长与点P 的位置无关．………（15分）证法二：在⊙O 2上任取一点Q ，使点Q 在⊙O 1外，设直线QA 、QB 分别交⊙O 1 于C ＇、D ＇，连结C ＇D ＇．∵ ∠1＝∠3，∠2＝∠3，∠1＝∠2，∴ ∠3＝∠4． …………………（10分）∴ CC ＇＝DD ＇∴ C ＇mD ＇＝CmD∴ CD ＝CD ． …………………（15分）14．（本题满分15分）解法1（1）① 当t ＜0时，OQ ＝t -，PQ ＝221+-t ． ∴ S ＝t t t t -=+--⋅241)221)((21； ② 当0＜t ＜4时，OQ ＝t ，PQ ＝221+-t ． ∴ S ＝t t t t +-=+-⋅241)221(21； ③ 当t ＞4时，OQ ＝t ，PQ ＝221)221(-=+--t t ． ∴ S ＝t t t t -=-⋅241)221(21． ④ 当t ＝0或4时，S ＝0。

安徽高二高中数学竞赛测试带答案解析

安徽高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．3.下列命题中是假命题的是（）A．对任意，B．对任意，C．存在，使D．存在，使4.在中，角，，的对边分别为，，，若，则等于（）A．B．C．D．5.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）A．1B．2C．4D．86.若是实数，则“且”是“对任意，有”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7.设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．8.变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解不唯一，则实数的取值集合是（）A．B．C．D．9.定义:数列前项的乘积.已知列的通项公式为，则下面的等式中正确的是（）A．B．C．D．10.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线有（）条A．0B．1C．2D．无数个11.若直线过点，则的最小值等于（）A．5B．C．6D．12.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点.若的中点坐标为，则的方程为（）A．B．C．D．二、填空题1.不等式的解集为__________．2.在正四面体中，，，则异面直线和所成角的余弦值为___________．3.在中，，，的面积为，则的外接圆的半径为__________．4.设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为_________．三、解答题1.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域；（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.2.解关于的不等式组.3.在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且. （1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.4.已知数列的前项和为，且.（1）若数列是等比数列，求的取值；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和.5.如图，为等腰梯形的底边的中点，，将沿折成四棱锥，使.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.6.已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）若，求直线的方程；（3）已知为原点，求证：为定值.安徽高二高中数学竞赛测试答案及解析一、选择题1.已知命题“若，则”为真命题，则下列命题中一定为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】命题“若，则”是真命题，则根据逆否命题的等价性可知：命题“若，则”是真命题，故选C.2.双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】双曲线的，，可得渐近线方程为，即有，故选B.3.下列命题中是假命题的是（）A．对任意，B．对任意，C．存在，使D．存在，使【解析】因为，故其最大值为，所以存在，使不正确，故选D.4.在中，角，，的对边分别为，，，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由正弦定理可得，即，所以，解得，故选D5.公比为2的等比数列的各项都是正数，且，则（）A．1B．2C．4D．8【答案】A【解析】由题意可得，解得，∴，故选A.6.若是实数，则“且”是“对任意，有”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若且，则对任意，有，反之，则不一定成立．如，且时，也有对任意，有．故“且”是“对任意，有”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题是命题的充分不必要条件；②若为假命题且为真命题，则命题是命题的必要不充分条件；③若为真命题且为真命题，则命题是命题的充要条件；④若为假命题且为假命题，则命题是命题的即不充分也不必要条件．⑤判断命题与命题所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题与命题的关系.7.设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵点在椭圆上，线段的中点在轴上，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故选A.8.变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解不唯一，则实数的取值集合是（）A．B．C．D．【解析】不等式对应的平面区域如图：由得，若时，直线，此时取得最大值的最优解只有一个，不满足条件．若，则直线截距取得最大值时，取的最大值，此时满足直线与平行，此时，解得．若，则直线截距取得最大值时，取的最大值，此时满足直线与平行，此时，解得，综上满足条件的或，故实数的取值集合是，故选B.点睛：本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，结合取得最大值的最优解有无穷多个，利用结合数形结合是解决本题的根据；作出不等式组对应的平面区域，利用取得最大值的最优解有无穷多个，得到目标函数的对应的直线和不等式对应的边界的直线的斜率相同，解方程即可得到结论.9.定义:数列前项的乘积.已知列的通项公式为，则下面的等式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴∴，，故不正确；，，故不正确；，，故C正确；，，故不正确；故选C.10.已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点，则与平面垂直的直线有（）条A．0B．1C．2D．无数个【答案】B【解析】设正方体的棱长为2，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，设，则，设，则，∴，∵直线与平面垂直，∴，解得，∵方程组只有唯一的一组解，∴与平面垂直的直线有1条，故选B.11.若直线过点，则的最小值等于（）A．5B．C．6D．【答案】C【解析】∵直线过点，∴，∴，∵，∴，，，当且仅当时，等号成立，故选C.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．12.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于两点.若的中点坐标为，则的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，代入椭圆方程得，相减得，∴，∵，，．∴，化为，又，解得，．∴椭圆的方程为，故选C.点睛：点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程，还可用于求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题等.二、填空题1.不等式的解集为__________．【答案】【解析】∵，∴原不等式等价于，其解集为，故答案为.2.在正四面体中，，，则异面直线和所成角的余弦值为___________．【答案】【解析】在正四面中，设向量，，，则三个向量两两夹角为，设正四面体的棱长等于1，且，，，则∵中，，，∴，，，，∵，∴，即直线和所成角的余弦值为，故答案为.3.在中，，，的面积为，则的外接圆的半径为__________．【答案】2【解析】由，，得到，解得，根据余弦定理得：，解得，根据正弦定理得：（为外接圆半径），则，故答案为.点睛：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题；由度数和的值，利用三角形的面积公式表示出三角形的面积，让等于即可求出的值，由及的值，根据余弦定理即可求出的值，然后由和的值，再利用正弦定理即可求出三角形外接圆的半径.4.设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为_________．【答案】10【解析】∵，∴取最小值为1，取最大值为2．所以最大值，又∵，即最小值，所以，故答案为.三、解答题1.某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示：（1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域；（2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润.【答案】（1）见解析; （2）18.【解析】（1）根据每天生产甲乙两种产品分别为，吨，然后根据题目条件建立约束条件，列出不等式组即可；（2）根据（1）中的约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出的最大值.试题解析：（1）由题意可列，其表示如图阴影部分区域：（2）设该企业每天可获得的利润为万元，则.当直线过点时，取得最大值，所以.即该企业每天可获得的最大利润18万元.2.解关于的不等式组.【答案】①当时，不等式组的解集为；②当时，不等式组的解集为；③当时，不等式组的解集为；④当时，不等式组的解集为；⑤当时，不等式组的解集为.【解析】依据指数函数的单调性将不等式转化为，分为，和三种情形得其解；由于对应的两个零点为，应比较两零点的大小，结合第一个不等式，故而应分为，，，，五种情形.试题解析：由，得，当时，；当时，不存在；当时，；由，得.①当时，，又，所以原不等式组的解集为；②当时，，又，所以原不等式组的解集为；③当时，，又，所以原不等式组的解集为；④当时，，又不等式的解集为，所以原不等式组的解集为；⑤当时，，又，所以原不等式组的解集为；点睛：本题主要考查了分类讨论思想在解不等式中的应用，解题的关键是做到不重复不遗漏，确定讨论的标准；对于，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不变，同时除以一个负数不等号改变的性质，故对其分为，和三种情形；对于含有参数的一元二次不等式，按照以下三种情形进行分类：1、二次项系数的符号；2、对应函数零点的个数；3、对应函数零点的大小进行比较.3.在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且. （1）求角的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）依据向量平行的坐标运算公式，利用正弦定理将边化为角，故可转化为，再根据三角形内角和以及诱导公式可得，故得；（2）余弦定理和基本不等式相结合可得面积最值.试题解析：（1）由得，，由正弦定理可得，，，，，又，.（2）的面积.由已知及余弦定理，得.又，故，当且仅当时，等号成立.因此面积的最大值为.4.已知数列的前项和为，且.（1）若数列是等比数列，求的取值；（2）求数列的通项公式；（3）记，求数列的前项和.【答案】（1）;（2）;（3）.【解析】（1）结合由已知等式易得递推式，可得，，的值，由等比数列的性质可得的值；（2）结合（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式；（3）由（2）得，利用裂项相消法得其前项和.试题解析：（1）由，得，当时，，即，所以，，依题意，，解得.（2）有（2）知，所以，又因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以.（3）由（2）知，则.点睛：本题主要考查了等比数列的概念及其构造，等式以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等.5.如图，为等腰梯形的底边的中点，，将沿折成四棱锥，使.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析; （2）.【解析】（1）取的中点为，由已知得，，从而面，由此能证明平面平面；（2）以为原点，，，分别为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.试题解析：（1）证明：由题意可得为等边三角形，取的中点为，则，，，，又，，面，又，所以平面平面.（2）如图建立空间直角坐标系，则，，，设面的法向量为，面的法向量，由，即，取，则，，；由，即，取，则，，，，所以二面角的余弦值为.6.已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（1）求抛物线方程及其焦点坐标，准线方程；（2）若，求直线的方程；（3）已知为原点，求证：为定值.【答案】（1），，;（2）或;（3）为定值.【解析】（1）将代入，得，由此能求出抛物线方程和焦点坐标；（2）设，及直线的方程，联立方程组结合韦达定理得，，由即，代入得的值，故可得其直线方程；（3）设，，写出直线的点斜式方程，将代入得，同理可得，利用整体代换思想得可得结果.试题解析：（1）将代入，得，所以抛物线方程为，焦点坐标为，准线方程为.（2）设，，设直线方程为，与抛物线方程联立得到，消去，得：，则由韦达定理得：，.由得，，又，，所以，，所以，，所以，，解得，所以，所求直线方程为或.（3）设，，直线的方程为：，即，令，得，同理可得：，又，，.所以，即为定值.。

2003年安徽省高中数学竞赛初赛

b 4 8n n1 2 n 1 2 32003 年安徽省高中数学竞赛(初赛)一、选择题(每小题 6 分 ,共 36 分)的取值范围是.1. 定义 : A - B = { x | x ∈A 且 x | B } . 若 M = { x | 1 ≤x ≤2 002 , x ∈N + } , N = { y | 2 ≤y ≤2 003 , y ∈8. 在(4 x215- 2 x - 5) 1 +x2的展开式中 ,常数N + } ,则 N - M 等于() . (A ) M (B ) N(C ) {1}(D ) {2 003}2. 函数 f ( x ) = - ( cos x ) lg | x | 的部分图像是 () .图 1项为 .9. 设 n 为不超过 2 003 的正整数. 如果有一个角 θ使得( s in θ+ i cos θ) n = sin n θ+ i cos n θ成立 ,则这种 n 的总个数为.10. 三位数中 ,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小 ,则称这个数为凹数 ,如 504 、746 等都是凹数. 那么 ,各个数位上无重复数字的三位数中凹数共有个.11. 已知 a = (cos α,sin α) , b = (cos β,sin β) , a和 b 之间有关系式| k a + b | = 3| a - k b | ,其中 k >0. 则 a ·b 的最小值为 .12. 已知 x 、y 、z 均为正整数. 则方程 x + y + z =15 有组解.三、解答题(每小题 15 分 ,共 60 分) 13.设 a ∈R , 函数 f ( x ) = ax 2 + x - a (| x | ≤1) .(1) 若| a | ≤1 ,试证 :| f ( x ) | ≤5;3. 若不等式 + ≤m 4a 2 +b 2 对所有正实(2) 求使函数 f ( x ) 有最大值17的 a 的值.数 a 、b 都成立 ,则 m 的最小值是() . x2 2≤ ≤3(A ) 2(B ) 2(C ) 2 4(D ) 4 14. 已知 A ( 5 , 0) 和曲线 4 - y= 1 ( 2x4. 曲线 2 x 2 - xy - y 2 - x - 2 y - 1 = 0 和 3 x 2 - 4 xy + y 2 - 3 x + y = 0 的交点有() 个. 2 5 , y ≥0) 上的点 P 1 , P 2 , , P n . 是否存在 n ,使得| P A | ,| P A | ,,| P A | 成等差数列 ,且公差 d ∈(A ) 2 (B ) 3(C ) 4(D ) 无穷多5. 设 0 < a < 1. 若 x 1 = a , x 2 = a x 1 , x 3 = a x 2 , x 41 ,15 5 ? 若存在 ,求出 n 可取的所有值 ; 若不存= a x 3 ,, x = axn - 1 , ,则数列{ x } () .(A) 递增 (B ) 奇数项增 ,偶数项减 (C ) 递减(D ) 偶数项增 ,奇数项减6. 在边长为 1 的正方体 C 内 ,作一个内切大球O 1 ,再在 C 内的一个角顶内 ,作小球 O 2 ,使它与大球外切 ,同时与正方体的三个面相切. 则球 O 2 的面积为 ( ) .(A ) (7 - 4 3)π(B ) (7 + 4 3)π(C ) 2 - 3π(D ) 2 + 3π在 ,说明理由. (取 5 = 2124)15. 某市 A 有 4 个郊县( B 、C 、D 、E ) ,如图 2. 现有 5 种颜色 ,问有多少种不同的着色方法 ,使得相邻两块不同色 ,且每块只涂一种颜色 ?22图 2图 3二、填空题(每小题 9 分 ,共 54 分)7. 若直线 y = x + k 与曲线 x =1 - y 2恰有一16. 如图 3 , △ABC 的外接圆圆心为 O ,以 △ABC各边为对称轴 ,求得 O 的三个对称点 O 、O 、O . 现 aa 将各点均擦去 ,仅保留 O 1、O 2、O 3,试根据这三个点重新作出 △ABC . 2 3 r + r +12 = BD ′=3 .r =2 - 3,4πr 2 = (7 - 4 3)π. 2( ) x 2 ≥ kk ≥214 xx则又 24 ≥ 2004 年第 3 期 31一、1. D.2. A.参考答案2二、7. k = - 2 或 k ∈( - 1 ,1 ] . 8.15.首先 , f ( x ) 为偶函数 ,故图像关于 y 轴对称 ,排除(B ) 、(D ) . 再看图像和 x 轴都有交点 ,图像与 x 轴原式 = (4 x 2 - 2 x - 5) 1 +5 + 10 + .xx正方向的第一个交点为(1 ,0) ,第二个为 π,0 . 取所以 ,展开式中常数项为( - 5) ×1 + 4 ×5 = 15.9. 501.3 x = 2 , f 32 = - cos3 lg 32 2< 0. 32( s in θ+ i cos θ) n = [ i (cos θ- i sin θ) ] n= i n[ cos ( - θ) + i sin ( - θ) ] n 1 ,π2,则排除(C ) .= i n(cos n θ- i sin n θ) = i n - 1 ( s in n θ+ i cos n θ) . 如果 i n - 1( s in nθ+ i cos n θ) = sin n θ+ i cos n θ,则 3. C.≤≤in - 1= 1. 于是 , n = 4 k + 1 ≤2 003 , k ( k ≥0) 为整数.因为 + .故符合条件的 n 的个数为 + 1 = 501.当且仅当 a = b 时等号成立. 3 3 所以 , m 24,即 m 的最小值为 2 4. 4. D.2 x 2 - xy - y 2 - x - 2 y - 1 = 0 , 即2 x + y + 1 = 0 或 x - y - 1 = 0.3 x 2 -4 xy + y 2 - 3 x + y = 0 , 即3 x - y = 0 或 x - y - 1 = 0.所以 ,已知两曲线都可以退化成两直线 ,且有一对直线重合. 故两曲线有无穷多个公共点.5. B.10. 240.当十位数为 0 时 ,符合条件的凹数有 9 ×8 个 , 当十位数为 1 时 ,符合条件的凹数有 8 ×7 个 ,当十位数为 7 时 ,符合条件的凹数有 2 ×1 个 , 共有 72 + 56 + 42 + 30 + 20 + 12 + 6 + 2 = 240 个.11. 1.2由 | k a + b | 2 = ( 3| a - k b | ) 2得 8 k a ·b = (3 - k 2 ) a 2 + (3 k 2 - 1) b 2 .(1) x 1 = a 1 , x 2 = a x 1 , 因 1 > a , 则 a 1 < a x 1 , x 1 < x 2 . 1x 0x故 a ·b = (3 - k 2 ) a 2 + (3 k 2 - 1) b 2 .(2) x 1 = a , x 3 =a 2,1 = a, x 2 = a 1. 而 0 < x 1 ,8 k则 1 > a 1 . 于是 , a < a 2 , x 1 < x 3 .因为 a = (cos α,sin α) , b = (cos β,sin β) ,所以 ,依此类推得 x 1 < x 3 < x 5 <.a 2 = 1 ,b 2= 1 , a ·b = k 2 + 1 4 k . x 2x - x3 = a 1 3 > a = 1 , 则 x 24 > x 4 .2+ 1 2 1 因为 k > 0 , k + 1 2 k ,则= . 依此类推得 x 2 > x 4 > x 6 . 故数列{ x n }奇数项增 ,偶数项减.6. A.4 k 所以 , a ·b 的最小值为 1.12. 91.4 k 2 如图 4 所示 , 设球O 2 的半径为 r , 且设球将 15 写成 15 个 1 ,即 1 + 1 + + 1 = 15 ,其中 14个加号任取 2 个 ,并把这两个加号分隔的 1 合并成 O 2 作在 ∠D ′内. 则 O 1 、一个数得到方程的解 ,故解的个数是 C 2= 91 个.O 2 在对角线 BD ′上. 设∠AD ′B = θ, 则 sin θ = 1 . 在 △D ′EO 中 , D ′O图 4三、13. (1) | f ( x ) | = | ax 2 + x - a |= | a ( x 2 - 1) + x |≤| a ( x 2 - 1) | + | x | ≤| x 2 223 r1= 1 - | x 2 | + | x | = - | x | - 12+ 54 ≤5 .4 =sin θ= 3 r , O 1 O 2 = r + 2. 于是 ,(2) 当a = 0 时 , f ( x ) = x (| x | ≤1) 的最大值是 f (1) = 1 ,与题设矛盾.b2 ( a + b )a 2 +b 2222 003 - 1 41 ∈23 2 5 85 5 4 5 4 3 2 1 2 当 a ≠0 时 , f ( x ) 为二次函数.(i) 当 a > 0 时 ,其开口向上 ,故最大值只能在 x 种颜色中选一种涂这不相邻区域有 C 1种 ,最后余下两种颜色涂两个区域的方法有 P 2种. 根据乘法原理 = - 1 或 x = 1 时取得. 而 f ( - 1) = a - 1 - a = - 1 , 有 C 4·C 1·2·C 1·P 2= 240 种方法.矛盾. f (1) = a + 1 - a = 1 也矛盾.(ii) 当 a < 0 时 ,最大值同样不会在 x = 1 和 x = (3) 用三种颜色. 选三种颜色有 C 3 种方法. A 、B 和 D 、C 和 E 各涂一种颜色有 P 3 种 ,故得 C 3 P 3 = 60- 1 上取得 ,故使得 f ( x ) = ax 2+ x - a (| x | ≤1) 有种方法.35 5最大值17,只能等价于据加法原理 ,共有 120 + 240 + 60 = 420 种.16. ( 1) 如图 6 ,- 1 < - 12 a 1 < 1 ,17 a < - 1,] 2连结 OA 、OC 、O 2 A 、 O 2 C ,则这四条线段f - 2 a = 8 , a < 0( a + 2) a +1 = 08相等 , OAO 2 形. 所以 ,C 是菱 ] a = - 2.14. 因为 d > 0 ,则数列是递增数列 ,故| P 1 A | 为最小 ,| P n A | 为最大.x 2O 2 C AO .同理 , OAO 3 B 也是菱形 , AO O 3 B . 于是 , O B O图 6C . 从而 , BCO O为平行四边如图 5 , 曲线 4- y 2 = 1 ( 2 ≤ x ≤ 2 5 , y ≥0) 为双曲线一部分 , A ( 5 , 0) 是它的右焦点 ,则右准线 l 的方程为 x =4 , e = 5.图 5322 3形 ,故 BC ∥O 2 O 3 .(2) 同理可证 AC ∥O 1 O 3 , AB ∥O 1 O 2 . (3) 由对称性可知OO 2 ⊥AC , OO 1 ⊥BC , OO 3 ⊥AB .则 OO 1 ⊥O 2 O 3 , OO 2 ⊥O 1 O 3 , OO 3 ⊥O 1 O 2 . 可见 O 为 △O 1 O 2 O 3 三条高线的交点.(4) 有了上面的分析 ,可见解法如下 :52 当已知 O 、O 、O 时 ,先作出以它们为顶点的由题意 ,等差数列的第一项为| P 1 A | = 5 - 2 , 第 n 项为| P n A | = 3. 于是 ,有3 = ( 5 - 2) + ( n - 1) d .△O 1 O 2 O 3 三边上的高 ,得交点 O . 然后分别作线段OO 1 、OO 2 、OO 3 的中垂线 ,三条中垂线两两的交点即为 A 、B 、 C .d =5 - 5n - 1 ( n > 1) . (从德兴提供)因为 d ∈ 1, 1 ,故 1 < 5 - 5 < 1 .5 5 5 n - 1 5解得 n ∈(5 5 - 4 ,26 - 5 5) .因为 n 为正整数 ,所以 , n 的最大值为 14.于是 ,当 n ≤14 时 ,这 14 个点中任意连续的 n 个点都能得到等差数列.又因为是等差数列 ,所以 , n ≥3. 因此 , n = 3 ,4 ,5 , ,14.15. 符合要求的涂色方法至少要用三种颜色 ,所以 ,可分三类办法涂色 :(1) 用五种颜色 ,有 P 5= 120 种方法.(2) 用四种颜色. 选四种颜色的方法有 C 4 种. 其中选一种颜色涂 A 有 C 1种 ,剩下 4 块涂三种颜色 , 有且仅有一组不相邻区域涂同一种颜色 ,选一组不相邻区域的方法有 2 种( B 、D 或 C 、E ) ,从余下的本刊 2003 年第 3 、4 期上刊登的题为“函数不动点在解题中的应用”一文 ,与湖南师范大学沈文选老师 1993 年发表在《中学教研》上的 “函数不动点的应用”一文雷同。

