多采样率信号处理

~ H e
(
jω
)
1, = 0,
ω ≤
其他
π
M
然后对滤波输出以整数M倍做抽取得到y(m),这个过程示于 图6.1(a). 如果将实际低通滤波器的单位脉冲响应表示为h(n),则可得
w(n ) =
最后的输出y(m)为：
k = −∞
∑ h(k )x(n − k )
∞
y (m ) = w(Mm )
ω
M −1 l =0
∑X(
ω − 2πl
M
)
由此可以看出，抽取信号频谱与原来信号的频谱有如下关 系：首先 X (ω ) 作M-1 次等间隔平移，其平移间隔为2π M ， 然后做叠加平均得到 W (ω ) ；最后频谱拉伸M倍即可得到抽取 信号的频谱。其频谱变化如下图所示：
X (ω )
−π
W (ω )
'
式中
fs
为原有的采样频率。过程如下图所示：
采 样 率 降 低 M 倍 的 抽 取 过 程
（2）抽取过程的频域描述 为了分析抽取信号的频谱，需要计算中间信号w(n)的频谱， 直接给出其频谱为： 1 M −1 2πl W (ω ) = ∑ X (ω − M ) M l =0 抽取信号的频谱为：
1 Y (ω ) = W ( ) = M M
y ( n ) = x ( nM )
此式表明采样率降低的过程是在采样时保留第M个样本 点，而去除两个样本之间的M-1个样本点。 设原有的离散信号 x (n ) 的采样周期为T，经M倍抽取 ' M ，这时新的采样 ’ ，满足 T 后 y (n) 的采样周期为T = T 1 率为：
fs 1 1 = fs = ' = T MT M
2、MATLAB的实现举例 、 的实现举例 2 例、线性调频信号 x(t ) = cos(kπt ) ,k=1,0<t<T,采样率fs,采样点数为 N=Tfs，现将其采样率降为原来的1/2。
原信号采样率为fs=4fc,从第一幅图可以看出抽取后，采样率 降为f s ' = f s = 2 f c ，仍然满足奈奎斯特准则，信号频谱没有太大 M 变化。 由第二幅图可见，原信号采样率为fs=2fc ，抽取后采样率降 f 为 f s ' = s = f c ，不满足奈奎斯特准则，信号频谱有较大变化， M 信号波形损失较大，由此可以看出信号采样会损失一定的消 息。
(
)
式中
W (z ) = H (z )X (z )
1 Y (z ) = M
M −1 l =0
H e − j 2 πl ∑
(
M
z 1 M X e − j 2 πl
) (
M
z1 M
)
Ye
( )
jω′
1 M −1 j (ω′−2πl ) M j (ω′−2πl ) M = ∑H e Xe − −(1) M l =0
第六章 多采样率信号处理
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 采样率降低—整数M倍抽取 采样率提高—整数L倍内插 抽取与内插的FIR结构 过采样（Oversampling）技术 正交镜像滤波器组 树状结构滤波器组 离散小波变换
序言
在实际应用中，各系统之间的采样率往往是不 同的，例如，在音频范围内，广播系统的采样率为 32kHz，CD唱机的采样率为44.1kHz，而数字录音带 （DAT）的采样率为48kHz。这就需要设计一类数 字滤波器，用于将被处理信号的采样率转换成与相 应系统所要求一致的采样率。多采样率技术还有许 多其他的应用，过采样技术是其中的一个典型应用 实例。
∞
∞
−m
′(Mm )z −m = ∑w
m = −∞
M
∞
m = −∞ ∞
∑
w ′(m )z − m
1 M −1 j 2 π lm M − m M = ∑ w (m ) ∑0 e z m = −∞ M l= 1 M −1 ∞ j 2 π lm M − m M = z ∑0 m∑ w (m )e M l = = −∞ 1 M −1 = W e − j 2πl M ⋅ z 1 M ∑ M l=0
