二次根式期末复习含答案
《二次根式》期末复习知识清单及典型例题
二次根式期末复习知识清单及典型例题知识点1：二次根式的定义：形如()0≥a a 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，a 才有意义．【例1】下列各式()511，()52-，()232+-x ，()44，()2315⎪⎭⎫ ⎝⎛-，()a -16，()1272+-a a 其中是，二次根式的是_________（填序号）．变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、a B 、10-C 、1a +D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是． 变式：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠4 2、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式：1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．3 2、当a 取什么值时，代数式112++a 取值最小，并求出这个最小值。
【例4】已知a 是5整数部分，b 是5的小数部分，求12a b ++的值。
变式：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。
2、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求yx 12+的值. 知识点2：2、双重非负性：a a ()≥0是一个非负数．即①0≥a；②0≥a3、平方的形式（双胞胎公式）：（1）()()a aa 20=≥；（2）a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()．公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系：（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 【例5】若()04322=-+-+-c b a 则c b a +-=．变式:若1+-b a 与42++b a 互为相反数，则()2017b a -=。
2021年浙教版八年级数学下册《第1章二次根式》期末综合复习培优提升训练(附答案)
2021年浙教版八年级数学下册《第1章二次根式》期末综合复习培优提升训练（附答案）一．二次根式的定义1．下列式子中一定是二次根式的是（）A．B．C．D．2．如果是二次根式，那么x应满足的条件是（）A．x≠8B．x＜8C．x≤8D．x＞0且x≠8 3．在下列代数式中，不是二次根式的是（）A．B．C．D．二．二次根式有意义的条件4．使二次根式的有意义的x的取值范围是（）A．x＞0B．x＞1C．x≥1D．x≠15．要使二次根式有意义，则x的取值范围是．6．要使代数式有意义，则x的取值范围是．7．要使代数式有意义，则x的取值范围是．8．若有意义，则x的取值范围是．9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．三．二次根式的性质与化简10．若abc＜0，则可能化简的结果为（）①②③④．A．①或②B．③或④C．①或③D．②或④11．下列各式：①x2+x3＝x5 ；②a3•a2＝a6 ；③；④；⑤（π﹣1）0＝1，其中正确的是（）A．④⑤B．③④C．②③D．①④12．若＝2，则x的值为（）A．2B．﹣2C．±D．±213．若5＜m＜9，则化简+的结果是（）A．﹣7B．7C．2m﹣13D．13﹣2m14．计算＝．15．先化简再求值：，其中x＝﹣2．四．最简二次根式16．下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．17．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．18．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．19．下列各式中是最简二次根式的是（）A．B．C．D．20．把化为最简二次根式为．五．二次根式的乘除法21．下列运算结果正确的是（）A．＝﹣9B．C．D．22．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝2a4B．（2a）2＝4a C．D．23．下列计算正确的是（）A．＝4B．＝3C．＝﹣3D．24．计算：（）2＝．六．化简分母中的二次根式25．当x，y均为正数时，与的关系是（）A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．乘积是有理式26．计算：+．27．已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2 （2）a2﹣2ab+b2．七．能合并的二次根式28．下列各式中，与能合并的是（）A．B．C．D．29．下列根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．30．若a与能合并，则a可能是（）A．﹣3B．C．﹣D．31．若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（）A．B．C．2D．532．下列各式中，能与合并的二次根式是（）A．B．C．D．33．已知最简二次根式与能合并，则a＝．八．二次根式的加减法34．下列计算中，正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2B．a6÷a3＝a3C．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3D．+＝35．下列计算不正确的是（）A．+＝2+B．﹣＝C．+＝D．﹣3＝0 36．计算：3﹣2＝．九．二次根式的混合运算37．下列计算正确的是（）A．＝±3B．2C．＝D．＝2 38．下列运算正确的是（）A．B．＝﹣3C．（）2＝3D．+＝39．下列计算正确的是（）A．B．C．D．40．下列计算正确的是（）A．＝﹣3B．（）2＝3C．＝±3D．+＝41．计算：（1）6﹣5+2；（2）（1+）2﹣．42．计算（1）（2）43．计算：44．计算：．45．计算：（1）÷×；（2）（2+）（2﹣）．十．二次根式的化简求值46．已知a＝，b＝，用含a、b的代数式表示，这个代数式是（）A．a+b B．2a C．2b D．ab47．若，，以此类推，则的值为（）A．2018B．2019C．2020D．202148．已知，x＝，y＝，则（x+y）2的值为（）A．2B．4C．5D．749．若a＝+1，则a2﹣2a+1的值为（）A．2B．C．﹣2D．+250．已知x，y均是正整数，且，则|x﹣y|的值为．51．如果实数a，b满足，则＝．52．若a＝3﹣，则a2﹣6a﹣1的值为．53．已知x＝+，y＝﹣，求+的值．54．x＝，y＝，求代数式x2﹣y2的值十一．二次根式的应用55．如图，已知阴影部分是一个正方形，AB＝4，∠B＝45°，此正方形的面积（）A．16B．8C．4D．256．已知矩形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，已知S＝2，a＝，则b ＝．57．学校要在操场的一块长方形土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长为10米，对角线的长为5米．（1）求该长方形土地的面积；（2）如果绿化该长方形土地每平米的造价为180元，那么绿化该长方形土地所需资金为多少元（结果精确到1元）？58．已知长方形的长a＝，宽b＝．（1）求长方形的周长；（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．59．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求（1）Rt△ABC的面积．（2）斜边AB的长．（3）求AB边上的高．60．已知长方形的长是cm，宽是cm，求这个长方形的周长和面积．参考答案一．二次根式的定义1．解：A.，是二次根式；B.中，根指数为3，故不是二次根式；C.中，﹣2＜0，故不是二次根式；D.中，x不一定是非负数，故不是二次根式；故选：A．2．解：∵是二次根式，∴8﹣x≥0，解得：x≤8．故选：C．3．解：A、，是二次根式，故此选项不合题意；B、，是二次根式，故此选项不合题意；C、，是二次根式，故此选项不合题意；D、，不是二次根式，故此选项符合题意；故选：D．二．二次根式有意义的条件4．解：要使有意义，必须x﹣1≥0，解得：x≥1．故选：C．5．解：二次根式有意义，故x﹣3≥0，则x的取值范围是：x≥3．故答案为：x≥3．6．解：由题意可得：2x﹣1≥0，x﹣1≠0，解得：x≥且x≠1．故答案为：x≥且x≠1．7．解：根据题意，得，解得x≥﹣1且x≠0．8．解：根据题意得：﹣2x﹣1≥0，解得：x≤﹣．故答案是：x≤﹣．9．解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．三．二次根式的性质与化简10．解：∵abc＜0，a4b3c2≥0，∴b＞0且a，c一定同号．当a、c是正数时：＝a2b|c|＝﹣a2bc；但a、c是负数时：＝a2b|c|＝a2bc．故选：A．11．解：①x2+x3≠x5 ，故错误；②a3•a2＝a5，故错误；③＝|﹣2|＝2，故错误；④＝3，故正确；⑤（π﹣1）0＝1，故正确．故正确的是：④⑤．故选：A．12．解：∵＝2，∴|x|＝2，∴x＝±2．故选：D．13．解：∵5＜m＜9，∴3﹣m＜0，m﹣10＜0，∴+＝m﹣3+10﹣m＝7，故选：B．14．解：原式＝1，故答案为：115．解：原式＝＝|x+2|，当x＝﹣2时，原式＝|﹣2+2|＝0，四．最简二次根式16．解：∵＝2，＝2，＝，而中被开方数不含能开得尽方的因数，∴属于最简二次根式的是，故选：B．17．解：A、不是最简二次根式，错误；B、是最简二次根式，正确；C、不是最简二次根式，错误；D、不是最简二次根式，错误；故选：B．18．解：因为＝＝2，因此不是最简二次根式．故选：B．19．解：A、原式＝，不符合题意；B、原式＝2，不符合题意；C、原式＝，符合题意；D、原式＝a，不符合题意．故选：C．20．解：＝＝2．故答案为：2．五．二次根式的乘除法21．解：A、＝9，故此选项错误；B、（﹣）2＝2，正确；C、÷＝，故此选项错误；D、＝5，故此选项错误；故选：B．22．解：A、a2+a2＝2a2，故A选项错误；B、（2a）2＝4a2，故B选项错误；C、，此C选项正确；D、÷3＝，故D选项错误．故选：C．23．解：A、＝2，故此选项错误；B、×＝3，故此选项错误；C、＝3，故此选项错误；D、×＝，正确．故选：D．24．解：（）2＝5．故答案为：5．六．化简分母中的二次根式25．解：∵+＝0，∴与的关系是互为相反数．故选：A．26．解：原式＝+＝＝＝6．27．解：（1）∵a＝3+，b＝3﹣，∴a+b＝3++3﹣＝6，a﹣b＝3+﹣3+＝2，则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×＝12；（2）由（1）知a﹣b＝2，∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（2）2＝8．七．能合并的二次根式28．解：A、与不能合并，错误；B、与不能合并，错误；C、与能合并，正确；D、与不能合并，错误；故选：C．29．解：A、，本选项不合题意；B、，本选项不合题意；C、，本选项合题意；D、，本选项不合题意；故选：C．30．解：首先把上面的四个式子化简后分别是：A、﹣3与不能合并；B、＝，与不能合并；C、﹣3与不能合并；D、＝2，与能合并．所以a可能是D．故选：D．31．解：∵最简二次根式和能合并，∴2x+1＝4x﹣3，解得x＝2．故选：C．32．解：A．＝2与不能合并，此选项不符合题意；B．＝2与不能合并，此选项不符合题意；C．＝2与不能合并，此选项不符合题意；D．＝3与能合并，此选项符合题意；故选：D．33．解：∵最简二次根式与能合并，∴1+a＝4﹣2a，解得，a＝1．故答案是：1．八．二次根式的加减法34．解：A、（a+b）2＝a2+b2+2ab，故原题计算错误；B、a6÷a3＝a3，故原题计算正确；C、（﹣2x2y）3＝﹣8x6y3，故原题计算错误；D、和不是同类二次根式，不能合并，故原题计算错误；故选：B．35．解：+＝2+A，正确，不符合题意；﹣＝2﹣＝，B正确，不符合题意；和不是同类二次根式，不能合并，C不正确，符合题意；﹣3＝3﹣3＝0，D正确，不符合题意；故选：C．36．解：原式＝．故答案为：．九．二次根式的混合运算37．解：A、原式＝3，所以A选项的计算错误；B、2与不能合并，所以B选项的计算错误；C、原式＝，所以C选项的计算错误；D、原式＝＝2，所以D选项的计算正确．故选：D．38．解：A、原式＝＝×＝3×2＝6，所以A选项错误；B、原式＝|﹣3|＝3，所以B选项错误；C、原式＝3，所以C选项正确；D、与不能合并，所以D选项错误．故选：C．39．解：A、与不是同类二次根式，不能合并，所以A选项错误；B、（+1）（1﹣）＝﹣（+1）（﹣1）＝﹣（2﹣1）＝﹣1，所以B选项错误；C、＝＝×＝3，所以C选项正确；D、＝＝，所以D选项错误．故选：C．40．解：A、＝3，此选项错误；B、（）2＝3，此选项正确；C、＝3，此选项错误；D、+＝+，此选项错误．故选：B．41．解：（1）6﹣5+2＝（6﹣5+2）×＝3；（2）（1+）2﹣＝1+2+3﹣2＝4．42．解：（1）原式＝2﹣＝；（2）原式＝（1+）2﹣（）2＝1+2+2﹣3＝2．43．解：原式＝＝．44．解：原式＝+×﹣2+﹣2﹣（4÷4﹣3÷4）＝2+3﹣2+﹣2﹣+＝．45．解：（1）原式＝×2＝6×2＝12；（2）原式＝（2）2﹣（）2＝12﹣2＝10．十．二次根式的化简求值46．解：∵×＝，∴＝×＝ab，故选：D．47．解：原式＝（﹣1+﹣+…+﹣）×（+1）＝（﹣1）×（+1）＝2020﹣1＝2019．故选：B．48．解：把x＝，y＝代入（x+y）2＝，故选：C．49．解：当a＝+1时，原式＝（a﹣1）2＝（+1﹣1）2＝（）2＝2，故选：A．50．解：∵＝＝3，又∵x，y均是正整数，且，3＝+2＝+，∴x＝21，y＝84或x＝84，y＝21，∴|x﹣y|＝63．故答案为：63．51．解：∵+（2a﹣b﹣1）2＝0，∴2a﹣3b＝0，2a﹣b﹣1＝0，即，②﹣①得：2b＝1，b＝，把b＝代入①得：2a﹣＝0，a＝，∴•＝＝＝a＝，故答案为：．52．解：∵a2﹣6a﹣1＝（a﹣3）2﹣10，∴当a＝3﹣，即a﹣3＝﹣时，原式＝（﹣）2﹣10＝1．故答案为1．53．解：∵x＝+，y＝﹣，∴+＝＝＝＝2．54．解：当x＝，y＝时，原式＝（+1）2﹣（﹣1）2＝3+2+1﹣（3﹣2+1）＝4+2﹣4+2＝4．十一．二次根式的应用55．解：∵AB＝4，∠B＝45°，∴AC＝2，∴此正方形的面积为2×2＝8．故选：B．56．解：因为矩形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，S＝2，a＝，则b＝＝＝．故答案为．57．解：（1）∵长方形土地的长为10米，对角线的长为5米，∴长方形土地的宽为：＝5（米），∴长方形土地的面积为：10×5＝250（平方米）；（2）∵长方形土地每平方米的造价为180元，∴绿化该长方形土地所需资金为：180×250≈77940元．答：绿化该长方形土地所需资金约为77940元．58．解：a＝＝2，b＝＝．（1）长方形的周长＝（2+）×2＝6；（2）正方形的周长＝4＝8，∵6＝.8＝，∵＞∴6＞8．59．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴Rt△ABC的面积＝＝＝4，即Rt△ABC的面积是4；（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴AB＝＝＝2，即AB的长是2；（3）∵Rt△ABC的面积是4，AB＝2，∴AB边上的高是：＝，即AB边上的高是．60．解：周长＝2（+），＝2（3+2），＝（6+4）cm；面积＝×，＝3×2，＝6cm2．。
初中数学人教新版八年级期末必刷常考题之二次根式的乘除(含答案)
初中数学人教新版八年级期末必刷常考题之二次根式的乘除一．选择题（共6小题）1．（2022秋•南关区期末）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣3B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≥32．（2022秋•南安市期末）当a＞0时，＝（）A．±a B．a C．﹣a D．03．（2022秋•香坊区期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（2022秋•海口期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤3B．x≥3C．x＜3D．x≠35．（2022秋•开福区校级期末）下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．6．（2022秋•临淄区期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）7．（2023春•拱墅区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．（2022秋•宁德期末）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整数，是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是．9．（2022秋•射洪市期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2022秋•汉寿县期末）化简二次根式的结果为．11．（2022秋•思明区校级期末）计算下列各题：化简：①50＝；②3﹣2＝；③（﹣2a）2＝；④＝；⑤＝；⑥＝；⑦＝；⑧（x﹣1）（x+2）＝．12．（2022秋•南关区期末）将化为最简二次根式的结果是．三．解答题（共3小题）13．（2022秋•东平县期末）计算与求值：（1）（x﹣1）2＝25；（2）（x+3）3＝﹣27；（3）已知x、y都是实数，且，求y x的值．14．（2022秋•鲤城区校级期末）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决：（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝；（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值．15．（2022秋•丰城市校级期末）若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．2022-2023学年下学期初中数学人教新版八年级期末必刷常考题之二次根式的乘除参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2022秋•南关区期末）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣3B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≥3【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】直接利用二次根式的定义得出x+3≥0，进而得出答案．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x+3≥0，解得：x≥﹣3．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．2．（2022秋•南安市期末）当a＞0时，＝（）A．±a B．a C．﹣a D．0【考点】二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据即可求解．【解答】解：当a＞0时，．故选：B．【点评】本题考查二次根式的性质，掌握是解题的关键3．（2022秋•香坊区期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【答案】C【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A.＝2，被开方数含有开方开得尽的因式，故不符合题意；B.＝4，被开方数是完全平方数，故不符合题意；C.是最简二次根式，故符合题意；D.＝，被开方数是小数，故不符合题意．故选：C．【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．4．（2022秋•海口期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤3B．x≥3C．x＜3D．x≠3【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：2x﹣6≥0，解得：x≥3，故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．5．（2022秋•开福区校级期末）下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的定义．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可．【解答】解：∵x2≥0，∴x2+2≥2，∴一定是二次根式，而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式，故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．6．（2022秋•临淄区期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的性质与化简；立方根．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】根据算术平方根的非负性、二次根式的性质、立方根逐项判断即可．【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算正确，符合题意；D、，原式计算错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的性质、算术平方根的非负性、立方根等知识，掌握二次根式的性质、算术平方根的非负性是解本题的关键．二．填空题（共6小题）7．（2023春•拱墅区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x ＜5．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】x＜5．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：5﹣x＞0，解得：x＜5，故答案为：x＜5．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．8．（2022秋•宁德期末）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整数，是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是45．【考点】二次根式的定义．【专题】二次根式；运算能力．【答案】45．【分析】由，结合b是正整数，是大于1的整数，可得b是15的倍数，从而可得答案．【解答】解：∵，又∵b是正整数且是大于1的整数，∴当b＝15时，的整数值最大为4，此时b的值最小，当b＝60时，的整数值最小为2，此时b的值最大，∴b的最大值与最小值的差是60﹣15＝45．故答案为：45．【点评】本题考查的是算术平方根的含义与估算，理解题意是解本题的关键．9．（2022秋•射洪市期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≥﹣3且x ≠0．【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【专题】分式；二次根式；运算能力．【答案】x≥﹣3且x≠0．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，解得：x≥﹣3且x≠0，故答案为：x≥﹣3且x≠0．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．（2022秋•汉寿县期末）化简二次根式的结果为．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】．【分析】根据二次根式的分母有理化计算即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的化简，熟记分母有理化方法是解题关键．11．（2022秋•思明区校级期末）计算下列各题：化简：①50＝1；②3﹣2＝；③（﹣2a）2＝4a2；④＝﹣1；⑤＝；⑥＝2；⑦＝；⑧（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2．【考点】二次根式的性质与化简；幂的乘方与积的乘方；多项式乘多项式；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】实数；整式；分式；二次根式；运算能力．【答案】①1．②．③4a2.④﹣1．⑤．⑥2．⑦．⑧x2+x﹣2．【分析】①根据零指数幂的意义即可求出答案．②根据负整数指数幂的意义即可求出答案．③根据积的乘方运算即可求出答案．④根据分式的加减运算法则即可求出答案．⑤根据积的乘方运算即可求出答案．⑥根据二次根式的性质即可求出答案．⑦根据二次根式的性质即可求出答案．⑧根据多项式乘多项式法则即可求出答案．【解答】解：①原式＝1．②原式＝．③原式＝4a2．④原式＝＝﹣1．⑤原式＝．⑥原式＝2．⑦原式＝．⑧原式＝x2+2x﹣x﹣2＝x2+x﹣2．故答案为：①1．②．③4a2.④﹣1．⑤．⑥2．⑦．⑧x2+x﹣2．【点评】本题考查零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、积的乘方运算、二次根式的性质、多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．12．（2022秋•南关区期末）将化为最简二次根式的结果是．【考点】最简二次根式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】．【分析】被开方数的分子分母乘以2，然后再开方即可．【解答】解：＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．三．解答题（共3小题）13．（2022秋•东平县期末）计算与求值：（1）（x﹣1）2＝25；（2）（x+3）3＝﹣27；（3）已知x、y都是实数，且，求y x的值．【考点】二次根式有意义的条件；平方根；立方根；实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）x＝﹣4或x＝6；（2）x＝﹣6；（3）9．【分析】（1）根据平方根的概念计算；（2）根据立方根的概念计算；（3）根据二次根式有意义的条件求出x，进而求出y，根据有理数的乘方法则计算即可．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝25，∴x﹣1＝±5，∴x＝﹣4或x＝6；（2）∵（x+3）3＝﹣27，∴x+3＝﹣3，∴x＝﹣6；（3）由题意得：x﹣2≥0，x﹣2≤0，∴x＝2，∴y＝3，∴y x＝32＝9．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、平方根、立方根的概念，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．14．（2022秋•鲤城区校级期末）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决：（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝；（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值．【考点】二次根式的定义．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）；（2）2．【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值；（2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值．【解答】解：（1）∵a与2是关于6的共轭二次根式，∴2a＝6，∴a＝＝，故答案为：；（2）∵4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，∴（4+）（8﹣m）＝26，∴8﹣m＝＝＝8﹣2，∴m＝2．【点评】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算．15．（2022秋•丰城市校级期末）若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．【考点】二次根式有意义的条件．【答案】见试题解答内容【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x、y的值，根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：由题意得，4x﹣1≥0，1﹣4x≥0，解得，x＝，则y＝3，则3＝3×＝．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．考点卡片1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．2．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n＝a mn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝a n b n（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．5．多项式乘多项式（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．6．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．7．分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．8．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由a m÷a m＝1，a m÷a m＝a m﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．9．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．10．二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a（a≥0）是一个非负数；学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．11．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．12．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．13．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．。
初二下学期压轴题练习-二次根式的运算(含答案)
