行列式性质展开定理第二次

0 ba 0 0
(b + 3a)
(b + 3a)
aaba
0 0 ba 0
aaab
0 0 0 ba
(b + 3a)(b a)3
x a aL a a x aL a
例5. 计算行列式 D a a x L a
L L LL a a aL x
解： 将各行都加到第一行，从第一行提取[x+(n-1)a], 得
推论. 若行列式D中有两行(列)完全相同, 则D = 0.
行列式的性质
性质3 行列式某一行的公因子可以提取出来.
a11 a12 … a1n
a11 a12 … a1n
ka21 …
ka22 … ka2n ………
=k
a21 …
a22 … a2n ………
an1 an2 … ann
an1 an2 … ann
r3 +r1
r1r4 3 1 0 7 0 1 r4 2r1 3 8
D
1 2 4 2
02 3 3
2 1 3 1
0 1 1 11
1 0 1 5
1 0 1 5
1 0 1 5
r3 2r2
0 r4 r2 0
1 0
3 3
8
0 r3 r4
19
0
1 0
3 1
8 r4 +4r3 0 1
22
00
3 1
8 22
0 xa L
L
L
L
a 0 0L
[x + (n 1)a](x a)n1
0 0 0 L xa
a0 b1 b2 c1 a1 0
例6. 计算行列式 D c2 0 a2
cn 0 0
bn 0 0 (其中a1a2 L an 0)
an
a0 b1 b2 bn
c1
Oh!
I love
1
it!
0
0
a1
a11 a12 … a1n a11
a12
… a1n
… … …… … … ……
ai1 ai2 … ain ai1+kaj1 ai2+kaj2 … ain+kajn . … … …… … … ……
aj1 aj2 … ajn aj1
aj2
… ajn
… … …… … … ……
an1 an2 … ann an1
1 11L 1 a x aL a D [x + (n 1)a] a a x L a L L LL a a aL x
1 11L 1
a x aL a
D [x + (n 1)a] a a x L a
L L LL
a a aL x
c2 c1 .
1
. .
a
cn c1
[x + (n 1)a] a
0 0L xa 0 L
0
1L
0
(a1a2
0 0 4 3
0 0 4 3
0 0 0 85
= -85.
例4. 计算行列式
baaa abaa D aaba aaab
b + 3a
解： a r1+r2 +r3 +r4
D a a
b + 3a b a a
b + 3a a b a
b + 3a a a b
1 1 1 1 r2 ar1
11 1 1
a
b
a
a r3 ar1 r4 ar1
行列式的性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D DT.
1 2T 1 3
12
2
34 24
34
性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号.
12
34
2
34
12
行列式的性质
3 2 1 0
例1
15 0 1
6 7
2 3
= ___0__.
3 2 1 0
=
3 2 1 0 1 5 6 2
0 1 7 3 3 2 1 0
解：D (a1a2 an )
c2 a2
0
1
0
cn 0 0 1
an
a0 b1 b2 L bn
c1 1 0 L 0 a1
D (a1a2 L
an )
c2 a2
0
1L
0
L LLLL
cn 0 0 L 1 an
a0
n i 1
bi ci ai
0 0L
0
c1
a1
(a1a2 L an )
c2
a2
1 0L 0
=k ai1 ai2 … ain . … ………
an1 an2 … ann
推论1 如果行列式的某一行(列)的元素为零，则D＝0. 推论2 如果D中有两行(列)成比例，则D=0.
行列式的性质
性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，
则此行列式可以写成两个行列式之和.即
a11 a12 … a1n
a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n
… … … … … … …… … … ……
ai1+bi1 ai2+bi2 … ain+bin ai1 ai2 … ain + bi1 bi2 … bin .
… … … … … … …… … … ……
an1 an2 … ann
an1 an2 … ann an1 an2 … ann
_k_n_
a21 …
a22 … a2n ………
.
kan1 kan2 … kann
an1 an2 … ann
行列式的性质
性质3 行列式某一行或列的公因子可以提取出来.
a11 a12 … a1n … ………
kai1 kai2 … kain … ………
an1 an2 … ann
a11 a12 … a1n … ………
(1) ( j1 j2L jn ) a1 j1 (ka2 j2 )a3 j3 L anjn
k
(1) a a a L a ( j1 j2L jn )
1 j1 2 j2 3 j3
njn
思考：
ka11 ka12 … ka1n
a11 a12 … a1n
ka21 …
ka22 … ka2n ………
=
an2
… ann
行列式的计算
row (行)
要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进co行lum计n（算列。）
为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：
1)交换行列式的第 i 行与第 j 行，用 ri rj表示 ； 2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示； 3)以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.
为了不引起混淆, 每步最好只进行一个 操作. 例如:
a b r1+r2 a+c b+d r2r1 a+c b+d
cd
cd
a b
a b r2r1 a b r1+r2 c d
cd
ca db
ca db
2 1 3 1
例3. 计算行列式
3 D
1
0
7
1 2 4 2
1 0 1 5
解：
1 0 1 5 r2 3r1 1 0 1 5
例2.
a+ u c+x
b +v d+ y
=[ B
].
(A)
a c
b d
u +x
v y
ຫໍສະໝຸດ Baidu
(B)
a c
b d
a +c
vu y +x
b uv d +x y
a b+v
u b+v
c d+y
x d+y
行列式的性质
性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后
加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变.即