二次函数的最值问题(典型例题)

二次函数的最值问题

【例题精讲】

题面：当-1≤x ≤2时,函数y =2x 2-4ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值.

【拓展练习】

如图，在平面直角坐标系xOy 中,二次函数2y bx c =

++的图象与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C .

(1)求此二次函数解析式；

(2)点D 为点C 关于x 轴的对称点，过点A 作直线l ：y =+BD 于点E ，过点B 作直线BK //AD 交直线l 于K 点.问：在四边形ABKD 的内部是否存在点P ，使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点，连结DN 、NM 、MK ，求DN NM MK ++和的最小值.

练习一

【例题精讲】

若函数y=4x2-4ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3，求a的值．

【拓展练习】

题面：已知：y关于x的函数y=(k-1)x2-2kx+k+2的图象与x轴有交点．

(1)求k的取值范围；

(2)若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k-1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2．

①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最小值．

练习二

金题精讲

题面：已知函数y=x2+2ax+a2-1在0≤x≤3范围内有最大值24，最小值3，求实数a的值．

【拓展练习】

题面：当k分别取-1，1，2时，函数y=(k-1)x2 -4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．

讲义参考答案【例题精讲】

答案：3

--0或2或4

【拓展练习】

答案：(1) 2

y=-;(2) (2);(3)8

练习一答案

【例题精讲】

答案：a =

【拓展练习】

答案：(1) k≤2；(2)①k值为-1；②y的最大值为3

2

，最小值为-3.

详解：(1)当k=1时，函数为一次函数y= -2x+3，其图象与x轴有一个交点. 当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，

令y=0得(k-1)x2-2kx+k+2=0．

△=(-2k)2-4(k-1)(k+2)≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1.

综上所述，k的取值范围是k≤2.

(2)①∵x1≠x2，由(1)知k＜2且k≠1.

由题意得(k-1)x12+(k+2)=2kx1(*)，

将(*)代入(k-1)x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k(x1+x2)=4x1x2.

又∵x1+x2=

2k

k1

-

，x1x2=

k+2

k1

-

，∴2k•

2k

k1

-

=4•

k+2

k1

-

，

解得：k1= -1，k2=2(不合题意，舍去).∴所求k值为-1.

②如图，∵k1= -1，y= -2x2+2x+1= -2(x-1

2

)2+

3

2

，且-1≤x≤1，

由图象知：当x= -1时，y最小= -3；当x=1

2

时，y最大=

3

2

.

∴y的最大值为3

2

，最小值为-3.

练习二答案

课后练习详解【例题精讲】

答案：2或-5．

详解：配方y=(x+a)2-1，

函数的对称轴为直线x= -a，

顶点坐标为(-a，-1)．

①当0≤-a≤3即-3≤a≤0时，

函数最小值为-1，不合题意；

②当-a＜0即a＞0时，

∵当x=3时，y有最大值；当x=0时，y有最小值，∴9+6a+a2 −1＝24，a2 −1＝3，解得a=2；

③当-a＞3即a＜-3时，

∵当x=3时，y有最小值；当x=0时，y有最大值，∴a2 −1＝24，9+6a+a2 −1＝3，

解得a= -5．

∴实数a的值为2或-5．

【拓展练习】

答案：有最大值，为8.

详解：∵当开口向下时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k取最大值

∴k-1＜0，解得k＜1.

∴当k= -1时函数y=(k-1)x2 -4x+5-k有最大值，当k=1，2时函数没有最大值. ∴当k= -1时，函数y= -2x2-4x+6= -2(x+1)2+8.

∴最大值为8.