第十章 应力状态

s 1 方向： a0 = 15.5 s x s y 时，a0 = (s x，s max ); 主应力
s y s x 时，a0 = (s y，s max ); 主应力 s 3 方向：a0 = 105.5
sy
t xy
a
（3）主应力单元体： s3 s1
15 .5
sx
s x = 60MPa,
sx
68.3MPa = - 48.3MPa
s 1 = 68.3MP a, s 2 = 0, s 3 = -48.3MP a
主平面的方位：
sy
t xy
a
tg2a 0 = -
2t xy
sx
- 60 == 0. 6 60 + 40
a 0 = 15.5 ,
s x -s y
a 0 = 15.5 + 90 = 105.5
t=
s x -s y
2 sin 26 .56 +t xy cos 26 .56 = 22 .36 MPa
(30 - 10) 2 =± [ ] + 20 2 =±22.36 MPa 2 a=103.28时:
注意 30 + 10 30 -10 s = + = cos 26.56° 20 sin 26.56° 20 MPa 还有 2 2
令ds a/da=0，有：
s x + s y s x -s y
txy sx
a a o
sa
a
n
ta x sy
b
tyx
s a是a的函数，极值？
s x -s y
2 2t xy tg2a0 = - s x -sy
sin 2a + t xy cos 2a = 0
---（10-4）
---（10-3）
在a=a 0 的斜截面上，s a 取得极值；且 t a =0。
s x -s y
2 60 + 40 = sin( -60 ) - 30 cos( -60 ) 2
sin 2a + t xy cos 2a
= -58.3MPa
（2）主应力、主平面
sy
t xy
a
s s + s 1 s x -s y 2 2 x y = ( ) + t xy 2 s 3 2
极值应力截面方位： tg2a0 = 2t xy sx - s y (10-4)式
注意到：tg2a0=tg(p+2a0)
正应力取得极值的角a 0有两个，二者相差90。 即s max和s min分别作用在两相互垂直的截面上。
主平面: 剪应力为零的平面。
a=a 0时，t a=0，故对应的平面是主平面。
主应力: 主平面上的正应力。故极值应力是主应力。
第十章 应力状态与强度理论
§10-1 一点应力状态的概念 §10-2 平面应力状态分析—解析法 §10-6 广义虎克定律 §10-7 强度理论及其应用
概 述
拉压
扭转
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弯曲
y
y
y
C
s max 压 s max 拉
截面 应力 危险点
应力状态
C
o
FN
s=smax M T smax
t max t max
M
s max s max拉 [s 拉 ] s max压 [s 压 ]
sx
=-2.36 MPa=smin
s3
z s3 txy sy
x x a 0 s
1
n
a=-31.72时有: sa=smax=42.36 MPa
在平行xy的前后面上，无应力作用，s、t均为零。 s3 s2 故此面上还有第三个主应力 sz=0。 x
s3
s1
y s1
a0=58.28
s1 三个主应力按大小排列。 平面应 用主应力表示应力状态，简洁、清晰。 力状态
t xy
sx
解： （1）a 斜面上的应力
s x +s y s x -s y sa = + cos 2a - t xy sin 2a 2 2
sy
sa a
t xy
sx
ta
60 - 40 60 + 40 = + cos( -60 ) + 30 sin( -60 ) 2 2 = 9.02 MPa
ta =
1、空间应力状态: 三个主应力s1 、s2 、s3 均不等于零 2、平面应力状态:三个主应力s1 、s2 、s3 中有两个不等于零 3、单向应力状态: 三个主应力 s1 、s2 、s3 中只有一个不等于零
s2 s1
s3 s1 s1
s2
s1
s1
s3 s2
s2
s1
10.2.1 平面应力状态
最一般状态： 有s x、s y 、t xy =t yx。
剪应力的极值？
ta= s x -s y
2 sin 2a + t xy cos 2a
---(10-2)
令dta/da=0，有(sx-sy)cos2a-2txysin2a=0 t取得极值的条件：
sx -sy tg2a 1 = 2t xy
=x （10-6）
同样有 sin2a=x/(1+ x 2 )1/2 ；cos2a=1/(1+ x 2 )1/2 代入(10-2)式： t max 2 极限剪应力 =± [(s x - s y ) / 2] 2 + t xy (10-7)式 t min
10.2.2 极值应力与主应力
s a= s x +s y s x -s y
2
+ 2 cos2a -t xy sin2a
（10-1）式
2t xy sa取极值的条件：tg2a0 = sx -sy =x
x 2a 记tg2a0=x, 有 sin2a=x/(1+ x 2) 1/2 1 cos2a=1/(1+ x 2)1/2 2 s x + s y (s x - s y )2/ 2 + 2t xy 代入(10-1)式： s = ±{ } a 2 2 (s x - s y ) +4 t xy
极限剪应力作用平面？
sx -sy tg2a 1 = 2t xy
(10-6)
主平面方位
2t xy tg2a0 = - s x -sy
(10-4)
剪应力取得极值的角a 1有两个，二者相差90。 即t max和t min分别作用在两相互垂直的截面上。
a 1 和a 0 的关系？
p p 1 =-ctg 2a 0 = -tg ( ±2a 0 )= tg(2a 0 m ) tg2a 1 = tg2a 0 2 2
3)最大、最小剪应力
由（10-7）式有：
s
tmax
s
-tmax
y
s
a1=13.28 x
t max 2 =± [(s x - s y ) / 2] 2 + t xy t min
-tmax
tmax
s
作用平面方向角：a 1=a 0 +p/4=13.28 t=-22.36 MPa a 0= -31.72 a=13.28时，由（10-2）式有: s =20 MPa