2012__安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)

2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一选择题1.如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4AB ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。

这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个。

64862AB C D２.设函数()()lg 101x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( )()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( )4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( )2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 95976.设A B ==001+cos871-cos87 则():A B =...A B C D 22二.填空题7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n为使得nn a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的783660A B C Dn a 为9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个. 10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________ 11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,fx f x f x f f x ==()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________三解答题13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合).1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.14.数列{}n x 由下式确定:112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+,试求[]20072007l g l g .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)15. 设给定的锐角ABC 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxyp x y z++=其中p为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大值时, ,,x y z 的取值.2008年安徽省高中数学联赛初赛试题一、选择题1. 若函数()y f x =的图象绕原点顺时针旋转2π后，与函数()y g x =的图象重合，则（）（A ）()()1g x f x -=- （B ）()()1g x f x -=（C ）()()1g x f x -=--（D ）()()1g x f x -=- 2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（）（A ）椭圆（B ）双曲线的一部分（C ）抛物线的一部分（D ）矩形3.下列4个数中与cos1cos2cos2008+++最接近的是（）（A ）-2008 （B ）-1 （C ）1 （D ）20084.四面体的6个二面角中至多可能有（）个钝角。

2005年安徽省高中数学竞赛初赛试卷及解析

2005年安徽省高中数学竞赛初赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.已知m>1，a=√m+1−√m，b=√m−√m−1．那么，（）．A. a>bB. a<bC. a=bD. a、b的大小与m的取值有关2.在(x2+3x+2)5的展开式中，含x项的系数是（）．A. 160B. 240C. 360D. 8003.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E、F分别在AB1、BC1上（不与线段的端点重合），且AE=BF．那么，下面4个结论：①AA1⊥EF；②A1C1∥EF；③EF∥平面A1B1C1D1；④EF与A1C1异面．正确的是（）．A. ②④B. ①④C. ②③D. ①③4.已知数列11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2005项a2005满足（）．A. 1≤a2005≤2B. 12≤a20050<1C. 0<a2005<12D. a2005>25.若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称这样的正整数为“好数”．那么，所有这样的好数的个数为（）．A. 1013B. 1011C. 1010D. 10016.设集合A={−2,0,1}，B={1,2,3,4,5}，映射f:A→B使对任意x∈A都有x+ f(x)+xf(x)是奇数．则这样的映射f的个数是（）．A. 45B. 27C. 15D. 11第II卷（非选择题）二、填空题7.函数的反函数为y =f −1(x )，y =f (x −1)的图像过点(3,3)．则函数y =f −1(x +2)的图像一定过点______．8.椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，左焦点为F ，且∠ABF =90°．则椭圆的离心率为______．9.在正三棱锥S −ABC 中，M 、N 分别是SB 、SC 的中点．若截面AMN ⊥侧面SBC ，则此棱锥侧面与底面所成的二面角的大小是______． 10.已知集合M ={x |x =limn→∞2n+1−2λn +2n，λ为常数，且λ+2≠0}．则M 的所有元素的和为______． 11.设函数f (x )=4sinx ⋅sin 2(π4+x2)+cos2x ．若|f (x )−m |<2成立的充分条件是π6≤x ≤2π3，则实数m 的取值范围是______．12.若6m+2n +2(m,n ∈N )是一个完全平方数，则所有可能的(m,n )=______．三、解答题13.已知函数2+bx +c (a,b,c ∈R )，当x ∈[−1,1]时，|f (x )|≤1．（1）证明：|b |≤1；（2）若f (0)=−1，f (1)=1，求a 的值．14.已知常数a>0，向量p =(1,0)，q =(0,a )，经过定点M (0,−a )、方向向量为λp +q 的直线与经过定点N (0,a )、方向向量为p +2λq 的直线交于点R ，其中λ∈R ．（1）求点R 的轨迹方程；（2）a=√22，过F (0,1)的直线l 交点R 的轨迹于A 、B 两点，求FA ⋅FB 的取值范围．15.已知在数列{a n }中，a 1=t ，a 2=t 2，其中t >0，x =√t 是函数f (x )=a n−1x 3−3[(t +1)a n −a n+1]x +1(n ≥2)的一个极值点．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若12<t <2，b n =2a nn2(n ∈N +)，求证：1b 1+1b 2+⋯+1bn <2n−2−n2．参考答案1.B【解析】1. 因为a=√m+1+√m，b =√m+√m−1，又√m +1>√m >√m −1>0，则a <b ．2.B【解析】2.在(x 2+3x +2)5的展开式中，要得到含x 的项，则有4个因式取得2，一个因式中取3x 项，故x 的系数为C 54×3×24=240．3.D【解析】3. 如图，作EP⊥AB 于点P ，FQ ⊥BC 于点Q ，联结PQ ．结合题设易知，PE QF ．又PE⊥平面AC ，则PE ⊥PQ ，即四边形PEFQ 是矩形．从而，AA 1⊥EF ，EF ∥平面AC ，即EF ∥平面A 1C 1．故①、③正确．4.C【解析】4.将数列分组{11}，{21,12}，{31,22,13}，{41,32,23,14}，…．设a 2005位于第n 组．由n (n−1)2<2005≤n (n+1)2，解得n =63．所以，a 2005位于第63组中的第2005−63×622=52项．故a 2005=1252=313．5.A【解析】5. 先考察k (2≤k ≤10)位数的好数共有C 10k 个．则共有∑C 10k =∑C 10k −10k=010k=2C 101−C 100=1013个．6.A【解析】6. 当x=−2时，x +f (x )+xf (x )=−2−f (−2)为奇数，则f (−2)可取1，3，5，有3种取法；当x =0时，x +f (x )+xf (x )=f (0)为奇数，则f (0)可取1，3，5种取法；当x=1时，x +f (x )+xf (x )=1+2f (1)为奇数，则f (1)可取1，2，3，4，5，有5种取法．由乘法原理可知，共有3×3×5=45个映射．7.(1,2)【解析】7. 由题意有f −1(3)=2，即f−1(1+2)=2．故过点(1,2)．8.√5−12【解析】8. 由BF 2+AB 2=AF 2，有c 2+b 2+b 2+a 2=(a +c )2．则(c a )2+ca −1=0．解得ca =√5−12． 9.arccos √66【解析】9. 因为面AMN⊥面SBC ，取MN 中点G ，联结AG ，则AG ⊥MN ．取BC 中点D ，联结SD 、AD ，则∠SDA 为所求二面角的平面角．设底面边长为a ，则SA=AD =√32a ．所以，SD =√22a ，GD =√24a ．故cos∠SDA =√24a √32a =√66．10.3【解析】10.当|λ|>2时，x =limn→∞2(2λ)n −2(1λ)n 1+(2λ)n =0；当λ=2时，x =lim n→∞(1−12)=1；当|λ|<2时，x =limn→∞2−2(12)n (λ2)n+1=2．11.(1,4)【解析】11.f (x )=4sinx ⋅1−cos(π2+x)2+cos2x =2sinx (1+sinx )+1−2sin 2x =1+2sinx ．当π6≤x ≤2π3时，|f (x )−m |<2恒成立，即f (x )−2<m <f (x )+2恒成立．故有(f (x )−2)max<m <(f (x )+2)min ．易知f (x )max =3，f (x )min =2．故1<m <4．12.(0,0)，(1,0)，(1,3)【解析】12. 当m≥2，n ≥2时，有6m +2n +2=2(3×6m−1+2n−1+1)，显然，不是完全平方数．下面讨论m ≤1或n ≤1的情况．当m=0时，6m +2n +2=2n +3，由于n ≥2时，2n +3≡3(mod4)，2n +3不可能为完全平方数，故n =0或1，此时，有解(m,n )=(0,0)；当m=1时，6m +2n +2=2n +8，由于n ≥4时，2n +8=8(2n−3+1)不可能为完全平方数，故n =0，1，2或3．易知(m,n )=(1,0)，(1,3)．当n=0，1时，同理可得(m,n )=(0,0)，(1,0)．13.（1）见解析；（2）2【解析】13. （1）因f (1)=a +b +c ，f (−1)=a −b +c ，则b =12(f (1)−f (−1))．由题意得|f (1)|≤1，|f (−1)|≤1．故|b |=12|f (1)−f (−1)|≤12(|f (1)|+|f (−1)|)≤1．（2）由f (0)=−1，f (1)=1，得c =−1，b =2−a ．则f (x )=ax 2+(2−a )x −1=a (x −a−22a)2−(a−2)24a−1．由|f (−1)|≤1，得|2a −3|≤1，即1≤a ≤2．所以，a−22a=12−1a∈[−1,1]．从而，|f (a−22a)|≤1．故|(a−2)24a+1|≤1．又(a−2)24a≥0，(a−2)24a +1≥1，则(a−2)24a+1=1，即a =2．14.（1）y 2−2a 2x 2=a 2（去掉点(0,−a )）；（2）(−∞,−12]∪(12,+∞)【解析】14.（1）设R (x,y )，则MR =(x,y +a )，NR =(x,y −a )．又λp +q =(λ,a )，p +2λq =(1,2λa )，且MR ∥(λp +q )，NR ∥(p +2λq )，故{λ(y +a )=ax y −a =2λax．消去参数λ，得点R 的轨迹方程为(y +a )(y −a )=2a 2x 2，即y 2−2a 2x 2=a 2（去掉点(0,−a )）．（2）因a=√22，则点R 的轨迹方程为2y 2-2x 2=1（去掉点(0,−√22)）若l 的斜率不存在，其方程为x =0，l 与双曲线交于一点A (0,√22)．若l 的斜率存在，设其方程为y =kx +1．代入2y 2−2x 2=1，化简得2(k 2−1)x 2+4kx +1=0．由{k 2−1≠0Δ=16k 2−8(k 2−1)>0，解得k ≠±1．设A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)，则x 1x 2=12(k 2−1)．故FA ⋅FB=(x 1,y 1−1)⋅(x 2,y 2−1)=(x 1,kx 1)⋅(x 2,kx 2)=x 1x 2+k 2x 1x 2=k 2+12(k 2−1)=12(1+2k 2−1)．当−1<k <1时，k 2−1<0，故k =0时，FA ⋅FB 有最大值−12；当k>1或k <−1时，k 2−1>0，FA ⋅FB >12．综上可得FA ⋅FB ∈(−∞,−12]∪(12,+∞)．15.（1）a n =t n(n ∈N +)；（2）2n−2−n 2【解析】15.（1）由题意得f ′(√t )=0，即3a n−1t −3[(t +1)a n −a n+1]=0，故a n+1−a n =t (a n −a n−1)(n ≥2)．则当t≠1时，数列{a n+1−a n }是以t 2−t 为首项、t 为公比的等比数列．所以，a n+1−a n=(t 2−t )t n−1，即a n+1−t n+1=a n −t n ，有a n −t n =a 1−t =0．故a n=t n (n ∈N +)，此式对t =1也成立．（2）1b n=12(a n +1a n)=12(t n +t −n)．因为12<t <2，所以，(2t )n >1，t n <2n ．则(2n+2−n )−(t n +t −n )=1(2t )n (2n −t n )[(2t )n −1]>0．有1b n<12(2n +2−n )．故1b 1+1b 2+⋯+1b n <12[(2+12)+(22+122)+⋯+(2n +12n )] =12[2(1−2n )1−2+12(1−12n )1−12]=2n−12(1+12n)<2n−12×2√12n=2n−2−n2．。

