人教版八年级上册数学-多边形的内角和课件

新课讲解
例3 已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°． （1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取 630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不 对，说明理由.
解：∵360°÷180°=2， 630°÷180°=3……90°， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 360°÷180°+2=4． 故甲同学说的边数n是4.
思考：n边形的外角和又是多少呢？
n边形外角和 =n个平角-n边形内角和 = n×180 °－(n－2) × 180° =360 °
n边形的外角和等于360°.
A2 1 2 A3 3
A1 n
An 4 A4
与边数无关
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问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每
个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
C
结论： 四边形的内角和为360°.
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例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组
对角有什么关系？来自百度文库说明理由.
A
解：如图，四边形ABCD中，
D
∠A+ ∠C =180°.
B
因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °， C
所以 ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°.
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例7 如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，求 ∠BED的度数．
解：由题意得 ∠A ∠AED 5 2 180°=108°，
5 AB=AE,所以∠AEB= 1 (180°-∠A)=36°，
2 所以∠BED=∠AED-∠AEB=108°-36°=72°.
随堂即练
1.判断． (1)当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加.( ) (2)当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加.( ) (3)三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( ) 2.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形 的 每一个内角等于_1_2_0_°__．
多边形 外 角 的内角 和
和
正多 边形
多边形的外角和等于360°
内角= (n 2)180 ，外角= 360
n
n
解：设此多边形的内角和为x，
则有1125°＜x＜1125°＋180°，
即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°.
因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，
所以x＝180°×7＝1260°.
所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.
因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．
则该四边形被分成三个三角形，
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-
180°=360°.
D
A
B
•
E
C
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方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，
连接AE、BE、CE、DE，
把四边形分成四个三角形：△ABE、△ADE、△CDE、
△CBE.
所以四边形ABCD内角和为：
能力提升
拓展 如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋ ∠7的度数.
89
解：如图， ∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7 ＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7 ＝五边形的内角和＝540°.
课堂总结
内角和计 算公式
(n-2) × 180 °(n ≥3的整数）
第十一章 三角形
11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
学习目标
一、基本目标 【知识与技能】 1．了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念． 2．能正确判断正多边形的对角线条数． 【过程与方法】 通过类比三角形的概念归纳多边形的概念，能从实物中辨别寻找出几何图形， 并由几何图形联想或设计一些实物形状，丰富学生对几何图形的感性认识． 【情感态度与价值观】 了解类比这种重要的数学学习方法，体验生活中处处有数学． 二、重难点目标 【教学重点】 多边形、正多边形的概念． 【教学难点】 解决有关多边形对角线条数的问题．
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（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加 了360°，用列方程的方法确定x．
解：依题意有 （n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°， 解得x=2． 故x的值是2．
新课讲解 【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时，求 得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现 少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形 的内角和？ 思路点拨：多边形的内角的度数在0°~180°之间.
即如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
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【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互 补，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF， 求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
=180°−
1 2
(∠EAB+∠ABC)=180°−
1 2
×230°=65°．
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2 多边形的外角和
如图，在五边形的每个顶点处 各取一个外角，这些外角的和 叫做五边形的外角和．
1A
B
5
2
E
C3
4 D
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
互补 问题2：五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？
5×180°=900°
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问题3：这五个平角和与五边形的内角和、外角和 有什么关系？
五边形外角和 =5个平角－五边形内角和 =5×180°－(5－2) × 180° =360 °
1A
B
5
2
E
C3
4 D
结论：五边形的外角和等于360°.
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在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的 和叫做n边形的外角和．
解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°， 多边形外角和等于360°，
∴ (n－2)•180°=2× 360º. 解得 n=6.
∴这个多边形的边数为6.
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例6 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是
7:2，求这个多边形的边数.