专题01二次根式的运算一．选择题1．（2021秋•福田区校级期末）下列计算正确的是（）A．+＝B．3﹣＝3C．＝﹣＝3﹣1＝1D．＝2．（2021春•龙岩期末）下列计算结果正确的是（）A．B．C．D．3．（2021春•荔湾区校级期中）下列计算中，正确的是（）A．＝5B．＝C．÷＝3D．＝﹣3 4．（2021春•天河区校级月考）下列计算正确的是（）A．B．C．D．5．（2019春•西湖区校级期中）计算（﹣3）2018（+3）2019的值为（）A．1B．+3C．﹣3D．36．（2017秋•南昌期末）在化简时，甲、乙两位同学的解答如下，那么两人的解法（）甲：＝＝＝乙：＝＝＝A．两人解法都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错7．（2017春•高唐县期末）下列各式中，正确的是个数有（）①+2＝2；②+＝a+b；③＝；④3＝A．1个B．2个C．3个D．0个8．（2021春•龙口市期中）下列计算中，正确的是（）A．+＝B．（）2020•（）2021＝+C．＝﹣5D．2﹣2＝二．填空题9．（2021春•綦江区期中）已知：，则ab3+a3b的值为．10．（2021春•九龙坡区期末）计算：（﹣）（+）＝．11．（2020秋•德惠市校级月考）计算÷+×＝．12．（2020春•武川县期中）化简：（）2﹣＝．13．（2021春•永嘉县校级期末）已知a为实数，且与都是整数，则a的值是．14．（2019•盘锦）计算：（2+3）（2﹣3）＝．15．（2019春•交城县期中）计算：＝．16．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：6×＝，÷（2﹣）＝．17．（2018•湖北）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1＝．三．解答题18．（2020秋•肃州区期末）计算（1）（2﹣1）2+（+2）（﹣2）（2）（﹣2）×﹣6．19．（2021秋•崇川区校级月考）化简：①﹣a﹣1；②（﹣）÷；③；④3（2﹣4+3）．20．（2021秋•温江区校级期中）（1）﹣2+3；（2）×÷；（3）﹣（+1）2+；（4）解方程组．21．（2021秋•南召县期中）我们知道：这一化简变形过程叫分母有理化，类似地：＝，式子也可以这样化简：，这些化简变形也是分母有理化．利用以上信息解答以下问题：（1）直接写出化简结果：＝；＝；（2）用两种不同的方法化简：；（3）化简：．22．（2021春•青川县期末）计算：（1）（1﹣π）0+|﹣|﹣+（）﹣1；（2）（+﹣）2﹣（﹣+）2．23．（2021春•饶平县校级期中）计算：（1）÷+2×﹣（2+）2（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+24．（2020春•兴县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a ＝，b＝；（2）试着把7+4化成一个完全平方式．（3）若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：．25．（2019秋•昌江区校级期末）（+）÷（+﹣）（a≠b）．26．（2019秋•市中区校级期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）2＝（2）3＝验证：2＝×＝＝＝＝＝验证：3＝×＝＝＝＝＝（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：4＝；5＝；（2）通过上述探究你能猜测出：n＝（n＞0），并验证你的结论．27．（2019春•邗江区校级月考）阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，我们来进行以下的探索：设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m+2n2，b＝2mn，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法．请仿照上述方法探索并解决下列问题：（1）当a，b，m，n都为正整数时，若a﹣b＝（m﹣n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝，b＝；（2）利用上述方法，找一组正整数a，b，m，n填空：﹣＝（﹣）2（3）a﹣4＝（m﹣n）2且a，m，n都为正整数，求a的值．28．（2018春•常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．专题01二次根式的运算一．选择题1．（2021秋•福田区校级期末）下列计算正确的是（）A．+＝B．3﹣＝3C．＝﹣＝3﹣1＝1D．＝【思路引导】根据同类二次根式的概念、合并同类二次根式的法则、二次根式的混合运算顺序和法则及分母有理化逐一判断即可．【完整解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B．3﹣＝2，此选项计算错误；C．＝＝，此选项计算错误；D．＝＝，此选项计算正确；故选：D．【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握同类二次根式的概念、合并同类二次根式的法则、二次根式的混合运算顺序和法则及分母有理化．2．（2021春•龙岩期末）下列计算结果正确的是（）A．B．C．D．【思路引导】根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则和二次根式的性质对D进行判断．【完整解答】解：A、原式不能合并，所以A选项错误；B、原式＝4，所以B选项错误；C、原式＝2，所以C选项错误；D、原式＝＝＝3，所以D选项正确．故选：D．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3．（2021春•荔湾区校级期中）下列计算中，正确的是（）A．＝5B．＝C．÷＝3D．＝﹣3【思路引导】根据同类二次根式的概念、二次根式的乘法、除法及二次根式的性质逐一求解即可．【完整解答】解：A．2与3不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；B．3×2＝18，此选项不符合题意；C．÷＝3÷＝3，此选项符合题意；D．＝|﹣3|＝3，此选项不符合题意；故选：C．【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．4．（2021春•天河区校级月考）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【思路引导】根据二次根式的混合运算法则逐一计算即可．【完整解答】解：A．2和不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．÷＝＝，此选项错误；C．﹣＝2﹣＝，此选项正确；D．（+）2＝5+2，此选项错误；故选：C．【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．5．（2019春•西湖区校级期中）计算（﹣3）2018（+3）2019的值为（）A．1B．+3C．﹣3D．3【思路引导】原式利用积的乘方的运算法则变形为[（﹣3）（+3）]2018×（+3），再根据二次根式的运算法则和平方差公式计算可得．【完整解答】解：原式＝（﹣3）2018（+3）2018×（+3）＝[（﹣3）（+3）]2018×（+3）＝（10﹣9）2018×（+3）＝1×（+3）＝+3，故选：B．【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式和积的乘方的运算法则与平方差公式．6．（2017秋•南昌期末）在化简时，甲、乙两位同学的解答如下，那么两人的解法（）甲：＝＝＝乙：＝＝＝A．两人解法都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错【思路引导】分别对甲和乙的过程进行判断，注意分母有理化时要判断≠．【完整解答】解：甲同学在计算时，将分子和分母都乘以（﹣），而﹣是有可能等于0，此时变形后分式没有意义，所以甲同学的解法错误；乙同学的解法正确；故选：B．【考察注意点】本题考查二次根式的化简，属于基础题，关键在于分母有理化时要确定﹣≠0．7．（2017春•高唐县期末）下列各式中，正确的是个数有（）①+2＝2；②+＝a+b；③＝；④3＝A．1个B．2个C．3个D．0个【思路引导】根据各个小题中的式子可以计算是否正确，从而可以解答本题．【完整解答】解：∵+2不能合并，故①错误，∵若a＝1，b＝2，则≠a+b，故②错误，∵＝，故③正确，∵3＝，故④正确，故选：B．【考察注意点】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．8．（2021春•龙口市期中）下列计算中，正确的是（）A．+＝B．（）2020•（）2021＝+C．＝﹣5D．2﹣2＝【思路引导】根据同类二次根式的概念、二次根式的运算法则和性质逐一判断即可．【完整解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．（）2020•（）2021＝[（）（）]2020•（+）＝（﹣1）2020•（+）＝+，此选项正确；C．＝|﹣5|＝5，此选项错误；D．2与2不是同类二次根式，此选项错误；故选：B．【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．二．填空题9．（2021春•綦江区期中）已知：，则ab3+a3b的值为．【思路引导】先根据a、b的值计算出a+b、ab的值，再将其代入到原式＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]计算即可．【完整解答】解：∵，∴a+b＝+＝，ab＝×＝＝，则原式＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝×（3﹣2×）＝×＝，故答案为：．【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．10．（2021春•九龙坡区期末）计算：（﹣）（+）＝2．【思路引导】根据平方差公式即可求出答案．【完整解答】解：原式＝5﹣3＝2，故答案为2．【考察注意点】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．11．（2020秋•德惠市校级月考）计算÷+×＝7．【思路引导】先根据二次根式乘除法法则进行运算，然后化简进行加法运算．【完整解答】解：÷+×＝+＝+6＝7．故答案为：7．【考察注意点】本题考查二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式混合运算的方法．12．（2020春•武川县期中）化简：（）2﹣＝0．【思路引导】先根据二次根式有意义的条件得到x≤3，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．【完整解答】解：根据题意得3﹣x≥0，解得x≤3，所以原式＝3﹣x﹣＝3﹣x﹣（3﹣x）＝0．故答案为0．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．13．（2021春•永嘉县校级期末）已知a为实数，且与都是整数，则a的值是或．【思路引导】由是正整数可得，a是含有﹣2的代数式；再由是整数，可得化简后为含有﹣2的代数式，据此确定a的值．【完整解答】解：∵是正整数，∴a是含有﹣2的代数式；∵是整数，∴化简后为含有2的代数式，∴a＝或．故答案为：或．【考察注意点】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化．14．（2019•盘锦）计算：（2+3）（2﹣3）＝2．【思路引导】利用平方差公式计算．【完整解答】解：原式＝（2）2﹣（3）2＝20﹣18＝2．故答案为2．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15．（2019春•交城县期中）计算：＝﹣﹣2．【思路引导】直接利用积的乘方运算法则将原式变形，进而求出答案．【完整解答】解：＝[（﹣2）2015（+2）2015]（+2）＝[（﹣2）×（+2）]2015（+2）＝﹣﹣2．故答案为：﹣﹣2．【考察注意点】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确应用积的乘方运算法则是解题关键．16．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：6×＝4，÷（2﹣）＝+1．【思路引导】根据二次根式的乘除运算法则及分母有理化方法计算可得．【完整解答】解：6×＝2＝4，÷（2﹣）＝＝＝＝+1，故答案为：4，+1．【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序与运算法则．17．（2018•湖北）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1＝0．【思路引导】根据二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则计算即可．【完整解答】解：原式＝+2﹣﹣2＝0故答案为：0．【考察注意点】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则是解题的关键．三．解答题18．（2020秋•肃州区期末）计算（1）（2﹣1）2+（+2）（﹣2）（2）（﹣2）×﹣6．【思路引导】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．【完整解答】解：（1）原式＝12﹣4+1+3﹣4＝12﹣4（2）原式＝﹣2﹣3＝3﹣6﹣3＝﹣6．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．19．（2021秋•崇川区校级月考）化简：①﹣a﹣1；②（﹣）÷；③；④3（2﹣4+3）．【思路引导】①把﹣a﹣1提负号看成一个整体，通分后相减可得结论；②先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而计算乘法即可；③先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；④直接化简二次根式，利用二次根式的加减运算法则合并，再利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；【完整解答】解：①﹣a﹣1＝﹣＝﹣＝；②（﹣）÷＝•＝＝＝；③＝2+4+3﹣2＝9﹣2；④3（2﹣4+3）＝3（4﹣4×+3×）＝3×（16﹣）＝48﹣6．【考察注意点】本题考查了分式的混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、因式分解是解决问题的关键．20．（2021秋•温江区校级期中）（1）﹣2+3；（2）×÷；（3）﹣（+1）2+；（4）解方程组．【思路引导】（1）先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法则进行计算即可；（2）项根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的除法法则进行计算即可；（3）先根据二次根式的性质，完全平方公式和分母有理化进行计算，再根据二次根式的加减进行计算即可；（4）设x+y＝a，x﹣y＝b，原方程组化为，求出a、b的值，再求出x、y的值即可．【完整解答】解：（1）﹣2+3＝4﹣6+6＝﹣2+6；（2）×÷＝÷＝•＝5×2＝10；（3）﹣（+1）2+＝2﹣（3+1+2）+＝2﹣4﹣2﹣（1﹣）＝﹣4﹣1+＝﹣5+；（4），设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组化为：，解得：，即，解得：．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，实数的混合运算等知识点，能正确根据二次根式的性质和实数的运算法则进行计算是解此题的关键．21．（2021秋•南召县期中）我们知道：这一化简变形过程叫分母有理化，类似地：＝，式子也可以这样化简：，这些化简变形也是分母有理化．利用以上信息解答以下问题：（1）直接写出化简结果：＝；＝+；（2）用两种不同的方法化简：；（3）化简：．【思路引导】（1）根据材料所给化简二次根式的方法求解．（2）方法一：分子分母同时乘以（﹣），方法二：将2分解为7﹣5，然后通过平方差公式求解．（3）将原式化为…求解．【完整解答】解（1）＝＝，＝＝+．故答案为：，+．（2）解法1：＝，解法2：．（3）原式＝…＝…＝．【考察注意点】本题考查二次根式的化简与计算，解题关键是掌握分母有理化的方法．22．（2021春•青川县期末）计算：（1）（1﹣π）0+|﹣|﹣+（）﹣1；（2）（+﹣）2﹣（﹣+）2．【思路引导】（1）先计算（1﹣π）0、（）﹣1，再化简绝对值和二次根式，最后加减；（2）利用平方差公式计算比较简便．【完整解答】解：（1）原式＝1+﹣﹣2+＝1﹣；（2）原式＝（+﹣+﹣+）（+﹣﹣+﹣）＝2×（2﹣2）＝4﹣4＝4﹣8．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算，掌握“a0＝1，a﹣1＝（a≠0）”、二次根式的化简和绝对值的意义及二次根式的运算法则是解决本题的关键．23．（2021春•饶平县校级期中）计算：（1）÷+2×﹣（2+）2（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+【思路引导】（1）先利用二次根式的乘除法则运算，再利用完全平方公式计算，然后合并即可；（2）根据负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质计算．【完整解答】解：（1）原式＝+2﹣（8+4+3）＝4+2﹣11﹣4＝﹣7﹣2；（2）原式＝4﹣1×1﹣4+5＝4﹣1﹣4+5＝4．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．24．（2020春•兴县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a ＝m2+3n2，b＝2mn；（2）试着把7+4化成一个完全平方式．（3）若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：．【思路引导】（1）根据完全平方公式展开，再得出即可；（2）根据完全平方公式得出即可；（3）先求出a、b的值，再代入求出即可．【完整解答】解：（1）a+b＝（m+n）2，∵a+b＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn，故答案为：m2+3n2；2mn；（2）7+4＝（2+）2；（3）∵a是216的立方根，b是16的平方根，∴a＝6，b＝±4，∴＝＝＝2±．【考察注意点】本题考查了平方根、立方根、完全平方公式、算术平方根等知识点，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．25．（2019秋•昌江区校级期末）（+）÷（+﹣）（a≠b）．【思路引导】先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【完整解答】解：原式＝÷＝÷＝＝﹣．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算，难度适中，注意细心运算，关键是先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．26．（2019秋•市中区校级期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）2＝（2）3＝验证：2＝×＝＝＝＝＝验证：3＝×＝＝＝＝＝（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：4＝；5＝；（2）通过上述探究你能猜测出：n＝（n＞0），并验证你的结论．【思路引导】（1）利用所给等式的规律求解；（2）先利用题中规律得到n＝（n＞0），然后根据二次根式的性质和乘法法则进行验证．【完整解答】解：（1）4＝；5＝；（2）n＝（n＞0），验证：n＝•＝＝＝＝（n＞0）．故答案为；；．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．27．（2019春•邗江区校级月考）阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，我们来进行以下的探索：设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m+2n2，b＝2mn，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法．请仿照上述方法探索并解决下列问题：（1）当a，b，m，n都为正整数时，若a﹣b＝（m﹣n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝m2+5n2，b＝2mn；（2）利用上述方法，找一组正整数a，b，m，n填空：9﹣4＝（2﹣1）2（3）a﹣4＝（m﹣n）2且a，m，n都为正整数，求a的值．【思路引导】（1）利用完全平方公式把（m﹣n）2展开即可得到用含m，n的式子分别表示出a，b；（2）利用（1）中的表达式，令m＝2，n＝1，则可计算出对应的a和b的值；（3）利用（1）的结果得到2mn＝4，则mn＝2，再利用m，n都为正整数得到m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，然后计算对应的a的值即可．【完整解答】解：（1）∵a﹣b＝（m﹣n）2，∴a﹣b＝m2﹣2mn+5n2，∴a＝m2+5n2，b＝2mn；（2）取m＝2，n＝1，则a＝4+5＝9，b＝4；（3）∵2mn＝4，∴mn＝2，而m，n都为正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，当m＝2，n＝1时，a＝9；当m＝1，n＝2时，a＝21．即a的值为9或21．故答案为m2+5n2，2mn；9，4，2，1．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．28．（2018春•常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与3+互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．【思路引导】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．【完整解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，故答案为：3，；（2）＝﹣2＝2﹣；（3）∵，∴（﹣1）a+b＝﹣1+2，∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，∴﹣a＝﹣1，a+＝2，解得，a＝1，b＝2．【考察注意点】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法。
二次根式单元 期末复习同步练习
一、选择题1．下列计算正确的是( )A =B ．3=C 2= D2．x 的取值范围是（ ）A ．13x ≥B ．13x >C ．13x ≤D ．13x <3．化简 ）AB C D4．有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1B ．x≠2C ．x≥1且x ＝2D ．.x≥-1且x ≠2 5．若化简1682+-x x -1x -的结果为5-2x ，则x 的取值范围是（ ）A ．为任意实数B ．1≤x≤4C ．x≥1D ．x≤46．设1199++S 的最大整数[S]等于( ) A ．98B ．99C ．100D ．1017．2的结果是（ ）A ．±3B ．﹣3C ．3D ．98．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）A B C D 9．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）A B 和C D 10．下列运算正确的是（ ）A =B 2=C =D 9=二、填空题 11．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：?=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.12．把1m m-_____________. 13．已知实数m 、n 、p 满足等式33352m n m n m n p m n p -+--+----，则p =__________．14．已知x ，y 为实数，y 22991x x -+-+求5x +6y 的值________. 15．3x -x 的取值范围是______． 161262_____．17．若a 、b 都是有理数，且2222480a ab b a -+++=ab ．18．2121=-+3232=+4343=+20202324320202019+++++……=___________． 19．4x -x 的取值范围是_____20．已知23x =243x x --的值为_______．三、解答题21．已知m ，n 满足m 4mn 2m 4n 4n=3+m 2n m 2n 2018++. 【答案】12015 【解析】【分析】 由42m 443m mn n n +=m n 2﹣2m n ）﹣3＝0，将m n 2m n m n ，代入计算即可．【详解】解：∵4m n +＝3，)22﹣2）﹣3＝0，）2﹣23＝0，+13）＝0，＝﹣13， ∴原式＝3-23+2012＝12015． 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．22．解：设x222x =++2334x =+，x 2=10∴x =10．0．【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可．【详解】设x两边平方得：x 2=2+2+即x 2=4+4+6，x 2=14∴x =．0，∴x ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．23．已知1,2y =. 【答案】1【解析】【分析】 根据已知和二次根式的性质求出x 、y 的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】1-8x≥0，x≤18 8x-1≥0，x≥18，∴x=18，y=12，∴原式532-==1222. 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x 、y ，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．24．小明在解决问题：已知2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2 ∴a﹣2=∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3∴a 2﹣4a=﹣1∴2a 2﹣8a+1=2（a 2﹣4a ）+1=2×（﹣1）+1=﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1+… （2）若，求4a 2﹣8a+1的值． 【答案】（1）9；（2）5．【解析】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a 1 ，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a - 的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a ===，解法一：∵22(1)11)2a -=-= ，∴2212a a -+= ，即221a a -=∴原式=24(2)14115a a -+=⨯+=解法二∴ 原式=24(211)1a a -+-+24(1)3a =--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1得22=-=-a b ，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.25．观察下列等式：1==；==== 回答下列问题： （1（2）计算：【答案】（1（2）9【分析】（1）根据已知的31=-n=22代入即可求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．【详解】解：（1= （2+99+=1100++-=1=10-1=9.26．计算：【答案】【分析】先将括号内的二次根式进行化简并合并，再进行二次根式的乘法运算即可．【详解】解：===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．27．计算：（1）-（2）【答案】（1）21【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先利用二次根式的乘除法则运算，再合并即可．【详解】解：（1）原式==（2）原式3+21==．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．28．计算：（1）()202131)()2---+ （2【答案】（1）12；（2）【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可；（2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2）【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断.【详解】解：AB 、C 2÷=2，故错误；D ，故正确.故选D.【点睛】本题考查了二次根式的四则运算.2．C解析：C【分析】根据二次根式的性质：被开方数大于或等于0，列不等式求解．【详解】解：依题意有当130x -≥时，原二次根式有意义； 解得：13x ≤； 故选：C ．【点睛】 本题考查了二次根式的基本性质（被开方数大于或等于0）；解一元一次不等式，在解一元一次不等式的过程中要用到不等式的基本性质（1．不等式两边同时加上或同时减去一个数，不等号的方向不变；2．不等式两边同时乘以或同时除以一个正数，不等号的方向不变；3．不等式两边同时乘以或同时除以一个负数，不等号的方向改变．）熟记并灵活运用不等式的基本性质是解本题的关键．3．C解析：C【解析】 根据二次根式有意义的条件可知﹣1x＞0，求得x ＜0，然后根据二次根式的化简，可得x. 故选C ．4．D解析：D【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．【详解】有意义，则x+1≥0且x-2≠0， 解得：x≥-1且x≠2．故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．5．B解析：B【解析】【分析】先把多项式化简为|x-4|-|1-x|，然后根据x 的取值范围分别讨论，求出符合题意的x 的值即可．【详解】解：原式1x -=|x-4|-|1-x|， 当x≤1时，此时1-x≥0，x-4＜0，∴（4-x ）-（1-x ）=3，不符合题意，当1≤x≤4时，此时1-x≤0，x-4≤0，∴（4-x ）-（x-1）=5-2x ，符合题意，当x≥4时，此时x-4≥0，1-x ＜0，∴（x-4）-（x-1）=-3，不符合题意，∴x 的取值范围为：1≤x≤4故选B ．【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．6．B解析：B【分析】1111n n =+-+，代入数值，求出=99+1-1100，由此能求出不大于S 的最大整数为99．【详解】∵==()211n n n n ++=+ =111+1n n -+，∴ =1111111+11122399100-++-+++- =199+1100- =100-1100， ∴不大于S 的最大整数为99．故选B.【点睛】1111n n =+-+是解答本题的基础． 7．C解析：C【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】原式＝3，故选C ．