2003年安徽省高中数学竞赛_初赛_试卷及解析

2003年安徽省高中数学竞赛_初赛_试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.定义：A −B={x|x ∈A 且x ∉B } .若M ={x |1≤x ≤2002,x ∈N + } .N ={y |2≤y ≤2003,y ∈N + }，则N −M 等于（）.A. MB. NC. {1}D. {2003} 2.函数f (x )=−(cosx )lg |x |的部分图像是图的（）.A. B.C. D.3.若不等式√a +√b ≤m √a 2+b 24对所有正实数 a 、b 都成立，则m 的最小值是（）.A. 2B. √2C. 234 D. 4 4.曲线2x 2−xy −y 2−x −2y −1=0和3x 2−4xy +y 2−3x +y =0 的交点有（）个.A. 2B. 3C. 4D. 无穷多 5.设0＜a ＜1.若 x 1=a,x 2=a x 1,x 3=a x 2,x 4=a x 3,⋯,x n =a x n−1,⋯，则数列{x n }（）.A. 递增B. 奇数项增，偶数项减C. 递减D. 偶数项增，奇数项减6.在边长为1的正方体C 内，作一个内切大球O 1，再在C 内的一个角顶内，作小球O 2 ，使它与大球外切，同时与正方体的三个面相切.则球O 2的面积为（）. A. (7−4√3)π B. (7+4√3)π C. 2−√32π D. 2+√32π第II 卷（非选择题）二、填空题7.若直线y=x +k 与曲线 x =√1−y 2恰有一个公共点，则 k 的取值范围是________________________.8.在(4x 2−2x −5)(1+1x2)5的展开式中，常数项为_________________. 9.设n 为不超过2003的正整数.如果有一个角θ使得(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ成立，则这种 n 的总个数为____.10.三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字小，则称这个数为凹数，如504、764等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位数中凹数共有____________个. 11.已知a=(cosα,sinα) ，b =(cosβ,sinβ)，a 和b 之间有关系式|ka +b |=√3|a −kb | ，其中k ＞0 .则a ⃑⃑ ⋅b ⃑⃑ 的最小值为__________________________. 12.已知x 、y 、z 均为正整数.则方程x +y +z =15有_______________________组解.三、解答题13.设，函数x )=ax 2+x −a (|x |≤1).（1）若|a |≤1 ，试证：|f (x )|≤54 ；（2）求使函数f (x )有最大值178的a 的值.14.已知 A(√5,0) 和曲线 x 24−y 2=1(2≤x ≤2√5,y ≥0)上的点 P 1,P 2,⋯,P n .是否存在n ，使得|P 1A |,|P 2A |,⋯,|P n A |称等差数列，且公差 d ∈(15√5)？若存在，求出n 可取的所有值；若不存在，说明理由，（取√5=2.24）15.某市A 有4个郊县（B 、C 、D 、E ），如图.现有5种颜色，问有多少种不同的着色方法，使得相邻两块不同色，且每块只涂一种颜色？16.如图，ΔABC 的外接圆圆心为O ，以ΔABC 各边为对称轴.求得O 的三个对称点O 1、O 2、O 3.现将各点均擦去，仅保留O 1、O 2、O 3，试根据这三个点重新作出ΔABC .参考答案1.D【解析】1.M ={x |1≤x ≤2002,x ∈N + }， N ={y |2≤y ≤2003,y ∈N + }，所以N −M = {2003}.故答案为：D 2.A【解析】2.∵f(x)＝－(cos x)lg|x|，∴f(－x)＝－[cos(－x)]lg|－x|＝－(cos x)lg|x|＝f(x)(x≠0)，∴函数f(x)＝－(cos x)lg|x|为偶函数，故其图像关于y 轴对称，可排除B ，D ；又当0<x<1时，cos x ＞0，lg|x|＜0，∴当0<x<1时，f(x)＝－(cos x)lg|x|＞0，故可排除C. 故选A 3.C【解析】3.因为√a +√b ≤√2(a +b )≤√2√a 2+b 22. 当且仅当a =b 时等号成立.所以，m≥234 ，即m 的最小值为234 .故答案为：C 4.D【解析】4.2x 2−xy −y 2−x −2y −1=0 ，即 2x +y +1=0 或 x −y −1=0 . 3x 2−4xy +y 2−3x +y =0，即 3x −y =0 或x −y −1=0.所以，已知两曲线可以化成两直线，且有一对直线重合.故两曲线有无穷多个公共点. 故答案为：D5.B【解析】5. （1）x 1=a 1 ， x 2=a x 1，因为0＜a ＜1，则 a 1＜a x 1，x 1＜x 2.（2）x 1=a 1，x 3=a x 2，1=a 0，x 2=a x 1.而0＜x 1，则⊳a x 1 .于是，a 1＜a x 2 ，x 1＜x 3依次类推得x 1＜x 3＜x 5＜⋯ . （3）x2x 4=a x 1−x 3＞a 0=1，则x 2＞x 4.依此类推得x 2＞x 4＞x 6⋯. 故数列{x n }奇数项增，偶数项减. 故答案为：B 6.A【解析】6.如图所示，设球O 2的半径为r ，且设球O 2作在∠D′内.则O 1、O 2对角线 BD′上.设∠AD′B =θ，则sinθ=√3.在ΔD′EO 2 中，D′O 2=r sinθ=√3r ， O 1O 2=r +12.于是，2[√3r+(r +12)]=BD′=√3.r =2−√32，4πr 2=(7−4√3)π.故答案为：A7.−1<k ≤1或k =−√2【解析】7. 试题曲线x =√1−y 2表示的是半圆，画出图像，再把直线y =x+k 进行平移，找出与曲线x =√1−y 2恰有一个公共点时k 的取值为−1<k ≤1或k =−√2．8.15【解析】8.试题分析：把所给的式子利用二项式定理展开化为（4x 2﹣2x ﹣5）•[1+5x ﹣2+10x ﹣4+10x﹣6+5x ﹣8+x ﹣10]，由此求得展开式的常数项．详解： ∵(4x 2−2x −5)(1+1x 2)5=（4x 2﹣2x ﹣5）∙[C 50.(x −2)0+C 51.(x −2)1+C 52.(x −2)2+⋯……+C 55.(x −2)5=（4x 2﹣2x ﹣5）•[1+5x ﹣2+10x ﹣4+10x ﹣6+5x ﹣8+x ﹣10]，故在常数项为 4×5﹣5=15，故答案为 15． 9.501【解析】9.(sinθ+icosθ)n=[i (cosθ−isinθ)]n=i n [cos (−θ)+isin (−θ)]n=i n (cosnθ−isinnθ)=i n−1(sinnθ+icosnθ). .如果in−1(sinnθ+icosnθ)=sinnθ+icosnθ，则 in−1=1.于是，n =4k +1≤2003,k (k ≥0)为整数.故符合条件的n 的个数为[2003−14]+1=501.故答案为：501 10.240【解析】10.当十位数为0时，符合条件的凹数有9×8个，当十位数为1时，符合条件的凹数有8×7个， ……当十位数为7时，符合条件的凹数有2×1个. 故共有72+56+42+30+20+12+6+2=240. 故答案为：240 11.12【解析】11. 由|ka +b |2=(√3|a −kb |)2得8k =(3−k )2a 2+(3k 2−1)b 2.故a ⃑⃑ ⋅b ⃑⃑ =(3−k )2a 2+(3k 2−1)b 28k.因为a =(cosα,sinα)，b =(cosβ,sinβ) ，所以，a 2=1，b2=1，a ⃑⃑ ⋅b ⃑⃑ =k 2+14k.因为k ＞0，k2+1≥2k ，则k 2+14k ≥2k 4k =12. 所以，a ⃑⃑ ⋅b ⃑⃑ 的最小值为12. 故答案为：1212.91【解析】12.将15写成15个1，即1+1+…+1=15，其中14个加号任取2个，并把这两个加号分隔的1合并成一个数得到的方程得解，故解得个数是C 142=91个.故答案为：91 13.(1)见解析（2）a =−2【解析】13.（1）|f (x )|=|ax 2+x −a |=|a (x 2−1)+x |≤|a (x 2−1)|+|x |≤|x 2−1|+|x |=1−|x2|+|x |=−(|x |−12)2+54≤54.（2）当a =0时，f (x )=x (|x |≤1)的最大值是f (1)=1，与题设矛盾.当a≠0 时，f (x ) 为二次函数.（ⅰ）当a ＞0 时，其开口向上，故最大值只能在x=−1或 x =1 时取得.而f (−1)=a −1−a =−1，矛盾.f (1)=a +1−a =1也矛盾.（ⅱ）当a ＜0 时，最大值同样不会再x=1 和x =−1上取得，故使得f (x )=ax 2+x −a (|x |≤1) 有最大值 178，只能等价于 {−1＜−12a ＜1,f (−12a )=178,a ＜0 ⇒{a ＜−12,(a +2)(a +18)=0⇒a=−2.14.n=3,4,5,⋯,14【解析】14.因为d＞0，则数列时递增数列，故|P1A|为最小，|P m A|为最大.如图，曲线x24−y2=1(2≤x≤2√5,y≥0)为双曲线一部分，A(√5,0)是它的右焦点，则右准线l的方程为x=√5，e=√52.由题意，等差数列的第一项为|P1A|=√5−2，第n项为|P n A|=3.于是，有3=(√5−2)+(n−1)d.解得d=5−√5n−1(n＞1) .因为d∈(15,√5)，故15＜5−√5n−15.解得n∈(5√5−4,26−5√5).因为n为正整数，所以，n的最大值为14.于是，当n≤14时，这14个点钟任意连续的n个点都能得到等差数列.又因为是等差数列，所以，n≥3.因此，n=3,4,5,⋯,14.15.420种【解析】15.符合要求的涂色方法至少要用三种颜色，所以，可分三类办法涂色：（1）用五种颜色，有P55=120种方法.（2）用四种颜色，选四种颜色的方法有C54种.其中选一种颜色涂A有C41种，剩下4块涂三种颜色，有且仅有一组不相邻区域涂同一种颜色，选一组不相邻区域的方法有2种（B、D或C、E），从余下的三种颜色中选一种涂这不相邻区域有C31种，最后余下两种颜色涂两个区域的方法有P22种.根据乘法原理有C54⋅C41⋅C31⋅P22=240种方法.（3）用三种颜色.选三种颜色有C53种方法.A、B和D、C和E各涂一种颜色有P33种，故得C53P53=60种方法.据加法原理，共有120+240+60=420种.16.见解析【解析】16.（1）连结OA、OC、O2A、O2C，则这四条线段相等，OAO2C是菱形.所以，O2C AO.同理，OAO3B也是菱形，AO∥O3B.于是，O3B∥O2C .从而，BCO2O3为平行四边形，故BC∥O2O3 .（2）同理可证AC∥O1O3，AB∥O1O2 .（3）由对称性可知OO2⊥AC，OO1⊥BC，OO3⊥AB.OO3⊥O1O2可见O为ΔO1O2O3三条高线的交点.（4）有了上面的分析，可见解法如下：当已知O1、O2、O3时，先作出以它们为顶点的ΔO1O2O3三边上的高，得交点O .然后分别作线段OO1、OO2、OO3的中垂线，三条中垂线两两的交点即为A、B、C.。

