没学过极限 学生能学会导数吗——新课程导数概念教学的实验研究
(完整word版)高中数学新老教材的比较
高中数学新老教材的比较蒋巷中学数学组优点：1、课本样式的创新高中数学新教材课本给人耳目一新的感觉，新教材的课本上文字间的间距比较大，文字内容相对比较少，而且有很多的漫画和图片，使得原本让学生觉得枯燥无味的数学书显得很有童趣和生机，激发了学生学习的主动性。
2、知识布局的改动老教材的知识难度呈直线式上升，知识体系一步到位，但新教材知识难度呈螺旋式上升，层层深入。
如《一元二次不等式的解法》这一内容的完整章节是放在必修5里的，但事实上在必修1《集合》一章中必定会遇到解一元二次不等式甚至是绝对值不等式的问题，所以在必修1中，只需要简单地介绍一元二次不等式的解法，要求学生只要会解简单的一元二次不等式即可。
在必修5中再具体的分析二次函数图象、一元二次方程的根和一元二次不等式解集的关系。
以“滚雪球”的方式积累学生的知识量，让学生有较大的空间去理解和接受。
3、教学目标教学要求的不同新教材对比老教材虽然有很多相同的知识点，但是在教学目标和教学要求上却有很大的不同。
比如新教材中对复合函数的要求是不高的，但是老教材里基本上是把复合函数讲得比较清楚的。
对《基本不等式》的教学要求是突出基本不等式解决问题的基本方法，也不必推广到三个变量以上的情形。
4、知识点及部分例题的增减新教材删减了老教材中很多的知识点，比如说三角函数里的一些半角公式和积化和差与和差化积公式都是在习题中出现。
同时也增加了函数的奇偶性等一些知识。
另外在例题的选择上也是对老教材的例题做了深刻的研究，保留了很多好的、经典的例题，也补充了一些更合适的。
缺点：1、时间安排不合理高中数学新教材要求在较短时间内（文科一年半；理科二年）便要完成所有教学任务，时间紧迫，没有过多的师生互动，否则内容无法完成。
造成普通学校的学生的解题能力的下降2、量大，难度高高一上学期就要完成必修1，4的学习，课程很紧，难度大，造成学生没有学习信心，对以后的学习很不利，另外考试题不难，但是练习册和参考书却依然以高考要求出题3、因为不按教材编排顺序，造成有些章节的知识的严重脱节。
极限、导数和变化率的引入及内在联系的教学与学生科学素质的培养
极限、导数和变化率的引入及内在联系的教学与学生科学素质的培养【摘要】生产的时间需要是科学发展不竭的动力与源泉，同样也是数学这门学科发展的不竭的源泉与动力，数学的概念间，学科间出现的分化与交叉，发展也是一个自然的过程。
若我们的数学教学遵循了数学发展的本来面目，抓住了其发展的本源，则我们的教育教学必有好的效果，反之相反。
本文着重探讨极限、导数与变化率这三个概念的引入及借用与转移教学在学生个性品质培养中的作用。
【关键词】数学；素质；培养一、变化率、导数、极限等概念的引入教学近年来教育教学改革出现的一种呼声是：让学生走科学家走过的路，让学生走数学家走过的路，教学应当以解决问题为核心。
这应该说是一线希望，是一条出路。
在我们进行导数概念教学之前，学生首先必须知道平均变化率，瞬时变化率等基本概念。
而我们进行这些概念教学之前，应该从各方面提供足够的例子，如工业发展的变化情况分析，农业发展的变化情况分析，物理上运动速度的变化情况，几何上曲线或图形的升降变化情况分析，然后让学生自习琢磨这些例子，自己抽象提炼出本质的东西——何为平均变化率？何为瞬时变化率？何为极限？何为导数？然后提炼上升为数学定义。
积累了大量的感性材料，学生头脑中便牢固树立了这些概念中最本质的东西。
在以后的学习工作中才能以与运用。
同时也提供和掌握一种科学的思考问题处理问题的方法。
经过这样的过程，可以提高他们的数学科学素养，使他们深深体会到数学科学是一个严肃的过程，又是一个实在的过程。
不是“空中楼阁”，数学科学是源于实践而又运用于实践的。
通过大量例子获得概念的教学，可以培养他们优秀的个性品质。
因为通过实例自己提炼出概念中本质的东西，会使他们体会到探索的无穷魅力和成功的喜悦，可以培养他们的探索精神，创造的欲望，以及独立思考的习惯。
如此久而久之，他们会改变对数学的态度，不再认为数学是乏味的，而是有趣的，不再是死的，而是活的不再是令人失望的，而是充满希望的，不再会盲从别人，而是独立思考的。
高中导数概念教学要引入极限吗
背景和具体应用 实例 引导 学生认 识和理解导数概念 。本文 旨在通过对高 中导数概念教 学的分析 ，区分极 限思想与极
限定义 ， 介绍极 限思想的广泛应用 ， 突 出学生培养极 限思维
的重要意义。
关键词 极 限 思 想 极 限定 义 导 数
Ｏｎ Ｗｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｒ ｔ ｈ ｅ Ｌｉ ｍｉ ｔ ｓ ｈ ｏ ｕ ｌ ｄ ｂ ｅ Ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｔ ｏ ｔ ｈｅ Ｔｅ ａ ｃ ｈ －
微 积分 的核 心概念 ，新课标在 导数概念 的处理 上有 了大 的
变化 ， 不把 导数作为 一种特殊 的极 限来处理，而是 通过 实际
化率就是导数 ， 体会导数的思想及其内涵。”
课程标准对导数概念 的教 学处理与教学 大纲 相 比最大 的变化是： 突 出导数概念 的本 质。以往教材对导数概念 的提 出依托 于极 限定 义， 考 虑到学生 对极 限定义 的认 识和 理解
是导数 ， 从 而 理解 导 数 本 质 。 虽 然 课 标 有 了 新 要 求 ， 但 是 不
同版本的教材对 于导数这一概念 的处理却不尽 相同。
１ ． ３不 同版 本 教 材 中 的导 数概 念
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ Ｔｈ ｅ ｈ ｉ ｇ ｈ ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ｕ ｓ Ｃ Ｏ Ｈ Ｉ ￣ Ｃ ｈ ａ ｓ ｍａ ｎ ｙ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｓ ， ｉ ｎ
以往教材对导数概念的提出依托于极限定义考虑到学生对极限定义的认识和理解存在困难课程标准对导数概念的教学要求不讲极限定义而是直接通过实际背景和具体应用实例引导学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程知道瞬时变化率就是导数从而理解导数本质
基础教育
没有极限怎样讲解导数的概念
没有极限怎样讲解导数的概念？
“课标”要求不讲极限，直接通过实例的分析，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，了解导数的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想和内涵。
其意图正是希望能把学生的注意力集中到导数本身，对导数概念本身有一个较好的认识，使学生离开学校后即便不再接触数学，也能给他们留下些东西，提到变化率、增长率能联想到数学与现实生活是有联系的。
而不是象以往那样，更多的是把导数作为一种规则学习，注重的是导数的计算，一旦忘记了求导公式和法则，就留不下什么了。
综上分析，我认为不要对“课标”的变化简单地肯定或否定，还是先尝试着：不讲极限直接分析实例，让学生经历从平均变化率过到瞬时变化率的过程，引出导数概念。
新教材从变化率入手研究导数，用形象直观的“逼近”方法定义导数：从函数的平均变化率到瞬时变化率，再到函数在处的导数，进而到函数在区间内导函数（导数）.
