圆锥曲线斜率乘积为定值

斜率乘积为定值的问题探究

知识梳理

结论1：设A 、B 是椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A 、B 的任一点，直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，则22

21a

b k k -=⋅。 结论2：设A 、B 是双曲线122

22=-b

y a x )0,0(>>b a 上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上不同于A 、B 的任一点，直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，则22

21a

b k k =⋅。 基础训练

1、设椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 的左右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为2

1-，则椭圆的离心率为 。 2、在平面直角坐标系中，21,F F 分别为椭圆122

22=+b

y a x )0(>>b a 的左右焦点，B 、C 分别为椭圆的上下顶点，直线2BF 与椭圆的另一交点为D ，若21cos BF F ∠25

7=

，则直线CD 的斜率为 。 3、已知椭圆C ：12

22

=+y x ，点54321,,,,M M M M M 为其长轴AB 的六等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则这10条直线1011,,AP AP AP 的斜率的乘积为 。

4、如图所示，已知椭圆方程为12

42

2=+y x ，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ，对任意0>k 。求证：PB PA ⊥。

方法梳理：

一、解决直线和圆锥曲线问题的一般方法：

Step1

设（点的坐标、直线方程、曲线方程） Step2

代（点的坐标带入方程，方程联立方程组带入消元） Step3 化（化简方程，解方程）

二、常用的化简策略

“设而不求”，整体代换

典型例题

1、已知椭圆C 的方程12

42

2=+y x ，直线m kx y l +=:)0(≠m 交椭圆C 于Q P ,两点，T 为弦PQ 的中点，)0,1(),0,1(N M -，记直线TM ，TN 的斜率分别为21,k k ，当1222

2=-k m 时，求21k k ⋅的值。

2、如图，在平面直角坐标系中，椭圆E ：13

42

2=+y x ，若点A 、B 分别是椭圆E 的左右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆上异于A 、B 的任一点，直线AP 交l 于点M 。

（1）设直线OM 的斜率为1k ，直线BP 的斜率为2k ，求证1k 2k 为定值；

（2）设过点M 垂直于PB 的直线为m 。求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标。

3、已知椭圆C 的方程为14

22

=+y x ，A 、B 为椭圆的左右顶点，点S 为椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线3

10-

=x 分别交于M ，N 两点。 （1）试求线段MN 长度的最小值；

（2）试问：以线段MN 为直径的圆是否过定点，并证明你的结论。