2004年全国高级中学数学联赛一等奖名单资料

~ 2005年全国高中学生化学竞赛（省级赛区）安徽省（36名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号戴紫薇滁州中学CO51901 胡昊马鞍山二中CO51919 朱戎马鞍山二中CO51902 邵军马鞍山二中CO51920 吴振华马鞍山二中CO51903 喻学亮宣城二中CO51921 洪鑫安师大附中CO51904 李群环安师大附中CO51922 徐奕马鞍山二中CO51905 李超淮南二中CO51923 徐琰马鞍山二中CO51906 陈伟杰合肥一中CO51924朱宗龙淮南二中CO51907 蒋选滁州中学CO51925 江居龙合肥一中CO51908 胡极马鞍山二中（高二）CO51926 王禾安庆一中（高二）CO51909 张少典马鞍山二中CO51927 周景旻安师大附中CO51910 张彭安师大附中CO51928 汪韬安师大附中CO51911 张格合肥一中（高二）CO51929 吴冰安师大附中CO51912 端木凯宁安师大附中（高二）CO51930 孙峰安师大附中CO51913 裴颢马鞍山二中CO51931 汪佳逸马鞍山二中CO51914 何宇合肥一中CO51932 张宇浩芜湖一中（高二）CO51915 陈敏锐铜陵市一中CO51933 周劼聪马鞍山二中CO51916 吴可芜湖一中CO51934 童臻安师大附中CO51917 夏夷铜陵市一中CO51935 汪宜龙芜湖一中CO51918 张黎合肥一中CO51936北京市（31名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号陈宇滨人大附中CO50101 顾昱晓汇文中学CO50117 张文涛人大附中CO50102 陈国望北京五中CO50118 宋殷汇文中学CO50103 秦志毅人大附中CO50119 郭一鸣北京四中CO50104 顾昱晓汇文中学CO50120 袁宇辰十一学校CO50105 张瀚宇北师大实验中学CO50121 宋睿捷人大附中CO50106 朱地北大附中CO50122 施南飞北京四中CO50107 吴昊北京四中CO50123 孙靖譞北师大实验中学CO50108 朱方北京四中CO50124 张思宇北京四中CO50109 刘省波北大附中CO50125 张一苇北京四中CO50110 杨毅十一学校CO50126~ 刘钊人大附中CO50111 胡斌北京二中CO50127 孙艺北大附中CO50112 马晟厚人大附中CO50128 王天宇北师大二附中CO50113 陆晓人大附中CO50129 苏乔北京四中CO50114 付宇飞十一学校CO50130 钱昱北师大实验中学CO50115 田思源首都师大附中CO50131 罗致信北京四中CO50116福建省（35名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号苏彰力双十中学CO52101 孙迅迟厦门一中CO52119 赵熠铭双十中学CO52102 陈斯莆田二中CO52120 邓炜双十中学CO52103 洪双进南安一中CO52121 曾樵厦门一中CO52104 郭剑三明一中CO52122 陈勋坚三明一中CO52105 陈璟辉福清一中CO52123 林仁鑫三明一中CO52106 林宏焘漳平一中CO52124 黄龙其福清一中CO52107 王谛厦门一中CO52125 李冰长乐一中CO52108 王德南泉州七中CO52126 许剑群莆田二中CO52109 傅泽林南安一中CO52127 周军厦门一中CO52110 唐建雄莆田二中CO52128 张文礼三明一中CO52111 林海昕双十中学CO52129 李小龙建阳一中CO52112 刘允师大附中（高二）CO52130 张扬熙永泰一中CO52113 张群莆田一中CO52131 洪财滨南安一中CO52114 林露佳龙岩一中CO52132 苏健漳州一中CO52115 黄愚长汀一中CO52133 许桂旺永安一中CO52116 徐三甲三明一中（高二）CO52134 王海升上杭一中CO52117 庄锦洪福清一中CO52135 郑志鸿漳州一中CO52118甘肃省（24名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号樊昊霏西北师大附中CO51201 胡永杰西北师大附中CO51213 樊昊阳西北师大附中CO51202 袁宇鹏兰州一中CO51214 高相智武威六中CO51203 刘蓉金川公司一中CO51215 周邦达兰州一中CO51204 张伟会宁一中CO51216 郭喆西北师大附中CO51205 安邦兰铁一中CO51217 李兴金川公司一中CO51206 陈星武威六中CO51218~ 李玉龙民勤一中CO51207 梁旭西北师大附中CO51219 孙丽元民勤一中CO51208 魏江兰州一中（高二）CO51220 陈铖兰州一中（高二）CO51209 毛小伟镇原屯字中学CO51221 杜昆键兰州一中CO51210 牛智勇西北师大附中CO51222 王盛西北师大附中（高二）CO51211 王卓敦煌中学CO51223 张融金川公司一中CO51212 赵生云民勤一中CO51224广东省（41名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号曾毅深圳中学CO52501 罗伟诚深圳中学CO52522 王一鹏中山纪念中学CO52502 梁欣琪中山纪念中学CO52523 吴钊华中山纪念中学CO52503 黄柏荃宝安中学CO52524 关永炀中山纪念中学CO52504 刘聿章中山一中CO52525 刘玮中山纪念中学CO52505 陈臻达惠州市第一中学CO52526 胡舒云中山纪念中学CO52506 胡毅中山纪念中学CO52527 梁景洪中山纪念中学CO52507 沈韧中山纪念中学CO52528 曾颖淇深圳中学CO52508 周伟俊华附高二CO52529 蔡展章中山纪念中学CO52509 吴子潇华附高三级CO52530 严少煜深大附中CO52510 梁节宝安中学CO52531 陈锦强中山纪念中学CO52511 陈锰湛江第一中学CO52532 杨致一深圳中学CO52512 黄思菲湛江第一中学CO52533 汪畅中山市华侨中学CO52513 邹悠然深圳中学CO52534 刘亭宇中山纪念中学CO52514 巫博超惠州市第一中学CO52535 王瑶深大附中CO52515 王惠宝宝安中学CO52536 封禹深圳中学CO52516 骆静川华附高三级CO52537 邝羽中山纪念中学CO52517 梁睿华附高三级CO52538 陈志全深大附中CO52518 王倩仪中山纪念中学CO52539 张腾深圳中学CO52519 肖佳仪翠园中学CO52540 阮志能中山纪念中学CO52520 童葛景深圳中学CO52541 罗思阳华附高三级CO52521广西自治区（20名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号陈亚玲柳州高中CO52601 周家旺南宁二中CO52611 曹阳南宁二中CO52602 蔡春荣贵港高中CO52612 赵子明广西师大二附中CO52603 马远驰南宁二中CO52613~ 黄雄怡广西师大二附中CO52604 韦琰柳州高中CO52614 孙剑鹏柳州高中CO52605 刘力柳州实验高中CO52615 梁宏俊梧州高中CO52606 黎旻柳州高中CO52616陈睿南宁三中CO52607 韦家龙韦源泽柳州高中宜州一中CO52617CO52618陈彦斌梧州高中CO52608谭广飞柳州地区高中CO52609 李典南宁二中CO52619 曹科柳州实验高中CO52610 黄耀萱广西师大二附中CO52620贵州省（6名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号韦嵥贵阳一中CO52801 梁智水局一中CO52804 令狐昌海贵阳一中CO52802 毕郑诚志安顺第二高级中学CO52805 康肖维贵阳一中CO52803 熊堃贵阳一中CO52806海南省（10名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号吴惠娴海南中学CO53001 祁永泽海南中学CO53006 吴淑可国科园学校CO53002 李薇海南中学CO53007 朱志鹏海南中学(高二) CO53003 雷赟海口一中CO53008 赵宣海南中学CO53004 刘云海南中学CO53009 陈亮岑海南中学CO53005 高荣龙文昌中学CO53010河北省（31名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号刘争唐山一中CO50501 任慧峰石家庄二中CO50517 李文浩唐山一中CO50502 张硕石家庄二中（高二）CO50518 岳林石家庄二中CO50503 陶阳唐山一中CO50519 王潇石家庄二中CO50504 韩冰唐山一中CO50520 赵思蒙石家庄二中CO50505 白长虹河北衡水中学CO50521 冯峰石家庄二中CO50506 霍建龙河北衡水中学CO50522 谷瑞保定十七中CO50507 赵志远石家庄二中（高二）CO50523 金曦唐山一中CO50508 胡哲唐山一中（高二）CO50524 野墅石家庄二中CO50509 刘志远保定十七中CO50525 赵若旭石家庄二中(高二) CO50510 刘畅石家庄二中CO50526~ 史兴石家庄二中CO50511 翟元皓石家庄二中CO50527 安虹宇秦皇岛一中CO50512 李乐涛邯郸市一中CO50528 陈建托石家庄42中学CO50513 奚静思唐山一中CO50529 刘志强秦皇岛一中CO50514 王鑫邯郸市一中CO50530 孙玮邯郸市一中CO50515 杨阳河北衡水中学CO50531 周玥石家庄一中CO50516河南省（43名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号朱贺郑州一中CO52201 潘瑾琨河南省实验中学CO52223 张乐郑州一中CO52202 翟俊捷河南省实验中学CO52224 郭潇郑州一中CO52203 宗远郑州101中学CO52225 张振宇河南省实验中学（高二）C O52204 张菲郑州101中学CO52226 徐岚河南省实验中学CO52205 周飞郑州一中CO52227 吕世贤河南省实验中学CO52206 任杰郑州一中CO52228 卢滢先河南省实验中学CO52207 刘笑寒河南省实验中学（高二）C O52229 周扬河南省实验中学CO52208 张享波开封高中CO52230 戴乐郑州一中CO52209 郭秉汉洛阳一高CO52231 李晓东河南省实验中学CO52210 王卓郑州一中CO52232 姬婧郑州一中CO52211 赵聪郑州一中CO52233 马越河南省实验中学CO52212 李世龙郑州一中CO52234 吴明河南省实验中学CO52213 帖楠郑州一中CO52235 郑安达郑州一中CO52214 吴昊河南省实验中学CO52236 李昊郑州市101中学CO52215 王祎帆南阳市一中CO52237 付宇郑州市101中学CO52216 孙原龙郑州市七中CO52238 吕影河南省实验中学CO52217 沈念郑州市七中CO52239 彭婧河南省实验中学CO52218 许腾河南省实验中学CO52240 李晓巍河南省实验中学（高二）C O52219 葛俊伸河南省实验中学CO52241 翟优河南省实验中学（高二）C O52220 徐飞河南省实验中学（高二）C O52242 陈颢郑州一中CO52221 张修伟河南省实验中学（高二）C O52243 史云龙郑州七中CO52222黑龙江省(14名)姓名学校证书编号姓名学校证书编号杨晨哈尔滨市师大附中CO51001 孙天奎鹤岗市第一中学CO51008 张智宇哈尔滨市第三中学CO51002 刘昊大庆一中CO51009~ 胡乔巨佳木斯第一中学CO51003 蔡元纪大庆一中CO51010 漆文龙佳木斯第一中学CO51004 田作辉佳木斯第一中学CO51011 邓忠扬宝清县第二高级中学CO51005 魏文鹏佳木斯第一中学CO51012 周金果哈尔滨市师大附中CO51006 白明文哈尔滨师大附中（高二）C O51013 宋宇程佳木斯第一中学CO51007 许满佳大庆市铁人中学CO51014湖北省（40名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号杨忧君武钢三中CO52301 张敏龙泉中学CO52321王琰襄樊四中CO52302 朱鹏武钢三中CO52322胡铭杰黄冈中学CO52303 胡啸原夷陵中学CO52323雷灵龙华师一附中CO52304 陈玮晨龙泉中学CO52324余村黄冈中学CO52305 曾翱襄樊四中CO52325李雨珊龙泉中学CO52306 曾兴亮龙泉中学CO52326向立民黄冈中学CO52307 刘阳武钢三中CO52327姚远华师一附中CO52308 杨思捷华师一附中CO52328秦伟荆州中学CO52309 张培凡荆州中学CO52329曹阳华师一附中CO52310 许东襄樊四中CO52330袁小秋华师一附中CO52311 周乐黄冈中学CO52331江昱倩武钢三中CO52312 唐炎夷陵中学CO52332沈瑞祥襄樊四中CO52313 陈洋龙泉中学CO52333梁宇帆武钢三中CO52314 周颐襄樊五中CO52334王华明武汉二中CO52315 孙黄鹤黄冈中学CO52335周枫武钢三中CO52316 袁烨鄂州高中CO52336李傲夷陵中学CO52317 吴昊宇武汉二中CO52337郭习轩武汉二中CO52318 罗超孝感高中CO52338朱玥龙泉中学CO52319 汪晋辰龙泉中学CO52339黄明龙泉中学CO52320 章薇荆州中学CO52340湖南省（42名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号林亮师大附中CO52401 刘杨明浏阳一中CO52422 刘茜醇隆回二中CO52402 刘熙雅礼中学CO52423 蔡李超长沙市一中CO52403 肖曲湖南师大附中CO52424 毛鹏长郡中学CO52404 廖廓长沙市一中CO52425 李颖轩长郡中学CO52405 曾妍郴州市一中CO52426~ 段丽婷湖南师大附中CO52406 马立湘潭县一中CO52427 曾佳妮湖南师大附中CO52407 徐砚博长郡中学CO52428 杨志伟雅礼中学CO52408 李佐鸿郴州市一中CO52429 封格湖南师大附中CO52409 陈晓湘潭县一中CO52430 严涵永州一中CO52410 彭志为长郡中学CO52431 李轩长郡中学CO52411 龚晓云张家界市一中CO52432 吴沁凡湖南师大附中CO52412 李唐江浏阳一中CO52433 罗天挚长沙市一中CO52413 石章幸雅礼中学CO52434 张青湖南师大附中CO52414 金文长郡中学CO52435 吴龙飞长沙市一中CO52415 张凯长沙市一中CO52436 邓罡浏阳一中CO52416 胡川郴州市一中CO52437 盛峰长郡中学CO52417 谭欣欣湘潭县一中CO52438 张博长沙市一中CO52418 肖怡婷雅礼中学CO52439 杨沈阳湖南师大附中CO52419 宋植彦湘潭市一中CO52440 刘小康长沙市一中CO52420 胡丹桃江县一中CO52441 黄克远长郡中学CO52421 唐泽锋宁乡一中CO52442吉林省（34名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号杨小虎省实验中学CO50901 孟令醒东北师大附中CO50918 马勋东北师大附中CO50902 朱海识东北师大附中CO50919 郝彤省实验中学CO50903 李峰东北师大附中CO50920 于一长春十一高中CO50904 裴钰省实验中学CO50921 李阳冰东北师大附中CO50905 王润东通化市一中CO50922 张秋晨东北师大附中CO50906 李赫东北师大附中CO50923 孟繁柯吉林市一中CO50907 步欣源省实验中学CO50924 周会长春十一高中CO50908 李骁长春十一高中CO50925 陈醒东北师大附中CO50909 王骥雄东北师大附中CO50926 薛美东东北师大附中CO50910 丁一吉林市一中CO50927 潘聪省实验中学CO50911 梁睿东北师大附中CO50928 陈沛阳东北师大附中CO50912 刘贺东北师大附中CO50929 李佳省实验中学CO50913 王舟吉林市铁路中学CO50930 霍达省实验中学CO50914 孙威东北师大附中CO50931 尚海延边二中CO50915 黄川培吉林市第一中学CO50932 张袆东北师大附中CO50916 罗逍吉林市第一中学CO50933 张磊东北师大附中CO50917 李博东北师大附中CO50934~江苏省（42名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号袁澎淮阴中学CO51701 丁俊南师附中CO51722唐鹏飞淮阴中学CO51702 虞硕涵苏州中学CO51723张一飞前黄高级中学CO51703 朱谷玉淮阴中学CO51724夏威启东中学CO51704 施磊启东中学CO51725李洋梁丰高级中学CO51705 张宇翔无锡市一中CO51726任臻常熟市中学CO51706 刘雁冰江阴南菁高级中学CO51727史哲南京外国语学校CO51707 陶涛前黄高级中学CO51728周晨阳江苏如皋中学CO51708 钱晓骏常州高级中学CO51729高欢欢江苏启东中学CO51709 顾大宪扬中高级中学CO51730胡波常州高级中学CO51710 赵涵常州高级中学CO51731顾一帆江苏启东中学CO51711 陆钦常州高级中学CO51732林悦贤江苏苏州中学CO51712 周雨白常州高级中学CO51733叶知秋江苏东台中学CO51713 王帆淮阴中学CO51734周鹏飞前黄高级中学CO51714 王苏南师附中CO51735朱剑波前黄高级中学CO51715 张琦苏州实验中学CO51736张磊荔梁丰高级中学CO51716 刘维前黄高级中学CO51737黄梦娜无锡天一中学CO51717 潘飞梁丰高级中学CO51738管晨曦江都中学CO51718 刘波句容高级中学CO51739方俊常州高级中学CO51719 康惠如东高级中学CO51740刘彦靖江市高级中学CO51720 孙建波梁丰高级中学CO51741王成东台中学CO51721 朱琪梁丰高级中学CO51742江西省（33名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号廖秋明新余一中CO52001 徐鹏书鹰潭一中CO52018徐捷勋江西师大附中CO52002 陈泽翔鹰潭一中（高二）CO52019刘艺斌鹰潭一中CO52003 吴昊南昌十中CO52020赵明哲江西师大附中CO52004 韦赢琤鹰潭一中CO52021 方川抚州一中CO52005 陶然鹰潭一中CO52022卢飞新余一中CO52006 傅辉新余四中CO52023倪勇余江一中CO52007 黄玥新余四中CO52024岳远凯新余一中CO52008 段国泉余江一中CO52025董早鹏余江一中CO52009 赵伟文新余四中CO52026洪麟翔江西师大附中CO52010 谢文轩江西师大附中CO52027杨平新余四中CO52011 韩阳赣州三中CO52028~ 武云路江西师大附中CO52012 徐璐弋阳一中CO52029 余霄翰江西师大附中(高二) CO52013 黄曦江西师大附中CO52030 伍岳新余四中CO52014 章继川江西师大附中CO52031 刘学文鹰潭一中CO52015 黄明俊余江一中CO52032 吴梦希鹰潭一中CO52016 习文星吉安一中CO52033 温环宇新余一中CO52017辽宁省（36名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号刘冠男沈阳市东北育才学校CO50801 储博钊沈阳市东北育才学校CO50819 王仕作大连育明高中CO50802 朱天枢大连育明高中CO50820 郑良大连第二十四中学CO50803 王尧峰沈阳市东北育才学校CO50821 林龙大连育明高中CO50804 靳展鞍山一中CO50822 耿玓大连第八中学CO50805 朴希俊鞍山一中CO50823 任博大连第二十四中学CO50806 王磊阜新市实验中学CO50824 孙少阳辽宁省实验中学CO50807 李长泽大连育明高中CO50825 赵婧鞍山一中CO50808 唐正昱沈阳市20中学CO50826 吴培沈阳市东北育才学校CO50809 王志远大连育明高中CO50827 高振宇大连育明高中CO50810 康枫沈阳市东北育才学校CO50828 赫滋沈阳市东北育才学校CO50811 孙伟大连第二十四中学CO50829 王忠轩大连育明高中CO50812 宁翊辰大连第二十四中学CO50830 鄢略峰鞍山一中CO50813 王帝大连育明高中CO50831 于新哲大连第二十四中学CO50814 尹帅大连育明高中CO50832 王芫楠大连第二十四中学CO50815 丁达铭辽河油田第一高中CO50833 袁启明大连第二十四中学CO50816 郭文瀚大连育明高中CO50834 张思培沈阳市东北育才学校CO50817 王文彬大连育明高中CO50835 赵忠祥辽宁省实验中学CO50818 周倩倩大连育明高中CO50836内蒙古自治区（24名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号刘燕包头一机一中CO50701 王志利赤峰红旗中学CO50713 金秋实包头一机一中CO50702 杨子剑呼市第二中学CO50714 付乔包头一机一中CO50703 孔维远海拉尔第二中学CO50715 马图腾包头一机一中CO50704 张磊赤峰红旗中学CO50716 李向隆呼市第二中学CO50705 何旭珍巴盟杭后奋斗中学CO50717 付明洋赤峰第二中学CO50706 孙秀萍赤峰红旗中学CO50718~ 刘泽内蒙古师大附中CO50707 窦国增赤峰红旗中学CO50719 杨光呼市第二中学CO50708 曹建勋海拉尔第二中学CO50720 谷振超包头一机一中CO50709 裴祥宇包钢一中CO50721 苏醒包头一机一中CO50710 张燕飞包头一机一中CO50722 王冉赤峰红旗中学CO50711 姜慧赤峰红旗中学CO50723 郭琪包头一机一中CO50712 徐昭远赤峰红旗中学CO50724宁夏自治区（8名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号华炜石嘴山三中CO51301 张梦吴忠中学CO51305 马少楠银川一中CO51302 李公羽银川一中CO51306 赵学铭银川一中CO51303 王宇尧银川唐徕回中CO51307 朱佳豪银川唐徕回中CO51304张涛银川九中CO51308青海省（5名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号章肖洋湟川中学CO51401 张镇琦湟川中学CO51404 王晨湟川中学CO51402 陈定春湟川中学CO51405 胡浩洋湟川中学CO51403山东省（41名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号张蔚胜利油田一中CO51601 宫勇吉莱阳一中（高二）CO51622 李昌宁山东实验中学CO51602 范维义山东实验中学CO51623 张浩然胜利油田一中CO51603 尹雁惠寿光现代中学CO51624 陈业青岛二中（高二）CO51604 高琛山东实验中学（高二）C O51625 邵楠青岛二中CO51605 于文剑莱阳九中CO51626 张星辰山东师大附中CO51606 冯烨宏莱阳一中CO51627 吕辰晨山东实验中学CO51607 王文川胜利油田一中CO51628 刘志博聊城一中CO51608 周旭钊莱阳一中CO51629 闫一鸣济宁一中CO51609 崔希凯寿光市现代中学CO51630 赵若冰青岛二中CO51610 陈通山东实验中学CO51631 王青寿光一中CO51611 韩昊山东实验中学CO51632许甲聊城一中CO51612 刘月盛寿光现代中学CO51633 刘静远寿光一中CO51613 徐虎寿光一中CO51634 刘潇潇山东师大附中（高二）CO51614 杨奕山东师大附中CO51635 张翠青岛二中CO51615 贾暐山东实验中学CO51636 龚云济南外国语学校CO51616 林盛筱莱阳九中CO51637 于南洋潍坊一中CO51617 刘天华山东实验中学CO51638 王衍明青岛二中CO51618 康宁山东北镇中学CO51639 庄源青岛二中（高二）CO51619 张衡山东实验中学CO51640 高翔山东实验中学CO51620 李臻山东实验中学CO51641 陈曦山东师大附中CO51621山西省（28名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号刘珺山大附中CO50601 姚尧山大附中CO50615 武庆斌山大附中CO50602 王昕省实验中学CO50616 姚佳雄省实验中学CO50603 白鹤太原五中CO50617 刘洋山大附中CO50604 李波忻州一中CO50618 李鑫山大附中CO50605 蒋文韬省实验中学CO50619 李金福忻州一中CO50606 侯烁山大附中CO50620 刘枫山大附中CO50607 元弢省实验中学CO50621 杨蕊山大附中CO50608 张毅山大附中CO50622 冀振宁山大附中(高二) CO50609 纪永鹏山大附中（高二）CO50623 张超忻州一中CO50610 张旭山大附中（高二）CO50624 康祯山大附中CO50611 谢奕斐现代双语CO50625 冯博省实验中学CO50612 张飞山大附中CO50626 陈娟忻州一中CO50613 李美姗山大附中CO50627 赵彦彪山大附中CO50614 王君山大附中CO50628陕西省（28名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号王禾翎西安市高新一中CO51101 李扬帆西安交大附中CO51115 刘江西安市长安一中CO51102 王鹏辉西安市长安一中CO51116 辛龑西安市西工大附中CO51103 秦雨潇西安工大附中CO51117 贾科西安市长安一中CO51104 姬佩君西安市长安一中CO51118 许云超西安市长安一中CO51105 王晨西安市长安一中CO51119 鲁尚文西工大附中CO51106 李茹陕西师大附中CO51120石丛磊西安市西铁一中CO51107 彭亮汉中市勉县一中CO51121 张昕宇西安工大附中CO51108 郗方朔西安市高新一中CO51122 鲁佳咸阳市实验中学（高二）C O51109 王文哲西安交大附中CO51123 史小龙西安市长安一中CO51110 刘尧西安市长安一中CO51124 徐飞西安市长安一中CO51111 黄游西安市西铁一中CO51125 姚波远西安交大附中CO51112 魏海博西安市长安一中CO51126 张路长安一中（高二）CO51113 杨阳宝鸡市宝鸡中学CO51127 王博陕西师大附中CO51114 冯昊明陕西师大附中CO51128上海市（34名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号郑辰华东师大第二附中CO50201 殷昊霖华师大二附中（高二）C O50218 顾向上海市延安中学CO50202 陆志超华东师大第二附中CO50219 叶钦达华东师大第二附中CO50203 王珏复旦大学附属中学CO50220 钱霖上海交通大学附中C050204 洪辰明华东师大第二附中CO50221 陈允捷华东师大第二附中CO50205 陆星宇上海市上海中学CO50222 周昊来华东师大第二附中CO50206 于濛亮上海市延安中学CO50223 朱涵宇复旦大学附中（高二）CO50207 郑迪上海市大同中学CO50224 周德龙上海市上海中学CO50208 应罕泽华师大二附中（高二）C O50225 徐磊华师大二附中（高二）CO50209 邱俊杰曹杨第二中学CO50226 蔡海涛上海市行知中学C050210 韩筱敏复旦大学附中（高二）C O50227 虞荣华上海市晋元中学CO50211 盛立彦华师大二附中（高二）C O50228 周霄上海市上海中学CO50212 潘杪上海市上海中学CO50229 王晨曦上海市控江中学CO50213 毕竞烨交通大学附属中学CO50230 吴吉文上海市延安中学CO50214 董市阳曹杨第二中学CO50231 赵吉辰上海市上海中学CO50215 许春彬华东师大第二附中CO50232 赵潇琛华东师大第二附中CO50216 钱行复旦大学附属中学CO50233 徐逸华东师大第二附中CO50217 吉逸峰上海市格致中学CO50234四川省（42名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号黄一纯成都20中CO52701 李想树德中学CO52722 刘一丁绵阳东辰学校CO52702 孙奥树德中学CO52723 黄媛绵阳南山中学CO52703 李林森绵阳南山中学CO52724~ 林春江成都20中CO52704 谢庄绵阳南山中学CO52725 张博树德中学CO52705 张春吉彭州中学CO52726 胡华容绵阳中学CO52706 廖伟绵阳中学CO52727 颜桢成都20中CO52707 石润伯成都七中CO52728 李安民绵阳南山中学CO52708 万历南充高中CO52729 郑勇力成都20中CO52709 詹瑞玺绵阳南山中学CO52730 何军彭州中学CO52710 张宇翔成都20中CO52731 王飞绵阳中学CO52711 曾广同成都20中CO52732 朱玉洁成都20中CO52712 李梁东辰国际学校CO52733 吴军成都20中CO52713 都力成都20中CO52734 邓鑫星绵阳中学CO52714 张云鹭三原外国语CO52735 李九星成都20中CO52715 邬孝芳新都一中CO52736 王安东树德中学CO52716 崔晨南山中学CO52737 陈立成都20中CO52717 张鹏绵阳中学CO52738 李婷绵阳中学CO52718 岳磊绵阳中学CO52739 李杭州绵阳中学CO52719 姚俊绵阳中学CO52740 陈龙瑞树德中学CO52720 杨佳佳绵阳中学CO52741 张桢琦成都20中CO52721 曹菲斐成都20中CO52742天津市（30名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号张严昕南开中学CO50301 张国良新华中学CO50316 程强天津一中CO50302 李晔实验中学CO50317 张博南开中学CO50303 刘翔宇南开中学CO50318 戴小川天津一中CO50304 刘天强南开中学CO50319 胡珀耀华中学CO50305 于淼实验中学CO50320 翟峰耀华中学（高二）CO50306 张巍昌芦台一中CO50321 邱頔实验中学CO50307 李川天津一中（高二）CO50322 谭腾耀华中学CO50308 王鑫耀华中学CO50323 闫星旭南开中学CO50309 苏士钊耀华中学CO50324 杨洪生新华中学CO50310 李毅实验中学CO50325 段野耀华中学CO50311 刘煜天津一中CO50326 曹墨源实验中学CO50312 石莹南开中学（高二）CO50327 杨喆天津一中（高二）CO50313 刘赵昆耀华中学CO50328 刘一洲实验中学CO50314 陈硕天津一中（高二）CO50329 袁野南开中学CO50315 吕翔南开中学CO50330~新疆自治区（27名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号鲜于中之乌鲁木齐市一中CO51501 张驰乌鲁木齐市八中CO51515 蒋鸶乌鲁木齐市一中CO51502 宋楠新疆兵团二中CO51516 于万里松岗新疆高中班CO51503 王婷婷乌鲁木齐市一中CO51517 罗鑫新疆实验中学CO51504 裘晨新疆实验中学CO51518 李鑫新疆实验中学CO51505 石崇新疆实验中学CO51519 敖强新疆兵团二中CO51506 王焓乌鲁木齐市一中CO51520 王晨晨松岗新疆高中班CO51507 贾肇聪乌鲁木齐市一中CO51521 王蓓乌鲁木齐市八中CO51508 董泽宇新疆实验中学(高二) CO51522 张超新疆兵团二中CO51509 王婧松岗新疆高中班CO51523 孙君博新疆实验中学CO51510 秦涛新疆实验中学CO51524 祁雯乌鲁木齐市八中CO51511 顾江江乌鲁木齐市一中CO51525 刘寒乌鲁木齐市一中CO51512 于海跃新疆实验中学CO51526 房华毅新疆兵团二中CO51513 程昱新疆实验中学CO51527 华迪新疆石河子一中CO51514云南省（18名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号赵昆明三中CO52901 刘聃云南师大附中CO52910 张思成云南师大附中CO52902 易洋羊昆明三中CO52911 苏汉宸昆明三中CO52903 施伟昆明三中CO52912 李坤桦昆明一中CO52904 王睿云南师大附中CO52913 姬松松云南师大附中CO52905 金晟哲云南师大附中CO52914 梁河君昆明十四中CO52906 刘烨昆明一中CO52915 王浩昆明三中CO52907 张腾昊昆明三中CO52916 何烨昆明三中CO52908 刘绍渊云南师大附中CO52917 张若瑜云南师大附中CO52909 余樱六库中学CO52918浙江省（42名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号周宇杰学军中学CO51801 杨扬杭二中CO51822 沈晔杭二中CO51802 郭天蛟杭二中CO51823 孔成栋萧山中学CO51803 张洛瑜舟山中学CO51824 汤培峰新昌中学CO51804 过文昊杭二中CO51825~ 汪闻超学军中学CO51805 张羽中杭二中CO51826 任飞杭二中CO51806 徐小明鲁迅中学CO51827 曹兆龙金华一中CO51807 郑海斌绍兴一中CO51828 张立学军中学CO51808 邹超慈溪中学CO51829陆欢杭二中CO51809 焦彦嘉舟山中学CO51830 胡逸眉杭二中CO51810 宋时森温州中学CO51831 吴沣杭二中CO51811 朱兖植诸暨中学CO51832 沈元桐乡高级中学CO51812 许衡诸暨中学CO51833 陈铭明春晖中学CO51813 祝俊宗杭二中CO51834 朱迪学军中学CO51814 陈闻涛学军中学CO51835 傅姚锋杭二中CO51815 江一舟杭二中CO51836 王勇杰宁波镇海中学CO51816 张弘杭二中CO51837 朱灵学军中学CO51817 曹亮金华一中CO51838 熊卓越杭二中CO51818 钟科杰鄞州中学CO51839 郑灵台州中学CO51819 赵楚诸暨中学CO51840 潘元炜金华一中CO51820 阮戈冲春晖中学CO51841 李果温州中学CO51821 杨卉杭二中CO51842重庆市（33名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号崔毅重庆南开中学CO50401 唐伟重庆一中CO50418 刘关卿重庆巴蜀中学CO50402 陈林重庆一中CO50419 李昆霖重庆八中(高二) CO50403 李俊男重庆一中CO50420 张蓬重庆南开中学CO50404 周开红重庆育才中学CO50421 戴璐重庆巴蜀中学CO50405 邱勇军重庆巴蜀中学CO50422 陈思燕重庆巴蜀中学CO50406 张华重庆南开中学CO50423 李遥重庆巴蜀中学CO50407 瞿衢重庆巴蜀中学CO50424 陈钊重庆一中CO50408 陈尧重庆一中CO50425 易正重庆八中(高二) CO50409 张立超重庆育才中学CO50426 陆虹宇重庆巴蜀中学CO50410 何博重庆巴蜀中学CO50427 赵荧晖重庆南开中学CO50411 汪政重庆巴蜀中学CO50428 陈忠靖重庆南开中学CO50412 刘星重庆南开中学CO50429 陈宽桐重庆巴蜀中学(高二) CO50413 王浩重庆巴县中学CO50430 张靖重庆巴蜀中学CO50414 万元杰重庆巴蜀中学CO50431 方志程重庆巴蜀中学CO50415 刘洋重庆巴蜀中学CO50432 李明泽重庆巴蜀中学CO50416 侯非重庆南开中学CO50433 黄颖祺重庆巴蜀中学CO50417。