这样的好处体现在：
（1）避免学生认知水平和知识学习间的矛盾；
（2）更多精力放在对导数本质的理解上；
（3）对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解.
因此，就导数概念的学习，拿“本质”这个流行的词来说，“数值逼近”的本质是数列极限，“解析式抽象”的本质是函数极限，“几何直观感受”的本质是图形的“无限逼近”显然也是极限。
因此不但没有跳过极限学导数，相反，正因为没有专门学极限，所以在导数概念教学中需要让学生重点体验“极限的过程和思想”。
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没学极限，学生能学会导数 吗？
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市直属 市直属
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市直属 广东华侨中学
南沙区 海珠区
广州市南沙中 学
广州市九十七 中学
海珠区 广州市第5中学
花都区
高中数学学习中的极限与导数概念解析
高中数学学习中的极限与导数概念解析在高中数学中，极限和导数都是重要的概念，它们是微积分的基础，也是后续学习数学的关键。
本文将分别对极限和导数进行解析，帮助同学们更好地理解和掌握这两个概念。
首先，我们来探讨一下极限的概念。
极限是一种数学概念，用来描述一个函数或数列在某一点附近的变化情况。
具体来说，当自变量逐渐靠近某个确定的数值时，函数值或数列的值也趋近于某个确定的数。
在数学符号中，我们用lim来表示极限。
例如，lim (n→∞) (1/n) = 0，表示当n无限趋近于正无穷时，1/n的极限是0。
极限在高中数学中的应用非常广泛。
它被用来证明和推导各种数学定理，例如求导和积分等。
同时，在几何学中，极限也被用来描述函数的图像在某一点的切线斜率。
因此，理解和掌握极限的概念对进一步学习数学非常重要。
接下来，我们来讨论导数的概念。
在数学中，导数被定义为函数在某一点的变化速率。
它描述了函数在某一点的附近的变化趋势。
导数常用f'(x)或df(x)/dx来表示，表示函数f(x)对自变量x的变化率。
导数可以帮助我们找出函数的极值点、确定切线斜率以及解决最优化问题等。
导数的计算通常使用导数公式和导数法则。
常见的函数求导公式包括常数函数求导公式、幂函数求导公式、指数函数求导公式、对数函数求导公式和三角函数求导公式等。
通过运用这些公式和法则，我们可以求得各种复杂函数的导数。
了解导数的概念对于数学的深入学习和应用具有重要意义。
在物理学中，导数被广泛应用于描述速度、加速度等物理量的变化。
在经济学和金融学领域，导数被用来描述成本、收益、市场需求曲线等的变化关系。
在生物学和医学领域，导数被应用于描述生长速率、变化趋势和药物浓度的变化等。
在学习极限和导数的过程中，我们还需要注意一些重要的性质和定理。
例如，极限有唯一性和保序性的性质，导数具有线性性、乘积法则、链式法则等等。
了解这些性质和定理可以帮助我们更好地理解和运用极限与导数。
导数概念教学的几点思考
导数概念教学的几点思考作者：徐加蒙来源：《中学课程辅导高考版·教师版》2012年第22期摘要：导数概念教学的关键是概念的形成过程，概念教学应给学生提供充分的概括本质特征的机会，否则“数学育人”终将落空。
关键词：概念教学；极限；逼近；思考中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2012）22-080-1导数的概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用，它为研究变量与函数提供了重要的方法和手段。
因此，学好导数对学生来讲是大有裨益的，下面结合自己的教学谈一些体会。
一、课标解读《普通高中数学课程标准（实验）》对导数概念的要求是这样的：通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
这一段文字已将高中学生如何学习导数概念说得很全面了，既说明了“学什么”，还阐述了“怎么学”。
但仔细想想却有这样的疑问：导数的思想及其内涵是什么？既然瞬时变化率就是导数，那么瞬时变化率的思想及其内涵就是导数的思想及其内涵，而瞬时变化率是平均变化率的极限，那么，函数的变化率和极限的思想及其内涵就是导数的思想及其内涵，而由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程就是一个无限逼近的极限过程。
因此，在导数概念的教学过程中让学生亲身经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，仔细体会导数的思想及其内涵是必须的也是必要的。
二、几点思考1.没学过极限，学生怎样学习导数？学生是能学好导数的，但前提是学生要充分体会极限的思想及其内涵。
实践证明：因为学生此前没有接触过科学的极限概念，所以遇到极限自然会产生疑问，为了帮助学生理解，教师要举例子、描述、解释……表现形式上要自然流畅，淡化形式，重在极限思想的认识。
在这一点上《苏教版选修1-1》的处理是比较成功。
由此可见，教材不但没有跳过极限学习导数，相反，正因为没有专门学习极限，所以导数概念的教学需要重点让学生体验“无限逼近的过程和思想”。
没学过极限 学生能学会导数吗——新课程导数概念教学的实验研究
平均速度与瞬时速度不是一回事， Ａ老师总结： 瞬时速度存在， 但不可测， 只能用可测的平均速度 来近似描述， 如果取的时间间隔越短， 就越精确， 正 如刚才生 ５ 所说， 时间无限地趋于。 时， 平均速度的 根限， 就是瞬时速度．
也共净鲤“０ 。 ’
ｆ （ ａ ＋１ ） ”ｆ （ａ ） ＋８ ０ ０ ， ８ ０ ０ 是多开采 １ 吨的费用，
测试．
２ ． ４ 两个关键的教学片段
我们观察了 课堂教学的 全过程， 选取其中 两个
关键的数学片段， 进行逐字记录， 感觉其能凸现学 生的学习情况、 师生交流与反馈的情况以及教师对
课程的认识和理解．
万方数据
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第９ 期
数 学通报
２ ． ４ ． １ 平均速度和瞬时速度（ 高一） 新课程的例１ 创设了 适合每位同学学习的情景 — 百米跑． Ａ老师： 小王的 １ ０ 米成绩是 １ ２ 秒， 很不错． 在 他撞线时肯定有速度， 一般说来还应该比平均速度 大， 我们能否知道他撞线的速度？ Ａ老师刚说完， 生１ 提出问 题： 不知 道加速度． 有同学反问： 是匀加速吗？ 生２ 认为： 假如是匀加速， 可求． 同 学们议论纷纷． Ａ老师明确百米的一般跑法： 百米赛刚起跑加
精确．
生２ ： 应该是开采第 ２ ０ １ 吨时， ０ 花费 ８ ０ 元．
Ｂ 老 师追问 生２ ： 厂（ ２ ０ ０ ）是 ０ 什么意 思？
生 ２ 犹豫： 再开采 １ 吨时花费 ８ ０ 元， 我不明白 是什么意思？ 因为其他同学也表示不太明白 ． 所以Ｂ老师选 用位移函数解释： ： ＝ｆ ｔ （ ） ＝产 ， ： 的单位是米， ｔ 的