【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．8．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.【详解】A 、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；B 、x-3＞0，解得：x ＞3，故此选项错误；C 、x+3＞0，解得：x ＞-3，故此选项错误；D 、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，故选D ．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．9．B解析：B先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．【详解】解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;B是同类二次根式；3CD故选B．【点睛】本题考查的知识点是同类二次根式的定义，解题关键是熟记同类二次根式的定义．10．C解析：C【分析】根据二次根式的减法法则对A进行判断；根据二次根式的加法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【详解】解：A=，所以A选项错误；B=B选项错误；C=C选项正确；D3=，所以D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．二、填空题11．a+3【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2∵a＞0+3.a=a+3.【点睛】本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键.12．-【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案【详解】由题意可得：，即∴故答案为【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定解析：【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案【详解】由题意可得：1m，即0m∴11mm m mm mm故答案为【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定m的取值范围.13．5试题解析：由题可知，∴，∴，∴，①②得，，解方程组得，∴．故答案为：5.解析：5【解析】试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩， ∴3m n +=，0=， ∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②， ①-②得2620m n +-=，31m n +=，解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩， ∴4(1)5p m n =-=--=．故答案为：5.14．-16【解析】试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-）=-15-1=-16解析：-16【解析】试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x 2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-16，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-16）=-15-1=-16. 故答案为：-16.点睛：此题主要考查了分式的有意义和二次根式有意义，解题关键是利用二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为0，可列式求解. 15．且【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．【详解】由题意得：，解得且，故答案为：且．【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分解析：3x ≤且2x ≠-【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．【详解】由题意得：2030x x +≠⎧⎨-≥⎩， 解得3x ≤且2x ≠-，故答案为：3x ≤且2x ≠-．【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键． 16．6【分析】利用二次根式乘除法法则进行计算即可．【详解】＝＝＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．解析：6【分析】==进行计算即可． 【详解】＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．17．【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵∴∴∴∵∴解得：a=-4，b=-2∴=故答案为：．【点睛解析：【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵2222480a ab b a -+++=∴222448160a ab b a -+++=∴()()222448160a ab ba a -+++=+ ∴()()22240ab a +-+=∵()()2220,40a b a +-≥≥∴20,40a b a +-==解得：a=-4，b=-2=故答案为：【点睛】此题考查的是配方法、非负性的应用和化简二次根式，掌握完全平方公式、平方的非负性和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．18．2018【分析】先根据已知等式归纳类推出一般规律，再根据二次根式的加减法与乘法运算法则即可得．【详解】第1个等式为：，第2个等式为：，第3个等式为：，归纳类推得：第n 个等式为：（其中，解析：2018【分析】先根据已知等式归纳类推出一般规律，再根据二次根式的加减法与乘法运算法则即可得．【详解】第11=，第2=，第3=归纳类推得：第n 1=-n 为正整数），则2020++，2020=+，=， 20202=-，2018=，故答案为：2018．【点睛】本题考查了二次根式的加减法与乘法运算，依据已知等式，正确归纳出一般规律是解题关键．19．x≥4【解析】试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.故答案为x≥4.点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然解析：x≥4【解析】试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4. 故答案为x≥4.点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然后列不等式求解即可，是一个中考常考的简单题.20．-4【分析】把代入计算即可求解．【详解】解：当时，=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题解析：-4【分析】把2x =243x x --计算即可求解．【详解】解：当2x =243x x --((22423=---4383=--+=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
第16章 二次根式复习题---解答题（含解析）
人教版八下第16章二次根式复习题---解答题一．解答题（共43小题）1．（2018秋•漳州期末）计算：×（﹣）+|﹣2|﹣（）22．（2018秋•永定区期末）观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：＝＝；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：；③应用：计算．3．（2018秋•邵阳县期末）设a，b，c为△ABC的三边，化简：++﹣．4．（2018秋•雁塔区校级月考）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|．5．（2018秋•浦东新区校级月考）已知a、b、c分别是△ABC的三边长，化简：6．（2018秋•达川区校级月考）实数a、b所对应的点如图所示，化简7．（2018秋•太仓市期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．8．（2017秋•桂平市期末）先阅读材料，然后回答问题：（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简经过思考，小张解决这个问题的过程如下：＝…①＝…②＝…③＝﹣…④上述化简过程中，第步出现了错误，化简正确的结果为．（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简9．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：（a＞b＞0）10．（2018秋•浦东新区月考）计算：×11．（2018秋•杭州期中）计算（1）（﹣）×21×（保留一位小数，≈1.41）（2）﹣24﹣24×（）12．（2018秋•中原区校级月考）计算：（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+20170（2）13．（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）14．（2018春•全椒县期末）计算：2×．15．（2018•梧州）计算：﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0 16．（2018•柳州）计算：2+3．17．（2018秋•东城区期末）计算：（1）；（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．18．（2018秋•延庆区期末）计算：﹣2﹣3（﹣）．19．（2018秋•大兴区期末）计算：．20．（2018秋•南关区期末）计算：﹣3+2．21．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：﹣﹣+22．（2018秋•浦东新区期中）计算：﹣+2﹣．23．（2018春•长白县期中）计算：﹣3a224．（2018•大连）计算：（+2）2﹣+2﹣225．（2018•陕西）计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）026．（2018秋•青岛期末）计算（1）﹣4+（2）（+）2﹣（﹣）（+）27．（2018秋•章丘区期末）（1）计算：﹣5（2）计算：628．（2018秋•南京期末）计算（1）2﹣﹣3+；（2）×÷．29．（2018秋•延庆区期末）阅读材料，然后作答：在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：＝＝；＝＝﹣1，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：例如：＝＝＝﹣1请仿照上述方法解决下面问题：（1）化简；（2）化简．30．（2018秋•埇桥区期末）计算：（1）﹣+2（2）+（1﹣）031．（2018秋•顺义区期末）已知x＝+2，y＝﹣2，求x2﹣y2的值．32．（2018秋•顺义区期末）先化简，再求值：（+b），其中a+b＝2．33．（2018秋•安岳县期末）已知a＝，求的值．34．（2018秋•温江区期末）在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：（2）若a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．35．（2018秋•武冈市期末）已知x＝（+），y＝（﹣），求下列各式的值．（1）x2﹣xy+y2；（2）+．36．（2018秋•东营区校级期中）求值：（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2+ab+b2的值；（2）已知：y＞++2，求+5﹣3x的值．37．（2018秋•郓城县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；（2）t2是t1的多少倍？（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？38．（2018春•嘉祥县期中）计算：（1）﹣（）﹣1+（﹣1）﹣20180﹣|﹣2|．（2）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，求图中空白部分的面积．39．（2018春•韩城市期末）已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高．40．（2018春•南昌期中）已知长方形的长为a，宽为b，且a＝，b＝．（1）求长方形的周长；（2）当S长方形＝S正方形时，求正方形的周长．41．（2018春•上杭县校级期中）已知：m＝1+，n＝﹣1，求的值．42．（2018秋•靖边县期中）在一个边长为（2+3）cm的正方形的内部挖去一个长为（2+）cm，宽为（﹣）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．43．（2017秋•农安县校级月考）如图，钓鱼竿AC长6m，露出水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m，求鱼竿转过的角度？人教版八下第16章二次根式复习题---解答题参考答案与试题解析一．解答题（共43小题）1．（2018秋•漳州期末）计算：×（﹣）+|﹣2|﹣（）2【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝﹣2+2﹣﹣2＝﹣3，2．（2018秋•永定区期末）观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：＝1+﹣＝1；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：＝1+﹣＝；③应用：计算．【分析】①直接利用利用已知条件才想得出答案；②直接利用已知条件规律用n（n为正整数）表示的等式即可；③利用发现的规律将原式变形得出答案．【解答】解：①猜想：＝1+﹣＝1；故答案为：1+﹣，1；②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：＝1+﹣＝；③应用：＝＝＝1+﹣＝1．3．（2018秋•邵阳县期末）设a，b，c为△ABC的三边，化简：++﹣．【分析】根据三角形的三边关系判定出a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．4．（2018秋•雁塔区校级月考）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|．【分析】根据数轴判断a、a+b、c﹣a、b+c与0的大小关系即可求出答案．【解答】解：由数轴可知：a＞0，a+b＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，∴原式＝a+a+b﹣（c﹣a）﹣b﹣c＝a+a+b﹣c+a﹣b﹣c＝3a﹣2c．5．（2018秋•浦东新区校级月考）已知a、b、c分别是△ABC的三边长，化简：【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵a、b、c分别是△ABC的三边长，∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴原式＝a﹣b+c﹣（a﹣b﹣c）＝2c．6．（2018秋•达川区校级月考）实数a、b所对应的点如图所示，化简【分析】根据数轴化简绝对值后即可求出答案．【解答】解：由数轴可知：＜b＜0＜a，∴﹣a＜0，b+＞0，a﹣b＞0，∴原式＝﹣（﹣a）+b+﹣（a﹣b）﹣b＝﹣+a+b+﹣a+b﹣b＝b7．（2018秋•太仓市期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．【分析】直接利用三角形三边关系得出a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，进而化简得出答案．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，∴原式＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）＝2a．8．（2017秋•桂平市期末）先阅读材料，然后回答问题：（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简经过思考，小张解决这个问题的过程如下：＝…①＝…②＝…③＝﹣…④上述化简过程中，第④步出现了错误，化简正确的结果为﹣．（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简【分析】（1）根据二次根式的性质判断即可；（2）先化成完全平方公式的形式，再根据二次根式的性质得出即可．【解答】解：（1）第④，﹣，故答案为：④，；（2）＝＝＝＝|﹣|＝﹣．9．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：（a＞b＞0）【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝＝＝．10．（2018秋•浦东新区月考）计算：×【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：×＝×＝×＝．11．（2018秋•杭州期中）计算（1）（﹣）×21×（保留一位小数，≈1.41）（2）﹣24﹣24×（）【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；（2）利用乘法分配律进而计算得出答案．【解答】解：（1）（﹣）×21×（保留一位小数，≈1.41）＝﹣9≈﹣12.7；（2）﹣24﹣24×（）＝﹣16﹣8+20﹣18＝﹣22．12．（2018秋•中原区校级月考）计算：（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+20170（2）【分析】（1）先计算乘方，后计算加减即可；（2）除法化为除法，根据二次根式的乘法法则计算即可；【解答】解：（1）原式＝4﹣2+1＝3（2）原式＝﹣×2××2＝﹣．13．（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：•（﹣）÷（a＞0）＝﹣•a2b÷＝﹣9a2＝﹣．14．（2018春•全椒县期末）计算：2×．【分析】根据二次根式的乘除法法则，系数相乘除，被开方数相乘除，根指数不变，如：2×÷3，÷，计算后求出即可．【解答】解：原式＝（2××），＝．15．（2018•梧州）计算：﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0【分析】依据算术平方根的定义、有理数的乘方法则、绝对值的性质、有理数的乘法法则、零指数幂的性质进行计算，最后，再进行加减计算即可．【解答】解：原式＝3﹣32÷8+5﹣1＝3﹣4+5﹣1＝3．16．（2018•柳州）计算：2+3．【分析】先化简，再计算加法即可求解．【解答】解：2+3＝4+3＝7．17．（2018秋•东城区期末）计算：（1）；（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接利用乘法公式化简求出答案．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝x2﹣4x+4﹣x2+9＝﹣4x+13．18．（2018秋•延庆区期末）计算：﹣2﹣3（﹣）．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝3﹣﹣3+3＝5﹣3．19．（2018秋•大兴区期末）计算：．【分析】根据二次根式的加减法的法则计算即可．【解答】解：原式＝5+3﹣4＝4．20．（2018秋•南关区期末）计算：﹣3+2．【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．【解答】解：原式＝4﹣3×3+2×2＝﹣．21．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：﹣﹣+【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝2﹣﹣+＝2﹣﹣+＝．22．（2018秋•浦东新区期中）计算：﹣+2﹣．【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式..【解答】解：原式＝﹣+2×4﹣＝﹣+8﹣＝7+23．（2018春•长白县期中）计算：﹣3a2【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：原式＝+6a﹣3a2＝×4+6a×﹣3a2×＝+a﹣3a＝﹣2a24．（2018•大连）计算：（+2）2﹣+2﹣2【分析】根据完全平方公式和零指数幂的意义计算．【解答】解：原式＝3+4+4﹣4+＝．25．（2018•陕西）计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0【分析】先进行二次根式的乘法运算，再利用绝对值的意义和零指数幂的意义计算，然后合并即可．【解答】解：原式＝+﹣1+1＝3+﹣1+1＝4．26．（2018秋•青岛期末）计算（1）﹣4+（2）（+）2﹣（﹣）（+）【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝2﹣+＝；（2）原式＝2+4+6﹣（5﹣3）＝4+6．27．（2018秋•章丘区期末）（1）计算：﹣5（2）计算：6【分析】（1）根据二次根式的除法法则运算；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解答】解：（1）原式＝﹣﹣5＝2﹣2﹣5＝﹣2﹣3；（2）原式＝2﹣+9﹣＝9．28．（2018秋•南京期末）计算（1）2﹣﹣3+；（2）×÷．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式化的乘除法则运算．【解答】解：（1）原式＝2﹣2﹣+＝﹣；（2）原式＝＝1．29．（2018秋•延庆区期末）阅读材料，然后作答：在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：＝＝；＝＝﹣1，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：例如：＝＝＝﹣1请仿照上述方法解决下面问题：（1）化简；（2）化简．【分析】（1）将分子2变形为（）2﹣（）2，再将其因式分解，继而约分即可得；（2）将分子a﹣b变形为（）2﹣（）2，再将其因式分解，继而约分即可得．【解答】解：（1）原式＝＝＝﹣；（2）原式＝＝＝．30．（2018秋•埇桥区期末）计算：（1）﹣+2（2）+（1﹣）0【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）原式＝3﹣+2＝；（2）原式＝+1＝+1＝5+1＝6．31．（2018秋•顺义区期末）已知x＝+2，y＝﹣2，求x2﹣y2的值．【分析】根据平方差公式可得x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），再把x＝+2，y＝﹣2代入，分别求出x+y，x﹣y，然后相乘即可．【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．∵x＝+2，y＝﹣2，∴x+y＝（+2）+（﹣2）＝2，x﹣y＝（+2）﹣（﹣2）＝4，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×4＝8＝16．32．（2018秋•顺义区期末）先化简，再求值：（+b），其中a+b＝2．【分析】先把原式中括号内的项通分利用同分母分式加法法则计算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分得到原式＝（a+b），最后把a+b＝2代入计算即可．【解答】解：原式＝（+）＝•＝（a+b），当a+b＝2时，原式＝×2＝6．33．（2018秋•安岳县期末）已知a＝，求的值．【分析】先将a的值分母有理化，从而判断出a﹣2＜0，再根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，继而将a的值代入计算可得．【解答】解：∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＝2﹣﹣2＝﹣＜0，则原式＝﹣＝a+3+＝2﹣+3+2+＝7．34．（2018秋•温江区期末）在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：（2）若a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．【分析】（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；（2）将a分母有理化得a＝+1，移项并平方得到a2﹣2a＝1，变形后代入求值．【解答】解：（1）＝＝；（2）∵a＝＝+1，∴a﹣1＝，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1∴3a2﹣6a＝3∴3a2﹣6a﹣1＝2．35．（2018秋•武冈市期末）已知x＝（+），y＝（﹣），求下列各式的值．（1）x2﹣xy+y2；（2）+．【分析】由x＝（+），y＝（﹣），得出x+y＝，xy＝，由此进一步整理代数式，整体代入求得答案即可．【解答】解：∵x＝（+），y＝（﹣），∴x+y＝，xy＝＝（x+y）2﹣3xy＝7﹣＝；（2）+＝＝＝12．36．（2018秋•东营区校级期中）求值：（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2+ab+b2的值；（2）已知：y＞++2，求+5﹣3x的值．【分析】（1）根据a＝3+2，b＝3﹣2，代入（a+b）2﹣ab进行计算即可；（2）依据被开方数为非负数，即可得到x＝，进而得出y＞2，据此可得+5﹣3x的值．【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝36﹣1＝35；（2）∵，∴，∴x＝，∴y＞2，∴+5﹣3x＝+5﹣3x＝+5﹣3x＝﹣1+5﹣3x＝4﹣3x＝4﹣3×＝2．37．（2018秋•郓城县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；（2）t2是t1的多少倍？（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？【分析】（1）将h＝50代入t1＝进行计算即可；将h＝100代入t2＝进行计算即可；（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；（3）将t＝1.5代入公式t＝进行计算即可．【解答】解：（1）当h＝50时，t1＝＝（秒）；当h＝100时，t2＝＝＝2（秒）；（2）∵＝＝，∴t2是t1的倍．（3）当t＝1.5时，1.5＝，解得h＝11.25，∴下落的高度是11.25米．38．（2018春•嘉祥县期中）计算：（1）﹣（）﹣1+（﹣1）﹣20180﹣|﹣2|．（2）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，求图中空白部分的面积．【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；（2）根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：（1）原式＝（2）∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为，，∴AB＝4cm，BC＝，∴空白部分的面积＝．39．（2018春•韩城市期末）已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高．【分析】首先利用矩形的面积计算方法求得三角形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah列式计算即可求解．【解答】解：＝＝，答：这条边上的高为．40．（2018春•南昌期中）已知长方形的长为a，宽为b，且a＝，b＝．（1）求长方形的周长；（2）当S长方形＝S正方形时，求正方形的周长．【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；（2）利用二次根式乘法计算得出答案．【解答】解：（1）∵a＝＝2，b＝＝，∴长方形的周长是：2（a+b）＝2（2+）＝6；（2）设正方形的边长为x，则有x2＝ab，∴x＝＝＝＝2，∴正方形的周长是4x＝8．41．（2018春•上杭县校级期中）已知：m＝1+，n＝﹣1，求的值．【分析】先利用完全平方公式将化简，得原式＝mn，再将m＝1+，n＝﹣1代入计算即可．【解答】解：原式＝＝mn，当m＝1+，n＝﹣1时，原式＝（1+）（﹣1）＝﹣1+﹣．42．（2018秋•靖边县期中）在一个边长为（2+3）cm的正方形的内部挖去一个长为（2+）cm，宽为（﹣）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．【分析】用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．【解答】解：剩余部分的面积为：（2+3）2﹣（2+）（﹣）＝（12+12+45）﹣（6﹣2+2﹣5）＝（57+12﹣）（cm2）．43．（2017秋•农安县校级月考）如图，钓鱼竿AC长6m，露出水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m，求鱼竿转过的角度？【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，分别求出∠CAB，∠C′AB′的度数，然后可以求出∠C′AC的度数，即求出了鱼竿转过的角度．【解答】解：在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°．在Rt△AB′C′中，∵sin∠C′AB′＝＝＝，∴∠C′AB′＝60°．∴∠CAC′＝60°﹣45°＝15°，答：鱼竿转过的角度是15°．。
2021-2022学年湘教版八年级数学上册《第5章二次根式》期末知识点分类复习题(附答案)