全国高中数学联赛安徽初赛试卷

全国高中数学联赛安徽初赛试卷9月2日上午9：30 —— 11：30试题提供：xjhua 录入：成俊锋校对：未校一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a =A 、98B 、99C 、100D 、101 2．已知lg x 的小数部分为a ，则21lgx 的小数部分为 A 、2a -的小数部分 B 、12a -的小数部分 C 、22a -的小数部分 D 、以上都不正确 3．过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（）上 A 、2213,22y x y x == B 、2235,22y x y x == C 、22,3y x y x == D 、223,5y x y x == 4．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C = 90°，D 、E 为AB 边上的两个点，且点D 在AE 之间，∠DCE =45°，则以AD 、DE 、ED 为边长构成的三角形的最大角是 A 、锐角 B 、钝角 C 、直角 D 、不能确定5．将正整数从1开始不间断的写成一行，第个数码是（旁注：这是希望杯的培训题） A 、0 B 、5 C 、7 D 、以上都不正确6．已知圆锥的顶点V 和底面圆心O 的连线垂直于底面（旁注，这句话实际上是废话），一个过VO 中点M 的平面与圆O 相切，与圆锥的交线是一个椭圆，若圆O 半径为1，则椭圆的短轴的长为 ACD 、以上结果都不对二、（每小题9分，共54分）7．设等差数列的首项和公差均为正整数，项数为不小于3的素数，且各项之和为，则这样的数列共有_____个．8．已知实数x 、y 满足()()()()55111511541545x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，则x y +=_____．（旁注：联赛原题） 9．正八边形所有对角线在其内部交点的个数为_____．10．若x 、y 为实数，且223x xy y ++=，则22x xy y -+的最大值和最小值分别为_____． 11．一个正方体的8个顶点可以组成_____个非等边三角形．12．若关于x2kx +恰有一个实根，则k 的取值范围是_____．三、论述题（本题满分60分，每小题20分）13．设有个互不相同的复数，其中任何两个数的积（包括自乘）是这个数之一，求这个数的和．14．求3221123nnkk knn nk k k C n k C n kC ==-+∑∑的值． 15．已知数列{}()0n a n ≥满足00a =，对于所有n N +∈，有1115n n a a +=+，求n a 的通项公式．高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十四) 直线、平面垂直的判定与性质1．(·杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是( )A．a⊥c，b⊥cB．α⊥β，a⊂α，b⊂βC．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.其中正确的命题是( )A．①②B．②③C．②④D．③④3．给出命题：(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；(3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．其中正确命题个数是( )A．0B．1C．2D．34.(·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部5.(·曲阜师大附中质检)如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )A．①②B．①②③C．①D．②③6.(·济南名校模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)8．(·忻州一中月考)正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为2，E是BC的中点，动点P在四棱锥的表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为________．9.(·蚌埠模拟)点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列四个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确的命题序号是________．10.如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．(1)求证：DM∥平面APC；(2)求证：平面ABC⊥平面APC.11.(·北京海淀二模)如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在AB 上，且OM∥AC.(1)求证：平面MOE∥平面PAC；(2)求证：平面PAC⊥平面PCB.12．(·珠海摸底)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，四边形ACFE 是矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，AD ＝DC ＝CB ＝AE ＝a ，∠ACB＝π2.(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)若M 是棱EF 上一点，AM ∥平面BDF ，求EM 的长．1.如图，在立体图形D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列正确的是( )A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE2．如图所示，b ，c 在平面α内，a ∩c ＝B ，b ∩c ＝A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b ，则△ACD 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形3.(·莆田模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC ，△ABC 分别是以A ，B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB ＝1.(1)现给出三个条件：①PB ＝3；②PB ⊥BC ；③平面PAB ⊥平面A BC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA ⊥平面ABC ；(2)在(1)的条件下，求三棱锥P －ABC 的体积． [答题栏]A 级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十四)A级1．C2.D3.B4.A5．选B对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA.∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．6．选D在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.7．解析：由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．解析：如图，设AC∩BD＝O，连接SO，取CD的中点F，SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，连接GH，易知AC⊥EF，GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD，∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，故动点P的轨迹是△EFG，由已知易得EF＝2，GE＝GF＝62，∴△EFG的周长为2＋6，故动点P的轨迹长为2＋ 6.答案：2＋69．解析：连接BD交AC于O，连接DC1交D1C于O1，连接OO1，则OO1∥BC1.∴BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，∴三棱锥P－AD1C的体积不变．又VP－AD1C＝VA－D1PC，∴①正确．∵平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，∴A1P∥平面ACD1，②正确．由于DB不垂直于BC1显然③不正确；由于DB1⊥D1C ，DB1⊥AD1，D1C ∩AD1＝D1， ∴DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1， ∴平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．答案：①②④10．证明：(1)由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP. 又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD ∥平面APC.(2)因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD ⊥PB.所以AP ⊥PB.又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC. 因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC.又BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC. 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC.11．证明：(1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以OE ∥PA.因为PA ⊂平面PAC ，OE ⊄平面PAC ，所以OE ∥平面PAC. 因为OM ∥AC ，且AC ⊂平面PAC ，OM ⊄平面PAC ，所以OM ∥平面PAC.因为OE ⊂平面MOE ，OM ⊂平面MOE ，OE ∩OM ＝O ，所以平面MOE ∥平面PAC.(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC. 因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC. 因为AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， PA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面PAC. 因为BC ⊂平面PCB ，所以平面PAC ⊥平面PCB.12．解：(1)证明：因为∠ACB ＝π2，所以BC ⊥AC.又因为BC ⊂平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，平面ACFE ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面ACFE.(2)记AC ∩BD ＝O ，在梯形ABCD 中，因为AD ＝DC ＝CB ＝a ，AB ∥CD ，所以∠ACD ＝∠CAB＝∠DAC.所以π＝∠ABC ＋∠BCD ＝∠DAB ＋∠ACD ＋∠ACB ＝3∠DAC ＋π2，所以∠DAC ＝π6，即∠CBO ＝π6.又因为∠ACB ＝π2，CB ＝a ，所以CO ＝33a.连接FO ，由AM ∥平面BDF 得AM ∥FO ，因为四边形ACFE 是矩形，所以EM ＝CO ＝33a. B 级1．选C 要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE.因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE.又由于AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE.2．解析：选B ∵a ⊥b ，b ⊥c ，a ∩c ＝B ， ∴b ⊥面ABC ，∴AD ⊥AC ，故△ACD 为直角三角形． 3．解：法一：(1)选取条件① 在等腰直角三角形ABC 中， ∵AB ＝1， ∴BC ＝1，AC ＝ 2. 又∵PA ＝AC ，∴PA ＝ 2. ∴在△PAB 中，AB ＝1，PA ＝ 2. 又∵PB ＝3， ∴AB2＋PA2＝PB2.∴∠PAB ＝90°，即PA ⊥AB. 又∵PA ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ， ∴PA ⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知PA ⊥平面ABC ，V 三棱锥P －ABC ＝13PA ·S △ABC ＝13×2×12×12＝26.法二：(1)选取条件② ∵PB ⊥BC ，又AB ⊥BC ，且PB ∩AB ＝B ，∴BC⊥平面PAB.∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.又∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.(2)依题意得，由(1)可知PA⊥平面ABC.∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，∴AC＝2，∴PA＝2，∴V三棱锥P－ABC＝13PA·S△ABC＝13×12AB·BC·PA＝13×12×1×1×2＝26.法三：(1)选取条件③若平面PAB⊥平面ABC，∵平面PAB∩平面ABC＝AB，BC⊂平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，∴PA⊥平面ABC.(2)同法二．高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④2．有下列四个命题：①底面是矩形的平行六面体是长方体；②棱长相等的直四棱柱是正方体；③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．其中真命题的个数是( )A．1B．2C．3D．43．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋37．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．23B．3C.3D．42．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为22.若M，N分别是线段DE，CE上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；(3)求该多面体的表面积．[答题栏]A级1._________2._________3._________4._________5._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________答案高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)A级1．A2.A3.C4.B5．选B由斜二测画法知B正确．6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋12×2×3＝4＋ 3.7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝533.答案：5339.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.答案：2＋2210．解：图1几何体的三视图为：图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，∵OE ＝12BC ＝2，SO ＝3，∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.B 级1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于32－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝22，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝33，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.答案：33．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.∵OE ⊄平面A1C1C ，A1C ⊂平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a22，S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a22，S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a28＝5a2.。