２ ． １ 实验对象 我们选取了聊城市某中学高一年级一个普通 班（ ３ 名同学） ６ 作为实验班， 其数学老师Ａ ： 本科， 中 学一级教师， ８ 年教龄． 高二年级的一个普通班（ ５９ 名同 学） 作为对照班， 数学任课老师 Ｂ ： 本科， 中学 高级教师， ６ 年教龄． １ ２ ． ２ 材料
高中导数概念教学要引入极限吗
高中导数概念教学要引入极限吗
孙旋
【期刊名称】《科教文汇》
【年(卷),期】2015(000)019
【摘要】高中开设微积分课程具有多方面价值，其中导数是微积分的核心概念，新课标在导数概念的处理上有了大的变化，不把导数作为一种特殊的极限来处理，而是通过实际背景和具体应用实例引导学生认识和理解导数概念。
本文旨在通过对高中导数概念教学的分析，区分极限思想与极限定义，介绍极限思想的广泛应用，突出学生培养极限思维的重要意义。
【总页数】3页(P104-106)
【作者】孙旋
【作者单位】南京师范大学教师教育学院江苏·南京 210000
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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如何让高中生理解“导数”概念
数学探究SHUXUETANJIU教师• TEACHER2020年2月Feb.2020如何让高中生理解“导数”概念吴丽娜(福建省福州市长乐区长乐第一中学，福建福州350200)摘要：在高中数学教学体系中，“导数”是一个重要的知识项目。
在高考数学中，“导数”占据较大的比重，学生对“导数”的掌握程度对其自身的数学高考成绩有一定的影响。
在“导数”这节内容教学中，概念教学是 最基础的环节。
然而，“导数”概念非常抽象，加上学生在这方面花费的精力较少，所以很多学生对“导数”的概念了解不透彻，认知水平低，导致后续的数学学习非常低效。
为了改变这一局面，数学教师要重视并加强“导数”概念教学，确保每个学生都能透彻理解和熟练掌握，为学生的后续学习打好基础。
关键词：高中数学导数；概念教学中图分类号：G633.6文献标识码：A收稿日期：2019-07-23文章编号：1674-120X (2020) 04-0050-02高中学生有乐于探索的精神，而且思维异常活跃，然而，对学生来说，"导数”概念比较抽象，学生对其定义往往理 解不清，这为学生接下来的学习造成一定阻碍。
新形势下，数学教师首先要结合新课标要求针对’‘导数”这一概念进行 深入研究，明确教学方向，结合学情采取合适的教学措施，使学生直观形象地理解并掌握"导数”的概念及其意义，以此提升"导数”教学实效性，促进学生健康长足发展。
一、高中数学“导数”概念教学的重要性作为微积分的重要构成，‘‘导数"是对现代科学技术进 行研究的一种重要手段，在相关领域占据着举足轻重的位置。
"导数”和函数关系密切。
在高中数学教学中强化"导数’’教学，有利于学生更好地理解函数性质，对学生分析和解决 数学问题的能力以及逻辑思维的培养具有重要意义。
新课程 改革对高中数学教材作出适当的调整，无论是教学任务还是 教学要求，都和传统教学存在一定的区别。
高中数学新老教材的比较
高中数学新老教材的比较蒋巷中学数学组优点：1、课本样式的创新高中数学新教材课本给人耳目一新的感觉，新教材的课本上文字间的间距比较大，文字内容相对比较少，而且有很多的漫画和图片，使得原本让学生觉得枯燥无味的数学书显得很有童趣和生机，激发了学生学习的主动性。
2、知识布局的改动老教材的知识难度呈直线式上升，知识体系一步到位，但新教材知识难度呈螺旋式上升，层层深入。
如《一元二次不等式的解法》这一内容的完整章节是放在必修5里的，但事实上在必修1《集合》一章中必定会遇到解一元二次不等式甚至是绝对值不等式的问题，所以在必修1中，只需要简单地介绍一元二次不等式的解法，要求学生只要会解简单的一元二次不等式即可。
在必修5中再具体的分析二次函数图象、一元二次方程的根和一元二次不等式解集的关系。
以“滚雪球”的方式积累学生的知识量，让学生有较大的空间去理解和接受。
3、教学目标教学要求的不同新教材对比老教材虽然有很多相同的知识点，但是在教学目标和教学要求上却有很大的不同。
比如新教材中对复合函数的要求是不高的，但是老教材里基本上是把复合函数讲得比较清楚的。
对《基本不等式》的教学要求是突出基本不等式解决问题的基本方法，也不必推广到三个变量以上的情形。
4、知识点及部分例题的增减新教材删减了老教材中很多的知识点，比如说三角函数里的一些半角公式和积化和差与和差化积公式都是在习题中出现。
同时也增加了函数的奇偶性等一些知识。
另外在例题的选择上也是对老教材的例题做了深刻的研究，保留了很多好的、经典的例题，也补充了一些更合适的。
缺点：1、时间安排不合理高中数学新教材要求在较短时间内（文科一年半；理科二年）便要完成所有教学任务，时间紧迫，没有过多的师生互动，否则内容无法完成。
造成普通学校的学生的解题能力的下降2、量大，难度高高一上学期就要完成必修1，4的学习，课程很紧，难度大，造成学生没有学习信心，对以后的学习很不利，另外考试题不难，但是练习册和参考书却依然以高考要求出题3、因为不按教材编排顺序，造成有些章节的知识的严重脱节。
没有极限概念,如何理解导数的几何意义(中学数学研究
没有极限概念，如何理解导数的几何意义安徽省阜阳市第三中学董海涛 236006导数是微积分的核心内容之一，由于它是研究现代科学技术必不可少的工具，也是研究函数性质的有效方法，同时它也是高等数学的内容，所以在历次教材改革中，变动既频繁又较大，既体现了编者对它割舍不下的情怀又充满了不知如何安排的迷茫。
本文就北师大版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》（以下简称“新课程教材”）中对这部分内容的安排，提出教学中的困惑，并结合实践，提出对策，供大家参考。
1新课程教材安排与原人教版《全日制普通高级中学教科书数学选修II》（以下简称旧课程教材）相比，新课程教材在教学内容、教学要求上都有很大变化，其中与本文讨论有关的是导数概念的引入，不讲极限概念，而是注重通过实际背景创设丰富的情境，不惜篇幅引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从本质上认识和理解导数概念，在给出导数定义后，又给出了三个具体例子，加深对导数的实际意义的认识，这些都是旧课程教材所没有呈现的。
教材的具体安排是：§1 《变化的快慢与变化率》，用了两个实例分析和两个例题，帮助学生实现“平均变化率”到“瞬时变化率”的质的飞跃，为导数概念的引入做好了扎实的铺垫。
§2《导数的概念及其几何意义》，由于有了上一节大量生动的背景实例，至此，抽象出导数定义已是水到渠成。
实际教学中，学生对“……在数学中，称瞬时变化率即为函数y=f(x)在x 0点的导数”是欣然接受的，相对于旧课程教材，导数定义的给出无疑是成功的，但我们的困惑是：2没有极限的概念，如何理解导数的几何意义新课程教材在§2中，专门安排了§2.2《导数的几何意义》，教材在描述性地给出了“曲线的切线”定义后，紧接着就是“该切线的斜率就是函数y=f(x)在x 0处的导数0'()f x ”。