各侧面上切应力均为零的单元体
s3 s2
4、主平面:切应力为零的截面
5、主应力:主面上的正应力
说明: 一点处必定存在这样的一个单元体,
三个相互垂直的面均为主平面, 三个互相垂
直的主应力分别记为 s1 ,s2 , s3 且规定按代
数值大小的顺序来排列, 即
s1 s 2 s 3
10.1.3 应力状态的分类
s a= s x + s y s x -s y
2 s x -s y + 2 cos2a -t xy sin2a
---(10-1) ---(10-2)
ta=
2
sin 2a + t xy cos 2a
s a、t a是a角的函数，a角是x轴与斜截面正法向n的 夹角，从x轴到n轴逆时针转动时，a为正。
10.2.2 极限应力与主应力 任一 s = + cos2a -t xy sin2a a 2 2 截面 s x -s y 应力 t a = 2 sin 2a + t xy cos 2a
强度 判据
s max 拉 [s 拉 ] s max 压 [s 压 ]
t max [t ]
组合变形：
A
FT2
e
FT1
弯扭组合
压弯组合
B
F
A C
D
B
M (b) 皮带传动轴
承受组合变形的构件
(a) 钻床立柱
问题：
危险点应力状态？ 强度判据？
10.1.1 应力状态的概念 1. 低碳钢和铸铁的拉伸实验
在三向应力状态下，同样可以得到：
sx
sy
y
tyx
sx
x
txy a sa
sx
a o
n
a
sy
txy
ta x
tyx
sy
b
一般情况
问题: 任意斜横截面上的应力sa 、t a ?
思路：研究力的平衡。设单元体厚度为1，有 SFx=saabcosa+taabsina-sxabcosa+tyxabsina=0
SFy=saabsina-taabcosa-syabsina+txyabcosa=0
y
tyx
sy
smax 30 + 10 30 -10 2 2 42.36MPa ± ( ) + 20 = = smin - 2.36MPa sx 2 2
a=58.29
sx
主方向角：由（10-4）式有：
2 20 = -2 tg 2a 0 = 30 - 10
sy
txy
a x 0 n
s y = -40MPa,
s x s y 时，a0 = (s x，s max );
s y s x 时，a0 = (s y，s max );
例2 已知某点的应力状态为: s x =30MPa， s y =10MPa，t xy=20MPa。 求 1) 主应力及主平面方向；2) 最大、最小剪应力。 解：1）主应力与主方向 主应力：由（10-5）式有：
极值 s max s x + s y 2 = ± [(s x - s y ) / 2]2 + t xy (10-5)式 应力 s min 2
10.2.2 极限应力与主应力 极值 s max s x + s y 2 ± [(s x - s y ) / 2]2 + t xy (10-5)式 = 应力 s min 2
即有：a1=a0p/4
剪应力取得极值的平面与主平面间的夹角为45。
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。 已知
s x = 60MPa,
t xy = -30MPa,
s y = -40MPa, a = -30。
试求（1）a 斜面上的应力(并画出)；
sy
（2）主应力、主平面；
（3）绘出主单元体。 a
极限剪应力作用面相互垂直，剪应力互等（大小相 等、符号相反，使单元体顺时针转者为正）。
注意：极限剪应力作用面上一般 s=0。
讨论一、应力状态的第一不变量
由(10-5)式 s max = s x + s y ± [(s - s ) / 2]2 + t 2 x y xy s min 2
显然有： smax + s min = s x + s y 即过某点任意两相互垂直平面上正应力之和不变。
应 力
哪一个面上？ 哪一点？ 哪一点？ 哪个方向面？
4、一点的应力状态
过一点不同方向面上应力的情况，称之为这一点的应力状 态，亦指该点的应力全貌.
10.1.2 应力状态的研究方法
1、单元体
2、单元体特征
单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布
任意一对平行平面上的应力相等 3、主单元体
s2 s1
s3 s1
2a 0= -63.43， a 0= -31.72 a02= 58.28
主平面方位:
a01= -31.72 ，
各主平面上的应力？(t=0)
a=58.28时，由(10-1)式有:
s1 tyx
yy
sy
s3
a=58.29
30+10 30-10 sa = + cos116.56-20sin116.56 s2=0 sx 2 2
分析结果汇总与讨论 ( 已知 s x 、sy、 t xy )
求任一截面应力---（10-1）、（10-2）式 求主应力及其方位---（10-5）、（10-4）式 主应力作用面上t=0，是主平面；主平面相互垂直。 一点的应力状态可由三个主应力描述，对于平面应 力状态，第三个主应力 s z =0。
。 求极限剪应力 ---(10-7)式，作用面与主平面相差45 。
低碳钢
铸铁
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
2. 低碳钢和铸铁的扭转实验
低碳钢
铸铁
为什么脆性材料扭转时沿45º 螺旋面断开？
3、重要结论
(1) 拉中有剪，剪中有拉; (2) 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力; (3) 同一面上不同点的应力各不相同; (4) 同一点不同方向面上的应力也是各不相同
注意到txy=tyx，解得：
s a=s x cos2a+s ysin2a-2t xysinacosa t a=(s x -s y)sinacosa+t xy(cos2a -sin2a)
txy a sa sx
a o
n
a
ta x sy
b
tyx
利用cos2a=(1+cos2a)/2，sin2a=(1-cos2a)/2， sin2a=2sinacosa，得到平面应力状态下的一般公式：