二项式定理赋值法求各项系数的和

二项式定理赋值法求各项系数的和

例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++，求：

（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++. 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为

0127a a a a ++++ ∴0127a a a a ++++1=-，

当0x =时，01a =，∴127112a a a ++

+=--=-， （2）令1x =， 0127a a a a ++++1=- ①

令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②

①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7

132+-.

（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，

∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+，

∴ 7

0246132

a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++=01234567a a a a a a a a -+-+-+-

702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=

例6． 设()()()()231111n x x x x ++++++++=2012n n a a x a x a x ++++，

当012254n a a a a ++++=时，求n 的值

解：令1x =得：

230122222n

n a a a a ++++=++++2(21)25421n -==-， ∴2128,7n n ==，

点评：对于

101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系

例8．在10)32(y x -的展开式中,求:

①二项式系数的和;

②各项系数的和;

③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;

④奇数项系数和与偶数项系数和;

⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.

分析:因为二项式系数特指组合数r

n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关. 解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*),

各项系数和即为1010a a a +++ ,奇数项系数和为0210a a a +++,偶数项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++ ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++ .

由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.

①二项式系数和为1010101100102=+++C C C .

②令1==y x ,各项系数和为1)1()32(1010=-=-.

③奇数项的二项式系数和为910102100102=+++C C C ,

偶数项的二项式系数和为99103101102=+++C C C .

④设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- ,

令1==y x ,得到110210=++++a a a a …(1),

令1=x ,1-=y (或1-=x ,1=y )得101032105=++-+-a a a a a (2)

(1)+(2)得10102051)(2+=+++a a a , ∴奇数项的系数和为2

5110+;

(1)-(2)得1093151)(2-=+++a a a , ∴偶数项的系数和为25

110-.

⑤x 的奇次项系数和为25

1109531-=++++a a a a ;

x 的偶次项系数和为2

511010420+=++++a a a a . 点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一

例7．求证：1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅．

证（法一）倒序相加：设S =12323n n n n n C C C nC ++++ ①

又∵S =1221(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+

++ ② ∵r n r n n C C -=，∴011,,n n n n n n C C C C -==，

由①+②得：()0122n n n n n S n C C C C =++++， ∴11222n n S n n -=⋅⋅=⋅，即1231232n n n n n n C C C nC n -++++=⋅．

（法二）：左边各组合数的通项为

r n rC 11!(1)!!()!(1)!()!

r n n n n r nC r n r r n r --⋅-=⋅==---， ∴ ()1230121112123n n n

n n n n n n n C C C nC n C C C C -----+++

+=++++12n n -=⋅ 1．设()()

()()()591413011314132111x x a x a x a x a -+=+++++++ 求：① 0114a a a +++ ②1313a a a +++．答案：①9319683=； ②()953399632+=

2．多项式12233()(1)(1)(1)(1)n n n n n n f x C x C x C x C x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数为

3．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)n x -等于（ ）

B.pq

C.22p q +

D.22p q -