2021-2022学年湘教版八年级数学上册《第5章二次根式》期末知识点分类复习题（附答案）一．二次根式的定义1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A．B．C．D．二．二次根式有意义的条件2．成立的条件是（）A．﹣1≤a≤1B．a≤﹣1C．a≥1D．﹣1＜a＜1三．二次根式的性质与化简3．已知实数a满足，则下列结论正确的是（）A．a≤﹣3B．a＜﹣3C．a≥﹣3D．a＞﹣34．化简二次根式的正确结果是（）A．B．C．D．四．最简二次根式5．下列各式：，，，中，最简二次根式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列二次根式中最简二次根式为（）A．B．C．D．7．在二次根式①；②；③；④；⑤；⑥中，最简二次根式有．（填序号）8．计算：（1）＝；（2）＝；（3）＝．9．化为最简二次根式：＝，＝，＝．10．化成最简二次根式为．11．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝．12．将根号外的因式移入根号内的结果是．13．当x＝时，既是最简二次根式，被开方数又相同．14．若和都是最简二次根式，则m＝，n＝．五．二次根式的乘除法15．．16．如果＝•成立，求x的取值范围．17．计算：（1）（2）．18．计算：（1）•2•（﹣）；（2）•（÷2）．19．（1）÷3×5；（2）（﹣）÷（）．20．已知x为奇数，且＝，求•．21．若等式成立，化简：．六．分母有理化22．已知：a＝2+，b＝2﹣，求：①a2+b2，②的值．23．（1）已知a2+b2＝6，ab＝1，求a﹣b的值；（2）已知a＝，b＝，求a2+b2的值．七．可以合并的二次根式24．下列二次根式中，与能合并的是（）A．B．C．D．25．若与最简二次根式可以合并，则m的值为（）A．7B．11C．2D．1 26．若最简二次根式和可以合并．（1）求x，y的值；（2）求的值．八．二次根式的加减法27．下列计算正确的是（）A．B．2+＝2C．3D．28．计算：（1）（+）﹣（﹣）；（2）+6﹣2x（x＞0）．29．计算：（1）+﹣（﹣）；（2）+8﹣x．九．二次根式的混合运算30．计算：（1）﹣×+2；（2）（﹣3）2+（+3）（﹣3）．31．计算：（1）﹣3﹣+2；（2）（+1）（﹣1）﹣﹣（﹣1）0+．十．二次根式的化简求值32．已知，若，，试求a2+b2+ab的值．33．先化简，再求值：x+y2﹣（x2﹣5x），其中．34．已知x＝，y＝，m＝xy，n＝x2﹣y2．（1）求m，n的值；（2）若﹣＝m+，＝n2，求+的值．十一．二次根式的应用35．如图：已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足．DE+DF＝2，三角形ABC面积为3+2，求AB的长．36．如图，有一张边长为6cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．求：（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；（2）长方体盒子的体积．参考答案一．二次根式的定义1．解：A、x＜0时，不是二次根式，故此选项错误；B、x＜﹣2时，不是二次根式，故此选项错误；C、是二次根式，故此选项正确；D、当x＞0时，不是二次根式，故此选项错误；故选：C．二．二次根式有意义的条件2．解：由题意可得：，解得：﹣1≤a≤1．故选：A．三．二次根式的性质与化简3．解：∵实数a满足，∴a+3≤0，∴a≤﹣3，故选：A．4．解：根据代数式有意义得：x≠0，﹣x3≥0，∴x＜0，∴原式＝＝•|x|＝•（﹣x）＝﹣．故选：D．四．最简二次根式5．解：∵，＝，＝2，＝，∴最简二次根式只有一个，故选：A．6．解：A、，是最简二次根式；B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；C、＝|x|，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；故选：A．7．解：①＝a，不是最简二次根式，④＝，不是最简二次根式，⑤＝2，不是最简二次根式，而②③⑥是最简二次根式．故答案为：②③⑥．8．解：（1）＝＝3；（2）＝；（3）＝0.5；故答案为：（1）3；（2）；（3）0.5．9．解：＝＝2，＝＝，＝＝，故答案为：2，，．10．解：＝＝2．故答案为：2．11．解：由题意，得：解得：，∴a+b＝8．12．解：∵要使有意义，必须﹣＞0，即a＜0，所以＝﹣＝．13．解：若既是最简二次根式，则x2+3x＝x+15，解得x＝﹣5或3，当x＝3时，被开方数x+15＝18，两式不是最简二次根式，故x＝﹣5．14．解：∵若和都是最简二次根式，∴，解得：m＝1，n＝2，故答案为：1；2．五．二次根式的乘除法15．解：原式＝＝＝．16．解：∵＝•成立，∴，解得：﹣1≤x≤2．17．解：（1）原式＝﹣12＝﹣12×9＝﹣108；（2）原式＝÷×＝＝1．18．解：（1）•2•（﹣）＝2×（﹣）＝﹣＝﹣4；（2）•（÷2）＝×××＝．19．解：（1）÷3×5＝×5＝；（2）（﹣）÷（）＝﹣××3＝﹣＝﹣9x2y．20．解：∵＝，∴6≤x＜9，∵x为奇数，∴x＝7，则•＝8×＝12．21．解：根据题意得：2x﹣1＝2﹣x，或3x+1＝0解得：x＝1或x＝﹣则原式＝|﹣2|++＝2+4+1＝7．或原式＝|﹣﹣4|+0+（2+）＝+＝7．综上所述，原式＝7．六．分母有理化22．解：当a＝2+，b＝2﹣时，a+b＝2++2﹣＝4，a﹣b＝2+﹣2+＝2，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1，①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×1＝14；②＝＝＝＝8．23．解：（1）由a2+b2＝6，ab＝1，得a2+b2﹣2ab＝4，（a﹣b）2＝4，a﹣b＝±2．（2）a＝＝＝，b＝＝＝，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（+）2﹣2××＝3﹣1＝2．七．可以合并的二次根式24．解：A、原式＝2，不符合题意；B、原式＝3，不符合题意；C、原式＝2，符合题意；D、原式不能化简，不符合题意．故选：C．25．解：∵＝5与最简二次根式可以合并∴m+1＝3，解得：m＝2．故选：C．26．解：（1）根据题意知，解得：；（2）当x＝4、y＝3时，＝＝＝5．八．二次根式的加减法27．解：A、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．B、2与不是同类二次根式，故不能合并，故B不符合题意．C、＝，故C不符合题意．D、＝＝，故D符合题意．故选：D．28．解：（1）原式＝2+﹣+＝3+；（2）原式＝•3+6•﹣2x•＝2+3﹣2＝3．29．解：（1）原式＝3+2﹣+＝2+3；（2）原式＝×3+8×﹣x•＝2+4﹣＝5．九．二次根式的混合运算30．解：（1）原式＝3﹣4×+＝3﹣2+＝﹣2．（2）原式＝5﹣6+9+11﹣9＝16﹣6．31．解：（1）原式＝＝＝8；（2）原式＝（）2﹣12﹣3﹣1+＝3﹣1﹣3﹣1++1＝﹣1．十．二次根式的化简求值32．解：由题可知：4﹣x≥0，x﹣4≥0，∴x＝4，∴y＝3，∵，，∴原式＝（a+b）2﹣ab＝（+﹣）2﹣（+）（﹣）＝4x﹣（x﹣y）＝4x﹣x+y＝3x+y，当x＝4，y＝3时，原式＝12+3＝15．33．解：原式＝2x+﹣x+5＝x+6，当x＝，y＝4时，原式＝+6＝+6＝．34．解：（1）由意得，，．（2）由（1）得，，，∴，∵，∴．十一．二次根式的应用35．解：如图，连接AD，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，＝AB•DE+AC•DF，＝AB（DE+DF），∵DE+DF＝2，∴AB×2＝（3+2），∴AB＝＝3+2．36．解：（1）长方体盒子的纸板的面积：（6）2﹣4×（）2＝64cm2；（2）长方体盒子的体积：（6﹣2）（6﹣2）×＝32cm3．。
第七章二次根式期末复习练习题(含答案)
课题:二次根式单元复习 授课人：慕寿建 备课时间：2016.6.21课型：习题课 授课时间：2016.6.28第1节8.1第4节8.2一、选择题1．9的值等于（）A ．3B ．－3C ．±3D ．32．使13-x 有意义的x 的取值范围是（）A ．31＞x B ．31-＞x C ．31≥x D ．31-≥x 3．化简23）（-的结果是（） A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．94．下列运算错误的是（）A ．532=+B ．632=∙C ．326=÷D ．222=-）（5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A ．14B ．48C ．ba D ．44+a 6．下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是（）A ．x -2B ．x +2C ．2-xD ．21-x7．下面的等式总能成立的是（）A ． a a =2B ．22a a a =C ．ab b a =∙D ．b a ab ∙=8．已知最简二次根式52-a 与3是同类二次根式，则a 的值可以是（） A ． 4 B ．6 C ．7 D ．89．28-的结果是（）A ．6B ．22C ．2D ．210．已知251,251+=-=b a ，则b a -的值为（）A ． 0B ．1C ．2D ．－2二、填空题：11．计算：312+= .12．23）（-= . 13．化简：96= ，3625= ，412-= ，800-= ， 均为正数）、、（z y x z y x 2312= .14．要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为 . 15．若==-+++ab b a a 则,0224 .16．比较大小：53 62.17．若最简二次根式3532+-m m 与是同类二次根式，则m = .18．对于任意两个不相等的数a 、b 定义一种运算※如下：5232323,=-+=-+=※如※b a b a b a .那么12※4= . 三、解答题19.计算：5+－720.计算：++－+21.计算：+6a －3a 2281883120.1256321432a 18a 2a19．先化简，再求值：5,242442=-∙-+-x x x x x 其中）（.20．阅读下面问题：121212)12(1211-=-+-⨯=+））（（； 232323)23(1231-=-+-⨯=+））（（； ）（））（（）（252525251251-=-+-⨯=+. 试求：（1）671+的值； （2）17231+的值；（3）为正整数）（n n n ++11的值.参考答案1. 考点：算术平方根．分析：此题考查的是9的算术平方根，需注意的是算术平方根必为非负数． 解答：解：∵39=， 故选A ．点评：此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0的算术平方根是0．2. 考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，解不等式即可． 解答：解：根据题意得：3x －1≥0，解得x ≥31．故选C ． 点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．3. 考点：二次根式的性质与化简．分析：本题可先将根号内的数化简，再开方，根据开方的结果得出答案．解答：解：3932==-）（ ．故选A ．点评：本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意式子为23）（-的算术平方根，结果为非负数．4. 考点：实数的运算．专题：计算题．分析：本题涉及二次根式的乘法、加法以及除法、二次根式的乘方．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答：解：A 、532≠+，错误，故本选项符合题意； B 、 632=∙，正确，故本选项不符合题意； C 、 326=÷，正确，故本选项不符合题意；D 、222=-）（，正确，故本选项不符合题意．故选A ． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的加法、乘法以及除法法则等考点的运算．5. 考点：最简二次根式．分析：B 、D 选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C 选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．解答：解：因为：B 、3448=；C 、bab b a =； D 、1244+=+a a ； 所以这三项都不是最简二次根式．故选A ．点评：在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．6. 考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件为：分母不等于0；二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，即可求解．解答：解：根据二次根式有意义的条件可知A 、当2－x ≥0时，二次根式有意义，即x ≤2，不符合题意；B 、当x +2≥0时，二次根式有意义，即x ≥－2，不符合题意；C 、当x －2≥0时，二次根式有意义，即x ≥2，符合题意；D 、当21-x ≥0且x －2≠0时，二次根式有意义，即x ＞2，不符合题意． 故选C ．点评：本题考查的知识点为：分式有意义的条件为：分母不等于0；二次根式有意义的条件为：被开方数大于或等于0．7. 考点：二次根式的性质与化简．分析：考虑a 和b 小于零的情况及隐含条件，逐一判断．解答：解：A 、当a ＜0时不成立，故A 错误B 、当a ＜0式不成立，故B 错误．C 、由等式左边可知，a ≥0，b ≥0，符合二次根式积的乘法法则，正确；D 、当a ＜0，b ＜0时不成立，故D 错误．故选C ．点评：本题考查二次根式的知识，正确理解二次根式乘法是解答问题的关键．8. 考点：同类二次根式．专题：计算题．分析：根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a 的方程，解出即可得出答案．解答：解：∵最简二次根式52-a 与3是同类二次根式， ∴2a －5=3，解得：a =4．故选A ．点评：此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点，难度一般．9. 考点：二次根式的加减法．分析：本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．解答：解：原式=2222=-．故选C ．点评：合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．10. 考点：分母有理化．专题：计算题．分析：先通分求出a －b ，再求b a -即可．解答：解：∵，，251251+=-=b a ∴4)25)(25(2525=+-+-+=-b a ， ∴24==-b a ． 故选C ． 点评：本题考查了分母有理化，解题的关键是通分，合并同类项．11. 考点：二次根式的加减法．分析：本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．解答：解：原式=33332=+．点评：同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．12. 考点：实数的运算．分析：直接根据平方的定义求解即可．解答：解：∵332=）（，∴332-=-）（．点评：本题考查了数的平方运算，是基本的计算能力．13. 考点：二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：把96化为16×6，然后根据二次根式的性质计算；先把412化为假分数，然后根据二次根式的性质计算；把800化为400×2，然后根据二次根式的性质计算；把12x 3y 2z 化为4x 2y 2•3xz ，然后根据二次根式的性质计算．解答：解：6461696=⨯=；653625=；2349412-=-=-； 2202400800-=⨯-=-；xz xy xz y x z y x z y x 3234122223=∙=均为正数），，（．故答案为64；65；23-；220-；xz xy 32． 点评：本题考查了二次根式的性质与化简：2a =a （a ≥0），此题比较简单，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．14. 考点：二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．解答：解：根据题意得：a +2≥0且a ≠0，解得：a ≥－2且a ≠0．故答案为：a ≥－2且a ≠0．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．15. 考点：非负数的性质：算术平方根．专题：计算题．分析：根据非负数的性质列出方程求出a 、b 的值，代入所求代数式计算即可． 解答：解：∵若0224=-+++b a a ，∴可得：⎩⎨⎧=-+=+02204b a a ， 解得：⎩⎨⎧=-=34b a ， ∴ab =－12．故填－12．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16. 考点：实数大小比较；二次根式的性质与化简． 专题：推理填空题． 分析：把根号外的因式平方后移入根号内，求出结果，再根据结果进行比较即可． 解答：解：24626245535322=⨯==⨯=，， ∵ 2445＞，∴6253＞，故答案为：＞．点评：本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较的应用，注意此题还可以有以下方法：45532=）（ 24622=）（，再比较．17. 考点：同类二次根式．分析：根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解．解答：解：∵最简二次根式32-m 与35+m 是同类二次根式，∴m 2－3=5m +3，解得m =6或m =－1，当m =－1时，232-=-m 无意义，故m =6．点评：此题比较简单，解答此类题目时要注意二次根式成立的条件．18. 考点：二次根式的性质与化简．专题：压轴题；新定义．分析：根据新定义的运算法则a ※b =ba b a -+得出． 解答：解：12※4=2184412412==-+． 点评：主要考查了新定义题型，此类题目是近年来的热点，解题关键是严格按照新定义的运算法则进行计算即可．19. 原式==20.原式= =21.原式== 22. 考点：分式的化简求值． 专题：计算题． 分析：先把分式因式分解，约分化简为最简形式，再把数代入求值．解答：解：原式=）（）（）（22222+∙--x x x （3分） =242-x ；（6分） x =5时，212452422=-=-）（x ．（8分） 点评：此题是分式与整式的乘法运算，分子、分母能因式分解的先因式分解；注意应该把x +2看成一个整体．23. 考点：分母有理化．专题：阅读型．分析：观察问题中的三个式子，不难发现规律：用平方差公式完成分母有理化． 解答：解：（1）原式=67676767-=-+-））（（ （2）原式=1723172317231723-=-+-））（（ （3）原式=n n n n n n n n -+=-+++-+1111））（（ 点评：要将b a ±中的根号去掉，要用平方差公式b a b a b a -=-+））（（.教学反思：通过测试，学生提高了运用知识点灵活解决问题的能力。
2022-2023学年湘教版八年级数学上册《第5章二次根式》期末综合复习题(附答案)
2022-2023学年湘教版八年级数学上册《第5章二次根式》期末综合复习题（附答案）一．选择题1．若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1且x≠1B．x≥﹣1C．x≠1D．x≥﹣1且x≠1 2．下列各组二次根式，可以合并的二次根式是（）A．与B．与C．与D．与3．小明在作业本上做了4道题：①＝﹣5；②±＝4；③＝9：④＝﹣6，他做对的题有（）A．1道B．2道C．3道D．4道4．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）A．3﹣πB．a C．a2+1D．2x+45．下列各式计算与变形正确的是（）A．B．若x﹣2y＝3，则x＝﹣2y+3C．若a＜b则a﹣2＜b D．若﹣3a＞b，则6．把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．7．已知x+y＝﹣5，xy＝4，则的值是（）A．B．C．D．8．若a＝2﹣，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等（）A．1B．﹣1C．4+4D．﹣29．若x2+y2＝1，则++的值为（）A．0B．1C．2D．310．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为S＝，已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为（）A．1B．C．D．二．填空题 11．二次根式（x 、y 均为正数）化成最简二次根式，结果为 ．12．若a 、b 为实数，且b ＝+4，则a +b ＝ ．13．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则＝ ．14．计算：3﹣（﹣1）﹣1+1＝ ．15．已知三角形底边的边长是cm ，面积是cm 2，则此边的高线长 cm ．16．若，b ＝，则a 2﹣a +b 2﹣b ＝ ．三．解答题 17．计算： （1）2（2）﹣（15）（x ＞0）18．最简二次根式与是可以合并的二次根式，求3a ﹣b 的值．19．解答下列各题． （1）已知：y ＝﹣﹣2019，求x +y 的平方根．（2）已知一个正数x 的两个平方根分别是a +2和a +5，求这个数x ． 20．已知x 满足|2021﹣x |+2022 x ＝x ，求x ﹣20212的值． 21．若x ，y 为实数，且y ＝++．求﹣的值．22．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a +b＝（m +n）2（其中a 、b 、m 、n 均为正整数），则有a +b＝m 2+2n 2+2mn，∴a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把部分a +b 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b ＝（m +n）2，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空：+＝（+）2；（3）化简：＝．23．观察下列等式：a1＝＝；a2＝＝；a3＝＝；a4＝＝…按照上述规律，回答以下问题：（1）请写出第6个等式：；（2）请写出第n个等式：；（3）求a1+a2+a3+…+a20的值．24．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．25．观察下面的式子：S1＝1++，S2＝1++，S3＝1++…S n＝1++（1）计算：＝，＝；猜想＝（用n的代数式表示）；（2）计算：S＝+++…+（用n的代数式表示）．参考答案一．选择题1．解：由题意得：x+1≥0，且x﹣1≠0，解得：x≥﹣1，且x≠1，故选：D．2．解：A、∵＝3，∴与不能合并；B、∵＝3，＝2，∴与能合并；C、∵＝＝，＝，∴与不能合并；D、∵＝2，＝6，∴与不能合并；故选：B．3．解：①＝﹣5，正确；②±＝±4，故②错误；③≠9，故③错误：④＝6，故④错误．∴他做对的题有1道．故选：A．4．解：A、3﹣π＜0，则3﹣π不能作为二次根式被开方数，故本选项不符合题意；B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故本选项不符合题意；C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故本选项符合题意；D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故本选项不符合题意；故选：C．5．解：A.与不是同类二次根式，不能够进行加减运算，故此选项不符合题意；B．若x﹣2y＝3，则x＝2y+3，故此选项不符合题意；C．若a＜b，则a﹣2＜a＜b，故此选项符合题意；D．若﹣3a＞b，则a＜﹣，故此选项不符合题意，故选：C．6．解：∵成立，∴﹣＞0，即m＜0，∴原式＝﹣＝﹣．故选：D．7．解：∵x+y＝﹣5，xy＝4，∴x、y同号，并且x、y都是负数，解得：x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，当x＝﹣1，y＝﹣4时，＝+＝2+＝；当x＝﹣4，y＝﹣1时，+＝+＝+2＝，则的值是，故选：B．8．解：∵a＝2﹣，∴2a2﹣8a﹣1＝2（a﹣2）2﹣9＝2（2﹣﹣2）2﹣9＝2×5﹣9＝1．故选：A．9．解：∵x2+y2＝1，∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，∵＝＝，x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴y＝0，∴++＝2+1+0＝3．故选：D．10．解：∵如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：＝1．故选：A．二．填空题11．解：∵x＞0，y＞0，∴＝xy，故答案为：xy．12．解：由被开方数是非负数，得，解得a＝1，或a＝﹣1，b＝4，当a＝1时，a+b＝1+4＝5，当a＝﹣1时，a+b＝﹣1+4＝3，故答案为：5或3．13．解：原式＝|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|，∵a、b、c为△ABC的三边长，∴a+c＞b，即a﹣b+c＞0；a＜b+c，即a﹣b﹣c＜0，∴原式＝a﹣b+c﹣（a﹣b﹣c）＝a﹣b+c﹣a+b+c＝2c．故答案为：2c．14．解：原式＝＝，故答案为：215．解：设三角形此边上的高为x厘米，由题意，得×x＝，解得x＝2．故答案为：2．16．解：由题意可知：a＝＝b＝＝∴a+b＝﹣，ab＝∴原式＝a2+2ab+b2﹣（a+b）﹣2ab＝（a+b）2﹣（a+b）﹣2ab＝++＝故答案为：三．解答题17．解：（1）原式＝2+6﹣4＝4；（2）原式＝﹣（15×﹣2x）＝3﹣3+2x＝2x．18．解：由最简二次根式与是可以合并的二次根式，得，解得，所以3a﹣b＝2．19．解：（1）由题意得，x﹣2020≥0，2020﹣x≥0，解得，x＝2020，则y ＝﹣2019，∴x +y ＝2020﹣2019＝1， ∵1的平方根是±1， ∴x +y 的平方根±1；（2）由题意得，a +2+a +5＝0， 解得，a ＝﹣， 则a +2＝﹣+2＝﹣， ∴x ＝（﹣）2＝． 20．解：由题意得，x ﹣2022≥0， 解得，x ≥2022， 则x ﹣2021+2022-x ＝x ，∴2022-x ＝2021， 解得x ＝20212+2022， 则x ﹣20212＝2022．21．解：依题意得：x ＝，则y ＝，所以＝＝，＝＝2，所以﹣＝﹣＝﹣＝．22．解：（1）∵a +b ＝（m +n ）2，∵a +b＝m 2+2mn+3n 2，∴a ＝m 2+3n 2，b ＝2mn ． 故答案为m 2+3n 2，2mn ．（2）取m ＝n ＝1，可得a ＝4，b ＝2； ∴4+2＝（1+）2故答案为：4，2，1，1；（3）∵14+6＝（3+）2，∴＝3+，故答案为3+．23．解：（1）观察，如a2的下标2，与中被开方数：5和3，得出5＝2×2+1，3＝2×2﹣1，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1；因此第6个等式6×2+1＝13，6×2﹣1＝11，得故答案为：（2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n﹣1，所以第n个等式故答案为：（3）a1+a2+a3+…+a20＝+++...+＝．故答案为：．24．解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，故答案为：3，；（2）＝﹣2＝2﹣；（3）∵，∴（﹣1）a+b＝﹣1+2，∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，∴﹣a＝﹣1，a+＝2，解得，a＝1，b＝2．25．（1）解：∵S1＝1++＝，∴＝＝；∵S2＝1++＝，∴＝；∵S3＝1++＝，∴＝；∵S n＝1++＝，∴＝＝，故答案为：，，；（2）解：S＝+++…+＝1++1++1++ (1)＝n+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝n+1﹣，＝．。
二次根式练习题及答案(2)(可编辑修改word版)
若代数式V 乔（X-1）。
在实数范用内有意义，则X 的取值范用为.四-解答题（共8小题）10.若禹 b 为实数，a={2b- 14+\/7-bD 抑G-b)2・二次根式练习题 A. 要使式子字有意义，则X 的取值范囤是（ x>l B. x> - 1 C. x>l D. x> - 12. A. 式子/丄圧实数范用内有意义,则S 的取值范用是（ V X - 1 x<l B. xWl C. x>l D. s213. 下列结论正确的是（ A ・ 3a'b - a'b=2B .单项式-x=的系数是-1 C .使式子\忌有意义的X 的取值范用是x> - 2 D . 4. A. 5. 色2-1 若分1 _的值等于 a+1要使式子』应有意义，则a 的取值范囤是（ ）a aHO B. a> • 2 且 aT^O C ・ a> ・ 2 或 aHO D, aM - 2 且 aHO 使返豆有意义，则s 的取值范用是—• X 0,则 a=+l 6.若代数仔有意义，则X 的取值范帥 7. 已知屈二£是正整数，则实数n 的最大值为.9. 若实数a 满足a ・8 +Ja- 10=a ，则a=11.已知也=返垒陌1_3,求伽+ “严的值?n +412.已知小y为等腰三角形的两条边长，且X, y满足y = 二雄二r + 4,求此三角形的周长13.己知a、b、c满足J2d+b - 4小-c+l|=JL^+需丸.求a+b+c的平方根.14・若a、b为实数，且沪\/14 ■ Zb+Jb ■ 7+3・求寸（自• b） 2•15・已知yVJx■旷02・Z化简ly・3l - Jy2 - 8y+16・16. 已知a 、b 满足等式br/2a- 6+的-3d - 9・求出a. b 的值分别是多少？ 试求五亦-傅十需溯值•已知实数a 满足｛(2008- d) 2009"，求" 2008=的值是多少？(1) (2)参考答素与试8解析 J Y — 11・（2016•划门）要使式- —j 恿义，则X 的取值范隔是（2A. x>l B ・ x> - 1 C. xMl D ・ xM - 1J V — 1 【解答】解：要使式子P c 有意义,2 故乳・1MS 解得：xN 】・ 则X 的取值范困是:xMl.故选：C. 2.（缈6•贵港）式勺E 做数范碉内《义，则•，的取值范碉是C A. x<l B ・ xWl C. x>l D. xNl【解答】解：依題总得：X-1>O. 解得x>l ・ 故选：C. 3. （2016-杭州校级自主招生）下列结论正确的是（ A. 3a-b - a-b=2 in 项式-x ：的系数是-1使式-"h+2右恿义的X 的取值范用是x> - 2 B. C, D ・ 界-1若分式 -------- 的值等于0,则沪±1a+1【解答】解：3a=b - a^b=2a=b, A 错熙爪项式的系数是• 1. B 正确：使式fVx+2竹意义的X 的取值范用是xM-2. C 错決界-1若分式 -------- 的值等于0.则沪1,错误,a+1故选：B. 4. <2016•博野县校级自主招生）要使式子』应有恿义・则a 的取值范ra 是（ A ・ aHO B. a> - 2 且 aHO C ・ a> -2 或 aHO D ・ aM ・ 2 且 a 工0 【解答】解：由題意得・計2M0. aHO.解斜• aM ・2且aHO.故选：D. 5."州校级自主招生）沮警有意义，则•，的取值范収亠寻9. 【解答】解：根据题意得，3X-2M0且xHO.9 解斜x>-三且xHO ・ 3 故答案为.xM-gL xHO.yA/ V — 26.（沁•永«模拟）若代数式匕有意义，则•，的取值范册.【解答】解2根据题御X-2MS 且X-3H0. 解得• xN2且x#3：故答案是：xN2且xH3, 7.（2016春•固始县期末）已知（12- n是正整数・则实数n 的报大值为_ H・【解答】解：由题总可知12-n是一个完全平方数，且不为0.嚴小为1-所以n的最大值为12-1=11.8. （2016-大悟县_模）若代数式”x+3牛（x-l）°在实数范困内有意义，则X的取值范隔为xN・3且xH【解答】解：由題总得：寸3MS且x・lH0・解得：xM・3且xHl.故答案为.xM- 3且xHl.9・（2009 -兴化市模拟）若实数a满足la-8 认 -]0% 则沪_Ll【解答】解，根据题意得，a-105^0,解得a^lO.•••原等式可化为S a・8+&- 10%叭/d-10冷Aa- 10=61,解御：a=74.10. <2015 #•绵阳期中〉若 a. b 为实数，叫2b - 14+"7 - 2 求J(a- b) 2.【解答】解：由題总得・2b - 115= 0且7-b>0. 解得bN7且bW7, a=3i 所以• J(a-b)&J(3-7)S・L r _ 2di 7求（mF宀的值?H. <2016-^顺县校级篠拟〉已知n+4【解答】解.由題意得.16・£MO. n=- 16^0.十4H0. 则n'=16. nH - 4.解得■ n=*L则m= - 3,(m+n)浹=】• 12. （2016春•微ft县校级〃考〉已知M.y为等腰三角形的两条边长，且斗y满足尸｛齐左（2« - 6別・求此三允形的周长.【解答】解：由題意得・3-x^O. 2K・6M0・解斜• x=3.则 y=4i半腰为3•底边为4时，-角形的周长为：3+3+4=10, 腰为4•底边为3时，三角形的周长为：3+4+4=11, 答：此三角形的周长为10或H ・13. （2015 春•武昌区期中）已知 a 、b 、c 满足V2d+b -4+ a-crln/b-求屮br 的 平方根.【解答】解：由題总b • cM 0且c - bMO. 所以• bNc 且cNb,所以• b=c.所以.等式可变为"2册 -4Ta ・bT =°，解 <a=tlb=2 所以•c=2.所以.a+b+c 的平方根是±>/^・ 14. （2015 R-宜兴市校级期中）若a 、b 为实数，且知期-2b+{b-7+3,求寸（a - b ） 2.【解答】解：根据题氫得：”4 我Aolb-7>0解斜:b=7 •则 a=3.则原式=a-b| = |3-7|=4.15. （2015 #•荣县校级JJ 考）已知y v#x-卩/2 - Z 化简1厂3| -£2_ 8y+16・【解答】解：根据题意得：, 2^匕 解得：E12-x>0则yV3・则原式=3 - y - y - 4|=3 - y - <4-y ） = -2y-l.16.（2014春•富顺县校级期末）已知a 、b 满足等式b 二y2a • 6十“9 - 33 -9（1）求出a 、b 的值分别是多少?⑵试求A ZT 亦-的忆【解答】解：（1）由题总:得.2a-6^0且9・3aM0, 解得&S 且aW3・所以，a=3> b=・ 9；由非负数的性质斜.2a+b-4=0, a- b+l=O- d(-9)2+ 引3%(-9)・=6-9-3.=-6・17. （2014秋•宝兴县校级期末）已知实数a满足+乜8・2009% 求a・2008’的值是多少？【解答】解:72：次根式有恿义.Aa- 20095=0.即a5= 2009,•••2008・aW-lV0・•"・2008勺0- 2009"・解得寸Q-2009=2°°&等式两边平方，整理a -2008^2009.。