学生的困惑是：0'()f x 不是函数y=f(x)在点x 0处的瞬时变化率吗？它反映的不是割线AB 在点x 0处的变化快慢吗？它怎么又是y=f(x)在点x 0处的切线斜率了呢？我们困惑的是：（1）本想弱化形式化的定义，降低学生理解导数的难度，但教材在导数定义后，又“通常用符号0'()f x 表示，记作10000010()()()()'()lim lim x x f x f x f x x f x f x x x x→∞→-+-==-”，这里还是出现了形式化的定义了。
以导数教学为例论高中数学与大学数学的衔接
㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２３以导数教学为例论高中数学与大学数学的衔接以导数教学为例论高中数学与大学数学的衔接Һ黄臣华㊀李㊀琪∗㊀（东华理工大学抚州师范学院，江西㊀抚州㊀３４４０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ高中数学和大学教学的衔接问题是教育研究中十分重要的一环，通过对导数这部分内容的教学对比，我们可以了解大学数学和高中数学的区别，并针对这些区别得到一些关于高中数学与大学数学教育衔接的建议．ʌ关键词ɔ导数；微积分；中学数学；大学数学；教学衔接ʌ课题项目ɔ抚州市社科规划项目：以创新 国培 送教下乡培训模式推进抚州市县域义务教育均衡发展的研究（项目编号：１８ＳＫ０２７）高中数学和大学数学教学的衔接问题是教育研究中十分重要的一环，现今的中学教育注重学生的成绩，高等教育则注重与各自专业的对接与应用，这导致中学数学与高等数学在所学知识的侧重点上存在较大的区别．再加上中学与大学教育方式的巨大转变，使得许多学生难以适应．本文以导数教学为例论高中数学与大学数学的衔接．一㊁高中数学导数与大学数学导数内容的分布表１㊀高中与大学导数内容对比高中导数内容大学导数内容分布在人教版教材中，导数的相关内容在中学主要出现在选修１－１与选修２－２内，其中选修１－１的内容相对较少，为选修２－２中导数的删减版．选修２－２中的第一章的内容包括：１．１变化率与导数１．２导数的计算１．３导数在研究函数中的应用１．４生活中的优化问题举例１．５定积分的概念１．６微积分基本定理１．７定积分的简单应用大学数学教学没有诸如‘课程标准“一般的参考，具体学习内容与教材会随着各专业的需求而调整，这里以‘数学分析“教材为主，节选了其中部分章节．第二章：数列极限第三章：函数极限第四章：函数的连续性第五章：导数和微分１．导数的概念２．求导法则３．参变量函数的导数二㊁高中数学与大学数学导数的对比（一）高中数学虽然极限思想在中学数学的多个知识点中都有所渗透，但人教版高中教材中并没有极限的专门章节，高中课本也没有利用极限的概念去解释导数（把导数视为增量比的极限），而是通过建立数学模型，利用速度㊁增长率等例子来帮助学生理解导数，引导学生的思维从平均变化率过渡到瞬时变化率，再由瞬时变化率引申出导数的概念．教材中，首先运用两个生活中的例子引出了变化率与增量的概念：在吹气球的过程中，随着气球体积的增加，气球半径增加的变化率问题；在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度与时间的关系问题．用ｙ＝ｆ（ｘ）表示函数，那么ｆ（ｘ２）－ｆ（ｘ１）ｘ２－ｘ１称为ｙ＝ｆ（ｘ）从ｘ１到ｘ２的平均变化率，ｘ２－ｘ１记作Δｘ，称之为增量．在引出平均速度后，教材又进一步介绍了瞬时速度的意义．我们把某一时刻的速度称为瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？当Δｘ趋近于零时，平均速度就趋近于瞬时速度．教材中运用这样的逻辑推导方法，把上半节平均变化率与下半节瞬时变化率联系起来，并由此引出导数的定义：函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处的瞬时变化率是ｌｉｍΔｘң０ΔｙΔｘ＝ｌｉｍΔｘң０ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）Δｘ，我们称它为函数ｙ＝ｆ（ｘ）在ｘ＝ｘ０处的导数．值得一提的是，虽然定义中出现了极限的符号，但是让学生理解导数的 媒介 依旧是实际情景中的瞬时变化率．（二）大学数学在大学数学的教学中，学生在学习导数的定义前就对数列极限以及函数的极限进行了系统的学习与认知．而且以大学教学的理念来说，注重知识点本身的概念同化才是主流的概念获得方式，花费大量时间构建详细的实际应用模型来作为理解的媒介是颇为少见的．因此，大学数学中的导数是建立在极限的基础上的，导数成了一类特殊的极限．大学数学是一步步地从数列㊁函数的极限，讲到函数的连续性，再过渡到导数，导数的应用．这样在学生脑海里建立的导数知识体系就会更加立体㊁完备．我们能精细到研究函数上的一点是否可导，也能够证明导数公式的正确性．对于知识我们并不只研究它的结果，还要研究它的由来．在‘数学分析“这本教材中，用瞬时速率与切线的斜率简单地引入了导数的普通概念与几何概念，并都以极限的形式对二者进行了描述，然后给出了导数的定义：设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ０的某邻域内有定义，若极限ｌｉｍｘңｘ０＝ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）ｘ－ｘ０存在，则称函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处可导，并称该极限为函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处的导数，记作ｆᶄｘ０()．与中学数学导数的定义相比，‘数学分析“中关于导数的定义完全建立在极限的基础上．这也符合大学数学知识描述的特点：严谨又完整，用具有强烈逻辑性的数学语言去进行推理探究．从数学人才培养的角度来说，探究的过程可能比探究的结果更为重要．. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２０ ２３三㊁大学数学和中学数学教学内容的差别（一）教学内容不同新课标指导下的高中数学的教学内容与大学数学的教学内容存在着很大的差异．从知识安排上来说，高中阶段所安排的主要内容都是较为简单的几何㊁数量关系．诸如基本初等函数㊁立体几何初步㊁平面解析几何初步等，都是一些较为浅薄㊁基础的数学知识．相比之下，大学数学的知识更加抽象，研究得更加深入，如数理统计㊁曲面积分等．大学数学中安排的学习内容会根据专业的不同而发生改变，变得与各个专业的社会实践更加贴合．而且从上文的比较可以看出，即使中学数学与大学数学的学习内容有所重合，同一个知识点代表的含义以及涉及的深度也是截然不同的．（二）教学目标不同高中阶段的数学教学目标是让学生能够运用知识去解决各类数学模型中的问题，同时也有着高考这一终极目标，因此高中阶段非常注重学生的成绩．近些年来，随着素质教育的兴起以及新课改的实行，高中数学的教学目标有着一定程度的改变，但并未动摇本质．而大学作为学生从校园过渡到社会的桥梁，教学会更加注重学生的学习与现实的联系，注重数学的应用性，终极目标是把数学付诸实践，发挥其在各自学生专业的作用．（三）教学模式不同高中阶段的数学教学讲究情景的创建，对于一个概念或者命题的学习，往往需要教师为学生创建一个情景，再从情景中提取出数学问题，通过进一步探究引出教师需要教授的概念或命题．