四、采样率降低的实际应用
1、用于CD容量压缩 、用于 容量压缩 优点：使容量减小，易于保存； 缺点：降低CD的声音品质。 2、实现移动通信的互连互通 、 目前移动通信标准繁多，且新旧体制混杂，很难做到统 一。为了实现互连互通，目前比较可行的方法是采用软件无 线电。采样率转换技术是实现互连互通的关键。 3、过采样技术 、 它的作用是减轻模拟抗混叠滤波器与后置滤波器的负担， 而将部分模拟滤波器性能指标的要求转交给数字滤波器。
用图6.1(a) 中的第二个方框图表示，该方框符号称为抽 取器。 图6.1(b-e)分别表示采样率降低M倍过程中，信号 x(n),h(n),w(n)和y(m)的典型频谱。
3、非理想的低通滤波器对y(m) 造成的误差 （1）y(m)和x(n)之间的z变换关系 定义信号 n = 0, ± M ,± 2 M w (n ), w ′(n ) = 其他 0, 另外一种表达形式为：
π
M
π
ω
ຫໍສະໝຸດ Baidu
−
π
M
ω
Y (ω )
−π
π
ω
二、采样率降低过程中的混叠现象
1、混叠现象的产生 由上述抽取过程的频域描述可知，若输入信号的频谱大 于 π ，那么 W (ω )将会混叠，会给抽取信号的频谱带来失 M 真。因为抽取信号的采样速率不允许降到奈奎斯特采样速率 以下，因此，应在抽取前进行“反混叠”滤波。 2、混叠现象的消除 为降低采样率并避免在降低了采样率以后产生混叠，用 逼近理想特性的数字低通滤波器对信号 x(n) 进行滤波。滤 波器特性为：
(
) (
)
(1)式中，ω ' = 2πfT ' 。（1）式是对输入信号 x(n) 进行滤波、 抽取后的DTFT表达式。可以看出，它是M个频段信号混叠在 一起的结果。 (2) 滤波器的抗混叠作用 (1)式进一步可写成：
Y e jω′ =
( )
1 H e jω′ M X e jω′ M + H e j(ω′−2π ) M X e j(ω′−2π ) M +L M
[ (
) (
) (
) (
) ]
显然，低通滤波器 ω (n) 的作用是充分地对 x(n) 进行滤波， ω =π M ω 区间上接 =π 以便使 至 H的频谱分量在频率 ( e jω ) 近于0，因此，它用作抗混叠滤波。
三、抽取过程的MATLAB实现 抽取过程的 实现
1、实现函数decimate的调用格式 y=decimate(x,M) y=decimate(x,M,n) y=decimate(x,M,’fir’) y=decimate(x,M,n,’fir’) 其中y=decimate(x,M)将信号x的采样率降低为原来的1/M。 在抽取前缺省地采用了8阶Chebyshev I型低通滤波器压缩频 带； y=decimate(x,M,n)指定Chebyshev I型低通滤波器的阶数， 通常n小于13； y=decimate(x,M,’fir’)采用指定的30点滤波器来压缩频带； y=decimate(x,M,n,’fir’)指定所使用FIR滤波器的点数；
6.1采样率降低——整数Ｍ倍抽取
一、采样率降低的方法和过程
1、采样率降低的方法 （1）高阶模糊函数(HAF)分析方法 方法 （2）CIC滤波器、补偿滤波器、FIR滤波器三级级 联方式降低采样率 （3）带通采样方法 （4）采样过程的抽取法
2、信号整数倍抽取 、
这里仅考虑采样率降低M倍的抽取过程。 （1）抽取过程的时域描述 已知信号为 x(n) ，抽取因子为M，抽取后得到的信号为 y (n) ，则整个抽取过程可表示为
w′(n ) = w(n ) ⋅
k = −∞
∑ δ (n − kM )
M −1 l =0
∞
1 = w(n ) M
∑e
j 2π l n M
, − ∞ < n < ∞
因此，
y(m) = w′(Mm) = w(Mm)
则y(m)的z变换为
Y (z ) =
Y (z ) =
m = −∞
∑ y(m)z