课时过关检测(二十四) 三角函数的单调性

课时过关检测（二十四） 三角函数的单调性

A 级——夯基保分练

1．下列关于函数y ＝4sin x ，x ∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数

B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2及⎣⎡⎦⎤π

2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数

D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π及⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦

⎤－π2，π

2上是减函数 解析：选B 函数y ＝4sin x 在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－π2，π

2上单调递增．故选B.

2．(2019·广东省七校联考)函数f (x ) ＝tan ⎝⎛⎭⎫

x 2－π6的单调递增区间是( ) A.⎣

⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋4π

3，k ∈Z B.⎝

⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π

3，k ∈Z C.⎣

⎡⎦⎤4k π－2π3，4k π＋4π

3，k ∈Z D.⎝

⎛⎭⎫4k π－2π3，4k π＋4π

3，k ∈Z 解析：选B 由－π2＋k π

＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6的单调递增区间是⎝

⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π

3，k ∈Z ，故选B. 3．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π

2 B ．[0，π] C.⎣

⎡⎦⎤π，3π2 D ．⎣⎡⎦⎤3π2，2π

解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的部分不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.

4．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤

π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C.3＋2

D ．2－ 3

解析：选B 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，1

2，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.

5．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π

3上的最大值为1，则ω＝( ) A.1

4 B.13 C.12

D ．

32

解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π

3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝1

2

. 6．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是________．

解析：sin 68°＝cos 22°，又y ＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，所以sin 68°>cos 23°>cos 97°.

答案：sin 68°>cos 23°>cos 97° 7．函数f (x )＝

1＋log 1

2

x ＋tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域是________． 解析：依题意得⎩

⎨⎧

1＋log 12x ≥0，x >0，x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，

所以0

x ⎪⎪⎭⎬⎫0

⎨⎧

x ⎪

⎪⎭

⎬⎫0

2，则m 的最小值为________．

解析：由题意知－π

3≤x ≤m ，

所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6

.

要使得f (x )在⎣⎡⎦⎤－π3，m 上的最大值为3

2

，

即sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在⎣⎡⎦⎤－π

3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.

故实数m 的最小值为π

3.

答案：π3

9．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求函数f (x )的单调递增区间；

(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤

π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值． 解：(1)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π

2，k ∈Z ，

则k π－3π8≤x ≤k π＋π

8

，k ∈Z .

故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π

8，k ∈Z . (2)因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π

4， 所以－1≤sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π4≤2

2，所以－2≤f (x )≤1， 所以当x ∈⎣⎡⎦⎤

π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.

10．已知函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π

2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解：由题意得，g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，

所以4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>1

2， 所以2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π

6，k ∈Z ，

其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π

2，k ∈Z 时，

g (x )单调递增，即k π

6，k ∈Z ，

所以g (x )的单调递增区间为⎝

⎛⎦⎤k π，k π＋π

6，k ∈Z .