这样的讲述方法有利于学生对知识点的理解与应用，但同时也非常消耗教学时间．因此，对于知识点更加密集的大学数学来说，选择为大部分的知识点创造情景以帮助学生理解是非常不切实际的．大学数学教学更多的还是以概念同化为基本过渡方法，主要运用讲述法进行．这样一来，面对本来就深奥的大学数学，学生就更加手足无措了．（四）学习模式不同现阶段的高中，课程安排十分紧凑，不少学校算上早晚自习一天能有１３堂左右的课程．在这样的安排下，学生的自主时间极少，大部分的学习都要在课堂上完成．学生学习的步骤紧跟教师的安排，获得知识的方式较为单一，获取知识十分依赖教师的引导．相比之下，大学的数学课堂则有着学习进度快㊁知识点密集等特点，因此想要把课堂学习作为知识获取的唯一方式是不合实际的，课外自习成了学生获取知识的重要一环，大学较为松散的课程安排也正好支持这种学习模式．因此，大学数学的学习非常依赖学生的自主性．四㊁高中数学和大学数学衔接的策略（一）适当注重教学内容的应用性新课标主张 我们的教学课程要与实际生活接轨，让来源于生活的知识再回归生活当中去 ．大学是一个帮助学生步入社会的场所，与高中学习的 雨露均沾 打基础不同，大学的一切都是为学生今后的社会工作和实际生活创造基础条件．而为了应对教学内容与教学目标的差异给学习带来的 水土不服 ，在高中的数学教学中教师适当注重教学内容的应用性是非常有必要的．就高中阶段的教学来说，教师必须认识到数学与各行各业的紧密结合，应及早在自己的教学中渗透应用性数学的观点，加强应用型内容的教学．教师要让学生懂得数学是一门极具应用性的学科，是与社会生活息息相关的．高中阶段的数学教学要为学生升学后的学习乃至步入社会做好铺垫．（二）提升现代教学意识渗透各类学习能力的缺失是造成学生对大学数学学习不适应的重要原因．自主学习能力的缺失造成了学生对大学知识获得方式的不适应；逻辑思维能力的缺失使得学生面对高等数学严谨的推理过程而无所适从．而要解决这一问题，在高中教学里提升现代教学意识渗透就成了教师必须努力做的了．在实际的教学过程中，教师不仅要教会学生相关的知识以及解题方法，还要带领学生体会知识的形成以及问题的探究过程，在这个过程中培养学生发现问题㊁分析问题㊁解决问题的能力．教师通过把学习探究的自主权交给学生，来促进学生逻辑思维能力的发展，培养学生学习以及思考的自主性㊁独立性．以等差数列求和公式的教学来举例，教学目标不能局限于让学生掌握用公式去给数列求和的方法，还要带领学生经历整个等差数列求和公式的探索以及证明的过程，让学生体会到在探究过程中所体现的数学思想㊁探究思路（从特殊到一般）等．这样的课程更符合当今素质教育的思维，更能培养学生的综合能力，为高中数学与大学数学的衔接做好铺垫．五㊁小㊀结中学数学与大学数学都是人才培养过程中重要的一环，它们理应是相互承接㊁不可分割的．但是实际环境造成了它们在教学内容㊁教学目标㊁教学模式以及学习模式等方面的区别．这些区别就是高中数学与大学数学的衔接问题的主要原因．很多学生在进入大学时因缺乏对这方面的了解，面对突如其来的变化，难以适应，陷入恶性循环，渐渐地失去学习数学的兴趣与热情．如何让学生快速地适应升学过程中的这种学习变化已经是一个迫切需要我们去解决的重要课题了．为此，教师要在高中数学教学中适当注重教学内容的应用性，让学生认识到数学与各行各业应用的紧密联系，提早帮助学生适应大学这一学校与社会的过渡场所．同时教师还要在教学中提升现代教学意识渗透，通过更改学习模式与教学设计等方法培养学生各类学习能力，使学生提早适应大学数学更难㊁更深的学习过程．这样教师才能帮助学生做好中学到大学的衔接，为学生未来的学习做好铺垫．ʌ参考文献ɔ［１］高漭．新课标下高中数学与大学数学的衔接探讨［Ｊ］．当代教研论丛，２０１６（８）：４７．［２］周晨．初等数学与高等数学衔接问题的研究 以微积分为例［Ｄ］．南京：南京师范大学，２０１８．［３］倪诗婷．大学数学与高中数学衔接问题的研究［Ｊ］．新课程（下旬），２０１４（２）：４２－４３．. All Rights Reserved.。
探索导数教学的有效方法与策略
本文旨在探讨导数教学的有效方法和策略，以帮助教师和学生更好地理解和应用导数。
导数是微积分的一项重要内容，是研究变化率和斜率的基础。
然而，由于其抽象性，导数教学一直以来都是数学教学的难点之一，很多学生难以掌握其理论和应用。
因此，探索导数教学的有效方法和策略对于提高学生的数学素养和整体数学水平具有重要意义。
一、导数定义基本概念的引入导数教学的第一步是引入导数的定义和基本概念。
在介绍导数的定义之前，可以通过一些直观的例子来让学生了解导数的概念。
例如，在直线图像中，我们可以通过两个点的坐标来计算其斜率，而导数就是斜率的一种一般化。
在曲线图像中，导数表示曲线在某个点的斜率，其直观意义是切线的斜率。
通过这些例子，学生可以更好地理解导数的概念和直观意义。
接下来，可以引入导数的数学定义。
导数是函数在某一点处的变化率，即函数的微分系数。
导数定义有两种形式，即利用极限的定义和公式的定义。
通过简单的数学语言和符号，可以引导学生理解导数的两种定义形式和相互转化的关系。
二、导数计算的技巧和方法引入导数的定义之后，需要让学生掌握各种导数计算的技巧和方法。
这包括基本常数、幂函数、指数函数、三角函数和求导法则等。
基本常数和幂函数的导数计算比较简单，学生可以通过反复练习掌握。
指数函数、三角函数等复杂函数的导数计算需要依据函数的类别和求导法则进行推导。
因此，在导数计算中，讲解基本常数、幂函数等简单的例子之外，还需要结合实际问题来引导学生理解和应用求导法则。
三、导数应用的实例和案例分析除了导数的概念和计算技巧之外，学生更需要了解导数的应用，以便将其应用到实际问题中。
导数在生产和科学研究中有广泛应用，例如在工程和科学中，可以通过导数来描述物理量随时间的变化率，帮助解决实际问题。
在经济和商业中，导数可以描述市场需求曲线和生产成本曲线的变化，以帮助企业做出合理决策。
为了帮助学生了解导数的应用，可以给学生一些实际的例子和案例分析。
例如，可以让学生通过导数来求解最大值和最小值问题，以提高其运用导数进行数学建模和问题解决能力。
论文一等奖获得人员 (4)
论文一等奖获得人员在校本教研中开展说题活动的研究……………广州市第六中学数学科“说题研究”课题组应用建构主义理论进行高中数学课堂教学的案例研究……………广州市第六中学刘涛数学笔记与个性化教学互补与协调的实践研究…………………广州市第97中学沈秋怡高中生数学阅读能力培养的实验研究……………………………广州大学附属中学张晓高中数学“优效教学”的思考与实践…………………………黄埔区教育局教研室肖凌戆在解析几何教学中渗透数学美初探…………………………………广州市第六中学唐庆华实施变式教学,提高课堂效率…………………………………从化市教育局教研室谭克斌新课程背景下开展高中数学合作学习的实践研究…………………广州市执信中学卢光图式理论在初中数学教学中的应用研究………………………广州市第七十六中学袁慧敏初三“探索性训练”的理论与实践初探………………………广州市第九十七中学林佳娜浅谈高中数学课堂教学之“新”与“旧”——公开课《双曲线及其标准方程（1）》之反思…………………广州市第六中学赖小妹初中生随机性与确定性应用问题解决的认知比较……………番禺区市桥桥城中学张明珠高中数学建模活动的开展方法和案例………………………………广州市汾水中学冯亦葵影响初中生学习数学的因素及对策…………………………………从化市棋杆中学邓兰娇对“手持技术与新课程整合”的一点思考——“利用图形计算器，进行合作探究学习”课堂实录及思考…广州市第四中学刘运科高中数学教学中创设问题情境的实践探索…………………………广东省仲元中学雷伟没学极限，学生能学会导数吗？