第16章二次根式期末综合复习知识点分类训练(附答案)2020-2021学年八年级数学人教版下册
2021年人教版八年级数学下册《第16章二次根式》期末综合复习知识点分类训练（附答案）一．二次根式的定义及其意义1．下列各式中是二次根式的是（）A．B．C．﹣D．22．下列各式一定是二次根式的是（）A．B．C．D．3．若是二次根式，则a的值不可以是（）A．4B．C．90D．﹣24．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x＜2D．x≤25．若式子有意义，则x的取值范围为（）A．x＞4B．x＜4C．x≥4D．x≤46．使代数式有意义，则a的取值范围为（）A．a≥﹣2且a≠1B．a≠1C．a≥﹣2D．a＞﹣27．设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（）A．1B．9C．4D．58．若a，b为实数，且b＝++4，则a+b的值为（）A．﹣13B．13C．﹣5D．5二．二次根式的性质与化简9．下列各式中正确的是（）A．＝﹣2B．＝2C．＝2D．＝±210．下列各组数中互为相反数的是（）A．﹣2与B．﹣2与C．2与（﹣）2D．|﹣|与11．若，则a的取值范围是（）A．a B．a＞C．a＜D．a12．若3＜a＜4，则﹣|a﹣4|等于（）A．2a﹣7B．﹣1C．7﹣2a D．113．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（）A．﹣b B．b C．﹣2a﹣b D．﹣2a+b三．最简二次根式与二次根式的乘除14．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．B．C．D．15．下列式子是最简二次根式的是（）A．B．C．D．16．化简：＝；＝；（2）2＝．17．计算÷的结果是．18．计算：＝．四．二次根式的加减19．计算﹣的结果是．20．计算﹣+2的结果是．21．如果最简二次根式与可以合并，则x＝．22．若与最简二次根式3可以合并，则a＝．23．如果最简二次根式和可以合并，则ab＝．五．二次根式的混合计算与化简求值24．下列计算正确的是（）A．＝B．＝2C．＝D．（3﹣）2＝7 25．下列计算：①（）2＝2，②＝﹣2，③（﹣2）2＝12，④＝2，⑤﹣＝，⑥（）（﹣）＝﹣1，其中结果正确的个数为（）A．1B．2C．3D．426．下列各式计算正确的是（）A．2﹣＝2B．2×＝2C．＝2D．﹣＝27．计算：＝．28．计算（2﹣3）÷＝．29．已知a＝，b＝，求ab的值为．30．已知a＝3+，b＝3﹣，则代数式的值是．31．已知x＝﹣1，则代数式x2﹣5x﹣6＝．32．已知（a﹣3）2+|b﹣4|＝0，则a+的值是．33．已知m+n＝10，则的最小值＝．六．分母有理化与二次根式的应用34．分母有理化：＝．35．已知长方形的面积为18，一边长为2，则长方形的另一边为．36．若x＝+1，y＝﹣1，则的值为．37．若直角三角形的边长分别是3，m，5．（1）求m；（2）先化简再求值．38．（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求代数式a2b﹣ab2的值．（2）（﹣）÷，其中x＝﹣2．39．阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①＝＝；②＝＝＝+1等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算：+++…+＝．40．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积为S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在△ABC中，a＝5，b＝3，c＝4．（1）求△ABC的面积；（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．参考答案一．二次根式的定义及其意义1．解：A、是三次根式，不合题意；B、根号下部分是负数，无意义，不是二次根式，不合题意；C、﹣，符合二次根式的定义，符合题意；D、2不是二次根式，不合题意．故选：C．2．解：A、x＜0时，不是二次根式，故A不符合题意；B、是二次根式，故B符合题意；C、二次根式的被开方数是非负数，故C不符合题意；D、，根指数不是2，不是二次根式，故D不符合题意；故选：B．3．解：∵是二次根式，∴a≥0，故a的值不可以是﹣2．故选：D．4．解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，故选：B．5．解：∵式子有意义，∴x﹣4＞0，解得x＞4，即x的取值范围为x＞4，故选：A．6．解：由题意得a+2≥0且a﹣1≠0，解得a≥﹣2且a≠1，故选：A．7．解：∵，∴5﹣x≥0，5﹣x≤0，∴5﹣x＝0，解得x＝5，∴y＝4，∴|y﹣x|＝|4﹣5|＝1．故选：A．8．解：由题意得：，解得a＝9，∴b＝4，∴a+b＝9+4＝13．故选：B．二．二次根式的性质与化简9．A．算术平方根具有非负性，不符合题意；B．负数的立方根是负数，不符合题意；C．负数的平方等于正数，符合题意；D．算术平方根只有一个，不符合题意．故选：C．10．解：∵＝2，2与﹣2互为相反数，故A选项符合题意；＝﹣2，故B选项不符合题意；（﹣）2＝2，故C选项不符合题意；|﹣|＝，故D选项不符合题意．故选：A．11．解：∵，∴3﹣2a≥0，解得：a≤．故选：D．12．解：∵3＜a＜4，∴﹣|a﹣4|＝a﹣3﹣（4﹣a）＝a﹣3﹣4+a＝2a﹣7．故选：A．13．解：由数轴可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，则a﹣b＜0，故原式＝﹣a+b﹣a＝﹣2a+b．故选：D．三．最简二次根式与二次根式的乘除14．解：A，，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B，，是最简二次根式，故此选项符合题意；C，被开方数不是整数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D，＝，被开方数含有开的尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．故选：B．15．解：A.＝＝，不符合题意；B.＝2，不符合题意；C.是最简二次根式，符合题意；D.＝，不符合题意．故选：C．16．解：＝3；＝；（2）2＝12．故答案为：3，，12．17．解：÷＝＝＝2，故答案为：2．18．解：原式＝4÷5×＝×＝＝．故答案为：．四．二次根式的加减法19．解：原式＝﹣2＝﹣．故答案为：﹣．20．解：原式＝（+2）﹣＝3﹣．故答案为：3﹣．21．解：∵最简二次根式与可以合并，∴2x+1＝5，∴x＝2．故答案为：2．22．解：∵＝2，∴3＝4﹣2a，∴a＝，故答案为：．23．解：最简二次根式和是同类二次根式，∴b+1＝2且2a+3＝a+3b，解得a＝0，b＝1，∴ab＝0．故答案为：0．五．二次根式的混合计算与化简求值24．解：A、+＝3+，故此选项错误；B、﹣＝2，故此选项正确；C、＝＝，故此选项错误；D、（3﹣）2＝9+2﹣6＝11﹣6，故此选项错误；故选：B．25．解：①（）2＝2，故①正确．②＝2，故②错误．③（﹣2）2＝12，故③正确．④＝，故④错误．⑤与不是同类二次根式，故⑤错误，⑥（）（﹣）＝2﹣3＝﹣1，故⑥正确．故选：B．26．解：A、原式＝，故A错误．B、原式＝2，故B正确．C、原式＝＝，故C错误．D、与不是同类二次根式，故不能合并，故D错误．故选：B．27．解：原式＝﹣2＝2﹣2．故答案为2﹣2．28．解：原式＝2﹣3＝8﹣9＝﹣1．故答案为﹣1．29．解：a＝，b＝，∴ab＝（）（）＝3﹣2＝1．故答案为：1．30．解：∵a＝3+，b＝3﹣，∴a+b＝（3+）+（3﹣）＝6，ab＝（3+）（3﹣）＝9﹣5＝4，∴＝＝＝2，故答案为：2．31．解：∵x＝﹣1，∴x2﹣5x﹣6＝（x+1）（x﹣6）＝（﹣1+1）（﹣1﹣6）＝（﹣7）＝5﹣7．故答案为5﹣7．32．解：由题意可知：a﹣3＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴原式＝3+2＝5，故答案为：5．33．解：如图，∠CAB＝∠DBA＝90°，AB＝10，AC＝5，BD＝7，设AP＝m，BP＝n，则PC＝，PD＝，∵PC+PD≥CD（当且仅当C、P、D共线时取等号），∴PC+PD的最小值为CD，过D点作DE⊥AC于E，如图，易得四边形ABDE为矩形，∴AE＝BD＝7，DE＝AB＝10，在Rt△CDE中，CD＝＝＝2，∴的最小值为2．故答案为2．六．分母有理化与二次根式的应用34．解：＝＝＝2．故答案为：2﹣．35．解：∵长方形的面积为18，一边长为2，∴长方形的另一边为：18÷2＝3．故答案为：3．36．解：∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝（+1）+（﹣1）＝2，则＝＝＝＝，故答案为：．37．解：（1）当m为斜边时，m＝；当m为直角边时，m＝＝4．综上，m的值为4或；（2）原式＝＝|m﹣3|﹣|m﹣7|，当m＝4时，原式＝m﹣3﹣7+m＝2m﹣10＝2×4﹣10＝﹣2；当m＝时，原式＝m﹣3﹣7+m＝2m﹣10＝2×﹣10＝2﹣10，综上原式的值为﹣2或2﹣10，38．解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴ab＝（3+2）（3﹣2）＝1，a﹣b＝（3+2）﹣（3﹣2）＝4，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）1×4＝4；（2）原式＝（﹣）×＝×＝，当x＝﹣2时，原式＝＝．39．解：原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1．故答案为：﹣1．40．解：（1）∵a＝5，b＝3，c＝4，∴p＝＝6，∴△ABC的面积S＝＝6；（2）如图，∵△ABC的面积＝BC•AD，∴×5×AD＝6，∴AD＝．。
人教版八年级数学下册`期末提优复习：第16--17章附答案
第16章二次根式1．计算的结果为（）A．B．C．2 D．2．下列计算正确的是（）A．4﹣3＝1 B．+＝C．+＝3D．3+2＝53．下列各式①；②；③；④；⑤，其中二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．在二次根式，，，，，中，最简二次根式的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．函数y＝++2，则x y的值为（）A．0 B．2 C．4 D．86.已知a=15 －2,b=15 +2，则a2+b2+7 的值为（）A、3B、4C、5D、67．如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①＝，②×＝1，③÷＝﹣b，其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③8．下列说法正确的是（）A ．的倒数B ．C ．的相反数是D ．是分数9．把（2﹣x ）的根号外的（2﹣x ）移入根号内得（ ）A ．B ．C ．﹣D ．﹣10．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．化简﹣＝ ．12.下列各式①，②，③，④，⑤，⑥，⑦(其中a ＜0)中，其中二次根式有________个．13．已知1＜x ＜2，，则的值是 ．14．若最简二次根式与的被开方数相同，则a 的值为 ．15.计算：＋－1＋(2＋1)(3－)＝__________.16．若3)3(-•=-m m m m ，则m 的取值范围是 。
17．已知y＝+﹣4，计算x﹣y2的值．18．若x，y都是实数，且y＝+1，求+3y的值．19．已知实数x，y满足x2+y2﹣4x﹣2y+5＝0，求的值．20．阅读材料，请回答下列问题．材料一：我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积，用现代式子表示即为：S＝①（其中a，b，c为三角形的三边长，S为面积），而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的“海伦公式”；S＝……②（其中p＝）材料二：对于平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）公式逆用可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，例：a2﹣（b+c）2＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）：（1）若已知三角形的三边长分别为4，5，7，请分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试，写出推导过程．21．已知x＝（+），y＝（﹣），求下列各式的值．（1）x2﹣xy+y2；（2）+．22．已知二次根式．（1）当x ＝3时，求的值．（2）若x 是正数，是整数，求x 的最小值．23．已知长方形的长为a ，宽为b ，且a ＝，b ＝．（1）求长方形的周长；（2）当S 长方形＝S 正方形时，求正方形的周长．24．已知：的值。
2024八年级数学上册期末复习3二次根式3常考题型专练习题课件新版北师大版
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类型3利用 ≥0求最值
6. 当 x 取何值时， + ＋3的值最小？最小值是多少？
解：∵ + ≥0，∴当 + ＝0，即当 x ＝－
时， + ＋3的值最小，最小值是3.
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类型4利用二次根式的非负性解决代数式化简求值问题
7. 等式 ( − ) ＋ ( − ) ＝ − － − ＝0恒成
所以 − － − + ＝ − － ( − ) ＝
− － − ＝ y －3－ y ＋1＝－2.
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类型2利用 ≥0求代数式的值或平方根
4. [2024十堰实验中学月考]若 ＋ + ＋｜2 a － b ＋1｜
＝0，则( b － a )2 024等于(
当 b ＝3时，此式的值最大，即 S 最大，最大值为 ＝
2 .
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有意义，
∴ m －4≥0，即 m ≥4.
当 m ≥4时， ( − ) ＋ ( − ) ＝( m －3)＋( m －
4)＝2 m －7.
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题型3利用二次根式的性质进行计算
4. (1)设 ＝ a ， ＝ b ，试用含 a ， b 的代数式表示
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解：(1) ＝6 ＝6
立，且 x ， y ， a 互不相等，求
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初中数学八下《二次根式》常考练习题及参考答案与解析(人教版)
《二次根式》常考练习题及参考答案与解析一、选择题（共40小题）1．（2018春•宿松县期末）在下列各式中，一定是二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2018秋•漳州期末）下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）A．3﹣πB．a C．a2+1 D．2x+43．（2019春•徐州期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．4．（2018春•黔南州期末）下列运算正确的是（）A．2+＝2B．5﹣＝5 C．5+＝6D．+2＝3 5．（2017春•汇川区校级期中）若，则x的值等于（）A．4 B．±2 C．2 D．±46．（2018春•阆中市期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（）A．B．C．1 D．37．（2019春•万年县期中）把根号外的因式化到根号内：﹣a＝（）A．B．C．﹣D．8．（2019春•陆川县期末）下列等式正确的是（）A．B．C．D．9．（2017春•硚口区期中）若＝4﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞4 B．b＜4 C．b≥4 D．b≤4 10．（2016秋•开福区校级期末）若x＜0，则的结果是（）A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．211．（2019春•中山市期末）下列运算结果正确的是（）A．＝﹣3 B．（﹣）2＝2 C．÷＝2 D．＝±4 12．（2019•鄂州模拟）把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．13．化简的结果是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣14．（2018春•郯城县期中）已知a＝+，b＝，则a与b的关系是（）A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣515．（2018春•罗庄区期末）已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．平方相等16．（2019春•凤凰县期末）下列根式中，属于最简二次根式的是（）A．﹣B．C．D．17．（2010春•苏州期末）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．18．（2019秋•静安区月考）下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．﹣C．D．19．（2012秋•衡水期末）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．20．（2017秋•路北区期末）下列二次根式中可以和相加合并的是（）A．B．C．D．21．（2019秋•闵行区校级月考）下列说法中，正确的是（）A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式B．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式C．同类二次根式一定都是最简二次根式D．两个最简二次根式不一定是同类二次根式22．（2017秋•中江县期末）下列二次根式中，能通过加减运算与合并为一个二次根式的是（）A．B．C．D．23．（2018春•徐汇区校级期末）如果+有意义，那么代数式|x﹣1|+的值为（）A．±8 B．8C．与x的值无关D．无法确定24．（2018秋•织金县期末）如果y＝+2，那么（﹣x）y的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．025．（2015秋•陕西月考）a，b的位置如图，则下列各式有意义的是（）A．B．C．D．26．（2018•荔湾区模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣227．（2014•东丽区三模）若实数a，b满足+＝3，﹣＝3k，则k的取值范围是（）A．﹣3≤k≤2 B．﹣3≤k≤3 C．﹣1≤k≤1 D．k≥﹣128．（2012秋•洪湖市期中）下列各式，不论x为任何数都没有意义的是（）A．B．C．D．29．（2018秋•高碑店市期末）下列运算中正确的是（）A．﹣＝B．2+3＝6C．＝D．（+1）（﹣1）＝330．（2016春•杭州校级期中）下列运算正确的是（）A．2﹣＝1B．（﹣）2＝2C．＝﹣＝3﹣2＝1D．＝±1131．（2019春•阜阳期中）（2﹣）2018（2+）2019的值为（）A．﹣1 B．2C．﹣2D．2+32．（2015•钦州）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A．2﹣4B．2 C．2D．2033．（2018秋•醴陵市期末）已知a＝3+，b＝3﹣，则代数式的值是（）A．24 B．±2C．2D．234．（2015•蓬溪县校级模拟）已知a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A．10B．12C．10 D．1535．（2019春•许昌期末）已知x＝+1，y＝﹣1，则x2+xy+y2的值为（）A．10 B．8 C．6 D．436．（2014•张家港市模拟）已知实数x，y满足x+y＝﹣2a，xy＝a（a≥1），则的值为（）A．a B．2a C．a D．237．（2012秋•富顺县校级月考）若实数x、y满足x2+y2﹣4x﹣2y+5＝0，则的值是（）A．1 B．+C．3+2D．3﹣238．（2013•宁波自主招生）设等式在实数范围内成立，其中a、x、y是三个不同的实数，则的值是（）A．3 B．C．2 D．39．（2019春•西湖区校级月考）如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（）A．n B．n C．n D．n+40．（2019秋•天心区校级期末）已知a、b、c是△ABC三边的长，则+|a+b﹣c|的值为（）A．2a B．2b C．2c D．2（a一c）二、填空题（共30小题）41．（2019春•曲靖期末）若是一个正整数，则正整数m的最小值是．42．（2018秋•杨浦区期中）计算：＝．43．（2019•聊城二模）计算﹣的结果是．44．（2019春•东至县期末）与最简二次根式是同类二次根式，则m＝．45．（2017秋•南开区期末）二次根式与的和是一个二次根式，则正整数a的最小值为；其和为．46．（2016春•寿光市期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则a ＝．47．（2013秋•罗平县校级期中）等式＝成立的条件是．48．（2012•山西模拟）若规定符号“*”的意义是a*b＝ab﹣b2，则2*（）的值是．49．（2015秋•达州校级月考）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值等于．50．（2015•鄂州）若使二次根式有意义，则x的取值范围是．51．（2019•岳池县模拟）要使代数式有意义，x的取值范围是．52．（2018秋•松桃县期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．53．（2018•陇南）使得代数式有意义的x的取值范围是．54．（2019春•西湖区校级月考）已知y＝+8x，则的算术平方根为．55．（2014•吴江市模拟）设a＝，b＝2+，c＝，则a、b、c从小到大的顺序是．56．（2013秋•南通月考）在下列二次根式，中，最简二次根式的个数有个．57．（2013春•阳谷县期末）若和都是最简二次根式，则m＝，n＝．58．（2012秋•集贤县期中）若两个最简二次根式与可以合并，则x＝．59．（2018•皇姑区二模）化简的结果是．60．（2014秋•慈利县校级期末）若m＜0，化简2n＝．61．（2015春•崆峒区期末）已知a，b，c为三角形的三边，则＝．62．（2018春•襄城区期中）化简的结果为．63．（2019春•睢县期中）已知a，b，c为三个整数，若，，，则a，b，c的大小关系是．64．（2013•江都市一模）若二次根式＝4﹣x，则x．65．（2018秋•牡丹区期末）若的整数部分是a，小数部分是b，则a2+（1+）ab＝．66．（2019春•江汉区期末）已知xy＝2，x+y＝4，则+＝．67．（2019秋•兰考县期中）当a＜﹣b＜1时，化简÷的结果为．68．（2013•沙市区一模）已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为．69．（2011•内江）若m＝，则m5﹣2m4﹣2011m3的值是．70．（2019春•成武县期末）如图，在矩形ABCD中，不重叠地放上两张面积分别是5cm2和3cm2的正方形纸片BCHE和AEFG．矩形ABCD没被这两个正方形盖住的面积是．三、解答题（共30小题）71．（2019春•伊通县期末）计算：×﹣（+）（﹣）72．（2016•夏津县自主招生）计算：．73．（2015春•赵县期末）化简：（1）；（2）．74．（2018春•新泰市期末）计算（1）（2﹣1）2+（+2）（﹣2）（2）（﹣2）×﹣6．75．（2019秋•浦东新区校级月考）已知x＝，y＝，且19x2+123xy+19y2＝1985．试求正整数n．76．（2013•黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+＝（+）2；（3）若a+4＝，且a、m、n均为正整数，求a的值？77．（2014秋•石鼓区校级期中）若3，m，5为三角形三边，化简：﹣．78．（2012秋•罗田县期中）化简求值：已知：x＝，求x2﹣x+1的值．79．（2013秋•崇阳县期末）阅读下面问题：；；．试求：（1）的值；（2）（n为正整数）的值．80．（2018秋•新华区校级月考）阅读下列解题过程：；请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，化简：①②（2）利用上面提供的解法，请计算：．81．（2019秋•长宁区期中）计算：2÷•．82．（2014春•巢湖市月考）已知x为奇数，且，求的值．83．（2013秋•婺城区校级月考）若代数式有意义，则x的取值范围是什么？84．（2019秋•景县期末）已知y＝+﹣4，计算x﹣y2的值．85．（2018春•黄冈期中）若a，b为实数，a＝+3，求．86．（2013秋•仪征市期末）某同学作业本上做了这么一道题：“当a＝时，试求a+的值”，其中是被墨水弄污的，该同学所求得的答案为，请你判断该同学答案是否正确，说出你的道理．87．（2019秋•兰考县期中）若a，b是一等腰三角形的两边长，且满足等式，试求此等腰三角形的周长．88．（2018春•罗平县期末）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|﹣+﹣．89．（2019春•黄石期中）已知a，b，c为实数且c＝，求代数式c2﹣ab的值．90．（2011秋•东台市校级期中）（1）化简：•（﹣4）÷（2）已知x＝﹣1，求x2+3x﹣1的值．91．（2013•金湾区一模）观察下列各式及证明过程：（1）；（2）；（3）．验证：；．a．按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果并进行验证；b．针对上述各式反映的规律，写出用n（n≥1的自然数）表示的等式，并验证．92．（2014春•陕县校级月考）已知：x＝，求x2+的值．93．（2017春•江津区期中）已知x＝﹣2，y＝+2，求：（1）x2y+xy2；（2）+的值．94．（2019春•潮南区期末）已知a＝，求的值．95．（2019春•鞍山期末）已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．96．（2015春•饶平县期末）先化简，再求值：•，其中．97．（2017春•黄冈期中）化简求值：，求的值．98．（2014春•霸州市期末）先化简，后求值：，其中．99．（2019春•襄州区期末）先化简，再求值：（+b），其中a+b＝2．100．（2015春•重庆校级期末）先化简，再求值.，其中．参考答案与解析一、选择题（共40小题）1．（2018春•宿松县期末）在下列各式中，一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【知识考点】二次根式的定义．【思路分析】根据二次根式的定义作出选择：式子（a≥0）叫做二次根式．【解答过程】解：A、是三次根式；故本选项符合题意；B、被开方数﹣10＜0，不是二次根式；故本选项不符合题意；C、被开方数a2+1＞0，符合二次根式的定义；故本选项符合题意；D、被开方数a＜0时，不是二次根式；故本选项不符合题意；故选：C．【总结归纳】本题主要考查了二次根式的定义．式子（a≥0）叫做二次根式，特别注意a≥0，a是一个非负数．2．（2018秋•漳州期末）下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）A．3﹣πB．a C．a2+1 D．2x+4【知识考点】二次根式的定义．【思路分析】直接利用二次根式的定义分别分析得出答案．【解答过程】解：A、3﹣π＜0，则3﹣π不能作为二次根式被开方数，故本选项不符合题意；B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故本选项不符合题意；C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故本选项符合题意；D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故本选项不符合题意；故选：C．【总结归纳】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．3．（2019春•徐州期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【知识考点】二次根式的加减法．【思路分析】结合选项根据二次根式的加减法的运算法则求解即可．【解答过程】解：A、﹣＝2﹣＝，故本选项符合题意；B、+≠，故本选项不符合题意；C、3﹣＝2≠3，故本选项不符合题意；D、3+2≠5，故本选项不符合题意．故选：A．【总结归纳】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握其运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．