二次函数最值

二次函数最值 内容讲解：二次函数的最值问题，包括三方面的内容：自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．二

次函数y=a x 2+bx+c=a （x+2b a ）2+244ac b a -．当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-2b a

时，y 随x 增大而减小；当x>-2b a 时，y 随x•增大而增大；当x=-2b a

时，y 取最小值244ac b a -．当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-2b a 时，y 随x 增大而增大；当x>-2b a 时，y 随x 增大而减小；当x=-2b a

时，y 取最大值244ac b a -． 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，•要结合图象和增减性来综合考虑．

（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．

3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解． 例题剖析

例1（2003年武汉选拔赛试题）若x-1=

1223y z +-=，则x 2+y 2+z 2可取得的最小值为（）． （A ）3（B ）5914

（C ）92（D ）6 分析：设x-1=1223

y z +-==t ，则x 2+y 2+z 2可用只含t 的代数式表示，通过配方求最小值． 解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t 2+10t+6=14（t+514）2+5914，所以最小值是5914

． 评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k 法是解决等比问题最常用的方法．

例2（1995年全国初中数学联赛试题）设x 为正实数，则函数y=x 2-x+1x

的最小值是________．

分析：先将原函数配方，再求最值。解：y=x 2-x+1

x =（x-1）2+（x+1x ）-1=（x-1）2+）2+1要求y

的最小值，最好有（x-1）2=0

）2=0，这时得到x=1．于是，当x=1时，y=x 2-x+1x 取最小值1． 评注：函数y=x 2-x+

1x 含有1x

，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、•最有效的方法仍然是配方法． 例3（2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x 2+4│x │-1的最小值是________． 分析：对x 分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，•求二次函数最值问题．

解：y=2（│x│+1）2-3=

2

2

2(1)3,0,

2(1)3,0.

x x

x x

⎧+-≥

⎪

⎨

--≤

⎪⎩

其图象如图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．

答案：-1．

评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值．

例4设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2│的最值．

分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．•然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值．【解】：

如图，先作抛物线y=x2，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│x2-2x-1│的图象，对称轴

是直线，方程x2x-1=02．由此可知，0与3•位于图象与x轴两交点之间，且位于

对称轴两侧，故最大值为：f=|，而最小值为f（0），f（3）中较小者∵f

（0）=1，f），∴最小值为1．

评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），•转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．

例5设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值．分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值

范围，从判别式入手．解：由△=（-4m）2-4×2×（2m2+3m-2）≥0得m≤2

3

，

x1+x2=2m，x1x2=

2

232

3

m m

+-

，x12+x22=2（m-

3

4

）2+

7

8

=2（

3

4

-m）2+

7

8

，•∵m≤

2

3

，∴

3

4

-m≥

3

4

-

2

3

>0，

从而当m=2

3

时，x+x取得最小值，且最小值为2×（

3

4

-

2

3

）2+

7

8

=

8

9

．

评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形：（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得．

例6求函数y=（4-x）

分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值．解：设，则u>0，且y=4+u．于是（u+x）2=4（x2+9），即3x2-2u·x+36-u2=0．∵x∈R，∴上式的判别式△=（2u）2-4×3×（36-u2）≥0，即

u2≥27，故u≥y=4-x+2（当

评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．