函数可积、原函数存在、变上限函数的关系解读(绝对原创)

有关函数可积、连续、间断、可导等问题的探究

一、基本概念：

①原函数：

已知函数f x 是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F x ，使得在该区间内的任一点都有F ' x=f x，则在该区间内就称函数F x 为函数f x的原函数。

② 函数可积：

如果 f x 在 a,b上的定积分存在，我们就说f x在 a,b 上可积。即 f x 是 a,b 上的可积函数。注：“ 可积” 的说法只是针对定积分而言，即b f x dx

a

ii 闭区间 a,b 改成开区间a,b 后对定积分的值不影响，即定积分在开区间a,b 依然存在

③ 变上限函数：

x

f x dx如果积分上限x在区间a, b 上

设函数f x在区间a,b上连续，并且设x为a, b上的一点，考察定积分

a

x

x dx有一个对应值，所以它在a, b 上定义了一个函数，

任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分f

a

x

f t dt

记积分上限函数

a

二、函数可积与原函数理论：

①函数可积的几个条件：

函数可积的必要条件： f x 在a, b可积则它必在a, b 上界，

即函数可积函数在该区间上有界但有界函数不一定可积，如：狄利克雷函数

i f x 在

a, b

上连续

函数可积的充分条件：

f x 在

a, b

上至多有有限个第一类间断点且有界

f x

在

a, b

上可积

ii

iii f x 在

a, b

上单调且有界

注：函数可积的充分条件中的ii和ii i中的“ 有界” 是排除函数出现无穷间断点的情况，在能够保证函数不存在无穷间断点时，“ 有界” 的条件可以舍去

②可积函数的原函数的存在性讨论：

由函数可积的充分条件可知，有三种函数即满足上述三个条件其中任意一个的一定可积，但这三种函数

的原函数的存在性情况是是不一样的，现归纳如下：

i 如果 f x 在 a ,b 上连续，则 f x的原函数一定存在此处引出变上限函数定理

变上限函数定理：如果函数 f x 在 a,b 上连续，则变上限函数x x t dt 在 a, b 上连续且可导，并且

f

a

' x =f x

因此在a, b 上的连续函数f x 的原函数在这种条件下就都于它的变上限函数相差一个常数

显然此时的变上限函数是f x 的一个原函数

ii 如果 f x 在 a, b 上有第一类间断点时，f x 的原函数一定不存在，但此时 f x 的变上限函数依然存在，但

不是 f x 的原函数

下面就 f x 发生间断时，讨论 f x和其变上限函数之间的一些关系：

1、变上限函数定理的弱化定理：如果函数 f x在 a, b 上可积，则变上限函数x x dt 在 a, b 上连续，

f t

a

但未必可导

2、若 f x 在x0 a ,b 间断非无穷间断，则x 在 x0也未必可导如：符号函数就不可导

3、若 f x 在 x0 a ,b 产生可去间断点，则' x0存在，但是' x0f x0' x0= lim f x f x0，

x x0

这也就是为什么此时的变上限函数不是f x的原函数的原因此处类似于左右导数的概念，若 f x 在 x0 a,b

产生跳跃间断点，则' x0不存在

4、若 f x 在 a, b 上有无穷间断点，则 f x 的原函数不存在但变上限函数依然存在

5、若 f x 的原函数存在且 f x 存在间断点，那么这个间断点一定是第二类间断点中非无穷性型的

6、若 f x 存在第二类间断点中非无穷性型的间断点，它的原函数可能存在也可能不存在

iii如果 f x 在 a,b 上单调有界，则 f x 必存在原函数

③原函数存在的函数的可积性的：

若 f x 在 a, b 上连续则它必存在原函数，则 f x 在a, b上可积；若 f x 在a,b上不连续，一般来说，即使

在 a, b 上 f x 的原函数存在， f x 在a, b上也不一定可积

小结：从上面的讨论可知，函数的可积性和原函数的存在性是两个不同的概念，它们互不蕴含，

这就是说，可积函数的原函数可能存在，也可能不存在；原函数存在的函数可能可积，也可能不可积，当然也存在既不可积，又不存在原函数的函数

三、关于变上限函数的奇偶性与周期性;

设 f x连续，x f t dt是其原函数，则

x =

a

i若 f x 是奇函数，x 及其 f x 的所有原函数均为偶函数

ii若 f x 是偶函数， f x 的所有原函数中只有x是奇函数，其余原函数都是一个奇函数加上一个非零常数

iii若 f x 是以 T 为周期的函数，T x dx=0，则x 具有相同周期要完全掌握并理解证明过程

且 f