圆周运动知识要点、受力分析和题目精讲

高中圆周运动知识要点、受力分析和题目精讲（复习大全）
一、基础知识
匀速圆周运动问题是学习的难点，也是高考的热点，同时它又容易和很多知识综合在一起，形成能力性很强的题目，如除力学部分外，电学中“粒子在磁场中的运动”涉及的很多问题仍然要用到匀速圆周运动的知识，对匀速圆周运动的学习可重点从两个方面掌握其特点，首先是匀速圆周运动的运动学规律，其次是其动力学规律，现就各部分涉及的典型问题作点滴说明。

匀速圆周运动的加速度、线速度的大小不变，而方向都是时刻变化的，因此匀速圆周运动是典型的变加速曲线运动。

为了描述其运动的特殊性，又引入周期（T）、频率（f）、角速度（ ）等物理量，涉及的物理量及公式较多。

因此，熟练理解、掌握这些概念、公式，并加以灵活选择运用，是我们学习的重点。

1. 匀速圆周运动的基本概念和公式
（1）线速度大小，方向沿圆周的切线方向，时刻变化；
（2）角速度，恒定不变量；
（3）周期与频率；
（4）向心力，总指向圆心，时刻变化，向心加速度，方向与向心力相同；
（5）线速度与角速度的关系为，、、、的关系为。

所以在、、中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而还和有关。

【例1】关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（）
A. 线速度不变
B. 角速度不变
C. 加速度为零
D. 周期不变
解析：匀速圆周运动的角速度和周期是不变的；线速度的大小不变，但方向时刻
R R r A 2130sin =︒= R R r B 2360sin =︒= 它们的角速度相同，所以线速度之比3331====B
A B A B A r r r r v v ωω 加速度之比3322==B
B A A B A r r a a ωω 2. 质点做匀速圆周运动的条件
（1）具有一定的速度；
（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。

合力（向心力）
与速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。

3. 向心力有关说明
向心力是一种效果力。

任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，
只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。

做匀速圆周运动的物体，
所需向心力就是该物体受的合外力，总是指向圆心；而做变速圆周运动的物体，所需
向心力则是该物体受的合外力在指向圆心方向的分力，合外力的另一个分力沿着圆周
的切线，使速度大小改变，所以向心力不一定是物体所受的合外力。

因此，解答圆周
运动的基本思路是：先分析物体的受力情况，然后把物体受的各外力沿指向圆心（即
沿半径）方向与沿切线方向正交分解，最后用沿指向圆心的合外力等于向心力，即列
方程求解做答。

二、解决圆周运动问题的步骤
1. 确定研究对象；
2. 确定圆心、半径、向心加速度方向；
3. 进行受力分析，将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向；
4. 根据向心力公式，列牛顿第二定律方程求解。

基本规律：径向合外力提供向心力 ；若是匀速圆周运动，则有
222)2(T mr mr r v m ma F F πω=====向向合，方向始终指向圆心
三、典型情景受力分析
竖直面轨道
F 向=G-F 支 F
向=F 支-G
F 向=G+F 支 F 向=
G 时恰好到达最高点
F 向=G-F 支
绳（竖直面）
F向=F支-G F向=F支+G
轻杆
F向=F支-G F向=G-F支
打滑，所以A、B两点的线速度大小相等，即B
A。

（1）根据
r v =ω知21===A B B A B C r r ωωωω （2）根据ωr v =知21====A B A C A C B
C r r r r v v v v （3）根据ωv a =知412121=
⨯==B B C C B C v v a a ωω
点评：共轴转动的物体上各点的角速度相同，不打滑的皮带传动的两轮边缘上各
点线速度大小相等，这样通过“角速度”或“线速度”将比较“遥远”的两个质点的
运动学特点联系在一起。

【例4】如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，
左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心的距
离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，
则（ ）
A. a 点与b 点的线速度大小相等
B. a 点与b 点的角速度大小相等
C. a 点与c 点的线速度大小相等
D. a 点与d 点的向心加速度大小相等
解析：皮带不打滑，故a 、c 两点线速度相等，选C ；c 点、b 点在同一轮轴上角
速度相等，半径不同，由 ，b 点与c 点线速度不相等，故a 与b 线速度不等，A 错；
同样可判定a 与c 角速度不同，即a 与b 角速度不同，B 错；设a 点的线速度为 ，则
a 点向心加速度 ，由 ， ，所以 ，故 ，D 正确。

本题正确答案C 、D 。

点评：处理皮带问题的要点为：皮带（链条）上各点以及两轮边缘上各点的线速
度大小相等，同一轮上各点的角速度相同。

2. 水平面内的圆周运动
转盘：物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，物体与转盘间分无绳和有绳两
种情况。