4．（2018春•黔南州期末）下列运算正确的是（）A．2+＝2B．5﹣＝5 C．5+＝6D．+2＝3【知识考点】二次根式的加减法．【思路分析】原式各项合并得到结果，即可做出判断．【解答过程】解：A、2+不能合并，故本选项不符合题意；B、5﹣＝4，故本选项不符合题意；C、5+＝6，故本选项符合题意；D、+2不能合并，故本选项不符合题意，故选：C．【总结归纳】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．（2017春•汇川区校级期中）若，则x的值等于（）A．4 B．±2 C．2 D．±4【知识考点】二次根式的加减法．【思路分析】方程左边化成最简二次根式，再解方程．【解答过程】解：原方程化为：＝10，合并得：＝10∴＝2，即2x＝4，∴x＝2．故选：C．【总结归纳】本题考查了二次根式的加减法．掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．解无理方程，需要方程两边平方，注意检验算术平方根的结果为非负数．6．（2018春•阆中市期末）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（）A．B．C．1 D．3【知识考点】二次根式的加减法．【思路分析】因为的整数部分为1，小数部分为﹣1，所以x＝1，y＝﹣1，代入计算即可．【解答过程】解：∵的整数部分为1，小数部分为﹣1，∴x＝1，y＝﹣1，∴＝﹣（﹣1）＝1．故选：C．【总结归纳】关键是会表示的整数部分和小数部分，再二次根式的加减运算，即将被开方数相同的二次根式进行合并．7．（2019春•万年县期中）把根号外的因式化到根号内：﹣a＝（）A．B．C．﹣D．【知识考点】二次根式的性质与化简．【思路分析】根据被开方数是非负数，可得a的取值范围，根据二次根式的性质，可得答案．【解答过程】解：由被开方数是非负数，得﹣a≥0．﹣a＝×＝，故选：B．【总结归纳】本题考查了二次根式的性质与化简，利用被开方数是非负数得出a的取值范围是解题关键．8．（2019春•陆川县期末）下列等式正确的是（）A．B．C．D．【知识考点】二次根式的性质与化简．【思路分析】根据二次根式的性质1和性质2逐一判断即可得．【解答过程】解：A．＝2，故本选项不符合题意；B．（）2＝2，故本选项符合题意；C．﹣＝﹣2，故本选项不符合题意；D．（﹣）2＝2，故本选项不符合题意；故选：B．【总结归纳】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质1与性质2．9．（2017春•硚口区期中）若＝4﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞4 B．b＜4 C．b≥4 D．b≤4【知识考点】二次根式的性质与化简．【思路分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可．【解答过程】解：∵＝4﹣b，∴4﹣b≥0，解得，b≤4，故选：D．【总结归纳】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．10．（2016秋•开福区校级期末）若x＜0，则的结果是（）A．0 B．﹣2 C．0或﹣2 D．2【知识考点】二次根式的性质与化简．【思路分析】根据二次根式的意义化简．【解答过程】解：若x＜0，则＝﹣x，∴＝＝＝2，故选：D．【总结归纳】本题考查了二次根式的性质与化简．二次根式规律总结：当a≥0时，＝a；当a≤0时，＝﹣a．11．（2019春•中山市期末）下列运算结果正确的是（）A．＝﹣3 B．（﹣）2＝2 C．÷＝2 D．＝±4【知识考点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．【思路分析】直接利用二次根式的性质分别分析得出答案．【解答过程】解：A、＝3，故本选项不符合题意；B、（﹣）2＝2，故本选项符合题意；C、÷＝，故本选项不符合题意；D、＝4，故本选项不符合题意；故选：B．【总结归纳】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．12．（2019•鄂州模拟）把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．【知识考点】二次根式的乘除法．【思路分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．【解答过程】解：∵成立，∴﹣＞0，即m＜0，∴原式＝﹣＝﹣．故选：D．【总结归纳】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．13．化简的结果是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【知识考点】二次根式的乘除法．【思路分析】直接进行分母有理化即可求解．【解答过程】解：原式＝＝＝﹣．故选：C．【总结归纳】本题考查了二次根式的乘除法，解答本题的关键是进行分母有理化．14．（2018春•郯城县期中）已知a＝+，b＝，则a与b的关系是（）A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5【知识考点】分母有理化．【思路分析】根据平方差公式，可分母有理化，根据实数的大小比较，可得答案．【解答过程】解：b＝＝＝+，a＝+，故选：A．【总结归纳】本题考查了分母有理化，利用平方差公式将分母有理化是解题关键．15．（2018春•罗庄区期末）已知：a＝，b＝，则a与b的关系是（）A．相等B．互为相反数C．互为倒数D．平方相等【知识考点】实数的性质；分母有理化．【思路分析】求出ab的乘积是多少，即可判断出a与b的关系．【解答过程】解：∵ab＝×＝＝1，∴a与b互为倒数．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了分母有理化的方法，以及实数的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：互为倒数的两个数的乘积是1．16．（2019春•凤凰县期末）下列根式中，属于最简二次根式的是（）A．﹣B．C．D．【知识考点】最简二次根式．【思路分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答过程】解：A、﹣＝﹣，被开方数含分母，故本选项不符合题意；B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故本选项符合题意；C、＝4，被开方数含能开得尽方的因数或因式，故本选项不符合题意；D、＝2，被开方数含能开得尽方的因数或因式，故本选项不符合题意；故选：B．【总结归纳】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．17．（2010春•苏州期末）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【知识考点】最简二次根式．【思路分析】最简二次根式应满足的条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数的因式的指数必须小于根指数2．【解答过程】解：A、不符合上述条件②，即＝2，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、符合上述条件，是最简二次根式，故本选项符合题意；C、不符合上述条件①，即＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、不符合上述条件②，即＝|x|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．故选：B．【总结归纳】此题考查了最简二次根式应满足的条件．18．（2019秋•静安区月考）下列二次根式是最简二次根式的是（）A．B．﹣C．D．【知识考点】最简二次根式．【思路分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断．【解答过程】解：A、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、，是最简二次根式，故本选项符合题意；C、＝|2a+1|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、＝，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．【总结归纳】本题考查的是最简二次根式的概念、二次根式的性质，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．19．（2012秋•衡水期末）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B．C．D．【知识考点】最简二次根式．【思路分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行判断，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【解答过程】解：A、＝|a|，可化简，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、＝＝，可化简，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C、＝＝3，可化简，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、＝，不能开方，符合最简二次根式的条件，故本选项符合题意．故选：D．【总结归纳】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．20．（2017秋•路北区期末）下列二次根式中可以和相加合并的是（）A．B．C．D．【知识考点】同类二次根式．【思路分析】先化简二次根式，再根据被开方数相同进行解答即可．【解答过程】解：A、不能与合并，故本选项不符合题意；B、＝3，可以与合并，故本选项符合题意；C、＝，不能与合并，故本选项不符合题意；D、＝2，不能与合并，故本选项不符合题意；故选：B．【总结归纳】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．21．（2019秋•闵行区校级月考）下列说法中，正确的是（）A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式B．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式C．同类二次根式一定都是最简二次根式D．两个最简二次根式不一定是同类二次根式【知识考点】同类二次根式．【思路分析】根据同类二次根式的概念判断．【解答过程】解：A、被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式，故本选项不符合题意；B、化简后被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故本选项不符合题意；C、同类二次根式不一定都是最简二次根式，故本选项不符合题意；D、两个最简二次根式不一定是同类二次根式，故本选项符合题意；故选：D．【总结归纳】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．22．（2017秋•中江县期末）下列二次根式中，能通过加减运算与合并为一个二次根式的是（）A．B．C．D．【知识考点】同类二次根式．【思路分析】根据同类二次根式的定义逐个判断即可．【解答过程】解：＝2，A、不能和合并为一个二次根式，故本选项不符合题意；B、能和合并为一个二次根式，故本选项符合题意；C、不能和合并为一个二次根式，故本选项不符合题意；D、＝5不能和合并为一个二次根式，故本选项不符合题意；故选：B．【总结归纳】本题考查了同类二次根式，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键．23．（2018春•徐汇区校级期末）如果+有意义，那么代数式|x﹣1|+的值为（）A．±8 B．8C．与x的值无关D．无法确定【知识考点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简．【思路分析】首先求出x的取值范围，再利用绝对值以及二次根式的性质化简求出即可．【解答过程】解：∵+有意义，∴x﹣1≥0，9﹣x≥0，解得：1≤x≤9，∴|x﹣1|+＝x﹣1+9﹣x＝8，故选：B．【总结归纳】本题主要考查了二次根式与绝对值的性质，正确化简二次根式是解题关键．24．（2018秋•织金县期末）如果y＝+2，那么（﹣x）y的值为（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【知识考点】二次根式有意义的条件．【思路分析】直接利用二次根式的性质得出x，y的值，进而得出答案．【解答过程】解：∵y＝+2，∴1﹣x≥0，x﹣1≥0，解得：x＝1，故y＝2，则（﹣1）2＝1．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．25．（2015秋•陕西月考）a，b的位置如图，则下列各式有意义的是（）A．B．C．D．【知识考点】数轴；二次根式有意义的条件．【思路分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．【解答过程】解：在数轴上，右边的数总大于左边的数，∴a＞b，即a﹣b＞0，根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知二次根式有意义．故选：B．【总结归纳】本题主要考查了二次根式的意义和性质，掌握和理解二次根式的概念和性质是解题的关键．26．（2018•荔湾区模拟）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x＜﹣2【知识考点】二次根式有意义的条件．【思路分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答过程】解：代数式有意义，故x+2＞0，解得：x＞﹣2．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．27．（2014•东丽区三模）若实数a，b满足+＝3，﹣＝3k，则k的取值范围是（）A．﹣3≤k≤2 B．﹣3≤k≤3 C．﹣1≤k≤1 D．k≥﹣1【知识考点】二次根式有意义的条件．【思路分析】依据二次根式有意义的条件即可求得k的范围．【解答过程】解：若实数a，b满足+＝3，又有≥0，≥0，故有0≤≤3 ①，0≤≤3，则﹣3≤﹣≤0 ②①+②可得﹣3≤﹣≤3，又有﹣＝3k，即﹣3≤3k≤3，化简可得﹣1≤k≤1．故选：C．【总结归纳】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．28．（2012秋•洪湖市期中）下列各式，不论x为任何数都没有意义的是（）A．B．C．D．【知识考点】二次根式有意义的条件．【思路分析】根据有理数的性质以及平方数非负数对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答过程】解：A、x≤0时，﹣6x≥0，有意义，故本选项不符合题意；B、x＝0时，﹣x2＝0，有意义，故本选项不符合题意；C、x为任何数，﹣x2﹣1≤﹣1，无意义，故本选项符合题意；D、﹣x2≥﹣1时，﹣x2+1≥0，有意义，故本选项不符合题意．故选：C．【总结归纳】本题考查了二次根式有意义的条件，判断出各选项中被开方数的正负情况是解题的关键．29．（2018秋•高碑店市期末）下列运算中正确的是（）A．﹣＝B．2+3＝6C．＝D．（+1）（﹣1）＝3【知识考点】二次根式的混合运算．【思路分析】根据二次根式的运算法则对每一项分别进行判断，即可得出正确答案．【解答过程】解：A、﹣＝2﹣＝，故本选项不符合题意；B、2+3＝5，故本选项不符合题意；C、÷＝，故本选项符合题意；D、（+1）（﹣1）＝2﹣1＝1，故本选项不符合题意；故选：C．【总结归纳】本题考查了二次根式的运算，关键是熟练掌握二次根式的运算法则，注意把二次根式进行化简．30．（2016春•杭州校级期中）下列运算正确的是（）A．2﹣＝1B．（﹣）2＝2C．＝﹣＝3﹣2＝1D．＝±11【知识考点】二次根式的混合运算．【思路分析】根据二次根式混合运算法则，一一判断即可．【解答过程】解：A、2﹣＝，故本选项不符合题意；B、（﹣）2＝2，故本选项符合题意；C、＝＝，故本选项不符合题意；D、＝11，故本选项不符合题意；故选：B．【总结归纳】本题考查二次根式的混合运算，乘法公式等知识，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简以及混合运算法则，属于中考常考题型．31．（2019春•阜阳期中）（2﹣）2018（2+）2019的值为（）A．﹣1 B．2C．﹣2D．2+【知识考点】二次根式的混合运算．【思路分析】先利用积的乘方得到原式＝[（﹣2）（+2）]2018•（+2），然后根据平方差公式计算．【解答过程】解：（2﹣）2018（2+）2019＝[（﹣2）（+2）]2018（+2）＝（5﹣4）2018（+2）＝1×（+2）＝2+．故选：D．【总结归纳】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．32．（2015•钦州）对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为（）A．2﹣4B．2 C．2D．20【知识考点】二次根式的混合运算．【思路分析】根据题目所给的运算法则进行求解．【解答过程】解：∵3＞2，∴3※2＝﹣，∵8＜12，∴8※12＝+＝2×（+），∴（3※2）×（8※12）＝（﹣）×2×（+）＝2．故选：B．【总结归纳】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是根据题目所给的运算法则求解．33．（2018秋•醴陵市期末）已知a＝3+，b＝3﹣，则代数式的值是（）A．24 B．±2C．2D．2【知识考点】二次根式的化简求值．【思路分析】首先把原式变为，再进一步代入求得答案即可．【解答过程】解：∵a＝3+，b＝3﹣，∴a+b＝6，ab＝4，∴＝＝＝2．故选：C．【总结归纳】此题考查二次根式的化简求值，抓住式子的特点，灵活利用完全平方公式变形，使计算简便．34．（2015•蓬溪县校级模拟）已知a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A．10B．12C．10 D．15【知识考点】二次根式的化简求值．。
初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析)
初二二次根式所有知识点总结和常考题知识点：1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。
①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
②非负性2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、二次根式有关公式（1）)0()(2≥=a a a （2）a a =2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab（4）除法公式)0,0( b a ba b a ≥= 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。
常考题：一．选择题（共14小题）1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥﹣且x ≠1B ．x ≠1C ．D ．3．下列计算错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．估计的运算结果应在（ ）A ．6到7之间B ．7到8之间C ．8到9之间D ．9到10之间5．如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥6．若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．78．化简的结果是（）A．B．C．D．9．k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n10．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定11．把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．12．已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．313．若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5二．填空题（共13小题）15．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= ．16．计算：的结果是．17．化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ．18．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．19．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= ．20．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．21．计算：﹣﹣= ．22．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为cm．23．如果最简二次根式与能合并，那么a= ．24．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是．（结果保留根号）25．实数p在数轴上的位置如图所示，化简= ．26．计算：= ．27．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．三．解答题（共13小题）28．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．29．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．30．先化简，再求值：，其中．31．先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．32．先化简，再求值：，其中．33．已知a=，求的值．34．对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？35．一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．36．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．37．已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．38．计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．39．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．40．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+ ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C． D．【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．【解答】解：因为：B、=4；C、=；D、=2；所以这三项都不是最简二次根式．故选A．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．2．（2013•娄底）式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C．D．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故选A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．（2007•荆州）下列计算错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．【解答】解：A、==7，正确；B、==2，正确；C、+=3+5=8，正确；D、，故错误．故选D．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．4．（2008•芜湖）估计的运算结果应在（）A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．【解答】解：∵=4+，而4＜＜5，∴原式运算的结果在8到9之间；故选C．【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．5．（2011•烟台）如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．【解答】解：∵，∴1﹣2a≥0，解得a≤．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．6．（2009•荆门）若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出x、y的值，再代入代数式即可．【解答】解：∵=（x+y）2有意义，∴x﹣1≥0且1﹣x≥0，∴x=1，y=﹣1，∴x﹣y=1﹣（﹣1）=2．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．（2012秋•麻城市校级期末）是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】本题可将24拆成4×6，先把化简为2，所以只要乘以6得出62即可得出整数，由此可得出n的值．【解答】解：∵==2，∴当n=6时，=6，∴原式=2=12，∴n的最小值为6．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．8．（2013•佛山）化简的结果是（）A．B．C．D．【分析】分子、分母同时乘以（+1）即可．【解答】解：原式===2+．故选：D．【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．9．（2013•台湾）k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m及n的值，即可作出判断．【解答】解：=3，=15，=6，可得：k=3，m=2，n=5，则m＜k＜n．故选：D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．10．（2011•菏泽）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围，再开方化简．【解答】解：从实数a在数轴上的位置可得，5＜a＜10，所以a﹣4＞0，a﹣11＜0，则，=a﹣4+11﹣a，=7．故选A．【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．11．（2013秋•五莲县期末）把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．【解答】解：∵成立，∴﹣＞0，即m＜0，原式=﹣=﹣．故选：D．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．12．（2009•绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．【解答】解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n=11．故选B．【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．13．（2005•辽宁）若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对a、b的取值范围进行判断．【解答】解：要使这个式子有意义，必须有﹣a≥0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴点（a，b）在第三象限．故选C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号．14．（2013•上城区一模）已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【分析】原式变形为，由已知易得m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，然后整体代入计算即可．【解答】解：m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，原式====3．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．二．填空题（共13小题）15．（2004•山西）实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= 1 ．【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a﹣1与0，a﹣2与0的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，∴|a﹣1|+=a﹣1+2﹣a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．二次根式的化简规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=﹣a．16．（2013•南京）计算：的结果是．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．17．（2013•泰安）化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ﹣6 ．【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可．【解答】解：（﹣）﹣﹣|﹣3|=﹣3﹣2﹣（3﹣），=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题主要考查了二次根式的化简与混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18．（2006•广安）如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= 5 ．【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a﹣8=17﹣2a，解得：a=5．【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．19．（2007•芜湖）定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= 6 ．【分析】认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．【解答】解：∵x@y=，∴（2@6）@8=@8=4@8==6，故答案为：6．【点评】解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．20．（2014•荆州）化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2﹣，然后合并即可．