——高中数学新课程导数概念教学的调查研究和实验研究………广州市育才中学罗文娟高中数学教师专业化发展的阻碍因素及转化分析…………广州市西关外国语学校万红珍广州市第三届（2006年-2009年）中学数学优秀科组名单完全中学（含高级中学）数学科组（25个）：广东实验中学数学科组广州市执信中学数学科组广东广雅中学数学科组广州市第六中学数学科组广州市第二中学数学科组广州大学附属中学数学科组广州市第七中学数学科组广州市育才中学数学科组广州市第四中学数学科组广州市第一中学数学科组广州市第六十五中学数学科组广州市白云中学数学科组广州市第九十七中学数学科组广州市第八十九中学数学科组广州市天河中学数学科组广州市第八十六中学数学科组广东仲元中学数学科组广州市番禺中学数学科组广州市番禺区石碁第三中学数学科组番禺象贤中学数学科组从化市从化中学数学科组增城市增城中学数学科组增城市郑中均中学数学科组花都区秀全中学数学科组花都区邝维熠纪念中学数学科组初级中学数学科组(15个)：广州市育才实验学校数学科组广州市第四十中学数学科组广州市第八十六中分校数学科组市桥星海中学数学科组市桥桥城中学数学科组长兴中学数学科组广州市美华中学数学科组增城市新塘中学数学科组九佛中学数学科组广州市南沙黄阁中学数学科组从化市河东中学数学科组广州市广园中学数学科组江高二中数学科组广州市南武实验学校数学科组新华镇第二初级中学数学科组。
导数的概念》说课稿(附教学设计)
导数的概念》说课稿(附教学设计)导数的概念》说课稿一、教学内容及分析导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度。
导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用。
导数概念是我们今后研究微积分的基础。
同时，导数在物理学、经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具。
教材安排导数内容时，学生是没有研究极限概念的。
教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上研究。
因此，让学生通过研究导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后研究极限提供了认识基础。
另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先研究导数方便学生研究和研究函数。
基于学生已经在高一年级的物理课程中研究了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的。
进行导数概念教学时还应该看到，通过若干个特殊时刻的瞬时速度过渡到任意时刻的瞬时速度；从物体运动的平均速度的极限是瞬时速度过渡到函数的平均变化率的极限是瞬时变化率，我们可以向学生渗透从特殊到一般的研究问题基本思想。
二、教学目标及分析1.使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；2.使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；3.掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；4.通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来研究极限概念积累研究经验；5.通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程。
“极限思想”解决导数问题
“极限思想”解决导数问题
作者：孙文淼
来源：《新课程·下旬》2018年第01期
数学教育家G·波利亚指出：“对于任何一门学科，我们要掌握两方面的东西——知识和技巧。
”对于数学学科而言，知识是书本上的概念、定义等，技巧是书本的内容所反映的数学思想与方法。
随着课程改革进程的不断推进，中学教学任务也逐步由传授学科知识向培养核心素养转变，而数学思想的渗透就显得尤为关键。
高中数学的诸多思想中，极限思想是非常重要的一种，它能让我们从有限发展到无限、在相似中掌握准确、从特殊认识一般。
它在中学的数学课本和练习题中都有体现出来。
在中学的数学教学过程中渗透极限思想，可以有效地帮助学生解决多种数学问题，包括函数问题、不等式问题、立体几何问题、平面解析问题、数列问题等等。
而导数在高考时是常考知识点，经常作为压轴题出现。
但这类抽象性的问题学生往往觉得难以理解，不知该如何去应用解决，遇到导数题，常常望而却步，无从下手。
其实，导数作为研究切线及函数单调性的有力工具，许多与直线、与曲线位置有关的交点个数问题，不等式恒成立问题，由零点求参数的问题便可以用导数去求解。
如果我们仍然拘泥于《考试大纲》中的要求，忽视相应能力的提高，便无法适应高考的要求，也无法实现学生素养的提升。
下面笔者主要谈谈极限画图——利用导数定性定形，以形找数，数形结合。
根据无限趋向情况来研究图象，可以避免很多繁琐的数学计算，利用数形结合的思想能够帮助我们较快地获得解题思路，分解解题难度，达到事半功倍的效果。
新课标下高中“导数”教学反思-导数的概念教学反思(共6页)
新课标下高中“导数”教学反思|导数的概念教学反思[模版仅供参考，切勿通篇使用]在我国现在中学数学新教材中，导数处于一种特殊的地位，导数的思想方法和基本理论有着广泛的应用，除对中学数学有重要的指导作用外，也能在中学数学的许多问题上起到居高临下和以简化繁的作用是高中数学知识的一个重要交汇点，是联系多个章节内容以及解决相关问题的有效途径。
新课程增加了导数的内容，随着课改的不断深入，导数知识考查的要求逐渐加强，而且导数已经由前几年只是在解决问题中的辅助地位上升为分析和解决问题时的不可缺少的工具。
一、与时俱进地认识双基，将“导数”的基础及精髓落到实处，提高学生的数学思维能力“新课标”在课程的观念、目标上的一个发展，就是在数学学习和数学教学中更加强调对数学本质的认识与理解。
无论是基础知识、基本技能、数学的推理与论证、数学的应用，都必需牢牢把握这一主线。
在“导数”的教学中，通过对函数性质的再研究，再次提升对函数概念及其本质的认识。
通过对比解题，使学生感到导数法的优越性。
如05山东高考题：已知x=1是函数f=mx3-3x2+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R，m＜0求m与n的关系表达式；求 f的单调区间.由发f′=0得n=6+3m，代入原式得到f=mx3-3x2+x+1，第二问若由传统的方法求单调区间则举步维艰，用导数求极值列表格则轻而易举。
在教学实践中，一定要将求含参数的函数的单调区间，求闭区间上函数的最值等问题反复训练，真正做到熟能生巧。
也可编拟一定量的判断题、辨析题，使学生能恰如其分的举出反例，培养学生思维的批判性及深刻性。
