必修一函数单调性及值域求法

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3．y＝
(k≠0且x≠0)的值域是
． {y|y∈R且y≠0}
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函数
三、确定函数的值域的原则 1．当函数y＝f(x)用表格给出时，函数的值域是指表 格中实数y的集合． 2．当函数y＝f(x)的图象给出时，函数的值域是指 图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合． 3．当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的值域由函 数的定义域及其对应法则唯一确定． 4．当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的 实际意义确定．
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为单调函数，则区间端点的函数取值即为函数的最值，且
最值的范围即函数的值域. 例P39，例4
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P40，例5
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4．反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值 域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值 域．形如y＝ (a≠0)的函数的值域，均可使用反函
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函数单调性的证明 (1)f(x)＝ ，x∈(－1，＋∞)；
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(2)f(x)＝－x2＋2x＋1，x∈[1，＋∞)； (3)f(x)＝ ，x∈[－1，＋∞)．
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命 题 意 图： 先 判 断单 调 性 ，再 用 单 调性 的 定义证 明．(1)采用通分进行变形，(2)采用因式分解进行变形，
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以利用导数解之.
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单调区间的求法 1、图像法：
利用图像判断函数单调性是常用的方法， 且该法能直接准确地求出单调区间.P38例1
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∵x2>x1≥1，∴x2－x1>0，x2＋x1>2，x2＋x1－2>0， ∴f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)>0， 即有f(x1)>f(x2)．
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故函数f(x)＝－x2＋2x＋1在[1，＋∞)上为减函数．
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(3)函数f(x)＝
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2．配方法——配方法是求“二次函数类”值域的基本
方法，形如F(x)＝ax2＋bx＋c的函数的值域问题，均可使 用配方法，如y＝x2-2x的值域为 (-1，＋∞) ． 3.单调性法——通过判断函数在给定区间的单调性，若
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2．(教材P1601题改编)函数y＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋ ∞)上是减函数，则 A．k＞ C．k＞－ B．k＜ D．k＜－ ( )
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2．证明单调性的步骤：(1)利用定义证明函数单调性 的一般步骤是： ① 取值 ② 作差 任取x1、x2∈D，且x1< x2 ； 作差f(x1)－f(x2)，并适当变形 与0比较大小 同增异减 ； ． ． 因式分解、通分、分子分母有理化等 ．
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数法.此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数 法”求解，
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2x+3 y 如：y= 的值域为（ ¹ 2） x-4
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5．判别式法——把函数转化成关于x的二次方程F(x，
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5．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单
调性相同，则其复合函数f[g(x)]为 增函数；若f(x)与g(x)的
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单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为 减函数 ．同增异减
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●基础知识 一、单调性定义
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1．单调性定义：给定区间D上的函数f(x)，若对于 任意的x1、x2 ∈D，当x 1 <x 2 时，都有f(x1 )<f(x2 )，则f(x) 为区间D上的增函数．对于 任意的x1、x2 ∈D，当x1<x2
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域的子区间． 2．单调性的定义中x 1 ，x 2 要有任意性，且不能用两 个特殊值的大小判断函数在区间上的单调性．例如：对函 数f(x)＝－ ，由于f(－1)＞f(2)，所以函数是单调递减函 在(－∞，0)上
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(2)函数f(x)＝－x2＋2x＋1在[1，＋∞)上为减函数，证 明如下： 任取x1、x2∈[1，＋∞)，且x2>x1≥1，
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在[－1，＋∞)上为增函数，
证明如下：
任取x1、x2∈[－1，＋∞)且－1≤x1<x2， 则有x1－x2<0，
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三、函数单调性的应用有： (1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量值的
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大小．
(2)求某些函数的值域或最值． (3)解证不等式． (4)作函数图象．
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(3)采用分子有理化的方式进行变形．
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解析：(1)函数f(x)＝ 利用定义证明如下：
在(－1，＋∞)上为减函数．
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任取x1、x2∈(－1，＋∞)，且－1<x1<x2， 则有x1－x2<0，
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数．这是错误的说法．其实函数f(x)＝－
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是单调递增，在(0，＋∞)上是单调递增．
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3．单调区间不能用并集表示．因为两个区间的并 集，并不一定是一个区间． 4．重要性质： (1)注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性与k(k≠0)的相
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总结评述：对于给出具体解析式的函数，判断或证 明其在某区间上的单调性问题，可以结合定义(基本步骤 为取点、作差或作商、变形、判断)求解．可导函数则可
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●基础知识 一、函数的值域的定义
在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y值叫做
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函数值 ，函数值的集合叫做函数的 值域．
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函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0 ∈A 满足 对于任意x∈A，都有 条件 f(x)≤ f x0 ； f(x0)为y=f(x)的最大值 结论 对于任意x∈A，都有 f(x)≥ f x0 ； f(x0)为y=f(x)的最小值
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2、常见函数
（1）一次函数，y=kx+b,
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k>0,y是R上的增函数； k<0,y是R上的减函数.
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(2)二次函数，y=ax2+bx+c,a>0 b 当x< 2a 时，y是减函数； b 当x> 2 a 时，y是增函数.
ymax f x0
ymin f x0
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二、基本初等函数的值域
1．y＝kx＋b(k≠0)的值域为 R.
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2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是
当a>0时，值域为
当a<0时，值域为
；
.
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(3)反比例函数
当k>0时，y在 (- ? , 0)和(0,
)上是减函数 )上是增函数
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当k<0时，y在 (- ? , 0)和(0,
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1．单调性首先要求函数的定义域，单调区间是定义
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时，都有f(x1) > f(x2)，则f(x)为区间D上的减函数．
说明：①单调性与单调区间密不可分，单调区间是 定义域的子区间． ② 单 调 性是 函 数 在某 一 区 间的 “ 整 体” 性 质 ．因 此，定义中的x1、x2具有任意性．
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③ 变形
4 定号 5 下结论
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二、单调性的有关结论
1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 仍为增
(减) 函数． 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 减(增) 函数． 3．若f(x)为增(减)函数，k>0,kf(x)为增（减）函数. 4. 若f(x)为增(减)函数， 为减（增）函数
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4．(华东师大附中)若函数y＝mx 2 ＋x＋5在[－2，＋ ∞)上是增函数，则m的取值范围是________．
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关性． (2)注意函数y＝f(x)与y＝ 的单调性间的关系．
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●回归教材 1．下列函数中，在区间(0,2)上是增函数的是( A．y＝－x＋1 C．y＝x2－4x＋5 B．y＝ D．y＝ )
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3．(教材P602题改编)反比例函数y＝
.若k＞0，则函
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数的递减区间是________．若k＜0，则函数的递增区间是 ________．
y)＝0，通过方程有实根，判别式△≥0，从而求得原函数
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的值域．形如y＝
数的值域常用此法求解．如y＝
(a1，a2不同时为零)的函
的值域
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为 [－2,1] ．
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四、求函数的值域是高中数学的难点，它没有固定
的方法和模式．常用的方法有： 1．直接法（图像法、列表法）——从自变量x的范围 出发，推出y＝f(x)的取值范围，如y＝x-1(x≥3)的值域 为 [2，＋∞) ．例P39，例3