余数与被除数的关系

余数与被除数的关系

吴凯 2013-11-06

在有余数的除法里，余数比除数小，那么，余数与被除数之间的关系又是怎样的呢？

被除数÷除数＝商……余数，其中被除数、除数、商均为正整数，余数为非负整数，且被除数≥除数＞余数≥0（当余数为0时表示除尽）。

则有：除数×商＋余数＝被除数，

又因为：余数＜除数，且商为正整数，

所以：余数＜除数≤除数×商，

即有：余数＜除数×商，

余数＋余数＜除数×商＋余数＝被除数，

2×余数＜被除数， 余数＜

12

×被除数， 综合为：余数＜12×被除数，被除数＞2×余数。 推论1，对于给定余数，当商为1（即被除数＝除数＋余数）且除数仅比余数大1时有最小的被除数，即有，被除数（最小）＝2×余数＋1。

推论2，对于给定被除数，当商为1（即被除数＝除数＋余数）时，余数可能最大。

（1）当被除数是奇数时，能分解成一个奇数与一个偶数，这时除数仅比余数大

1，这说明被除数＝2×余数＋1，余数（最大）＝2

被除数-1。 （2）当被除数是偶数时，能分解成一个奇数与一个奇数或者一个偶数与一个偶数，这时除数仅比余数大2，这说明被除数＝2×余数＋2，余数（最大）＝2

被除数-2。 推论整理为：2122⎛⎫ ⎪⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭给定余数，被除数（最小）＝余数＋被除数-1给定被除数（奇数），余数（最大）＝被除数-2给定被除数（偶数），余数（最大）＝