无绳时由静摩擦力提供向心力；有绳要考虑临界条件。

例2：如图 所示，水平转盘上放有质量为m 的物体，当物块到转轴的距离为r
时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。

物体和转盘间的最大静摩擦
力是其正压力的 倍。

求：
（1）当转盘的角速度 时，细绳的拉力 。

（2）当转盘的角速度 时，细绳的拉力 。

解析：设转动过程中物体与盘间恰好达到最大静摩擦力时转动的角速度为，则，解得
（1）因为，所以物体所需向心力小于物与盘间的最大摩擦力，则物与盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即。

（2）因为，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力，由牛顿第二定律得，解得。

点评：当转盘转动角速度时，物体有绳相连和无绳连接是一样的，此时物体做圆周运动的向心力是由物体与圆台间的静摩擦力提供的，求出。

可见，是物体相对圆台运动的临界值，这个最大角速度与物体的质量无关，仅取决于和r。

这一结论同样适用于汽车在平路上转弯。

圆锥摆：圆锥摆是运动轨迹在水平面内的一种典型的匀速圆周运动。

其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。

也可以说是其中弹力（或拉力）的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。

【例5】小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。

（小球的半径远小于R）。

解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F是重力G和支持力的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。

如图3所示有
由此可得，
可见，越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。

点评：本题的分析方法和结论同样适用于火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。

共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。

【例6】如下图所示，两绳系一质量为m=的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧；当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？
解析：①当角速度很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。

当逐渐增大，BC刚被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零，设这时的角速度为，则有
将已知条件代入上式解得
②当角速度继续增大时减小，增大。

设角速度达到时，（这又是一个临界状态），则有
将已知条件代入上式解得
所以当满足时，AC、BC两绳始终张紧。

本题所给条件，此时两绳拉力、都存在。

将数据代入上面两式解得，
点评：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。

如果时，，则AC与轴的夹角小于。

如果，，则BC与轴的夹角大于45°。

3. 竖直面内的圆周运动
竖直面内圆周运动最高点处的受力特点及题型分类如下：
这类问题的特点是：由于机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，所以物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速率最大。

物体在最低点处向心力向上，而重力向下，所以弹力必然向上且大于重力；而在最高点处，向心力向下，重力也向下，所以弹力的方向就不能确定了，要分三种情况进行讨论。

（1）弹力只可能向下，如绳拉球。

这种情况下有，即，否则不能通过最高点；
（2）弹力只可能向上，如车过桥。

在这种情况下有，，否则车将离开桥面，做平抛运动；
（3）弹力既可能向上又可能向下，如管内转（或杆连球、环穿珠）。

这种情况下，速度大小v可以取任意值。

但可以进一步讨论：
a. 当时物体受到的弹力必然是向下的；当时物体受到的弹力必然是向上的；当时物体受到的弹力恰好为零。

b. 当弹力大小时，向心力有两解；当弹力大小时，向心力只有一解；当弹力时，向心力等于零，这也是物体恰能过最高点的临界条件。

结合牛顿定律的题型
【例7】如图5所示，杆长为，球的质量为，杆连球在竖直平面内绕轴O自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为，求这时小球的瞬时速度大小。

解析：小球所需向心力向下，本题中，所以弹力的方向可能向上也可能向下。

（1）若F向上，则，；
（2）若F向下，则，
点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速度。

需要注重的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面内做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题一定要分清。

【例8】如图所示，用细绳一端系着的质量为的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为的小球B，A的重心到O点的距离为。

若A与转盘间的最大静摩擦力为，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度的取值范围。

（取）
解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度。

A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成。

角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O。

对于B：
对于A：，
联立解得，
所以
点评：在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。

这时要根据物体的受力情况，判定物体受的某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（非凡是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。

练习题：
1. 关于互成角度（不为零度和180°）的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是（）
A. 一定是直线运动
B. 一定是曲线运动
C. 可能是直线，也可能是曲线运动
D. 以上答案都不对
2. 一架飞机水平匀速飞行，从飞机上每隔1s释放一个铁球，先后释放4个，若不计空气阻力，则这4个球（）
A. 在空中任何时刻总是排列成抛物线，它们的落地点是等间距的
B. 在空中任何时刻总是排列成抛物线，它们的落地点是不等间距的
C. 在空中任何时刻总是在飞机的正下方排列成竖直直线，它们的落地点是不等间距的
D. 在空中任何时刻总是在飞机的正下方排列成竖直直线，它们的落地点是等间距的
3. 图中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为，小轮的半径为、点在小轮上，到小轮中心的距离为。