【解答】解：原式=2×﹣4××1=2﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．21．（2014•广元）计算：﹣﹣= ﹣2 ．【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解．【解答】解：==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次根式的加减法，本题涉及了分母有理化、二次根式的化简等运算，属于基础题．22．（2013•宜城市模拟）三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为5cm．【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为++，化简合并同类二次根式．【解答】解：这个三角形的周长为++=2+2+3=5+2（cm）．故答案为：5+2（cm）．【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．23．（2012秋•浏阳市校级期中）如果最简二次根式与能合并，那么a= 1 ．【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【解答】解：根据题意得，1+a=4a﹣2，移项合并，得3a=3，系数化为1，得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．24．（2006•宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是2﹣2 ．（结果保留根号）【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+、，所以矩形的面积是为（+）•=2+6，即可求得矩形内阴影部分的面积．【解答】解：矩形内阴影部分的面积是（+）•﹣2﹣6=2+6﹣2﹣6=2﹣2．【点评】本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键．25．（2003•河南）实数p在数轴上的位置如图所示，化简=1 ．【分析】根据数轴确定p的取值范围，再利用二次根式的性质化简．【解答】解：由数轴可得，1＜p＜2，∴p﹣1＞0，p﹣2＜0，∴=p﹣1+2﹣p=1．【点评】此题从数轴读取p的取值范围是关键．26．（2009•泸州）计算：= 2 ．【分析】运用二次根式的性质：=|a|，由于2＞，故=2﹣．【解答】解：原式=2﹣+=2．【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．27．（2011•凉山州）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5 ．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算．【解答】解：因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以2a+b=3﹣0.5=2.5．故答案为：2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．三．解答题（共13小题）28．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．【分析】（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；（2）原式=+…+=++…+=．【点评】学会分母有理化的两种方法．29．（2014•张家界）计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2，然后合并即可．【解答】解：原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2=﹣7+3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．30．（2009•广州）先化简，再求值：，其中．【分析】本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．【解答】解：原式=a2﹣3﹣a2+6a=6a﹣3，当a=时，原式=6+3﹣3=6．【点评】本题主要考查整式的运算、平方差公式等基本知识，考查基本的代数计算能力．注意先化简，再代入求值．31．（2005•沈阳）先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．【解答】解：原式===；当x=1+，y=1﹣时，原式=．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．32．（2010•莱芜）先化简，再求值：，其中．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2看作一个整体．【解答】解：原式====﹣（x+4），当时，原式===．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．33．（2008•余姚市校级自主招生）已知a=，求的值．【分析】先化简，再代入求值即可．【解答】解：∵a=，∴a=2﹣＜1，∴原式=﹣=a﹣1﹣=a﹣1+=2﹣﹣1+2+=4﹣1=3．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．34．（2002•辽宁）对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？【分析】因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，故错误的是乙．【解答】解：甲的解答：a=时，﹣a=5﹣=4＞0，所以=﹣a，正确；乙的解答：因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，错误；因此，我们可以判断乙的解答是错误的．【点评】应熟练掌握二次根式的性质：=﹣a（a≤0）．35．（2011•上城区二模）一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．【分析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：（1）周长=++==，（2）当x=20时，周长=，（或当x=时，周长=等）【点评】对于第（2）答案不唯一，但要注意必须符合题意．36．（2005•台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．【分析】（1）代入计算即可；（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．【解答】解：（1）s=，=；p=（5+7+8）=10，又s=；（2）=（﹣）=，=（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），=（2p﹣2a）（2p﹣2b）•2p•（2p﹣2c），=p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），∴=．（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）【点评】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．37．（2009秋•金口河区期末）已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．【分析】观察，显然，要求的代数式可以变成x，y的差与积的形式，从而简便计算．【解答】解：∵，，∴xy=×2=，x﹣y=∴原式=（x﹣y）2+xy=5+=．【点评】此类题注意变成字母的和、差或积的形式，然后整体代值计算．38．（2010秋•灌云县校级期末）计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．【分析】（1）先化简，再运用分配律计算；（2）先化简，再根据乘除法的法则计算．【解答】解：（1）原式==6﹣12﹣6=6﹣18；（2）原式=﹣×=﹣3a2b2×=﹣a2b．【点评】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．39．（2013秋•故城县期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【解答】解：根据，可得m=13，n=42，∵6+7=13，6×7=42，∴==．【点评】解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．40．（2013•黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2，b= 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1+ 1 ）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．【解答】解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．。
专题02 二次根式中规律探究问题(解析版)八年级数学下册期末综合复习专题提优训练(人教版)
2020-2021学年八年级数学下册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题02二次根式中规律探究问题【典型例题】1==（1=（2）用字母表示思思发现的规律；（3）请你给出这个结论的一般性的证明．【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.【分析】（1）利用前面三个式子的规律直接写出第4个和第5个等式；（2）写出第n+1个等式即可；（3）根据二次根式的性质进行证明．【详解】解：（1（2n≥2的整数）；（3n≥2的整数）．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．【专题训练】一、解答题1=；…….（1）请写出第9个式子；（2）你能发现上述式子有什么规律吗？请你将猜想到的规律用含n（n为正整数）的代数式表示出来并验证你所发现的规律．=+【答案】（1（2(n【分析】（1）根据已知的等式即可写出第9个式子；（2）根据已知的等式可用含n（n为正整数）的代数式表示规律，再根据二次根式的运算法则进行验证．【详解】（1）第9=+（2）用含n（n(n=+，证明：左边=(n左边=右边，所以规律正确．【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，解此题的关键是能根据已知得出规律，题目比较好．2===（1=（2）请用字母n 表示小明发现的规律．【答案】（1==；（2=2n ≥）. 【分析】（1）利用前面三个式子的规律直接写出第4个和第5个等式；（2）根据题意，直接写出等式即可；【详解】解：（1）====； （2）根据（1）中的规律，可得：=2n ≥）. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3（1；（2）计算（写出计算过程） （3）请用含自然数n （n ≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．【答案】（1）（2=；（3(1n =+ 【分析】（1）先通分，再根据积的算术平方根性质计算，即可得到答案；（2）结合题意和（1）的结论，以此类推计算，即可得到答案；（3）结合（1）和（2）的结论，可得到表示规律的代数式．【详解】（1===，===故答案为：（2===…=（3）结合（1）和（2）的结论，得：(1=+．n【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式计算、数字规律的性质，从而完成求解．4．根据要求，解答问题．（1）观察下列各式：1112+⨯1123=+⨯1134=+⨯，……= （n 为正整数）；（2）当5n = ，并验证5n =时结论的正确性；（3118++ 【答案】（1）1+()1n n 1⨯+；（2）3130，验证见详解；（3）889 【分析】(1）观察所给三个等式即可发现规律；(2)由(1)=1+()1551⨯+，等号两侧同时运算，验证等号是否成立即可； （3）根据以上规律可以进行原式变形，再进行计算即可得结果．【详解】解：（1）观察所给三个等式发现规律：=1+()1n n 1⨯+ （n 为正整数）； 故答案为：1+()1n n 1⨯+．（2）由（1）规律可得当n =51+()1551⨯+=3130；左边3130= 右边=1+11311563030=+=⨯ ∵左边=右边，∵等号成立．（32118++=1+1112-+1+1231-+1+1341-+…+1+1189-=（1+1+1…+1）+(1112-+1231-+1341-+…+1189-) =8+1-19 =889． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据已知三个等式寻找规律，运用规律．5．观察下列各式及其变形过程：1231a a a ======． （1）按照此规律，写出第五个等式5a =_________．（2）按照此规律，若123n n S a a a a =++++，试用含n 的代数式表示n S ．（3）若21x =，试求代数式4322412413x x x x +--+的值．【答案】（1；（2）1；（3）3． 【分析】（1）根据题目表达的规律续写即可；（2）用（1）中总结出的规律首先表示出n a ，然后计算n S 即可；（3）首先通过计算化简x ，再对原式进行配凑，分步代入计算．【详解】（1）121a a =-=，5a ∴= （2）用含字母n （n 为正整数）的等式表示（1）中的一般规律为n a ==， 123n n S a a a a ∴=++++1n =+- 1=． （3）2111S a =-=2111x ∴=，4322412413x x x x ∴+--+2222(1)14413x x x x =+--+222211)14413x x x =+--+221214413x x x =--+224215x x =---+22(1)15x =-++211)15=-++1215=-+3=． 【点睛】 本题主要考查了分母有理化，属于规律型问题，解题关键是找准一般规律转却计算．6．观察下列各式：3111111122122====+=+-⨯71111111662323====+=+-⨯13111111112123434====+=+-⨯ 请你根据上面三个等式提供的信息，解答下列问题：（1=________；（1n ≥，且n 为整数）（直接写出结果）（212019++ 【答案】（1）1111n n +-+；（2）201920192020． 【分析】 （1）观察所给三个等式即可发现规律；（2）根据以上规律可以进行原式变形，再进行计算即可得结果．【详解】解：（1）观察所给三个等式发现规律：1111n n =+-+；(1n ，且n 为整数） 故答案为：1111n n +-+； （2）根据以上规律可得：原式11111111(1)1()1()1()2233420192020=+-++-++-+⋯++- 1111111(1111)(1)2233420192020=+++⋯++-+-+-+⋯+- 12019(1)2020=+-201920192020=． 【点睛】本题考查了规律型-数字的变化类、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是根据已知三个等式寻找规律，运用规律．7．观察下列等式：===== ．．．．请解答下列问题：= ；（1（2）用含有n的代数式表示第n（3【答案】（1（2n为正整数）；（3）【分析】（1（2（3）根据提示与（1）（2）的计算方法可得答案．【详解】==解：（1==（2n为正整数）．（3==+2=【点睛】本题考查的是二次根式的除法，掌握分母有理化完成除法运算是解题的关键． 8．先观察下列等式，再回答问题：11111;1112=+-=+11111;2216=+-=+11111.33112=+-=+（1 （2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用n 的式子表示的等式：（3）对任何实数a 可[a ]表示不超过a 的最大整数，如[]44,1==，计算：...的值． 【答案】（1）1120；（2）11(1)n n ++；（3）99． 【分析】（1）利用前面三个等式的规律求解；（2）利用前面三个等式的规律求解；（3）根据（2）中结论得到111111119912233499100=⨯+-+-+-+⋯+-，然后再求出最大整数即可． 【详解】解：（11111144120=+-=+；（2）第n 111111(1)n n n n =+-=+++；（3）...+=1111111126129900+++⋯+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ =111111119912233499100⨯+-+-+-+⎡⎤⎢⎥⎣⋯-⎦+ =1991100⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ =9999100⎡⎤⎢⎥⎣⎦=99．【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：灵活应用二次根式的性质进行二次根式的计算．91=== （1=______. （2）从计算结果中找出规律，并将猜想到的规律用含有正整数a （1a ≥）的代数式表示出来.（3）利用这一规律计算下列式子的值：)1.【答案】（1;（2=a 是正整数，且1a ≥）;（3）2017 【分析】（1）根据所给式子找出规律解答即可；（2）根据（1）中规律解答即可；（3）根据（2）中规律解答即可．【详解】（1）1===，=（2）由（1=a是正整数，且1a≥）；（3）原式=)11⋅⋅⋅+=()11-+=2018-1=2017.【点睛】本题考查了数字类规律探究，以及二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．102111211-====--====--（1）从计算过程中找出规律，；用含有n（n是正整）的等式表示上述变化规律；（2）利用上述变化规律计算：...+++【答案】（1）21（2）9【分析】（1）按照题中给出的形式直接求解即可；（2）结合（1）中总结出的规律，逐项化简，再求和即可．【详解】解：（12 ===-=22=--故答案为：21（2）原式1)...=++++11019==-=【点睛】本题主要考查二次根式分母有理化，能够根据题目所给出的方法进行二次根式的分母有理化是解题关键．11．观察下列各式及其验证过程：====．====（1（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为自然数，且2a≥）表示的等式，并进行验证；（3）用a（a为任意自然数，且2a≥）写出三次根式的类似规律，并进行验证．【答案】（1）（2）（3）a解析.【分析】（1）利用已知，======值；（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；（3）利用已知可得出三次根式的类似规律，进而验证即可．【详解】解答：解：（1=== （2）由（1）中的规律可知3＝22−1，8＝32−1，15＝42−1，=== 正确；（3）a =a 为任意自然数，且a ≥2），验证：a ==【点睛】 此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．12．探索规律观察下列各式及验证过程：2n =时，有式①：2=；3n =时，有式②：3=式①验证：2====式②验证：3===()1针对上述式①、式②的规律，请写出4n =时的式子；()2请写出满足上述规律的用(n n 为任意自然数，且2)n ≥表示的等式，并加以验证．【答案】（1）4=（2）=【分析】通过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律．根据题意可看出【详解】()14∵4==()2=====【点睛】此题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.13．（1）研究规律：先观察几个具体的式子：32==-2173==-6213===12（2）寻找规律：=（1n≥且n为正整数）（3）请完成计算：【答案】（1）12；13；4134-；（2）111nn n+-+；（3）100110011002.【解析】【分析】（1）各式计算得到结果即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式各项利用得出的规律变形，计算即可求出值．【详解】解：（1321212 ===-；731623===-；13411234 ===-；（2111 nn n+=-+；（3）原式=21311002111001210001001 12231001100210021002 -+-+⋯+-=+-=.【点睛】此题考查了二次根式的加减法，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，1=，1=，1=⋯⋯（1）观察以上规律，请写出第n个等式：(n为正整数）．（2+⋯+（3的大小．【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小.【详解】解：（1）根据题意得：第n个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019===-=；==（3<，∴【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.15．观察下列各式及验证过程：式①：2=验证：2====式②：3=验证：3====(1)针对上述式①、式②的规律，请再写出一条按以上规律变化的式子；∵ 请写出满足上述规律的用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并加以验证.【答案】（1）答案不唯一，如（2）=【解析】试题分析：（1）根据观察，可发现规律，根据规律，可得答案；（2）根据二次根式的性质，可得答案．试题解析：（1）4=（2）=====16．观察下列各式．====根据上述规律回答下列问题．（1）接着完成第⑤个等式：_____；n n≥的式子写出你发现的规律；（2）请用含(1)（3）证明（2）中的结论．=+（3）见解析【答案】（1=（2(n【分析】（1）当n=5==+（2(n（3）直接根据二次根式的化简即可证明．【详解】解：（1=（2(n =+（3=(n ==+ 【点睛】此题主要考查探索数与式的规律，熟练发现规律是解题关键．17===()1= ______ = ______ ；()2计算(写出计算过程)； ()3请用含自然数()n n 1≥的代数式把你所发现的规律表示出来．【答案】（1）（2）；（311n n =+≥（）． 【解析】试题分析：（1）按二次根式的运算法则计算即可求得本题答案；（2）按二次根式的运算法则计算即可；（3）观察、分析可得当n 为自然数且n 1≥(1)n n =+≥. 试题解析：（1）==；==（2）原式===（3(1)n n =+≥.18===…（1=________=________； （2）第2019个式子是：________．（3）请用含自然数()1n n ≥的代数式把你所发现的规律表示出来．【答案】（1）（2=；（3(+1n = 【分析】 （1）根据题意的规律可直接进行解答；（2）由（1）及题意可直接求解；（3）由题意易得当自然数为n 1）（2）的规律可进行求解． 【详解】解：（1=====故答案为 （2）由（1）可得：第2019=；=；（3=====…可知第n (+1n =【点睛】本题主要考查二次根式的规律应用，熟练掌握二次根式的性质及运算是解题的关键．19．观察下列各式，发现规律：==…（1＝，＝；（2）计算（写出计算过程）；（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．【答案】（1）（2（3）（n+1n≥1）．【分析】（1）根据已知等式得出规律，写出所求结果即可；（2）利用二次根式性质计算得到结果即可；（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可．【详解】=解：（1）根据题意得：=故答案为（2====；（3）归纳总结得：(1n =+（自然数n ≥1）． 【点睛】 此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（1）发现规律：特例1特例2特例3 特例4：______（填写一个符合上述运算特征的例子）；（2）归纳猜想：如果n 为正整数，用含n 的式子表示上述的运算规律为：______；（3）证明猜想：（4）应用规律：①；②=（m ，n 均为正整数），则m +n 的值为______．【答案】（1=（2(1n =+；（3）见解析；（4）①②m +n =38 【分析】 （1）根据题目中的例子可以写出例4；（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题； （4）①②根据（2）中的规律即可求解．【详解】解：（1==（2(1n =+，(1n =+；（3）证明：∵左边== ∵n 为正整数，∵n +1＞0．∵左边=|n +1（n +1(1n =+，又∵右边=（n +1 ∵左边=右边．(1n =+；（4）故答案为：∵m +1=19，解得m =18，∵n =m +2=20，∵m +n =38．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．。
二次根式2022年天津数学八年级下学期常规版期末汇编
二次根式2022年天津数学八年级下学期常规版期末汇编1.下列各式中，运算正确的是( )A．√2+√3=√5B．6√5−√5=6C．√(−7)2=−7D．√3√5=√1552.若√x+4x+1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )A．x>−4B．x≥−4C．x>−4且x≠1D．x≥−4且x≠−13.计算√27⋅√23=．4.计算下列各题．(1) (2√12−6√13)÷2√3．(2) (√5+√3)(√5−√3)−(2√3−√2)2．5.若√1−x是二次根式，则x的取值范围是( )A．x≥1B．x≤1C．x<1D．x≥0 6.下列各式中，是最简二次根式的是( )A．√12B．√8C．√6D．√0.37.化简：(√3)2=，√32=，−√(−3)2=．8.计算：(1) √18−√32；(2) (2√5+√2)(2√5−√2)．9.计算2√12×√34÷√3的结果是( )A．√32B．√34C．√3D．2√310. 计算：(√7+2)(√7−2) 的结果等于 ．11. 在函数 y =√1−x中，自变量 x 的取值范围是 ．12. 化简 √50 的结果为 ( ) A ． 5√10 B ． 10√5 C ． 5 D ． 5√213. 下列计算正确的是 ( )A ． √2+√3=√5B ． 2√2−√2=√2C ． √18÷√3=3D ． √2×(−√3)=√614. 在实数范围内，使得 √3+x 有意义的 x 的取值范围为 ．15. 计算：(1) (√24−√12)−(√18+√6)． (2) (2√3+3)(√2+1)．16. 若式子 √x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A ． x ≥0 B ． x ≤0 C ． x <0 D ． x >017. 计算 (√6+√3)(√6−√3) 的结果等于 ．18. 计算：(1) √9a +√25a ； (2) (4√2−3√6)+2√2．19. 若 √2a +3 在实数范围内有意义，则 a 的取值范围是 ( ) A ． a ≥−32B ． a ≤−32C ． a >−32D ． a <−3220. 设矩形的面积为 S ，相邻两边长分别为 a ，b ，已知 S =2√3，b =√10，则 a 等于 ( ) A ． 2√30B ．√305C ．√306D ．√3521. 计算 (√5+3)(√5−3) 的结果等于 ．22. 计算：(1) 2√12−6√13+3√48． (2) (√2+3)(√2+5)．23. 若 ∣m −25∣+√n 2−8n +16=0，将 mx 2−ny 2 因式分解得 ．24. 二次根式 √(−10)2 的值是 ( ) A ． 10 B ． −10 C ． −10 或 10 D ． 10025. 计算 (√7+√3)(√7−√3) 的结果等于 ．26. 回答下列问题：(1) 计算：(10√48−6√27)÷√12．(2) 已知 x =√5−1，求代数式 x 2+5x −6 的值．27. 如果代数式 √x+3x有意义，则实数 x 的取值范围是 ( )A ． x ≥−3B ． x ≠0C ． x ≥−3 且 x ≠0D ． x ≥−328. 若 √a 3+3a 2=−a √a +3，则 a 的取值范围是 ( ) A ． −3≤a ≤0 B ． a ≤0 C ． a <0D ． a ≥−329. 已知 √−10m 是正整数，则满足条件的最大负整数 m 为 ( ) A ． −10 B ． −40 C ． −90 D ． −16030. 如图，数轴上点 A 表示的数为 a, 化简：a +√a 2−4a +4= ．31. 计算．(1) √12−(14)−1√3√3−2∣．(2) 因式分解：(x +2)(x −6)+16．(3) 先化简，再求值：x 2−1x 2−2x+1⋅1x+1−1x ，其中 x =2．32. 当 x =√3−1 时，代数式 x 2+2x +1 的值是 ．33. 计算：(1) √18−√32；(2) (2√5+√2)(2√5−√2)．34. √3−x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A ． x ≥3 B ． x >3 C ． x ≤3 D ． x <335. 有下列算式：（1）√2+√5=√7 （2）5√a −3√a =2√a （3）√8+√502=√4+√25=7（4）2√3a +√27a =5√3a 其中正确的是 ( ) A ．（2）和（4） B ．（1）和（3） C ．（3）和（4） D ．（1）和（4）36. 计算 (√3−2)×(√3+2) 的结果是 ．37. 计算．(1) √54−√24； (2) (√48+√54)÷√3．38. 在式子 2x−1，1x−2，√x −1，√x −2 中，x 可以同时取 1 和 2 的是 ( ) A ．2x−1B ．1x−2C ． √x −1D ． √x −239. 下列运算：（1）√2+√3=√5； （2）√52+3√52=2√5；（3）3+√2=3√2； （4）√82+152=17； （5）√9a 2+25b 2=3a +5b ． 其中正确的一共有 ( ) A ． 2 个B ． 3 个C ． 4 个D ．以上都不对40. 点 M(√a +1+1,−2) 关于 x 轴对称的点在第 象限．41. 已知 x =√5−12，y =√5+12，则 x 2+y 2−xy 的值是 ．42. 计算．(1) (2√5−√7)(2√5+√7)−(√5−3)2+(−2)0； (2) 用简便方法计算：20222−2022×36+182． (3) 先化简，再求值：x 2−4x 2−4x+4÷x+2x+1−xx−2，其中 x =2−√2．43. 函数 y =√x −1 的自变量 x 的取值范围是 ．44. 下列等式错误的是 ( ) A ． √5×√3=√15 B ． √(−5)2=5C ． √16=±4D ． √(x −1)2=√(1−x )245. 使 √2x −1 在实数范围内有意义，则 x 的范围是 ．46. 计算：12(√8+√3)−34(√2+√27)．47. 下列各式的计算中，成立的是 ( ) A ． 2+√5=2√5 B ． 4√5−3√5=1 C ． √x 2+y 2=x +yD ． √45−√20=√548. 函数 y =√x−1x−2自变量 x 的取值范围是 ．49. 若 √1(x−1)2在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( )A ． x >1B ． x ≥1C ． x ≠1D ． x >−150. 下列计算错误的是 ( ) A ． √43÷√121=2√7B ． (√8+√3)×√3=2√6+3C ． (4√2−3√6)÷2√2=2−32√3D．