2004-2007年高考试题安徽卷理科数学及答案

2004年高考试题全国卷1 理科数学（必修+选修Ⅱ）(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.第I 卷（选择题共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C k n P k (1－P)n －k一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共601．(1－i)2·i= （）A ．2－2iB ．2+2iC ．－2D ．2 2．已知函数=−=+−=)(.)(.11lg )(a f b a f xxx f 则若（）A ．bB ．－bC ．b1D ．－b1 3．已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b|=（）A ．7B ．10C ．13D ．4 4．函数)1(11≥+−=x x y 的反函数是（）A ．y=x 2－2x +2(x <1)B ．y=x 2－2x +2(x ≥1)C ．y=x 2－2x (x <1)D ．y=x 2－2x (x ≥1) 5．73)12(xx −的展开式中常数项是（）A ．14B ．－14C ．42D ．－426．设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式中错误．．的是（）A ．(I C A)∪B=IB ．(IC A)∪(I C B)=I球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径，球的体积公式V=334R π ，其中R 表示球的半径C ．A ∩(I C B)=φD ．(I C A) (I C B)= I C B7．椭圆1422=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF =（）A ．23B ．3C ．27 D ．48．设抛物线y 2=8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（）A ．[－21，21] B ．[－2，2]C ．[－1，1]D ．[－4，4]9．为了得到函数)62sin(π−=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度10．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H.设四面体EFGH的表面积为T ，则ST等于（）A ．91B ．94C ．41 D ．31 11．从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（）A ．12513B ．12516 C ．12518 D ．12519 12．ca bc ab a c c b b a ++=+=+=+则,2,2,1222222的最小值为（）A ．3－21B ．21－3 C ．－21－3 D ．21+3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．不等式|x +2|≥|x |的解集是 .14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹方程为 .15．已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项 1___n a ⎧=⎨⎩12n n =≥ 16．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是（写出所有正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244−++=的最小正周期、最大值和最小值.18．（本小题满分12分）一接待中心有A 、B 、C 、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率均为0.5，电话C 、D 占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望. 19．（本小题满分12分）已知,R a ∈求函数axe x xf 2)(=的单调区间.20．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥 P —ABCD ，PB ⊥AD 侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°.（I ）求点P 到平面ABCD 的距离，（II ）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）设双曲线C ：1:)0(1222=+>=−y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125PB PA =求a 的值. 22．（本小题满分14分）已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式.2004年高考试题全国卷1 理科数学（必修+选修Ⅱ）(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)参考答案一、选择题DBCBABCCBADB二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．{x |x ≥－1} 14．x 2+y 2=4 15．2!n 16．①②④ 三、解答题 17．本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形，以及三角函娄的有关性质.满分12分.解：xx xx x x x f cos sin 22cos sin )cos (sin )(22222−−+=212sin 41)cos sin 1(21)cos sin 1(2cos sin 122+=+=−−=x x x x x x x所以函数f (x )的最小正周期是π，最大值是43，最小值是41. 18．本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.P(ξ=1)=12C ×0.52×0.62+12C ×0.52×0.4×0.6=0.3P(ξ=2)= 22C ×0.52×0.62+12C 12C ×0.52×0.4×0.6+22C ×0.52×0.42=0.37. P(ξ=3)= 22C 12C ×0.52×0.4×0.6+12C 22C ×0.52×0.42=0.2 P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04所以E ξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.19．本小题主要考查导数的概率和计算，应用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论的数学思想.满分12分. 解：函数f (x )的导数：.)2(2)(22ax ax ax e ax x e ax xe x f ++=+='（I ）当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0.所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.（II ）当,02,02,02>−<>+>x ax ax x a 或解得由时由.02,022<<−<+x aax x 解得所以，当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，－a 2）内为增函数，在区间（－a 2，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；（III ）当a <0时，由2x +ax 2>0，解得0<x <－a2, 由2x +ax 2<0，解得x <0或x >－a2. 所以当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，－a2）内为增函数，在区间（－a2，+∞）内为减函数. 20．本小题主要考查棱锥，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.（I ）解：如图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为点O.连结OB 、OA 、OD 、OB 与AD 交于点E ，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB ，∵PA=PD ，∴OA=OD ，于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，所以PE ⊥AD.由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角， ∴∠PEB=120°，∠PEO=60°由已知可求得PE=3∴PO=PE ·sin60°=23233=⨯，即点P 到平面ABCD 的距离为23. （II ）解法一：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA.)43,433,0(),0,233,0(),23,0,0(的坐标为中点G PB B P .连结AG.又知).0,233,2(),0,23,1(−C A 由此得到： 0,0).0,0,2(),23,233,0(),43,43,1(=⋅=⋅−=−=−−=PB BC PB GA BC PB GA 于是有所以θ的夹角BC GA PB BC PB GA ,.⊥⋅⊥ 等于所求二面角的平面角，于是,772||||cos −=⋅=BC GA BC GA θ 所以所求二面角的大小为772arccos−π . 解法二：如图，取PB 的中点G ，PC 的中点F ，连结EG 、AG 、GF ，则AG ⊥PB ，FG//BC ，FG=21BC. ∵AD ⊥PB ，∴BC ⊥PB ，FG ⊥PB ， ∴∠AGF 是所求二面角的平面角. ∵AD ⊥面POB ，∴AD ⊥EG .又∵PE=BE ，∴EG ⊥PB ，且∠PEG=60°. 在Rt △PEG 中，EG=PE ·cos60°=23.在Rt △PEG 中，EG=21AD=1. 于是tan ∠GAE=AE EG =23, 又∠AGF=π－∠GAE.所以所求二面角的大小为π－arctan23. 21．（本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质，平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=−.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>−+≠−a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a aaa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =−=−∴=由此得由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，1317,06028912,,.12125.1212172222222222=>=−−−−=−−=a a a a x a a x a a x 所以由得消去所以 22．本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分. 解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0, a 3=a 2+31=3. a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k= a 2k －1+(－1)k +3k , 所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －1, ……a 3－a 1=3+(－1).所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －1+…+(－1)], 由此得a 2k+1－a 1=23(3k－1)+21[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(21231−−++k ka 2k = a 2k －1+(－1)k =2123+k (－1)k －1－1+(－1)k =2123+k(－1)k =1.{a n }的通项公式为：当n 为奇数时，a n =;121)1(232121−⨯−+−+n n 当n 为偶数时，.121)1(2322−⨯−+=nn n a2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河北河南安徽山西海南）源头学子小屋本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页第Ⅱ卷3到10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、相互独立，那么其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P −−=)1()(一、选择题（1）复数ii 2123−−=（A ）i（B ）i −（C ）i −22（D ）i +−22（2）设I 为全集，321S S S 、、是I 的三个非空子集，且I S S S =⋃⋃321，则下面论断正确的是（A ）Φ=⋃⋂）（321S S S C I（B ）123I I S C S C S ⊆⋂（）（C ）123I I I C S C S C S ⋂⋂=Φ（D ）123I I S C S C S ⊆⋃（）（3）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（A ）π28（B ）π8（C ）π24（D ）π4（4）已知直线l 过点），（02−，当直线l 与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（A ）），（2222− （B ）），（22−（C ）），（4242−（D ）），（8181− （5）如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（A ）32 （B ）33（C ）34 （D ）23（6）已知双曲线)0( 1222>=−a y ax 的一条准线与抛物线x y 62−=的准线重合，则该双曲线的离心率为（A ）23（B ）23（C ）26 （D ）332 （7）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（A ）2（B ）32（C ）4（D ）34（8）设0>b ，二次函数122−++=a bx ax y 的图像为下列之一则a 的值为（A ）1（B ）1−（C ）251−− （D ）251+− （9）设10<<a ，函数)22(log )(2−−=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（A ）)0,(−∞（B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a −∞（D ）),3(log +∞a（10）在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+−≤−≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（A ）2（B ）23 （C ）223 （D ）2（11）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan=+，给出以下四个论断： ①1cot tan =⋅B A②2sin sin 0≤+<B A③1cos sin 22=+B A④C B A 222sin cos cos =+其中正确的是（A ）①③ （B ）②④ （C ）①④ （D ）②③ （12）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（A ）18对（B ）24对（C ）30对（D ）36对第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 3．本卷共10小题，共90分二、本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上（13）若正整数m 满足m m 102105121<<−，则m = )3010.02≈（14）9)12(xx −的展开式中，常数项为（用数字作答）（15）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m =（16）在正方形''''D C B A ABCD −中，过对角线'BD 的一个平面交'AA 于E ，交'CC 于F ，则① 四边形E BFD '一定是平行四边形 ② 四边形E BFD '有可能是正方形③ 四边形E BFD '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形E BFD '有可能垂直于平面D BB '以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本大题满分12分）设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<−+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8=x（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间；（Ⅲ）证明直线025=+−c y x 于函数)(x f y =的图像不相切（18）（本大题满分12分）已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD ，且PA=AD=DC=21AB=1，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小（19）（本大题满分12分）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和,2,1( 0 =>n S n （Ⅰ）求q 的取值范围；（Ⅱ）设1223++−=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小（20）（本大题满分12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种; 若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望（精确到01.0）（21）（本大题满分14分）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(−=a 共线（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R OB OA OM ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值（22）（本大题满分12分）（Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<−−+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值；（Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明n p p p p p p p p n n −≥++++222323222121log log log log2005年高考理科数学全国卷Ⅰ试题及答案（河北河南安徽山西海南）参考答案一、选择题：1．A 2．C 3．B 4．C 5．A 6．D7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．D二、填空题： 13．155 14．672 15．1 16．①③④ 三、解答题17．本小题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力，满分12分解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ.,24Z k k ∈+=+∴ππππ.43,0πϕϕπ−=<<− （Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ−=−=x y 因此由题意得.,2243222Z k k x k ∈+≤−≤−πππππ所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++−=πππππ的单调增区间为（Ⅲ）证明：∵ 33|||(sin(2))||2cos(2)|244y x x ππ''=−=−≤所以曲线)(x f y =的切线斜率的取值范围为[-2,2]，而直线025=+−c y x 的斜率为522>，所以直线025=+−c y x 于函数3()sin(2)4y f x x π==−的图像不相切 18．本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识及思维能力和空间想象能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力满分12分方案一：（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD. （Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90°在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .510cos ==∠∴PB BE PBE .510arccos所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角 ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ，在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM.在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM ⋅−22)2(， 5625223=⨯=∴AN . ∴AB=2，322cos 222−=⨯⨯−+=∠∴BN AN AB BN AN ANB故所求的二面角为).32arccos(−方法二：因为PA ⊥PD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A （0，0，0）B （0，2，0），C （1，1，0），D （1，0，0），P （0，0，1），M （0，1，)21. （Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=⋅==所以故又由题设知AD ⊥DC ，且AP 与与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD. 又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD（Ⅱ）解：因),1,2,0(),0,1,1(−==PB AC.510||||,cos ,2,5||,2||=⋅>=<=⋅==PB AC PBAC PB AC PB AC PB AC 所以故由此得AC 与PB 所成的角为.510arccos（Ⅲ）解：在MC 上取一点N （x ，y ，z ），则存在,R ∈λ使,MC NC λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==−=∴−=−−−=z y x MC z y x NC要使.54,0210,==−=⋅⊥λ解得即只需z x MC AN MC AN 0),52,1,51(),52,1,51(,.0),52,1,51(,54=⋅−===⋅=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.30304||,||,.555AN BN AN BN ==⋅=− 2cos(,).3||||AN BN AN BN AN BN ⋅∴==−⋅2arccos().3−故所求的二面角为19．（Ⅰ）).,0()0,1(+∞⋃−（Ⅱ）0,100,n S q q >−<<>又因为且或1,12,0,;2n n n n q q T S T S −<<−>−>>所以当或时即120,0,;2n n n n q q T S T S −<<≠−<<当且时即1,2,0,.2n n n n q q T S T S =−=−==当或时即ξ的数学期望为:75.3002.030041.020287.010670.00=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE21．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y −=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=−+−+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +−=+=+由OB OA a y y x x OB OA +−=++=+),1,3(),,(2121与a 共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y −=−=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++−+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =−=∴=，故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x OM =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ 22．本小题考查数学归纳法及导数应用知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力满分12分（Ⅰ）解：对函数()f x 求导数：22()(log )[(1)log (1)]f x x x x x '''=+−−2211log log (1)ln 2ln 2x x =−−+−22log log (1)x x =−− 于是1()02f '=，当12x <时，22()log log (1)0f x x x '=−−<，()f x 在区间1(0,)2是减函数，当12x >时，22()log log (1)0f x x x '=−−>，()f x 在区间1(,1)2是增函数，所以21)(=x x f 在时取得最小值，1)21(−=f ，（II ）用数学归纳法证明(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立 (ⅱ)假设当n=k 时命题成立即若正数1232,,,,k p p p p 满足12321k p p p p ++++=，则121222323222log log log log k k p p p p p p p p k ++++≥−当n=k+1时，若正数11232,,,,k p p p p +满足112321k p p p p +++++=，令1232k x p p p p =++++11p q x =，22p q x =，……，22k k p q x= 则1232,,,,k q q q q 为正数，且12321k q q q q ++++=，由归纳假定知121222323222log log log log k k q q q q q q q q k ++++≥−121222323222log log log log k kp p p p p p p p ++++1212223232222(log log log log log )k k x q q q q q q q q x =+++++2()log x k x ≥−+ ①同理，由1212221k k k p p p x ++++++=−，可得112222*********log log log k k k k k k p p p p p p +++++++++2(1)()(1)log (1)x k x x ≥−−+−− ②综合①、②两式11121222323222log log log log k k p p p p p p p p ++++++22()log (1)()(1)log (1)x k x x x k x x ≥−++−−+−− 22()log (1)log (1)k x x x x =−++−− 1(k k ≥−−=−+即当n=k+1时命题也成立根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n 命题成立2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