还可以通过讲解利用导数求和：sx=1+2x+3x2+……+nxx-1培养学生思维的灵活性，随时迸射思想的火花，享受思维的乐趣。
同时还要引导学生辩证地看待导数法，有取有舍，对症下药。
例如已知f=2，g=x2-2，判断f〔g〕的单调区间，可运用两个二次函数的图像利用复合函数单调性法则研究即可，不必拘泥于导数法。
导数教学策略的探索
导数教学策略的探索一、引言导数是高中数学中的重要概念之一，也是较为抽象和难以理解的部分之一。
为了帮助学生理解和掌握导数的概念和应用，教师需要采用有效的教学策略。
本文将探索导数教学策略的有效方式，以提高学生成绩和学习兴趣。
二、了解学生的基础知识和兴趣在开始导数教学之前，教师应该了解学生对数学和导数的基础知识和兴趣。
通过进行知识检测和调查问卷等方式，教师可以了解到学生的学习水平和对导数的认知程度。
这有助于教师根据学生的情况制定相应的教学计划和策略。
三、提供直观的实例和图形化展示导数作为一个抽象的概念，对学生来说可能较为难以理解。
因此，在教学中，教师可以通过提供直观的实例和图形化展示来帮助学生理解导数的概念和意义。
例如，通过展示速度与时间的关系图表，教师可以引导学生观察图表的特点并引导他们发现导数的含义。
四、引导学生进行探究学习为了培养学生的独立思考和解决问题的能力，教师可以采用探究学习的方式进行导数教学。
通过给学生一些探究性的问题和例题，引导他们自主思考和发现导数的规律和性质。
这种方式可以激发学生的主动性和学习兴趣，提高他们对导数的理解和运用能力。
五、提供多样化的练习和应用题目为了巩固学生对导数的理解和应用能力，教师应该提供多样化的练习和应用题目。
通过分级练习和应用题目，教师可以帮助学生逐步提升自己的解题能力，并将导数概念与实际问题相结合。
这有助于培养学生的数学思维和运用能力。
六、运用技术手段辅助教学现代技术手段提供了丰富的教学资源和工具，教师可以充分利用技术手段辅助导数教学。
例如，使用数学软件进行图形绘制和数据分析，可以使学生更直观地理解导数的概念和应用。
同时，教师还可以在课堂上使用多媒体教学资源，如演示示例和导数应用的实际场景视频等，以提高学生的学习兴趣和参与度。
七、定期进行评估和反馈为了了解学生的学习进度和困难，教师应定期进行评估和反馈。
通过小测验、作业和课堂表现等方式，教师可以及时发现学生的问题并进行个性化指导和辅导。
教学实践如何教学生解决复杂的导数问题
教学实践如何教学生解决复杂的导数问题导数是微积分中的重要概念之一，对于学习数学的学生来说，解决复杂的导数问题可能会带来困难和挑战。
因此，在教学实践中，教师需要采用合适的方法和策略来帮助学生克服这些难题。
本文将介绍几种有效的教学实践方法，以帮助学生更好地理解和解决复杂的导数问题。
一、概念解释与图像解读在教学导数问题时，首先需要对导数的概念进行解释，并通过图像解读来帮助学生理解。
可以使用具体的例子，如图形曲线的切线问题，以及速度与加速度的关系等。
通过这种方式，学生可以更加直观地理解导数的含义和作用。
二、问题分解与步骤演示复杂的导数问题通常涉及多个步骤和概念，容易令学生失去方向感。
因此，在教学实践中，教师可以采用问题分解的方法，将复杂问题分解成一系列较为简单的步骤，并进行步骤演示。
通过逐步演示问题的解决过程，帮助学生理清思路和步骤，避免迷失于问题的细节中。
三、引导学生思考与自主解决问题学生在解决复杂的导数问题时，经常会出现思维定式和僵化的思维模式。
为了培养学生的创新思维和问题解决能力，教师可以适时引导学生思考，并鼓励他们尝试不同的解题方法。
通过让学生自主解决问题，可以激发他们的学习兴趣和主动性，提高解决复杂问题的能力。
四、引导学生进行实际应用导数作为一种实用的数学工具，在科学、工程等领域中有广泛的应用。
为了增加学生对导数理解的深度，教师可以引导学生将导数与实际问题相结合，进行实际应用。
通过实际问题的解决，学生可以更好地理解导数的作用，且能够将抽象的数学概念与实际问题相结合，提高解决复杂问题的能力。
五、反馈与巩固在教学实践中，及时的反馈对于学生的学习至关重要。
教师可以通过课堂练习、小组讨论、个别辅导等方式，进行学生对导数问题的解答反馈。
通过及时的反馈，学生可以了解自己的掌握程度，巩固已学的知识，发现和改正错误，提高学习效果。
综上所述，教学实践中，教师应该采用多种策略和方法，帮助学生解决复杂的导数问题。
通过概念解释与图像解读、问题分解与步骤演示、引导学生思考与自主解决问题、引导学生进行实际应用以及反馈与巩固等方法，可以提高学生的解题能力和对导数的理解，使学生能够更好地应对复杂的导数问题。
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讨论 （ ） 用平均速度近似表示瞬时速度的方 １ 法是在教师的启发下学生自己想出的， 从而使得用 平均速度近似表示瞬时速度成为学生认可的、 自 然 的方法． 课程采用学生熟悉的平均速度、 瞬时速度 引出平均变化率、 瞬时变化率的思路是可行的， 课 程的叙述中给学生以解决问题时如何探索途径的 启迪， 渗透了 数学思想方法， 是非常好的 切人方式． （ ） 由于百米跑的过程比较复杂， ２ 学生容易把 问题想复杂了， 所以教材选用这个例子有些难， 建 议选择简单又熟悉的 物理学上的 运动情景， （ ） 用平均速度近似表示瞬时速度的方法是学 ３
２ ０ １ 年版《 ０ 数学》 第三册（ 选修２ ） ） ， 为了防止遗忘的 干扰， 高二实验班先用一节课的时间阅读了华东师 大版新课标教材“ 导数及其应用” 一章中的前四节 （ 平均速度和瞬时速度： 求一般变速运动的瞬时速
度； 平均 变 化率； 瞬 时 变 化率— 导数） ． 第二节 课师
生讨论２ ０ 分钟后， 进行问卷调查， 时间为２ ０ 分钟． 高一实验班用三节课的时间教学， 第四节进行
过微积分的知识， 又用一节课的时间进行了复习， 从表 ２ 来看， 高二有 ７ ２． ８％的同学理解正确， 应该 说高一如果是正常的学习的话， 效果肯定会更好
些．
涉及到 微积分的 本质， 就说不清楚， 道不明白， 学生
不理解， 作题只好模仿． 近似计算和误差估计是应 用数学的核心， 也是微积分的支柱， 微积分讨论的 就是局部的近似， 传统课程囿于计算工具的原因涉 及较少． 新课程中突如其来的应用问题， 令教师难 以适应， 教师研习与培训成为当务之急．
测试．
２ ． ４ 两个关键的教学片段
我们观察了 课堂教学的 全过程， 选取其中 两个
关键的数学片段， 进行逐字记录， 感觉其能凸现学 生的学习情况、 师生交流与反馈的情况以及教师对
课程的认识和理解．
万方数据
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第９ 期
数 学通报
２ ． ４ ． １ 平均速度和瞬时速度（ 高一） 新课程的例１ 创设了 适合每位同学学习的情景 — 百米跑． Ａ老师： 小王的 １ ０ 米成绩是 １ ２ 秒， 很不错． 在 他撞线时肯定有速度， 一般说来还应该比平均速度 大， 我们能否知道他撞线的速度？ Ａ老师刚说完， 生１ 提出问 题： 不知 道加速度． 有同学反问： 是匀加速吗？ 生２ 认为： 假如是匀加速， 可求． 同 学们议论纷纷． Ａ老师明确百米的一般跑法： 百米赛刚起跑加
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没学过极限