(√5+7)(√5−7)=−251.计算：√6a÷√2a=．52.计算：(1) √45−√20；(2) √27×√50÷√6．53.若√2a+3在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )A．a≥−32B．a≤−32C．a>−32D．a<−3254.设矩形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，已知S=2√3，b=√10，则a等于( )A．2√30B．√305C．√306D．√3555.计算(√5+3)(√5−3)的结果等于．56.计算：(1) 2√12−6√13+3√48．(2) (√2+3)(√2+5)．57.下列各式中，运算正确的是( )A．√2+√3=√5B．6√5−√5=6C．√(−7)2=−7D．√3√5=√15558.若√x+4x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )A．x>−4B．x≥−4C．x>−4且x≠1D．x≥−4且x≠159.计算√27⋅√23=．60.有20个边长为1的小正方形，排列形式如图①，请将其分割，拼接成一个正方形．(1) 拼接后的正方形的边长等于 ；(2) 在图①中画出分割线，在图②中画出拼接后的正方形（网格中小正方形的边长为 1）．61. 计算下列各题：(1) (2√12−6√13)÷2√3；(2) (√5+√3)(√5−√3)−(2√3−√2)2．62. 如果 √a +2 有意义，那么 ( ) A ． a ≥−2 B ． a ≤2 C ． a ≥2 D ． a ≤−263. 下列二次根式，不能与 √2 合并的是 ( ) A ． √12B ． √8C ． √12D ． −√1864. 下列计算正确的是 ( ) A ． √3+√5=√8 B ． √8−√3=√8−3 C ． √223=2√23D ．√2√5=√10565. 化简：(√27)2= ．66. 计算．(1) √18×√20×√75； (2) (√12+√20)+(√3−√5)．67.如果√3a+5有意义，那么( )A．a≥53B．a≤53C．a≥−53D．a≤−5368.下列二次根式√1.2；5√x+y；√4a3；√x2−4；√15；√28．其中，是最简二次根式的有( ) A．2个B．3个C．4个D．5个69.化简√(−3)2的结果是( )A．±3B．−3C．9D．370.计算(4√2+√8)÷3√2的结果是．71.计算：(1) (3√5+2√3)(3√5−2√3)．(2) √25−√8−(√18−√93)．72.如果√x+3有意义，那么( )A．x≥−3B．x≤3C．x≥3D．x≤−373.下列二次根式，不能与√12合并的是( )A．√48B．√8C．√113D．−√7574.下列计算结果正确的是( )A．√2+√5=√7B．3√2−√2=3C．√2×√5=√10D．√2√5=5√1075.若√(x−1)2=1−x，则( )A．x<1B．x≤1C．x>1D．x≥176.计算：(1) (9√13+5√12)÷√3；(2) (√7+√5)(√7−√5)−(√3−√2)2．77.若√2a+3在实数范围内有意义，则a的取值范围是( )A．a≥−32B．a≤−32C．a>−32D．a<−3278.计算(√5+3)(√5−3)的结果等于．79.计算：(1) 2√12−6√13+3√48；(2) (√2+3)(√2+5)．80.如果√x−2有意义，那么( )A．x≥0B．x≥2C．x≤2D．0≤x≤281.在下列二次根式√2，√2x3，√a2+1，√12，√50b中，最简二次根式有( )A．1个B．2个C．3个D．4个82.化简√(−3)2的结果是( )A．±3B．−3C．9D．383.计算：√5a⋅√15ab=．84.计算：(1) 2√12−6√13+3√48．(2) (2√3+3√2)(2√3−3√2)．85.若式子√x在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )A．x≥0B．x≤0C．x<0D．x>086.计算(√6+√3)(√6−√3)的结果等于．87.计算：(1) √9a+√25a；(2) (4√2−3√6)÷2√2．88.要使√2x+5有意义，x必须满足( )A．x≥−52B．x≤−52C．x为任何实数D．x为非负数89. 下列二次根式化成最简二次根式后不能与 √3 合并的是 ( ) A ． √27B ． √13C ． √18D ． √3490. 计算．(1) (√6+√3)(√6−√3) (2) (12√8+6√29−8√12)÷√291. 化简 √50 的结果为 ( ) A ． 5√10 B ． 10√5 C ． 5 D ． 5√292. 下列计算正确的是 ( )A ． √2+√3=√5B ． 2√2−√2=√2C ． √18÷√3=3D ． √2×(−√3)=√693.(1) 计算：(√24−√12)−(√18+√6)； (2) 计算：(2√3+3)(√2+1)． 94. 若 √x√x−1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ( )A ． x ≥0B ． x ≥1C ． x >1D ． x ≥0 且 x ≠195. 化简 3√n 的结果为 ( ) A ．3√n5B ．5n 23C ．5n 3D ．5√n396. 计算 (√5+√3)(√5−√3) 的结果等于 ．97. 计算：(1) (√45+√18)−(√8−√125)； (2) (√80+√40)÷√5．98. 在实数范围内，√x 有意义，则 x 的取值范围是 ( )A ． x ≥0B ． x ≤0C ． x >0D ． x <099. 计算 (√6+√3)×(√6−√3) 的结果等于 ．100. 计算：(1) √9a +√25a ； (2) (4√2−3√6)+2√2．101. 面积为 3 的正方形的边长为 ( ) A ． 1.5B ． 1.73C ． 1.732D ． √3102. 下列等式错误的是 ( )A ． √5×√3=√15B ． √(−5)2=5C ． √16=±4D ． √(x −1)2=√(1−x )2103. 计算：12(√8+√3)−34(√2+√27)．104. 下列计算：① (√2)2=2，② √(−2)2=2，③ (−2√3)2=12，④ (√2+√3)(√2−√3)=−1，其中正确的有 ( ) A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个105. 已知 √x−1x=−1x√x 2−x ，则 √xy 3= ( )A ． √xyB ． −y √xyC ． y √−xyD ． −y √−xy106. 二次根式 −3√3x 与 √2ax 的和是一个二次根式，则正整数 a 的最小值为 ，其和为 ．107. 计算．(1) 计算：(−√2)×√6+∣∣√3−2∣∣−(12)−1． (2) 因式分解：(a −4b )(a +b )+3ab ． (3) 化简：a 2−6ab+9b 2a 2−2ab÷(5b 2a−2b−a −2b)−1a．108. 若代数式 √xx−1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 ( ) A ． x >0B ． x ≥0C ． x >0 且 x ≠1D ． x ≥0 且 x ≠1109. 在化简√x+√y时，甲、乙两位同学的解答如下：( )甲：√x+√y =√x−√y)(√x+√y)(√x−√y)=√x−√y)(√x)2−(√y )2=√x −√y乙：√x+√y=√x)2√y )2√x+√y=√x−√y)(√x+√y)√x+√y=√x −√yA ．两人解法都对B ．甲错乙对C ．甲对乙错D ．两人都错110. 若 ∣x +2∣+√y −3=0，则 y x 的值为 ． 111.(1) 解方程：x x−1−31−x =3．(2) 计算：(√3−1)2+√3+1．112. 如果代数式 √x+3x有意义，则实数 x 的取值范围是 ( )A ． x ≥−3B ． x ≠0C ． x ≥−3 且 x ≠0D ． x <−3113. 若 √a 3+3a 2=−a √a +3，则 a 的取值范围是 ( ) A ． −3≤a ≤0 B ． a ≤0 C ． a <0D ． a ≥−3114. 已知 √−10m 是正整数，则满足条件的最大负整数 m 为 ( ) A ． −10B ． −40C ． −90D ． −160115. 如图，数轴上点 A 表示的数为 a ，化简：a +√a 2−4a +4= ．116. 计算：(1) √12−(14)−1√3√3−2∣；(2) 因式分解：(x +2)(x −6)+16；(3) 先化简，再求值：x 2−1x 2−2x+1⋅1x+1−1x ，其中 x =2．117.若∣m−25∣+√n2−8n+16=0，将mx2−ny2因式分解得．118.二次根式√(−10)2的值是( )A．10B．−10C．−10或10D．100 119.计算(√7+√3)(√7−√3)的结果等于．120.计算：(1) (10√48−6√27)÷√12；(2) 已知x=√5−1，求代数式x2+5x−6的值．121.计算√2+√8的结果等于( )A．√10B．2√2C．3√2D．4 122.要使√5+2x有意义，则x的取值范围为．123.计算：2√12×√34÷5√2．124.若√1(x−1)2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )A．x>1B．x≥1C．x≠1D．x>−1 125.下列计算错误的是( )A．√43÷√121=2√7B．(√8+√3)×√3=2√6+3C．(4√2−3√6)÷2√2=2−32√3D．(√5+7)(√5−7)=−2126.计算：√6a÷√2a=．127.计算：(1) √45−√20；(2) √27×√50÷√6．128.函数y=√x−1x−2的自变量的取值范围是．129.计算：(2√7)2=．130.下列运算中正确的是( )A．√2+√3=√5B．√3×√7=√10C．√8÷√2=2D．√(−6)2=−6131.如果√x+3有意义，那么( )A．x≥−3B．x≤3C．x≥3D．x≤−3 132.下列二次根式中，不能与√12合并的是( )A．√48B．√18C．√113D．−√75 133.下列计算结果正确的是( )A．√2+√5=√7B．3√2−√2=3C．√2×√5=√10D．√2√5=5√10134.若√(x−1)2=1−x，则( )A．x<1B．x≤1C．x>1D．x≥1 135.计算：(1) (9√13+5√12)÷√3；(2) (√7+√5)(√7−√5)−(√3−√2)2．136.若代数式√x−1有意义，则x的取值范围是( )A．x>1B．x≥1C．x≥1且x≠32D．x>1且x≠32137.已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简√a2−√(a−b)2−√(a−c)2−√(b−c)2的结果是( )A．−3a B．−a+2b−2c C．2b D．a138. 等腰三角形的两条边长分别为 2√3 和 5√2，那么这个三角形的周长等于 ．139. 如果 ab >0，a +b <0，那么下面各式：①√ab =√a√b，②√a b ⋅√ba =1，③√ab ÷√ab =−b ，其中正确的是 ．（填序号） 140.(1) 计算：(√2−√3)2+(2√3+√6)(2√3−√6)； (2) 因式分解：9a 2(x −y )+4b 2(y −x )； (3) 先化简，再求值：a−2a 2−1÷(a −1−2a−1a+1)，其中 a 2−a −6=0．141. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A ．1，2，2B ．1，1，√3C ．4，5，6D ．1，√3，2142. 下列计算正确的是 ( ) A ．√(−4)2=2 B ．(√2)2=4C ．√2×√5=√10D ．√6÷√2=3143. 估计 √31 的值 ( ) A ．在 6 和 7 之间 B ．在 5 和 6 之间 C ．在 3 和 4 之间D ．在 2 和 3 之间144. 计算：(1) (√5+1)(√5−1)； (2) (√8+√3)×√6−4√12．145. 下列式子中，属于最简二次根式的是 ( ) A ．√9 B ．√7 C ．√20D ．√13146. 计算 √8√2a= ( )A ．2√aaB ．2√aC ．4√aD ．2a147. 计算 −√(−25)2= ．148. 计算：(1) (√5+√3)(√5−√3)； (2) (√24−√12)−(√18+√6)．答案1. 【答案】D【解析】A、√2与√3不能合并，所以A选项错误；B、原式=5√5，所以B选项错误；C 、原式=7，所以C选项错误；D 、原式=√155，所以D选项正确．2. 【答案】D【解析】若√x+4x+1在实数范围内有意义，则x+4≥0且x+1≠0，解得：x≥−4且x≠−1．3. 【答案】3√2【解析】原式=√27×23=3√2．4. 【答案】(1) 原式=(4√3−2√3)÷2√3 =2√3÷2√3= 1.(2) 原式=5−3−(12−4√6+2) =2−14+4√6=−12+4√6.5. 【答案】B【解析】由题意得，1−x≥0，解得x≤1．6. 【答案】C【解析】A．√12=2√3，故本选项不合题意；B．√8=2√2，故本选项不合题意；C．√6是最简二次根式，故本选项符合题意；D．√0.3=√310=√3010，故本选项不合题意．7. 【答案】3；3；−38. 【答案】(1)原式=3√2−4√2=−√2;(2) 原式=(2√5)2−(√2)2=20−2=18.9. 【答案】C【解析】原式=(2×14)×√12×3÷3=12×√12=12×2√3=√3.10. 【答案】 3【解析】 原式=(√7)2−22=7−4=3．11. 【答案】 x <1【解析】根据题意得到：1−x >0， 解得 x <1．12. 【答案】D【解析】 √50=√2×52=5√2．13. 【答案】B14. 【答案】 x ≥−315. 【答案】(1) (√24−√12)−(√18+√6)=2√6−√22−√24−√6=√6−3√24.(2) (2√3+3)(√2+1)=2√6+2√3+3√2+3.16. 【答案】A【解析】 ∵√x 有意义，∴x ≥0．17. 【答案】 3【解析】(√6+√3)(√6−√3) =(√6)2−(√3)2=6−3= 3.18. 【答案】(1) √9a+√25a=3√a+5√a=8√a．(2) (4√2−3√6)+2√2=6√2−3√6．19. 【答案】A【解析】2a+3≥0，a≥−32．20. 【答案】B【解析】S=ab，a=S÷b=2√3÷√10=√305．21. 【答案】−4【解析】(√5+3)(√5−3) =(√5)2−32=5−9=−4.22. 【答案】(1) 原式=4√3−2√3+12√3 =14√3.(2) 原式=2+3√2+5√2+15 =17+8√2.23. 【答案】(5x+2y)(5x−2y)【解析】∵∣m−25∣+√n2−8n+16=0，∴m−25=0，n2−8n+16=0，∴m=25，(n−4)2=0，∴n=4，∴mx2−ny2=25x2−4y2=(5x+2y)(5x−2y)．故答案为：(5x+2y)(5x−2y)．24. 【答案】A【解析】√(−10)2=√100=10．25. 【答案】 4【解析】 (√7+√3)(√7−√3)=(√7)2−(√3)2=7−3=4．26. 【答案】(1)原式=10√48÷√12−6√27÷√12=10√4−6√94=20−9=11.(2)原式=(x +6)(x −1)=(√5+5)(√5−2)=5+5√5−2√5−10=−5+3√5.27. 【答案】C【解析】由题意可知：{x +3≥0,x ≠0,∴x ≥−3 且 x ≠0．28. 【答案】A【解析】 a 的取值范围是 −3≤a ≤0．29. 【答案】A【解析】 ∵√−10m 是正整数，∴ 满足条件的最大负整数 m 为：−10． 故选A ．30. 【答案】 2【解析】由数轴可得 0<a <2，∴a +√a 2−4a +4=a +√(a −2)2=a +∣a −2∣=a +2−a =2．31. 【答案】(1) 原式=2√3−4−√3+2−√3=−2．(2) 原式=x 2−4x −12+16=x 2−4x +4=(x −2)2(3) 原式=(x+1)(x−1)(x−1)2⋅1x+1−1x=1x−1−1x=xx(x−1)−x−1x(x−1)=1x(x−1),当x=2时，原式=12×(2−1)=12．32. 【答案】3【解析】∵x=√3−1，∴x2+2x+1=(x+1)2=(√3−1+1)2=3.33. 【答案】(1) 原式=3√2−4√2=−√2.(2) 原式=(2√5)2−(√2)2=20−2=18.34. 【答案】C【解析】根据二次根式有意义，分式有意义得：3−x≥0，解得：x≤3．35. 【答案】A【解析】（1）√2与√5不是同类二次根式，不能合并，故（1）错误．（2）5√a−3√a=2√a，故（2）正确．（3）√8+√502=2√2+5√22=72√2，故（3）错误．（4）2√3a+√27a=2√3a+3√3a=5√3a，故（4）正确．36. 【答案】−1【解析】原式=(√3)2−22=3−4=−1.故答案为−1．37. 【答案】(1)原式=3√6−2√6=√6. (2)原式=√16+√18=4+3√2.38. 【答案】C【解析】在式子 2x−1 中 x ≠1，1x−2 中 x ≠2，√x −1 中 x 可以为 1 和 2，√x −2 中 x ≠1， 故 x 可以同时取 1 和 2 的是：√x −1．39. 【答案】A【解析】（1）√2+√3≠√5，故错误；（2）√52+3√52=2√5，故正确；（3）3+√2≠3√2，故错误；（4）√82+152=17，故正确；（5）√9a 2+25b 2≠3a +5b ，故错误．综上可得（2）（4）正确．40. 【答案】一【解析】点 M(√a +1+1,−2) 关于 x 轴对称的点为：(√a +1+1,2)，∵√a +1+1>0，∴(√a +1+1,2) 在第一象限，故答案为：一．41. 【答案】 2【解析】 ∵x =√5−12，y =√5+12， ∴x +y =√5−12+√5+12=√5，xy =√5−12×√5+12=1， ∴x 2+y 2−xy =(x +y )2−3xy =(√5)2−3×1=2．42. 【答案】(1) (2√5−√7)(2√5+√7)−(√5−3)2+(−2)0=(2√5)2−(√7)2−(5−6√5+9)+1=20−7−14+6√5+1=6√5.(2)20222−2022×36+182 =(2022−18)2=20002=4000000.(3)x2−4x2−4x+4÷x+2x+1−xx−2 =(x+2)(x−2)(x−2)2⋅x+1x+2−xx−2 =x+1x−2−xx−2=x+1−xx−2=1x−2.当x=2−√2时，原式=2−√2−2=−√22．43. 【答案】x≥144. 【答案】C45. 【答案】x≥1246. 【答案】原式=12(2√2+√3)−34(√2+3√3)=√2+√32−3√24−9√34=√24−7√34.47. 【答案】D48. 【答案】x≥1且x≠249. 【答案】C50. 【答案】D51. 【答案】√352. 【答案】(1)√45−√20 =3√5−2√5 =√5.(2)√27×√50÷√6 =√27×506=√9×25=15.53. 【答案】A54. 【答案】B55. 【答案】−456. 【答案】(1)2√12−6√13+3√48 =4√3−2√3+12√3 =14√3.(2)(√2+3)(√2+5) =2+5√2+3√2+15 =17+8√2.57. 【答案】D58. 【答案】D59. 【答案】3√260. 【答案】(1) 2√5(2) 如图．61. 【答案】(1) 原式=(4√3−2√3)÷2√3 =2√3÷2√3=1.(2) 原式=(√5)2−(√3)2−(12−4√6+2) =5−3−12+4√6−2=−12+4√6.62. 【答案】A63. 【答案】C64. 【答案】D65. 【答案】27 66. 【答案】(1) 原式=3√2×2√5×5√3=30√30.(2) 原式=2√3+2√5+√3−√5 =3√3+√5.67. 【答案】C68. 【答案】B69. 【答案】D70. 【答案】271. 【答案】(1) 原式=(3√5)2−(2√3)2=45−12=33.(2) 原式=5−2√2−3√2+1 =6−5√2.72. 【答案】A73. 【答案】B74. 【答案】C75. 【答案】B76. 【答案】(1) 原式=(3√3+10√3)÷√3 =13√3÷√3=13.(2) 原式=7−5−(3+2−2√6) =2−5+2√6=−3+2√6.77. 【答案】A78. 【答案】−479. 【答案】(1) 原式=4√3−2√3+12√3 =14√3.(2) 原式=2+8√2+15=17+8√2.80. 【答案】B81. 【答案】B82. 【答案】D83. 【答案】a√b84. 【答案】(1) 原式=2×2√3−6×√33+3×4√3=14√3．(2) 原式=(2√3)2−(3√2)2=−6．85. 【答案】A86. 【答案】387. 【答案】(1)√9a+√25a =3√a+5√a =8√a.(2)(4√2−3√6)÷2√2=4√2÷2√2−3√6÷2√2 =2−32√3.88. 【答案】A【解析】要使√2x+5有意义，则2x+5≥0，解得：x≥−52．89. 【答案】C【解析】A、原式=3√3，不符合题意；B、原式=√33，不符合题意；C、原式=3√2，符合题意；D、原式=√32，不符合题意．90. 【答案】(1) 原式=(√6)2−(√3)2=6−3=3.(2) 原式=(√2+2√2−4√2)÷√2 =−√2÷√2=−1.91. 【答案】D92. 【答案】B93. 【答案】(1) 原式=2√6−√22−√24−√6=√6−3√24.(2) 原式=2√6+2√3+3√2+3．94. 【答案】C【解析】∵√x√x−1在实数范围内有意义，∴x≥0，x−1>0，解得：x>1，则x的取值范围是：x>1．95. 【答案】D【解析】 3√n =5n √n 3n =5√n 3．96. 【答案】 2【解析】 原式=(√5)2−(√3)2=5−3=2．97. 【答案】(1) 原式=3√5+3√2−2√2+5√5=8√5+√2. (2)原式=√80÷5+√40÷5=4+2√2.98. 【答案】A99. 【答案】 3100. 【答案】(1) 原式=8√a ．(2) 原式=6√2−3√6．101. 【答案】D102. 【答案】C103. 【答案】 原式=12(2√2+√3)−34(√2+3√3)=√2+√32−3√24−9√34=√24−7√34.104. 【答案】D105. 【答案】B106. 【答案】 6 ； −√3x107. 【答案】(1) 原式=−2√3+2−√3−2 =−3√3.(2) 原式=a2−3ab−4b2+3ab =a2−4b2=(a+2b)(a−2b).(3) 原式=(a−3b)2a(a−2b)÷5b2−(a2−4b2)a−2b−1a =(a−3b)2a(a−2b)×a−2b(3b+a)(3b−a)−1a =3b−aa(3b+a)−3b+aa(3b+a)=−2aa(a+3b)=−2a+3b.108. 【答案】D 109. 【答案】A110. 【答案】19 111. 【答案】(1) xx−1−31−x=3．x+3=3(x−1).x+3=3x−3.x= 3.检验：把x=3代入最简公分母x−1=2≠0.∴x=3是原方程的解．(2) (√3−1)2+√3+1．原式=(3−2√3+1)+(√3−1)=3−√3.112. 【答案】C113. 【答案】A【解析】∵√a3+3a2=√a2(a+3)=−a√a+3，∴a≤0，a+3≥0，∴−3≤a≤0．114. 【答案】A115. 【答案】2116. 【答案】(1) 原式=2√3−4−√3+2−√3=−2.(2) 原式=x2−4x−12+16=x2−4x+4=(x−2)2.(3) 原式=(x+1)(x−1)(x−1)2⋅1x+1−1x=1x−1−1x=x−(x−1)x(x−1)=1x(x−1),当x=2时，原式=12×(2−1)=12.117. 【答案】(5x+2y)(5x−2y) 118. 【答案】A119. 【答案】4120. 【答案】(1)(10√48−6√27)÷√12 =(40√3−18√3)÷2√3 =22√3÷2√3=11.(2)x2+5x−6=(√5−1)2+5(√5−1)−6 =5−2√5+1+5√5−5−6 =3√5−5.121. 【答案】C122. 【答案】x≥−52123. 【答案】原式=4√3×√345√2=3×5√2=3√210.124. 【答案】C125. 【答案】D126. 【答案】√3127. 【答案】(1) √45−√20=3√5−2√5=√5．(2) √27×√50÷√6=3√3×5√2√6=15．128. 【答案】x≥1且x≠2129. 【答案】28【解析】(2√7)2=22×(√7)2=4×7=28．130. 【答案】C 131. 【答案】A 132. 【答案】B 133. 【答案】C 134. 【答案】B 135. 【答案】(1) 原式=(3√3+10√3)÷√3 =13√3÷√3=13.(2) 原式=7−5−(3−2√6+2) =2−5+2√6=−3+2√6.136. 【答案】A138. 【答案】10√2+2√3 139. 【答案】②③140. 【答案】(1) 原式=(√2)2−2×√2×√3+(√3)2+(2√3)2−(√6)2 =2−2√6+3+12−6=11−2√6.(2) 原式=9a2(x−y)−4b2(x−y)=(x−y)(9a2−4b2)=(x−y)(3a+2b)(3a−2b).(3) a−2a2−1÷(a−1−2a−1a+1)=a−2a2−1÷(a−1)(a+1)−(2a−1)a+1=a−2a2−1÷a2−2aa+1=a−2(a+1)(a−1)⋅a+1a(a−2)=1a(a−1)=1a2−a.因为a2−a−6=0，所以a2−a=6，所以原式=16．141. 【答案】D142. 【答案】C143. 【答案】B144. 【答案】(1)(√5+1)(√5−1) =5−1= 4.(2)(√8+√3)×√6−4√12=√48+√18−4√12=4√3+3√2−2√2=4√3+√2.146. 【答案】A147. 【答案】−25 148. 【答案】(1)(√5+√3)(√5−√3) =(√5)2−(√3)2=5−3= 2.(2) 原式=2√6−√22−√24−√6=√6−3√24.。
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13－14学年度人教版数学九年级（上）期末复习（一）
（二次根式部分）
一、选择题 1．9的值等于（）
A ．3
B ．－3
C ．±3
D ．3
2．使13-x 有意义的x 的取值范围是（）
A ．31＞x
B ．31-
＞x C ．31≥x D ．3
1-≥x 3．化简23）（-的结果是（） A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．9
4．下列运算错误的是（） A ．532=+ B ．632=• C ．326=÷ D ．222=-）（
5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）
A ．14
B ．48
C ．b
a D ．44+a 6．下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是（） A ．x -2 B ．x +2 C ．2-x D ．21
-x
7．下面的等式总能成立的是（）
A ． a a =2
B ．22a a a =
C ．ab b a =•
D ．b a ab •=
8．已知最简二次根式
52-a 与3是同类二次根式，则a 的值可以是（） A ． 4 B ．6 C ．7 D ．8 9．28-的结果是（） A ．6 B ．22 C ．2 D ．2
10．已知251
,251
+=-=b a ，则b a -的值为（）
A ． 0
B ．1
C ．2
D ．－2
二、填空题：
11．计算：312+= .
12．23）
（-= . 13．化简：96= ，3625= ，4
12-= ，800-= ， 均为正数）、、（z y x z y x 2312= .
14．要使式子a
a 2+有意义，则a 的取值范围为 . 15．若==-+++a
b b a a 则,0224 .
16．比较大小：53 62.
17．若最简二次根式3532+-m m 与是同类二次根式，则m = .
18．对于任意两个不相等的数a 、b 定义一种运算※如下：
52
32323,=-+=-+=※如※b a b a b a .那么12※4= . 三、解答题
19.计算：5
20.计算：
21.计算：
143a
19．先化简，再求值：5,24
2442=-•-+-x x x x x 其中）（.
20．阅读下面问题：121212)12(1211-=-+-⨯=+）
）（（； 232323)23(1231-=-+-⨯=+）
）（（； ）（）
）（（）（252525251251-=-+-⨯=+. 试求：（1）6
71
+的值； （2）17231+的值；
（3）
为正整数）（n n n ++11
的值.
点评：此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0的
点评：本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意式子为
23）（-的算术平方
故选A．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
点评：本题考查的知识点为：分式有意义的条件为：分母不等于0；二次根式有意义的条件为：被开方数大于或等于0．
7. 考点：二次根式的性质与化简．
点评：此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开
点评：合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数
即可．
解答：解：∵，
，251
251
+=-=b a ∴4)25)(25(2
525=+-+-+=-b a ， ∴24==-b a ．
故选C ．
点评：同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的
后根据二次根式的性质计算；把800化为400×2，然后根据二次根式的性质计算；把12x 3y 2z 化为4x 2y 2•3xz ，然后根据二次根式的性质计算．
点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
16. 考点：实数大小比较；二次根式的性质与化简．
专题：推理填空题．
分析：把根号外的因式平方后移入根号内，求出结果，再根据结果进行比较即可． 解答：解：24626245535322=⨯==
⨯=，， ∵ 2445＞，
∴6253＞，
故答案为：＞．
点评：本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较的应用，注意此题还可以有
以下方法：45532=）（ 24622=）（，再比较．
17. 考点：同类二次根式．
分析：根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解．
解答：解：∵最简二次根式32-m 与35+m 是同类二次根式，
∴m 2－3=5m +3，解得m =6或m =－1，
当m =－1时，232-=-m 无意义，故m =6．
点评：此题比较简单，解答此类题目时要注意二次根式成立的条件．
18. 考点：二次根式的性质与化简．
专题：压轴题；新定义．
分析：根据新定义的运算法则a ※b =b
a b a -+得出． 解答：解：12※4=2
184412412==-+． 点评：主要考查了新定义题型，此类题目是近年来的热点，解题关键是严格按照新定义的运算法则进行计算即可．
19. 原式==
20.原式= =
21.原式== 22. 考点：分式的化简求值．
专题：计算题．
分析：先把分式因式分解，约分化简为最简形式，再把数代入求值． 解答：解：原式=）（）
（）（22222+•--x x x （3分） =2
42-x ；（6分） x =5时，2
12452422=-=-）（x ．（8分） 点评：此题是分式与整式的乘法运算，分子、分母能因式分解的先因式分解；注意应该把x +2看成一个整体．
23. 考点：分母有理化．
专题：阅读型．
分析：观察问题中的三个式子，不难发现规律：用平方差公式完成分母有理化． 解答：解：（1）原式=67676767-=-+-）
）（（ （2）原式=1723172317231723-=-+-）
）（（ （3）原式=
n n n n n n n n -+=-+++-+1111））（（ 点评：要将b a ±中的根号去掉，要用平方差公式
b a b a b a -=-+））（（.。