2004年全国高中数学联赛一等奖名单

2005年全国高中信息学联赛一等奖名单安徽省（35名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号杨弋芜湖师大附中I050001 储凌合肥一中I050019 汪晔芜湖一中I050002 李乾坤合肥六中I050020 冯浩芜湖一中I050003 王静琰马鞍山二中I050021 洪子卿蚌埠二中I050004 张一苇六安一中I050022 周冬芜湖一中I050005 王静铜陵市一中I050023 刘越六安一中I050006 伊姣铜陵市一中I050024 钱晨芜湖一中I050007 倪福辰淮南二十三中I050025 郭振鹏六安一中I050008 吴轲芜湖一中I050026 夏方婷芜湖一中I050009 黄磊蚌埠二中I050027 吴峻蚌埠二中I050010 高阳蚌埠二中I050028 林萌合肥一中I050011 郭皓合肥一中I050029 盛禧芜湖城南实验中学I050012 叶翔合肥一中I050030 童朝旭铜陵市一中I050013 姚天辰蚌埠三中I050031 唐小川蚌埠二中I050014 汤润泽马鞍山二中I050032 桂彬蚌埠二中I050015 尤雪柏马鞍山二中I050033 彭诚合肥一中I050016 朱海帆芜湖师大附中I050034 方天行芜湖一中I050017 方舒怡巢湖市无为中学I050035 汪淳马鞍山二中I050018北京市（20名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号范敬凡北京市第八十中学I050037 杨毅北京市六十六中I050047 高逸涵清华附中I050038 宫恩浩北京四中I050048 吴辰绅人大附中I050039 王一帆人大附中I050049 石超北大附中I050040 闫昭北大附中I050050 秦腾北大附中I050041 李杨首师大附中I050051 刘邦北京四中I050042 张宇晨北大附中I050052 杨群景山中学I050043 李露然北京市第八十中学I050053 洪锴北京师大二附中I050044 刘爽人大附中I050054 尹征牛山一中I050045 朱佳路顺义一中I050055 孟凡磊牛山一中I050046 李宇鹏北师大附属中学I050056重庆市（33名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号胡遥重庆八中I050057 王彦南开中学I050074 何银深重庆八中I050058 王秋琳南开中学I050075雷淼巴蜀中学I050059 毛川南开中学I050076 顾森重庆八中I050060 彭艺西师附中I050077 汪涵默巴蜀中学I050061 梁阳鹤西师附中I050078 沈许川重庆一中I050062 李程南开中学I050079 张袆星重庆一中I050063 唐旻葳重庆一中I050080 李国南开中学I050064 程浪重庆一中I050081 黄晓愉重庆一中I050065 刘枭南开中学I050082 赵盎重庆八中I050066 冯立男重庆八中I050083 谭望达重庆一中I050067 张昕南开中学I050084 祖新星重庆八中I050068 陈虹宇南开中学I050085 陈承外语校I050069 周重道渝中区29中I050086 袁驿飞南开中学I050070 陈卓重庆八中I050087 江怡然重庆八中I050071 张子亿重庆一中I050088 向威重庆八中I050072 王吟松重庆一中I050089 白原重庆一中I050073福建省（43名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号胡伯涛福州一中I050090 王彧虹福州一中I050112 杨沐福州第三中学I050091 李成福清一中I050113 余林韵福州一中I050092 吕敦霖福州一中I050114 肖汉骏福州一中I050093 黄友良南安一中I050115 石智福州第一中学I050094 陈若且福建师大附中I050116 黄群福州一中I050095 陈铬亮福建师大附中I050117 杨参福州一中I050096 陈仕谋南安一中I050118 谢凌曦福州一中I050097 庄俊元厦门一中I050119 金鑫福州一中I050098 黄愚长汀一中I050120 林奔福州八中I050099 刘思聪长汀一中I050121 黄靖福州第三中学I050100 林尧福建师大附中I050122 张弋福州一中I050101 崔汉青福清一中I050123 蒋浩福州一中I050102 李彬福州八中I050124 蔡文挺福州一中I050103 陈汉福州第三中学I050125 应涵厦门一中I050104 林龑龙岩一中I050126 吴晓悦福州八中I050105 王长历南安一中I050127 林欣葳福州第三中学I050106 吴淞华泉州七中I050128 王旭辉福州一中I050107 蔡华谦石狮一中I050129 杨龙琪南安一中I050108 梁爽厦门集美中学I050130 郑暾福州八中I050109 杨沐杉厦门一中I050131 梁塔锭南安一中I050110 黄孟福建师大附中I050132 戴彦祺厦门一中I050111甘肃省（10名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号孙庆兰州一中I050133 侯昊兰州一中I050138 白忠凯西北师大附中I050134 杨红升金川公司一中I050139 苏子杰西北师大附中I050135 白子石西北中学I050140 金毅榆中一中I050136 王天琪武威第六中学I050141 薛子骏西北师大附中I050137 苏勇兰州一中I050142广东省（81名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号陈启峰纪念中学I050143 李文翰东莞中学I050184 杨溢韶关市第一中学I050144 王力东莞中学I050185 王玥广州第六中学I050145 刘冶汕头金山中学I050186 顾研中山市第一中学I050146 梁伟斌广东肇庆中学I050187 余江伟中山市第一中学I050147 李彦亭中山市侨中I050188 杨卓恒广州华南师范大学附中I050148 陈龙中山市一中I050189 李明韫中山市纪念中学I050149 张浩铭中山市一中I050190 张伟达韶关市第一中学I050150 周品智中山纪念中学I050191 叶树雄韶关市第一中学I050151 佘洁莹中山市一中I050192 蓝俊中山市一中I050152 李晓俊中山侨中I050193 周雅佛山市一中I050153 方振发中山侨中I050194 李斌汕头金山中学I050154 莫晓龙佛山南海石门中学I050195 郭宇昌中山纪念中学I050155 吴添威佛山南海石门中学I050196 余远铭广东北江中学I050156 林菁广州第六中学I050197 郭浩泉广州第六中学I050157 黄敏豪茂名化州一中I050198 王轩楠中山市一中I050158 胡晓诚广州广东广雅中学I050199 钟家明佛山南海区石门中学I050159 容榕广州第六中学I050200 李楠中山培正中学I050160 罗穗骞广州华师附中I050201 李超赞广州第六中学I050161 张彦韶关广东北江中学I050202 郑石真东莞中学I050162 江睿晖深圳中学I050203 孔德本韶关市第一中学I050163 区继涛广州广东广雅中学I050204 刘家骅韶关市第一中学I050164 朱俊荣中山纪念中学I050205 凌伟韶关市第一中学I050165 李宁成广州华师附中I050206 江泓升广东北江中学I050166 范文中广州第六中学I050207 张一弛广州执信中学I050167 蔡奕林广东肇庆中学I050208 唐建明深圳中学I050168 梁绮华佛山南海区石门中学I050209 付浩东莞中学I050169 陈国鹏广州华师附中I050210 张洪生汕头金山中学I050170 冯锋中山纪念中学I050211 胡古月中山市一中I050171 林嘉锵中山一中I050212 邹雨晗广东江北中学I050172 何万可佛山南海区石门中学I050213 莫璐怡广州第六中学I050173 温潮清韶关广东北江中学I050214 邱雁卿东莞市新世纪英才学校I050174 吴铭浠中山市一中I050215 李腾浩惠州市一中I050175 白桂洪佛山南海区石门中学I050216林泓煌汕头金山中学I050176 余敏华广州第六中学I050217 陈云龙汕头金山中学I050177 高艺铭珠海一中I050218 邓子恒中山市一中I050178 吴家杰中山濠江中学I050219 麦原中山纪念中学I050179 梁嘉文中山纪念中学I050220 徐展鹏广州第六中学I050180 萧嘉杰中山濠江中学I050221 张韬韶关市第一中学I050181 周盈莹东莞市新世纪英才学校I050222 裴继升广州铁路第一中学I050182 候富康中山市一中I050223 黎霆钧珠海一中I050183广西省（29名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号冯子龙柳州实验高中I050224 周兆祎柳州实验高中I050239 梁晨锦柳州实验高中I050225 黄净柳州实验高中I050240 刘慧琳柳州实验高中I050226 谢春晖柳州实验高中I050241 张远南宁市第二中学I050227 文海龙柳州实验高中I050242 梁一中南宁市第三中学I050228 李正南宁市第二中学I050243 张柳航柳州高中I050229 黄琛柳州市46中I050244 徐阳彤柳州高中I050230 陆培宇柳州实验高中I050245 祝文鑫柳州高中I050231 钟智琛柳州实验高中I050246 黄哲柳州实验高中I050232 谢如绮柳州实验高中I050247 徐煜明柳州实验高中I050233 彭麟皓柳州市12中I050248 李弋龙南宁市第二中学I050234 吕海南宁市第三中学I050249 潘银盈柳州高中I050235 黄南山南宁市第二中学I050250 叶思聪柳州市46中I050236 莫杉柳州高中I050251 周承明柳州八中I050237 唐舜莹柳州实验高中I050252 严浙柳州实验高中I050238贵州省（6名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号王承珂遵义航天中学I050253 程芃祺贵阳市一中I050256 周锴安顺市二中I050254 吴昊贵阳市一中I050257 敖文亮安顺市一中I050255 魏祯遵义航天中学I050258海南省（5名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号傅杰运海南中学I050259 龙全正海南中学I050262 符永健海南中学I050260 颜欢海师附中I050263 林旭海南中学I050261河南省（32名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号陈旭旭郑州第101中学I050264 汪慎郑州中学I050280 罗宇龙河南省实验中学I050265 肖萌郑州一中I050281 陈昕郑州11中I050266 刘子雷开封高中I050282 罗宁河南省实验中学I050267 韦佑龙郑州中学I050283 邵琪河南师范大学附属中学I050268 郑骢郑州市第16中学I050284 王寅郑州第101中学I050269 李轶河南省实验中学I050285 张帆新乡铁一中I050270 申豪杰郑大一附中I050286 周夏冰郑州第101中学I050271 孙剑宇河南油田高级中学I050287 张鹏河南省实验中学I050272 周伟郑州第101中学I050288 徐竞欧郑州第101中学I050273 马维忠郑大一附中I050289 郑傅钟河南师范大学附属中学I050274 骆毅郑州一中I050290 王骏郑州第101中学I050275 周霖河南省实验中学I050291 兰天翔河南省实验中学I050276 杨帆河南省实验中学I050292 袁辉河南师范大学附属中学I050277 张骁飞开封高中I050293 炎喆河南师范大学附属中学I050278 李中夏河南油田高级中学I050294 司永强新乡铁一中I050279 宋方舟河南省实验中学I050295河北省（16名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号于航唐山一中I050296 杨敏达石家庄二中I050304 王梦源石家庄二中I050297 王竞一唐山第一中学I050305 刘泽宇金华中学I050298 范雨喆石家庄二中I050306 王帅唐山第一中学I050299 宋恒唐山第一中学I050307 张博文唐山一中I050300 宋哲石家庄二中I050308 陈相如唐山一中I050301 陈宇唐山第一中学I050309 王嘉唐山第一中学I050302 黄超承德市实验中学I050310 刘思壮唐山26中I050303 孟令丙辛集中学I050311黑龙江省(6名)姓名学校证书编号姓名学校证书编号刘喜佳佳木斯一中I050312 种敏琪大庆一中I050315 张东擎大庆一中I050313 任彧哈三中I050316 李宏智佳木斯一中I050314 任帅大庆一中I050317湖北省（24名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号贾由武汉市武钢三中I050318 彭黎森武汉二中I050330 吴斌武汉市武钢三中I050319 赵卿元武汉市华师一附中I050331 兰海宜昌市一中I050320 孙珲武汉市武钢三中I050332 第伍乐超武汉市华师一附中I050321 刘凯江汉油田广华中学I050333 黎晖武汉二中I050322 常迪武汉二中I050334冯威武汉市华师一附中I050323 贾峤武汉市武钢三中I050335 曾呈武汉市武钢三中I050324 张逸嘉武汉市华师一附中I050336 邹江渝武汉市华师一附中I050325 靳路昶武汉市华师一附中I050337 任家琪武汉市武钢三中I050326 秦昊武汉一中I050338 侯健武汉二中I050327 孙睿武汉市武钢三中I050339 胡际知武汉市华师一附中I050328 王湘龙襄樊五中I050340 段昊昊武汉市华师一附中I050329 周毅宜昌市夷陵中学I050341湖南省（60名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号姚金宇长沙市雅礼中学I050342 朱颖长沙市一中I050372 郭华阳长沙市长郡中学I050343 仇荣琦湖南师大附中I050373 汤泽长沙市一中I050344 罗阳湖南师大附中I050374 雷涛长沙市雅礼中学I050345 邹志鹏长沙市雅礼中学I050375 龙凡长沙市雅礼中学I050346 李自翔浏阳一中I050376 郑曌长沙市雅礼中学I050347 杨挺长沙市长郡中学I050377 陈峰宏湖南师大附中I050348 周书航长沙市雅礼中学I050378 陈雪长沙市雅礼中学I050349 文艺长沙市雅礼中学I050379 袁昕颢长沙市长郡中学I050350 曾一凡浏阳一中I050380 周戈林长沙市长郡中学I050351 杜睿长沙市雅礼中学I050381 郑泽宇长沙市雅礼中学I050352 刘炜清长沙市长郡中学I050382 程之炜长沙市雅礼中学I050353 冯子明长沙市长郡中学I050383 孙灏长沙市雅礼中学I050354 柏睿耒阳二中I050384 彭畅湖南师大附中I050355 石乐长沙市一中I050385 吴戈长沙市长郡中学I050356 刘修岑长沙市雅礼中学I050386 殷明长沙市一中I050357 刘伟长沙市长郡中学I050387 肖威衡阳八中I050358 尹天蛟长沙市长郡中学I050388 王溪长沙市雅礼中学I050359 柳成荫长沙市一中I050389 陈泽佳长沙市雅礼中学I050360 黄新星长沙市长郡中学I050390 王偲湖南师大附中I050361 李孜理长沙市长郡中学I050391 张家鹏长沙市雅礼中学I050362 张略钊长沙市雅礼中学I050392 张洋郴州市二中I050363 周煜航长沙市长郡中学寄宿部I050393 张弛长沙市雅礼中学I050364 贺钧湘潭县一中I050394 龙哲长沙市长郡中学I050365 胡清波长沙市雅礼中学I050395 李皓长沙市长郡中学I050366 周文剑长沙市长郡中学I050396 周杰长沙市长郡中学I050367 陈兴欣长沙市长郡中学I050397 周毅长沙市长郡中学I050368 梁烨长沙市长郡中学寄宿部I050398 洪泽华衡阳八中I050369 刘靓长沙市长郡中学I050399 陈丹琦长沙市雅礼中学I050370 赵尚平浏阳一中I050400 孟小竹长沙市一中I050371 吴迪株洲市二中I050401吉林省（13名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号赵一振吉林一中I050402 张贺吉林一中I050409陈醒东北师大附中I050403 李岩吉林一中I050410 刘兰峥吉林一中I050404 刘书亮东北师大附中I050411 肖峣吉林一中I050405 黄鑫吉林一中I050412 费强东北师大附中I050406 孙中阳吉林一中I050413 宋元龙吉林一中I050407 孙健翔松原油田高中I050414 王司语吉林一中I050408江苏省（74名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号李元江苏省淮阴中学I050415 顾佳唯南通中学I050452 姜啸江苏省常州高级中学I050416 陈诚江苏省常州高级中学I050453 欧阳云南京外国语学校I050417 陈龙常州市一中I050454 张煜承扬州中学I050418 李凯常州市一中I050455 陈瑜希南京外国语学校I050419 蒋音浩常州市一中I050456 李昂镇江一中I050420 王俊杰江苏省常州高级中学I050457 薛杰常州一中I050421 姜楠南京外国语学校I050458 羊逸江苏省常州高级中学I050422 孙昌江苏省梁丰高级中学I050459 方飞江苏省常州高级中学I050423 石山石江苏省大丰高级中学I050460 曹正南京外国语学校I050424 单巍江苏省大丰高级中学I050461 张弛南京外国语学校I050425 杨弘宇江苏省淮阴中学I050462 陈明骋江苏省常州高级中学I050426 毕胜江苏省金湖中学I050463 顾昕彪* 江苏省常州高级中学I050427 韩剑雷南通中学I050464 程宇南京金陵中学I050428 李哲江苏省靖江高级中学I050465 仲晨赣榆高级中学I050429 王鹏徐州市第一中学I050466 薛业翔江苏省常州高级中学I050430 唐大伟江苏省武进高级中学I050467 戎术江苏省常州高级中学I050431 赵晟江苏省常州高级中学I050468 王靖南京外国语学校I050432 吴宇遨江苏省苏州中学I050469 裴宇晨南通中学I050433 赵一冰南师附中I050470 卢俊江苏省常州高级中学I050434 庞旭南京师范大学附属中学I050471 黄心锐南京市金陵中学I050435 王志博江苏省淮阴中学I050472 张钟秀南京师范大学附属中学 I050436 徐瑞文南京市金陵中学I050473 杨易清南京市金陵中学I050437 曹云超江苏省江都中学I050474 王心远南京市金陵中学I050438 朱剑桥南京师范大学附属中学I050475 吴一帆苏州市第十中学I050439 杨一凡江苏省苏州中学I050476 龚云飞* 江苏省前黄高级中学I050440 邹竣元南京师范大学附属中学I050477 高曙阳江苏省常州高级中学I050441 李健喆南京外国语学校I050478 何昊骢常州市一中I050442 俞泽宙江苏省丹阳高级中学I050479 袁洋江苏省常州高级中学I050443 丁洪江苏省常州高级中学I050480 李常然江苏省常州高级中学I050444 何泽林江苏省清江中学I050481 黄辰江苏省华罗庚中学I050445 陈凯斐江苏省常州高级中学I050482 黄溢辰南京师范大学附属中学 I050446 杨裕欣无锡市第一中学I050483 陈卓南京市外国语学校I050447 柏楠赣榆高级中学I050484 蒋炎岩南京市金陵中学I050448 田力江苏省华罗庚中学I050485 张子旸江苏省泰州中学I050449 谢天忆苏州市第一中学I050486 王旭扬州中学I050450 何政达徐州市第36中学I050487华祎徐州市第36中学I050451 朱涵江苏省苏州中学I050488江西省（30名）姓名学校证书编号姓名学校证书编号龚良琪九江市一中I050489 汪洪汇婺源天佑中学I050504 罗佳辰南昌外国语学校I050490 王俊武九江市一中I050505 辛苑江西师大附中I050491 严墨洋九江市一中I050506 陈琪临川一中I050492 陈嘉晖九江市一中I050507 仇智南昌二中I050493 陈少林赣县中学I050508 王仪琛九江市一中I050494 陈文涛临川二中I050509 张镇宇九江市一中I050495 胡正一九江二中I050510 衷心赣州三中I050496 黄希睿新余市一中I050511 李尧临川二中I050497 李笑冬新余市四中I050512 李梦斌临川二中I050498 刘嘉其萍乡中学I050513 刘雨欣新余市一中I050499 刘诗文九江市一中I050514 樊欣九江二中I050500 彭立勋宜春中学I050515 易超萍乡中学I050501 王克宾临川二中I050516 郭涛上犹中学I050502 许之捷师大附中I050517 连漪新余市四中I050503 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黄劲松绍兴县柯桥中学I050807 王旻绍兴县柯桥中学I050834 魏越闽杭州学军中学I050808 李涛绍兴一中I050835 吴越衢州二中I050809 谢峰宁波效实中学I050836 王远轩余姚中学I050810 傅锴铭绍兴一中I050837 许怿文绍兴一中I050811 徐源杭州学军中学I050838 应圣钢杭州二中I050812 张弘毅杭州学军中学I050839 朱晟桐乡高级中学I050813 谢玮峰绍兴县柯桥中学I050840 周金龙温州中学I050814 郑海斌绍兴一中I050841 陈天奇松阳二中I050815 祝利聪江山中学I050842 陈思渝绍兴一中I050816 林俊琦宁波鄞州中学I050843。