解法一：设这个多边形的内角为7x °,外角为
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3.如图所示，小华从点A出发，沿直线前进10米后左 转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…， 照这样走下去，他第一次回到出发地点A时，走的 路程一共是_1_5_0_____米．
4.一个多边形的内角和不可能是（ D ）
A.1800° B.540 °
C.720 °
随堂即练
D.810 °
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例4 如图，在五边形ABCDE中，∠C=100°， ∠D=75°，∠E=135°，AP平分∠EAB，BP平分 ∠ABC，求∠P的度数．
解析：根据五边形的内角和等于540°，由∠C、∠D、
∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数，再根据角平 分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和，进一步求 得∠P的度数．
【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大 60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，
则得到一个方程组
y x 60, x y 180,
解得
x y
60, 120.
而任何多边形的外角和是360°，
则该正多边形的边数为360÷120=3，
故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．
由特殊到一般
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边数 三角形
图形
从多边形的一顶点 引出的对角线条数
分割出三角 形的个数
多边形内角和
0
1
1×180º=180º
四边形
1
2
2×180º=360º
五边形
2
3
3×180º=540º
六边形 ······ n 边形
······
3 ······ n -3
4
4×180º=720º
······
······
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)
=180°×4-360°=360°.
D
A
•
E
B C
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方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、
PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° = 360°.
A P•
B
D
这四种方法都运用 了转化思想，把四 边形分割成三角形， 转化到已经学了的 三角形内角和求解.
2x°,根据题意，得 7x+2x=180，
解得x=20.
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
即这个多边形是九边形.
还有其他 解法吗？
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解法二：设这个多边形的边数为n ,根据题意，得
180n 2 7 ,
360 2 解得n=9. 即这个多边形是九边形.
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每个内角的度数是 (n 2)180 , n
每个外角的度数是 360 .
n
练一练：
(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正__六__边形.
(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是 __正__八__边形.
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例5 已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍， 求这个多边形的边数.
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解：∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°，
∠C=100°，∠D=75°，∠E=135°，
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
∵AP平分∠EAB,
∴∠PAB＝ 1∠EAB.
2
同理可得∠ABP＝
1
∠ABC.
2
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°，
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA
5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形
内角和等于（ B ）
A.360°
B.540 ° C.720 ° D.900 °
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6. 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角 后，求得到的多边形的内角和.
解：∵1800÷180＝10， ∴原多边形边数为10＋2＝12. ∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能 不变，也可能加1， ∴新多边形的边数可能是11，12，13， ∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
都是360°.
问题3： 猜想任意四边形的内角和是多少度？
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猜想：四边形ABCD的内角和是360°.
问题4 ： 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？
D A 方法1：如图，连接AC,
则该四边形被分为两个三角形，
所以四边形ABCD内角和为
180°×2=360°.
B C
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方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE、DE，
∴∠CDF+∠EBF=90°.
∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，
∴∠CDF+∠CFD=90°，
故△DCF为直角三角形．
运用了整体思想
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问题5 你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方 法求五边形和六边形内角和吗?
E
A
A
F
B
DB
E
C
C
D
内角和为180° ×3 = 540°.内角和为180° ×4 = 720°.
情境引入
法国的建筑事务所atelierd将协调坚固的蜂窝与人类 天马行空的想象力结合，创造了这个“abeilles bee pavilion”.
思考：你知道正六边形的内角和是多少吗？
1 多边形的内角和
问题1 ：三角形内角和是多少度？ 三角形内角和 是180°.
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问题2 ：你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？
n -2 （ n -2 ）·180º
多边形
分割
三角形
分割点与多边 形的位置关系
总结归纳
顶点
边上 内部 外部
▼多边形的内角和公式 n边形内角和等于(n-2)×180 °
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例2 一个多边形的内角和比四边形的内角和多 720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多 边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）•180=360+720， 解得n=8. ∴多边形的内角和为（8-2）×180°=1080°. ∵这个多边形的每个内角都相等， ∴它每一个内角的度数为 1080°÷8=135°.