著名不等式

选修4-5中的著名不等式

内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军

新课程改革推出了知识模块，把高等数学中一些领域的知识进行了简化，下放到高中。选修4-5中给出了许多著名不等式的特例，下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下介绍。

绝对值的三角不等式（）：

定理：若为实数，则，当且仅当时，等号成立。

绝对值的三角不等式一般形式：

，简记为。

柯西不等式（）

定理：（向量形式）设为平面上的两个向量，则。

当及为非零向量时，等号成立及共线存在实数，使。

当或为零向量时，规定零向量与任何向量平行，即当时，上式依然成立。

定理：（代数形式）设均为实数，则，当且仅当时，等号成立。

柯西不等式的一般形式（）

定理：设为实数，则

，

当且仅当时，等号成立（当某时，认为）。

闵可夫斯基不等式（）

定理：设均为实数，则

，当且仅当存在非负实数（不同时为0），使时，等号成立。

闵可夫斯基不等式的一般形式：

定理：设是两组正数，，则

或，当且仅当时，等号成立。

排序不等式（）

定理：设为两组实数为

的任一排列，则有

。

当且仅当或时，等号成立。

排序原理可简记作：反序和乱序和顺序和。

切比晓夫不等式（）：

定理：设为任意两组实数，

①如果或，则有

②如果或，则有

①②两式，当且仅当或时，等号成立。

平均值不等式（）

定理：设为个正数，则，当且仅当时，等号成立。

当时，，当且仅当时，等号成立。

加权平均不等式（）

定理：设为正数，都是正有理数，并且，那么。

杨格不等式（）：

定理：设为有理数，满足条件（互称为共轭指标），为正数，则。

当时，，此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式。

贝努利不等式（）：

定理：设，且，为大于1的自然数，则。

贝努利不等式的一般形式：

（1）设，且同号，则；

（2）设，则①当时，有；②当或时，有，①②当且仅当时等号，成立。