2004年春季高考.安徽卷.理科数学试题及解答

2004年全国普通高等院校春季招生考试(安徽卷)数学试卷（理科）及解答一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分. 1. 5(4＋i )2i (2＋i )＝(2004年安徽春(1)5分)A .5(1－38i )B .5(1＋38i )C .1＋38iD .1－38i答：D2. 不等式|2x 2－1|≤1的解集为(2004年安徽春(2)5分)A .{x |－1≤x ≤1}B .{x |－2≤x ≤2}C .{x |0≤x ≤2}D .{x |－2≤x ≤0}答：A3. 已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝60º，则椭圆的离心率为(2004年安徽春(3)5分) A .12 B .22C .33D .32答：C4. lim n →∞(n －2)2(2＋3n )3(1－n )5＝(2004年安徽春(4)5分)A .0B .32C .－27D .27答：C5. 等边三角形ABC 的边长为4，M 、N 分别为AB 、AC 的中点，沿MN 将△AMN 折起，使得面AMN 与面MNCB 所成的二面角为30º，则四棱锥A －MNCB 的体积为(2004年安徽春(5)5分) A .32 B .32C .3D .3答：A6. 已知数列{a n }满足a 0＝1，a n ＝a 0＋a 1＋……＋a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n ＝(2004年安徽春(6)5分) A .2n B .12n (n ＋1) C .2n －1D .2n －1答：C7. 若二面角α－l －β为120º，直线m ⊥α，则β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是(2004年安徽春(7)5分)A .(0，90º]B .[30º，60º]C .[60º，90º]D .[30º，90º]答：D8. 若f (sinx )＝2－cos 2x ，则f (cosx )＝(2004年安徽春(8)5分)A .2－sin 2xB .2＋sin 2xC .2－cos 2xD .2＋cos 2x答：D9. 直角坐标xOy 平面上，平行直线x ＝n (n ＝0，1，2，……，5)与平行直线y ＝n (n ＝0，1，2，……，5)组成的图形中，矩形共有(2004年安徽春(9)5分) A .25个 B .36个C .100个D .225个答：D10. 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0，若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是(2004年安徽春(10)5分) A .x －2y ＋1＝0 B .x －2y －1＝0C .x ＋y －1＝0D .x ＋2y －1＝0答：B11. 已知向量集合M ＝{a →|a →＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R }，N ＝{a →|a →＝(－2，－2)＋λ(4，5)，λ∈R }.则M ∩N ＝( )(2004年春安徽(11)5分) A .{(1，1)} B .{(1，1)，(－2，－2)} C .{(－2，－2)}D .φ答：C12. 函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为(2004年安徽春(12)5分)A .π4 B .π2C .πD .2π答：B二、填空题：本大题共计4小题，每小题4分，共16分13. 抛物线y 2＝6x 的准线方程是________________.(2004年安徽春(13)4分)答：x ＝－3214. 在5名学生(3名男生，2名女生)中安排2名学生值日，其中至少要有1名女生的概率是______________.(2004年安徽春(14)4分) 答：0.715. 函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为_______________.(2004年安徽春(15)4分)答：1416. 若(x ＋1x－2)n 的展开式中常数项为－20，则自然数n ＝______________.(2004年安徽春(16)4分) 答：3三、解答题：本大题共6个小题，共74分.17. 解关于x 的不等式：log a 3x ＜3log a x (a ＞0且a ≠1)(2004年安徽春(17)12分)本小题主要考查对数、不等式解法等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力，满分12分解：令log a x ＝y ，则原不等式化为 y 3－3y ＜0解得 y ＜－3或0＜y ＜3 即 log a x ＜－3或0＜log a x ＜3当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＞a ∪{x |x ＜1}当a ＞1时，不等式的解集为{x |0＜x ＜a∪{x |1＜x ＜18. 已知正项数列{b n }的前n 项和B n ＝14(b n ＋1)2，求{b n }的通项公式.(2004年安徽春(18)12分)本小题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查运算能力.满分12分. 解：当n ＝1时，B 1＝b 1. ∴b 1＝14(b 1＋1)2，解得b 1＝1当n ≥2时，b n ＝B n －B n －1＝14(b n ＋1)2－14(b n －1＋1)2＝14(b n 2－b n －12＋2b n －2b n －1)整理得：b n 2－b n －12－2b n －2b n －1＝0∴ (b n ＋b n －1)(b n －b n －1－2)＝0 ∵ b n ＋b n －1＞0， ∴ b n －b n －1－2＝0∴{b n }是首项为b 1＝1，公差d ＝2得等差数列 ∴ b n ＝2(n －1)＋1＝2n －1 即{b n }的通项公式是b n ＝2n －1.19. 已知k ＞0，直线l 1:y ＝kx ，l 2:y ＝－kx .(2004年安徽春(19)12分)(1)证明：到l 1、l 2的距离平方和为定值a (a ＞0)的点的轨迹是圆或椭圆； (2)求到l 1、l 2的距离之和为定值c (c ＞0)的点的轨迹.本题主要考查直线、圆、椭圆的方程和性质，曲线预防成的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力.满分12分. 解：(1)设点P (x ，y )为动点，则 |y －kx |21＋k 2＋|y ＋kx |21＋k 2＝a 整理得：x 2(1＋k 2)a 2k 2＋y 2(1＋k 2)a 2＝1因此，当k ＝1时，动点的轨迹为圆；当k ≠1时，动点的轨迹为椭圆. (2)设点P (x ，y )为动点，则 |y －kx |＋|y ＋kx |＝c 1＋k 2当y ≥k |x |时，y －kx ＋y ＋kx ＝c 1＋k 2，即y ＝12c 1＋k 2；当y ≤－k |x |时，kx －y －y －kx ＝c 1＋k 2，即y ＝－12c 1＋k 2；当－k |x |＜y ＜k |x |且x ＞0时，kx －y ＋y ＋kx ＝c 1＋k 2，即x ＝12k c 1＋k 2当－k |x |＜y ＜k |x |且x ＜0时，y －kx －y －kx ＝c 1＋k 2，即x ＝－12k c 1＋k 2综上所述，动点的轨迹为矩形.20. 已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中底面边长和棱长均为a ，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，A 1B ＝62a .(2004年安徽春(20)12分) (1)求异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值. (2)求证：A 1B ⊥面AB 1C .本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查逻辑推理能力和空间想象能力.满分12分.解：过点B 作BO ⊥AC ，垂足为O ，则BO ⊥侧面ACC 1A 1，连结A 1O ，在Rt △A 1BO 中，A 1B ＝62a ，BO ＝32a ∴A 1O ＝32a ，又AA 1＝a ，AO ＝a2ABC C 1A 1B 1ABCC 1A 1B 1 o∴△A 1AO 为直角三角形，A 1O ⊥AC ，A 1O ⊥底面ABC . 解法一：(1)∵A 1C 1∥AC∴∠BC 1A 1为异面直线AC 与BC 1所成的角. ∵A 1O ⊥面ABC ，AC ⊥BO ∴AC ⊥A 1B ∴A 1C 1⊥A 1B . 在Rt △A 1BC 1中，A 1B ＝62a ，A 1C =1＝a ∴BC 1＝102a ∴cos ∠BC 1A 1＝105∴异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值为105. (2)设A 1B 与AB 1相交于点D ∵ABB 1A 1为菱形，∴AB 1⊥A 1B 又A 1B ⊥ACAB 1与AC 是平面AB 1C 内的相交直线，所以，A 1B ⊥面AB 1C .解法二：(1)如图，建立空间直角坐标系，原点为BO ⊥AC 的垂足O ，由题设条件可得 B (32a ，0，0)，C 1(0，a ，32a )，A (0，－a 2，0)，C (0，a2，0) ∴BC 1→＝(－32a ，a ，32a )，AC →＝(0，a ，0) 设AC →与BC 1→的夹角为θ，则 cos θ＝BC 1→·AC →|BC 1→|·|AC →|＝a 2102a ·a＝105∴异面直线AC 与BC 1所成角的余弦值为105. (2)A 1(0，0，32a )，B (32a ，0，0)1∴A 1B →＝(32a ，0，－32a )，AC →＝(0，a ，0) A 1B →·AC →＝0 ∴A 1B ⊥AC 又ABB 1A 1为菱形 ∴A 1B ⊥AB 1又因为AB 1与AC 为平面AB 1C 内的两条相交直线，所以，A 1B ⊥平面AB 1C .21. 已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品，需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止，设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及E ξ.(2004年安徽春(21)12分)本题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分. 解：P (ξ＝2)＝810×79＝2845P (ξ＝3)＝810×29×78＋210×89×78＝1445P (ξ＝4)＝1－2845－1445＝115即所取次数的概率分布列为 ξ 2 3 4 P 2845 1445 115∴E ξ＝2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＋4×P (ξ＝4)＝22922. 已知抛物线C :y ＝x 2＋4x ＋72，过C 上一点M ，且与M 处切线垂直的直线称为C 在点M 处的法线.(2004年安徽春(22)14分)(1)若C 在点M 处的法线斜率为－12，求点M 的坐标M (x 0，y 0)；(2)设P (－2，a )为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？若有，求出这些点，以及这些点的法线方程；若没有，请说明理由.本题主要考查导数的几何意义和应用，直线方程以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分14分.解：函数y ＝x 2＋4x ＋72的导数为y '＝2x ＋4C 上点(x 0，y 0)处的切线的斜率为k 0＝2x 0＋4 由已知，过点(x 0，y 0)的法线斜率为－12所以－12(2x 0＋4)＝－1解得 x 0＝－1，y 0＝12故点M 的坐标为(－1，12)(2)设M (x 0，y 0)为C 上一点，(i )若x 0＝－2，则C 上点M (－2，－12)处的切线斜率为k ＝0过点M (－2，－12)的法线方程为x ＝－2此法线过点P (－2，a )(ii )若x 0≠－2，则过点M (x 0，y 0)的法线方程为 y －y 0＝－12x 0＋4(x －x 0) ……①若法线过P (－2，a )，则a －y 0＝12x 0＋4(－2－x 0)即 (x 0＋2)2＝a ……② 若a ＞0，则x 0＝－2±a ，从而 y 0＝x 02＋4x 0＋72＝2a －12将上式代入①，化简得x ＋2ay ＋2－2a a ＝0 x －2ay ＋2－2a a ＝0 若a ＝0，则与x 0≠－2矛盾若a ＜0，则②式无解综上，当a ＞0时，在C 上有三个点(－2＋a ，2a －12)，(－2－a ，2a －12)及(－2，－12)，在这三点的法线过点P (－2，a )，其方程分别为： x ＋2ay ＋2－2a a ＝0x －2ay ＋2－2a a ＝0 x ＝－2当a ≤0时，在C 上有一个点(－2，－12)，在这点的法线过点P (－2，a )，其方程为x ＝－2.。

高中数学竞赛初赛试题(含答案)

高中数学竞赛初赛试题一选择题1. 如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4AB ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。

这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个64862ABCD２.设函数()()lg 101xf x -=+,()()122x x f f --=方程的解为()()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( )4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足.,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}ku 的通项为()1221,1,2,3,,kkkk kk u a a b a bb k --=-+-+-=则( ) 2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}na ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 959778366ABCD6.设A B ==01+cos871-cos87 则():A B =...A B C D 22二.填空题7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n为使得nn a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的na 为9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________ 11.函数()(),fxg x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,f x f x f x f f x ==()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形A B C D绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________ 三解答题 13.已知椭圆22412:3y x+=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A BΓ过且与交于两点(可以重合).1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.14. 数列{}nx 由下式确定:112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)15. 设给定的锐角ABC的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,a y z b z x c x yp x y z++=其中p为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z=+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大值时, ,,x y z 的取值.安徽省高中数学联赛初赛试题一、选择题1. 若函数()y f x =的图象绕原点顺时针旋转2π后，与函数()y g x =的图象重合，则（）（A ）()()1g x fx -=- （B ）()()1g x f x -=（C ）()()1g x fx -=--（D ）()()1g x f x -=-2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（）（A ）椭圆（B ）双曲线的一部分（C ）抛物线的一部分（D ）矩形 3.下列4个数中与cos1cos2cos2008+++最接近的是（）（A ）-2008 （B ）-1 （C ）1 （D ）2008 4.四面体的6个二面角中至多可能有（）个钝角。

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2004年安徽省高中数学竞赛_初赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.设，则不等式中不成立的是（）A. 1a>1bB. 1a−b>1aC. |a|>|b|D. a2>b22.函数y=log12(2x−x2)的单调递减区间是（）.A. (0,2)B. [1,+∞)C. [1,2)D. (0,1]3.已知集合S⊆{1,2,⋅⋅⋅,26}，且满足S中任何2个元素的和都不能被5整除.则集合S中元素的个数最多是（）个.A. 10B. 11C. 12D. 134.已知α∈(0,π2).则αsinα+cosα与1的大小关系是（）.A. αsinα+cosα>1B. αsinα+cosα<1C. αsinα+cosα=1D. 大小与α的取值有关5.如图，正方体ABCD—A′B′C′D′的侧面AA′B′B内有一点M到两直线AB、B′C′的距离相等.那么，M的轨迹是（）.A. 抛物线的一部分B. 双曲线的一部分C. 椭圆的一部分D. 线段6.已知A(a,b)，B(c,d)，且(a−c)2+(b−d)2≠0，点P n(n∈N+)满足AP1=1 2AB，BP2=12BP1，P n P n+2=12P n P n+1.则limn→∞AP n是（）.A. (c−a3,d−b3)B. (c−a2,d−b2)C. (2(c−a)3,2(d−b)3) D. (3(c−a)4,3(d−b)4)第II卷（非选择题）二、填空题7.如果a、b、c是三角形的三边长，且满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则这个三角形的形状是______.8.一个数列的各项均为3或5，首项为3，且在第k个3和第k+1个3之间有2k−1个5，即3，5，3，5，5，3，5，5，5，5，3，….则此数列的前2004项的和S2004=______.9.设直线l:y=x+b(0<b<12)与抛物线y2=2x相交于A、B两点，O为坐标原点.则当ΔAOB的面积最大时，直线l的方程为______.10.一个正三棱锥的三条侧棱长均为1，且两两垂直.将这个三棱锥绕着它的高旋转60°，则旋转后的三棱锥与原三棱锥公共部分的体积为______.11.某校盖教学楼，需甲种尺寸的玻璃400块，乙种尺寸的玻璃500块.商店中有A、B两种规格的玻璃.已知A种规格的玻璃每块48元，可裁成甲、乙两种尺寸的玻璃分别为4块和6块；B种规格的玻璃每块58元，可裁成甲、乙两种尺寸的玻璃各为5块.则该校购买A、B两种规格的玻璃所付出的最少费用是______元.12.已知f(x)={(12)x+a,x≤0,f(x−1),x>0,且方程f(x)=x恰有两解.则实数a的取值范围是______.三、解答题13.已知f(x)在(−1,1)上有意义，f(12)=−1，且满足x、y∈(−1,1)时，有f(x)+f(y)=f(x+y1+xy).（1）数列{x n}满足x1=12,x n+1=2x n1+x n2.设a n=f(x n)，求{a n}的通项公式；（2）设b n=n2+3n+1，求1+f(1b1)+f(1b2)+⋅⋅⋅+f(1b2002)+f(12004)的值.14.如图，点M、N是四边形ABCD的边AB、CD的中点，BN与MC相交于点P，AN与MD相交于点Q.求证：S四边形MQNP=SΔBCP+SΔADQ.15.甲、乙两人轮流掷一枚均匀的硬币，谁先掷出正面，谁获胜.他们连玩了数局，并规定前一局的输家下一局先掷.若甲第1局先掷，则第6局甲获胜的概率是多少？参考答案1.B【解析】1.解：对于A:a<b<0,两边同除以ab可得,1a >1b，故A正确，对于B:a<b<0,即a−b>a,则两边同除以a(a−b)可得1a−b <1a，故B错误，对于C，根据绝对值函数的性质则|a|>|b|，C正确，对于D,a<b<0,则a2>b2，故D正确，故选：B2.D【解析】2.由题得2x−x2>0,∴0<x<2.设t=2x−x2,所以函数t在（0,1）上是增函数，在（1,2）上是减函数，因为函数y=log12x是定义域上的减函数，所以函数y=log12(2x−x2)的单调递减区间是(0,1].故答案为：D3.C【解析】3.满足条件的元素个数最多的S={1,2,5,6,7,11,12,16,17,21,22,26},故答案为：C 4.A【解析】4.因为0<sinα<α<π2，所以，αsinα+cosα>sin2α+cosα=1+cosα(1−cosα)>1.故答案为：A5.A【解析】5.因为B′C′⊥面AA′B′B，故MB′⊥B′C′.从而，M到点B′和到直线AB的距离相等.所以，M 的轨迹是抛物线的一部分.故答案为：A6.C【解析】6.易得P n 的极限位置在分线段AB 为2:1处,当AP n ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =23AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 时，AP n ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =23AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =23(c −a,d −b)=(2(c−a)3,2(d−b)3).所以lim n→∞AP n ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 是(2(c−a )3,2(d−b )3). 故答案为：C 7.等边三角形【解析】7. 由题得2a2+2b 2+2c 2=2ab +2bc +2ca ，所以(a −b)2+(b −c)2+(c −a)2=0,所以a=b =c ，所以三角形是等边三角形.故答案为：等边三角形 8.9998【解析】8.把第k 个3和它后面的2k−1个5这(2k−1+1)项称为一组.设第2004项在第k 组，则k 是满足k +1+2+⋅⋅⋅+2k−1≥2004的最小正整数.易得k=11.故S 2004=5×2004−2×11=9998.故答案为：9998 9.y =x +13【解析】9.联立直线和抛物线方程消去y 得x 2+(2b −2)x +b 2=0,所以|AB |=2√2⋅√1−2b ，O 到AB 的距离d√1+(−1)=√2=√2，故S ΔOAB =b √1−2b ，所以S 2=b ⋅b ⋅(1−2b)≤(b+b+1−2b)3)3=127所以当b=13时，S 取最大值√39，此时直线的方程为y =x +13.故答案为：y =x +1310.19【解析】10.如图所示，PO 为正三棱锥的高．旋转后的三棱锥与原三棱锥公共部分为正六棱锥P ﹣ DEFGHM ．AO = 23⋅√2⋅√32=√63,所以PO =√PA 2−AO 2=√33．DE = √23，∴要求的体积V =13×PO ×S 正六边形DEFGHM=13×√33×6×√34×(√23)2 =1 故答案为：1911.4720【解析】11.设需购买A 、B 两种规格的玻璃分别为x 块、y 块.约束条件为{x ≥0,y ≥0,4x +5y ≥400,6x +5y ≥500.学校所付费用P=48x +58y .作出不等式组对应的可行域，如图所示，当直线48x+58y-p=0经过点A(50,40)时，直线的纵截距最小，p 最小，所以最少费用为48×50+58×40=4720. 故答案为：4720.12.(−2,+∞)【解析】12.构造函数g（x）＝f（x）-a＝2−x作出函数g（x）={2−x，x≤0g(x−1)，x＞0的图象,若f（x）＝x有且仅有两个实数解可转化为g（x）与y＝x-a的图象有两个交点，结合图象可知，当-a≥2时函数有1个交点；当-a＜2时函数有2个交点，即a＞-2时，函数有两个交点.故答案为：(−2,+∞)13.（1）a n =−2n−1；（2）0【解析】13. （1）令y =x ，得2f (x )=f (2x 1+x 2).因为x n+1=2x n1+x n2，所以，f (x n+1)=2f (x n ).故a n+1=2a n . 又a 1=f (12)=−1，则{a n }是首项为−1、公比为2的等比数列. 所以，a n =−2n−1.（2）令x =y =0，得f (0)+f (0)=f (0).则f (0)=0. 令y=−x ，得f (x )+f (−x )=f (0)=0.则f (−x )=−f (x ).而f (1b n)=f (1n +3n+1)=f (1(n+1)(n+2)−1)=f (1(n +1)(n +2)1−1(n +1)(n +2))=f (1n +11n +21−1(n +1)(n +2)) =f (1n+1)+f (−1n+2)=f (1n+1)−f (1n+2)，故1+f (1b 1)+f (1b 2)+⋅⋅⋅+f (1b 2002)+f (12004)=1+[f (1)−f (1)]+[f (1)−f (1)]+⋅⋅⋅+[f (1)−f (1)]+f (1) =1+f (12)=0.14.见解析【解析】14. 由S ΔADQ=12S ΔADB−S ΔAQM ， S ΔBCP =12S ΔACB−S MBP ，知S ΔADQ +S ΔBCP=12S ΔADB +12S ΔACB −S ΔAQM −S ΔMBP .又S 四边形MQNP=S ΔANB −S ΔAQM −S ΔMBP ，故只须证S ΔANB =12(S ΔADB+S ΔACB ). 这三个三角形共底AB ，设它们的高分别为ℎ、ℎ1、ℎ2.由N 是CD 的中点知ℎ=12(ℎ1+ℎ2).两边同乘以12AB ，得12AB ⋅h =12(12AB ⋅h 1+12AB ⋅h 2). 所以，S ΔANB =12(S ΔADB +S ΔACB ). 因此，S 四边形MQNP =S ΔADQ +S ΔBCP .15.364729【解析】15.任一局比赛，先掷的人胜的概率为12+(12)3+(12)5+⋅⋅⋅=121−(12)2=23. 后掷的人胜人概率为1−23=13.{第k 局甲胜}={第k −1局甲胜且第k 局甲胜}∪{第k −1局乙胜且第k 局甲胜}.令P k 为甲胜第k 局的概率，则有P 1=23，P k =13P k−1+23(1−P k−1)=23−13P k−1⇒P k −1=−1(P k−1−1)⇒P k =12+(−1)k−13k−1(P 1−12)=12+(−1)k−12×3k.所以，P 6=364729.故第6局甲获胜的概率为364729.。