无理数与实数(基础)

学习目标

1. 了解无理数和实数的意义；

2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .

要点梳理

要点一、有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.

要点诠释：

（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.

（2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.

要点二、实数

有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R表示.

1.实数的分类

按定义分：

实数

按与0的大小关系分：

实数

2.实数与数轴上的点一一对应.

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能

类型一、实数概念

出下列各数中的有理数和无理数：

【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.

【答案与解析】

有理数有

无理数有……

【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.

常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，.

【变式】下列说法错误的是（）

①无限小数一定是无理数；②无理数一定是无限小数；

③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.

A．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④

【答案】C；

要点三、实数大小的比较

对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.

正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 类型二、实数大小的比较

例2、（2014秋•新华区校级期中）比较和1的大小．

【答案与解析】

解：∵＜＜，

即2＜＜3，

∴1＜﹣1＜2，

∴＜1．

【总结升华】此题主要考查了实数比较大小，得出﹣1的取值范围是解题关键．

【变式】比较大小

【答案】＜；＞；＜；＜；＜；＞；＜. 例3、如图，数轴上点表示的数可能是

A. B. C. D.

【答案】B；

【解析】－3＜＜－2.

要点四、实数的运算

有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

类型三、实数的运算

4、化简：

(1) (2) (3)

【答案与解析】

解：

.

【总结升华】有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.

【变式】（2015•乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+|﹣1|﹣．

【答案】

解：原式=4+﹣1-3=．

5、若，则________．

【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中，b，c的值.

【答案】3；

【解析】

解：由非负数性质可知：，即，∴．【总结升华】初中阶段所学的非负数有||，，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .

【变式】已知，求的值．【答案】

解：由已知得，解得．

∴＝.

巩固练习

一.选择题

1．下列说法错误的是（）

A．实数都可以表示在数轴上

B．数轴上的点不全是有理数

C．坐标系中的点的坐标都是实数对

D．是近似值，无法在数轴上表示准确

1. 【答案】D；

【解析】实数和数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示.

2. （2015春•当涂县期中）下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17的平方根是﹣，其中正确的是（）

A．0个B． 1个C． 2个 D． 3个

【解析】解：①实数与数轴上的点一一对应，故①错误；

②无理数是无限不循环小数，故②错误；

③负数的立方根是负数，故③错误；

④17的平方根是±，故④错误；

故选：A．

3. 估计的大小应在（）

A．7～8之间B．8.0～8.5之间

C．8.5～9.0之间D．9～10之间

3. 【答案】C；

【解析】，因为76比较接近81，所以在8.5～9.0之间.

4. 如图，数轴上点表示的数可能是（）.

A．B．C．D．

【解析】2＜＜3

5. 实数和的大小关系是（）

A．B．

C．D．

5. 【答案】C；

【解析】.

6．一个正方体水晶砖，体积为100，它的棱长大约在（）A．4～5之间B．5～6之间

C．6～7之间 D．7～8之间

6. 【答案】A；

二.填空题

7. 在，，，，这五个实数中，无理数是

_________________．

7．【答案】，；

8. 在数轴上与1距离是的点，表示的实数为______．

8. 【答案】；

【解析】与1的距离是的点在1的左右两边各有一个点，分别是、.