2022年广东省专插本考试《高等数学》真题+答案
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广东省2022年普通学校专升本真题
高等数学
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分。每小题只有一个符合题目要求)
1.若函数f (x )={
x +1,x ≠1
a,x =1
,在 x ≠1处连续,则常数a=( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
2.lim x→0
(1−3x )1x
=( ) A.e
−3
B.e 13
C.1
D.e 3
3.lim x→0
u n =0是级数∑u n ∞n=1收敛的( ) A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件 4.已知1
x 2是函数f(x)的一个原函数,则∫f(x)dx =+∞
1
( )
A.2
B.1
C.-1
D.-2
5.将二次积分I =∫dx 10∫f(x 2+y 2)dy 1
x 化为极坐标系下的二次积分,则I=( )
A.∫dθπ
4
0∫f(p 2)dp secθ0 B.∫dθπ
40∫pf(p 2)dp cscθ0
C.∫
dθπ2π4
∫f(p 2)dp secθ0 D.∫dθπ
2π4
∫pf(p 2)dp cscθ0
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
6.若x →0时,无穷小量2x 与3x 2+mx 等价,则常数m =
7.设{x =5t −t 2
y =log 2t ,则dy dx |t=2
=
8.椭圆x 24+
y 23
=1所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体积为
9.微分方程e −x y′=2的通解是
10.函数Z =x ln y 在点(e ,e )处的全微分dz |(e ,e )= 三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分) 11.求极限lim
x→1
x 3+3x 2−9x+5x 3−3x+2
12.设y =arc tan x 2
,求 d 2y
dx 2|
x=1
13.设函数f (x )={ x 2sin 1
x +2x,x ≠0
0, x =0 ,利用导数定义求f′(0).
14.求不定积分2x √1−x 2
15.已知∫tanxdx =−ln |cos x |+C ,求定积分∫xsec 2π4
0xdx
16.设Z =f(x,y)是由方程Z =2x −y 2e z 所确定的隐函数,计算ðz
ðx −y ðz
ðy 17.计算二重积分∬cosxdσD ,其中D 是由曲线y =sinx(o ≤x ≤π2)和直线 y =0,x =π
2围成的有界闭区域。
18.判断级数∑(n 3n −3
2n )∞n=1的敛散性。
四、综合题(本大题共2小题,第19小题10分,第20小题12分,共22分) 19.设函数f(x)=2xlnx −x −1
x +2 (1)求曲线y =f(x)的拐点;
(2)讨论曲线y =f(x)上是否存在经过坐标原点的切线。 20.设函数f(x)连续
(1)证明:∫f(x −t)dt =∫f(t)dt x 0x
0 ;
(2)若f(x)满足f(x)=3x +1+∫tf(t)dt −x ∫f(x −t)dt x
0x
0,求f(x)
参考答案
一、单项选择题。
1.D 解析:f(1)=a ,lim x→1
f(x)=lim x→1
(x +1)=2,若函数lim x→1
f(x)=f(x 0),则
lim x→1
f(x)=2=f(1)=a ,所以a =2.
2.A 解析: lim x→0
(1−
3x)1x
=lim x→0
[(1+
(−3x))1−3x ]
−3
=[lim x→0
(1+
(−3x))1−3x ]
−3
=e −3
3.B 解析:级数收敛,一般项趋于零;一般项趋于零,级数不一定收敛;一般项趋于零是级数收敛的必要条件,非充分条件。
4.C 解析:∫f(x)dx =1
x 2|
+∞
1=lim x→+∞
1x 2−11=−1+∞
1
5.D 画出积分区域可知 sin θ1=1r ,r =1
sin θ1
=csc θ1
已知θ的积分区域为[π4,π2],y 的积分区域为[0,1
sin θ],即[0,csc θ],故
I =∫dx ∫f(x 2+y 2)dy 1
x
1
=∫dθ∫
f((rcosθ)2+(rsinθ)2)rdr =∫dθ∫
rf(r 2)dr cscθ
π2
π4
cos θ0
π
2
π4
二、填空题。 6. 2 解析:lim
x→03x 2+Mx 2x
=lim x→0
32x +
M 2=M 2 ,又lim β
α=1为等价无穷,所以M =2.
7. 1
2ln2 解析:dy
dt =5−2t ,dy
dt =1
tln2,所以dy
dx =dy dt dx dt
=
1tln2
5−2t ,dy
dx
=|t=2 =
1tln2
5−4
=12ln2=1
ln4
8. 8π 解析:V =2∗2π∫dx ∫√3(1−x 2
4)02
0ydy =4π∫1
2y 2|020√3(1−x 2
4)dx =
2π∫3(1
−x 2
4)dx =
2π∫(3
−
34
x 2
)202
0dx =2π(3x −
x 34
)|20
=2π(6−2)=8π 9. y =2e x +C 解析:e −x y′=e −x dy
dx =2,化简得dy
dx =2e x ,对等式两边积分得∫dy
dx =∫2e x ,得y =2e x +C ,即方式通解为y =2e x +C