点和点分别位于小轮和大轮的边缘上。

若在传动过程中，皮带不打滑。

则（）
A. a点与b点的线速度大小相等
B. a点与b点的角速度大小相等
C. a点与c点的线速度大小相等
D. a点与d点的周期大小相等
4. 在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为，摩托艇在静水中的航速为，战士救人的地点A离岸边最近处O 的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为（）
A. B. C. D.
5. 火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定。

若在某转弯处规定行驶速度为，则下列说法中正确的是（）
①当以的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
②当以的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
③当速度大于v时，轮缘挤压外轨
④当速度小于v时，轮缘挤压外轨
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
6．关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下列说法正确的是( )
A．线速度大的角速度一定大
B．线速度大的周期一定小
C．角速度大的半径一定小
D．角速度大的周期一定小
7．由上海飞往美国洛杉机矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中，如果保持飞行速度的大小和距离海面的高度均不变，则以下说法正确的是( )
A．飞机做的是匀速直线运动
B．飞机上的乘客对座椅的压力略大于地球对乘客的引力
C．飞机上的乘客对座椅的压力略小于地球对乘客的引力
D．飞机上的乘客对座椅的压力为零
8．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达到20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置座椅对游客的作用力相当于游客重力的( )
A．1倍 B．2倍 C．3倍D．4倍
9.汽车行驶在半径为50m的圆形水平跑道上，速度为10m/s。

已知汽车的质量为1000 kg，汽车与地面的最大静摩擦力为车重的倍。

问：（g =10m/s2）
（1）汽车绕跑道一圈需要的时间是多少？角速度是多少？其向心力是多大？
（2）要使汽车不打滑，则其速度最大不能超过多少？
10.下课后，小丽在运动场上荡秋千。

已知小丽的质量为40 kg，每根
系秋千的绳子长为4 m ，能承受的最大张力是300N。

如右图，当秋千板摆
到最低点时，速度为3 m/s。

（g =10m/s2，小丽看成质点处理，秋千绳、
底座等不计质量）
（1）此时，小丽做圆周运动的向心力是多大？
（2）此时，小丽对底座的压力是多少？每根绳子受到拉力T是多少？
（3）如果小丽到达最低点的速度为5m/s，绳子会断吗？
11.如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球A、B以不同速率进入管内，A通过最高点C时，对管壁上部的压力为3mg，B通过最高点C时，对管壁下部的压力为.求A、B两球落地点间的距离．
12.如图11所示，质量为 kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m，小杯通过最高点的速度为4 m/s。

求：
（1）在最高点时，绳的拉力T是多少？
（2）在最高点时水对小杯底的压力是多少？
（3）为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?
【模拟试题】
一. 选择题（在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确）
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 做匀速圆周运动的物体的加速度恒定
B. 做匀速圆周运动的物体所受合外力为零
3. 一圆盘可以绕其竖直轴在图2所示水平面内转动，圆盘半径为R 。

甲、乙物体质量分别是M 和m （M>m ），它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为)(R L L <的轻绳连在一起。

若将甲物体放在转轴位置上，甲、乙之间连线刚好沿半径方向被拉直，要使两物体与圆盘间不发生相对滑动，则转盘旋转角速度的最大值不得超过（两物体均看作质点）（ ）
A. mL g
m M )(-μ B. ML g m M )(-μ
C. ML g
m M )(+μ D. mL g m M )(+μ
A. 木块A受重力、支持力和向心力
6. 如图5所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动。

圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时（）
A. 小球对圆环的压力大小等于mg
B. 小球受到的向心力等于重力mg
7. 一辆质量为4t的汽车驶过半径为50m的凸形桥面时，始终保持5m/s的速率。

汽车所受的阻力为车对桥面压力的倍。

通过桥的最高点时汽车牵引力是 N。

（g=10m/s2）
8.如下图所示，要使小球沿半径为R、竖直放置的光滑圆形轨道的内部，从最低点A上升达到最高点B，需给小球的最小速度为多大？
图7
10. 如图7所示，在水平转台上放有A 、B 两个小物块，它们距离轴心O 分别为m r A 2.0=，m r B 3.0=，它们与台面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的倍，
取2/10s m g =。

（1）当转台转动时，要使两物块都不发生相对于台面的滑动，求转台转动的角速度的范围；
【模拟试题答案】
1. C
2. C
3. D
4. AC
5. C
6. BCD
7.
3109.1⨯
8.最小速度。

9. cm r 141= cm r 72= N F F T T 2821==
10.（1）s
rad /310
20≤≤ω
（2）s rad /52>ω。