房元 霞
（ 山东聊城大学数学科学学院
学生能学会导数吗
宋宝和
２ ５ ２ ０ ５ ） ９
一 止 ‘ 新课程“ 导数” 概念教学的实验研究
２ ５ ２ ０ ５ ９ 山东聊城大学教育科学学院
１ 问题的提出
的实施提供可参考的数据和意见．
２ 研究方法
微积分的创立是数学发展中的里程碑， 它的发 展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期， 为 研究变量和函数提供了重要的方法和手段［ ｊ． １ 微积 分引进和使用了与以前的工作根本不同的概念和 方法， 从而改变了整个科学世界的面貌． 微积分蕴 涵着丰富的科学价值、 文化价值、 教育价值和哲学 思想． 遗憾的是， 微积分的教学方法有时流于机械 不能体现出这门学科乃是震撼人心灵的智力奋斗
单位是秒． ｖ （ ｔ ） ＝厂（ ｔ ） ＝Ｚ ｔ ， 厂（ １ ０ ） ＝２ ０ （ 米／ 秒） ，
是说 １ ０ 秒时， 时间再增加 １ 秒位移约增加 ２ ０ 米， 也 就是第 ｎ秒里走了约 ２ ０ 米的路程． 就像英语中套 句型一样， 可以模仿教材中的话叙述． 看到学生议论纷纷． Ｂ老师再解释：
３ 实验结果
３ ． １ 对导数概念的理解
“ 学生调查问卷 Ａ ” 第１ 题的５ 个小题是判断 题， 是用来直接检测高一学生对导数概念理解的． 学生作答的情况： 正确的有 ２ １ 人次， ０ 占总人次的 ３． ６ １％： ８ 错误的有 １ ３ 人次， ０ 占３ ２． ０％， ７ ｎ人次未 答， 占３ ． ９％． ４
分类 序
号
函 数在某点的瞬时变化率 自 变量的改变量无限趋于。 时， 函
内容
人次
百分 比 （ 占６ ３ 人）
百分 比
（ 占７ ７ 人次）
数的改变量与自变量改变ｔ的比
值的根限
１
１
瞬时变 化率、 导数、 边际成本
与
ｌ ０ １ ５ 。 ８ ７ 极限
自 变量的改变量趋于。 时， 函数的
改变量与自 变量改变量的比 值
第３ 题询问导数的实质是什么？ 学生的认识见
需要说明的是“ 学生调查问卷Ａ ’‘ 的第４ 题是有 关导数应用的边际成本的问题， 尽管答对率较高， 达到８ ５％， 但是从我们观课看到的实际情况和与学 生的交谈来看， 学生在教师的引导下， 模仿了教材 中例题的句型， 这个结果不宜采信． 事实上， 犹如教 学片段” 边际成本“ 所描述的一样， 由于教师认识的 不到位， 也影响到了学生的理解， 学生对与导数概 念的应用存在疑问， 对导数的理解还需要进一步深
学生仍有议论． Ｂ老师： 我的意思是再多开采 １
吨约增加的费用‘
万方数据
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课下， 不少同学还在讨论这个问题。 学生的疑 问可以归结为： （ 导数） 瞬时速度描述的是物体某一 时刻的运动速度， 是ｔ ，０ 时的极限， １ 秒时间太长， 不能用瞬时速度作为此后 １ 秒里的速度． 讨论 传统意义上， 教师习惯用导数来研究函 数的单调性、 极值问题一 旦遇到具体的实际问题，
学生调查问卷Ａ 我们编制了“ ” （ 高一） 和“ 学生 调查问卷 Ｂ （高二） ’ ， ， 问卷各由８ 个问题组成， 除了 问卷Ａ的第一题为是非判断题外， 其余题目 全为开 放题， 主要涉及导数概念的理解、 导数概念易（ 难） 学的原因、 影响导数学习的障碍、 新旧课程处理导 数方法的差异等方面． 征求教研人员、 数学教师的 意见并进行了修改．
２ ． ３ 实验的情况 实验于 ２ ０ ０ ４ 年４ 月进行．
高二是在上学期学习的“ 导数与微分， （人教社 ’
教材． ２ ０ ０ ３ 年教育 部颁布的《 普通高中 数学课程标
准（ 实验） ） 把微积分初步规划于选修系列１ 、 ２ ， 与以
往不同的是， 新课程中的微积分知识不是按照传统
同学点头称对一 生５ 忽地站起来： 瞬时速度就是平均速度的 极限， 时间越 来越小趋于。 时， 那个极限就直接是精确值． 同学们好象大彻大悟一般， 喜形于 色， 议论开了 ， Ａ老师： 那平均速度与瞬 ０电 ８
１米， ０ 那么第１ ２秒里的平均速度就是 １ ０米／ 秒， 我 们可以用 １ ０米 ／ 秒来近似地描述他撞线的速度． 如 果在最后的０ ． ５ 秒里， 小王跑了５ ． ５ 米， 那么他在最 后半秒里的速度是 ｎ米 ／ 秒， 我们也可以 用这个速 度近似描述他撞线的速度， 距１ ２ 秒这一时刻， 取一 段较短的时间， 用这段时间里的平均速度近似描述 撞线的速度， 怎样描述才会更精确一些呢？ 老师话音刚落， 生４ 抢着回 答： 时间取得越短越
２ ． １ 实验对象 我们选取了聊城市某中学高一年级一个普通 班（ ３ 名同学） ６ 作为实验班， 其数学老师Ａ ： 本科， 中 学一级教师， ８ 年教龄． 高二年级的一个普通班（ ５９ 名同 学） 作为对照班， 数学任课老师 Ｂ ： 本科， 中学 高级教师， ６ 年教龄． １ ２ ． ２ 材料
精确．
生２ ： 应该是开采第 ２ ０ １ 吨时， ０ 花费 ８ ０ 元．
Ｂ 老 师追问 生２ ： 厂（ ２ ０ ０ ）是 ０ 什么意 思？
生 ２ 犹豫： 再开采 １ 吨时花费 ８ ０ 元， 我不明白 是什么意思？ 因为其他同学也表示不太明白 ． 所以Ｂ老师选 用位移函数解释： ： ＝ｆ ｔ （ ） ＝产 ， ： 的单位是米， ｔ 的
为了不影响正常教与学， 高一是在下午自 习时 间突击学习， 课下没有作业， 学生对导数概念的学 习仅限 于课堂上， 能有６ ３． １％的同学正确作答测 ８
试题， ３ ６ ． ９％ 的同学正确认识到导数的实质， ４ ０． ６ ２写的同学用自 ３ 己的 语言描述的对导数的理解 正确， 取这三者的 平均值得６ ２． ４％ ５ ． 高二曾系统学
化．
表１ ． （ 各表格中的百分号均略去） 表 １ 高一对导数的实质理解的情况
观点 人数
３ ９ ４ ０
占 总 人 数 的 百 分 州
６ ３ ． ４ ９
３ ． ２ 影响导数概念理解的障碍 高一 ６ ３ 位同学中， 有３ 人未答， ２ 人回答无障 碍， ８ 位同学的回 ５ 答按人次的多少排列如表 ３ ． 】表 ３ 高一学习导数概念的障碍统计
将ｈ 换成 １ 就是
平均速度与瞬时速度不是一回事， Ａ老师总结： 瞬时速度存在， 但不可测， 只能用可测的平均速度 来近似描述， 如果取的时间间隔越短， 就越精确， 正 如刚才生 ５ 所说， 时间无限地趋于。 时， 平均速度的 根限， 就是瞬时速度．
也共净鲤“０ 。 ’
ｆ （ ａ ＋１ ） ”ｆ （ａ ） ＋８ ０ ０ ， ８ ０ ０ 是多开采 １ 吨的费用，
我们对新课改充满了信心．
受到启发 后， 随即 有同学举手， Ａ老师没有等
待， 指名生３ 回答二
２ ・ ．２ 边际 ４ 成本（ 高 二）
Ｂ教师提出了两个问题， 之二是边际成本．
生３ ： 用 最后１ 秒里跑的 路程除以 时间， 或者是 Ｂ 老 师： 检查一下例９ 的 解答， 有没有错误？ 找出 最 后一段时间 里的 路程除以 时间 二 ‘ 不到２ 分钟， 学生 看完 了 ． 不少同 学 认可二 生１ ： 单位没 错； 在 开采了２ ０ ０ 吨铜矿 后， 每吨 Ａ 老师 边板 书 边 解 释： 假 设 第１ ２秒里 小王 跑了 开采的 费 用 为８ ０元 好 像不 对 ．