2020年高三年级开学摸底考试理科数学·B卷试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x │x 2-2x <0},B ={x │|x |≤1}，则A ⋃B =

A.（0,1）

B.(0,1]

C.[-1,2)

D.[-1,1]

2.已知直线m ,n 分别在两个不同的平面α,β内，则“m ⊥n ”是“α⊥β”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件3.已知向量a ,b 不共线，若向量(a +3b )∥(k a -b )，则实数k =A.12 B.-12 C.13 D.-1

34.函数f (x )=x 2-2x +4x -2(x >2)的最小值是

A.3

B.4

C.5

D.6

5.已知α,β∈(0,π),tan α,tan β是方程x 2+4x +2=

则cos (α+

的值是

A.-45

B.45

C.

D.

6.对于函数f (x )=2e x +1的图象，下列说法正确的是A.关于点(1,0)对称 B.关于点

(0,1)对称C.关于直线x =1对称 D.关于直线y =x 对称

7.设F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点，AB 的中点在直线y =1

上，则直线l 的方程为

A.y =-2x +2

B.y =2x -2

C.y =-x +1

D.y =x -1

8.执行如图所示的程序框图

），则输出的N 的值是（第8题图）A.78 B.79 C.80 D.819.某部门共有4名员工，某次活动期间，周六、周日的上午、下午各需要安排一名员工值班，若规定同一天的两个值班岗位不能安排给同一名员工，则该活动值班岗位的不同安排方式共有A.120种 B.132种 C.144种 D.156种10.将函数f (x )=2sin x cos x -23cos 2x +3的图象向左或向右平移a (a >0)个单位长度，得到函数y =g (x )的图象，若g (π6-x )=g (x )对任意实数x 成立，则实数a 的最小值为A.π6 B.524π C.π4 D.π311.设F 1,F 2分别为双曲线E :x 2a 2-y 2b 2=1(a ,b >0)的左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与双曲线E 的右支相交于P ,Q 两点，与E 的渐近线相交于A ,B ,C ,D 四点，若四边形PF 1QF 2的面积与四边形ABCD 的面积相等，则双曲线E 的离心率为A.2 B.3 C.5 D.612.对任意实数a ,

b ,e 2a -2b (e a +a )+a 2+2b 2的最小值是A.12 B.1 C.14 D.34姓名准考证号

试题类型：B

秘密★启用前理科数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

二、填空题：本题共

4小题，每小题5分，共20分。

13.已知复数z =1+i i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数是▲．

14.某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，得到下表：

分数段人数[70,90

）5[90,110）15[110,130）20[130,150]10

将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试成绩的中位数是▲.

15.已知直角三角形ABC 两直角边长之和为3，将△ABC 绕一条直角边旋转一周，所形成旋转体的体积最大值是▲，此时该旋转体外接球的表面积为▲.

16.已知变量m 的取值完全由变量a ,b ,c ,d 的取值确定.某同学进行了四次试验，每次试验

中他预先设定好a ,b ,c ,d 四个变量的取值，然后记录相应的变量m 的值，得到下表：试验编号①②③④a 1

110b 1

112c 1122d 1222m

4

2

11

则m 关于a ,b ,c ,d 的表达式可能是▲.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（

一）必考题：

共60分.17.（12分）已知S n 是正项数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N +，均有4S n =a 2n +2a n

-3.（1）求a n ；

（2）求数列{(-1)n a n }的前n 项和T n .

18.（12分）已知A 1,A 2分别为椭圆C :x 22+y

2

b 2=1的左、右顶点，P 为C 上异于A 1,A 2的点，且直线PA 1

与PA 2的斜率乘积为-1

2.

（1）求椭圆C 的方程；（

2）若B 为椭圆C 的上顶点，F 为C 的右焦点，△PBF 的面积为1，求直线PB 的方程.19.（12分）如图，三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，BC =BB

1，∠B 1BC =60°，B 1C 1⊥AB 1.（1）证明：AB =AC ；（2）若AB ⊥AC ，AB 1=BB 1，在线段B

C 上是否存在一点E ，使二面角A 1—CE —C 1求B

1E

B 1

C 1的值，若不存在，请说明理由.20.（12分）某人某天的工作是，驾车从A 地出发，到B ，C 两地办事，最后返回A 地.A ，B ，C 三地之间各路段的行驶时间及当天降水概率如下表.路段AB BC CA 正常行驶所需时间（小时）223上午降水概率0.30.20.3下午降水概率0.60.70.9若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时.现有如下两个方案：方案甲：上午从A 地出发到B 地办事然后到达C 地，下午在C 地办事后返回A 地；方案乙：上午从A 地出发到C 地办事，下午从C 地出发到达B 地，办事后返回A 地.（1）若此人8点从A 地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A 地的概率；（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回A 地？21.（12分）已知函数f (x )=x +1ln x ，g (x )=e x x -1．（1）当x >1时，不等式f (x )>m 成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln 2≈0.693，ln 3≈1.099）（2）证明：当x >1时，f (x )b >c >0，且a +2b +3c =1，求证：（1）()1a -1()1b -2()1c -3≥48；（2）a 2+8b 2+27c 2<1.B E

A B C A 1

B 1

C 1（第19题图）