2022年广东省专插本考试《高等数学》真题+答案

广东省2022年普通学校专升本真题高等数学一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个符合题目要求)1.若函数f (x )={x +1,x ≠1a,x =1,在 x ≠1处连续，则常数a=（ ）A.-1B.0C.1D.22.lim x→0(1−3x )1x=（ ） A.e−3B.e 13C.1D.e 33.lim x→0u n =0是级数∑u n ∞n=1收敛的（ ） A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件 4.已知1x 2是函数f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx =+∞1（ ）A.2B.1C.-1D.-25.将二次积分I =∫dx 10∫f(x 2+y 2)dy 1x 化为极坐标系下的二次积分，则I=（ ）A.∫dθπ40∫f(p 2)dp secθ0 B.∫dθπ40∫pf(p 2)dp cscθ0C.∫dθπ2π4∫f(p 2)dp secθ0 D.∫dθπ2π4∫pf(p 2)dp cscθ0二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6.若x →0时，无穷小量2x 与3x 2+mx 等价，则常数m =7.设{x =5t −t 2y =log 2t ，则dy dx |t=2=8.椭圆x 24+y 23=1所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体积为9.微分方程e −x y′=2的通解是10.函数Z =x ln y 在点（e ，e ）处的全微分dz |（e ,e ）= 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11.求极限limx→1x 3+3x 2−9x+5x 3−3x+212.设y =arc tan x 2，求 d 2ydx 2|x=113.设函数f (x )={ x 2sin 1x +2x,x ≠00, x =0 ,利用导数定义求f′(0).14.求不定积分2x √1−x 215.已知∫tanxdx =−ln |cos x |+C ，求定积分∫xsec 2π40xdx16.设Z =f(x,y)是由方程Z =2x −y 2e z 所确定的隐函数，计算ðzðx −y ðzðy 17.计算二重积分∬cosxdσD ，其中D 是由曲线y =sinx(o ≤x ≤π2)和直线 y =0,x =π2围成的有界闭区域。

18.判断级数∑(n 3n −32n )∞n=1的敛散性。

四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分） 19.设函数f(x)=2xlnx −x −1x +2 （1）求曲线y =f(x)的拐点；（2）讨论曲线y =f(x)上是否存在经过坐标原点的切线。

20.设函数f(x)连续（1）证明：∫f(x −t)dt =∫f(t)dt x 0x0 ；（2）若f(x)满足f(x)=3x +1+∫tf(t)dt −x ∫f(x −t)dt x0x0，求f(x)参考答案一、单项选择题。

1.D 解析：f(1)=a ,lim x→1f(x)=lim x→1(x +1)=2,若函数lim x→1f(x)=f(x 0),则lim x→1f(x)=2=f(1)=a ，所以a =2.2.A 解析： lim x→0(1−3x)1x=lim x→0[(1+(−3x))1−3x ]−3=[lim x→0(1+(−3x))1−3x ]−3=e −33.B 解析：级数收敛，一般项趋于零；一般项趋于零，级数不一定收敛；一般项趋于零是级数收敛的必要条件，非充分条件。

4.C 解析：∫f(x)dx =1x 2|+∞1=lim x→+∞1x 2−11=−1+∞15.D 画出积分区域可知 sin θ1=1r ,r =1sin θ1=csc θ1已知θ的积分区域为[π4，π2],y 的积分区域为[0，1sin θ]，即[0，csc θ]，故I =∫dx ∫f(x 2+y 2)dy 1x1=∫dθ∫f((rcosθ)2+(rsinθ)2)rdr =∫dθ∫rf(r 2)dr cscθπ2π4cos θ0π2π4二、填空题。

6. 2 解析：limx→03x 2+Mx 2x=lim x→032x +M 2=M 2 ,又lim βα=1为等价无穷，所以M =2.7. 12ln2 解析：dydt =5−2t ，dydt =1tln2，所以dydx =dy dt dx dt=1tln25−2t ,dydx=|t=2 =1tln25−4=12ln2=1ln48. 8π 解析：V =2∗2π∫dx ∫√3(1−x 24)020ydy =4π∫12y 2|020√3(1−x 24)dx =2π∫3(1−x 24)dx =2π∫(3−34x 2)2020dx =2π(3x −x 34)|20=2π(6−2)=8π 9. y =2e x +C 解析：e −x y′=e −x dydx =2，化简得dydx =2e x ，对等式两边积分得∫dydx =∫2e x ，得y =2e x +C ，即方式通解为y =2e x +C10. dx +dy 解析：dz =ðz ðx dx +ðzðy dy ， 方法一：∂z∂x =lny ·x lny−1，ðzðx =x lny lnx,故dz =(lny ∗x lny−1)dx +(x lny lnx 1y )dy ，lne =1dz |(e,e)=(lne ·e lne−1)dx +(e lne lne 1e )dy =dx +dy 方法二：Z =x lny =e lnylnxðz ðx=e lnylnx ·lny ·1x，ðz ðy =e lnylnx ·lnx ·1y,dz |(e,e) =(e lnylnx ·lny ·1x )dx +(e lnylnx ·lnx ·1y )dy =dx +dy 三、计算题。

11.原式=limx→13x 2+6x−93x 2−3=lim x→13(x+3)+(x−1)3(x+1)+(x−1)=lim x→1x+3x+1=212.由题y`=11+x 4∗2x =2x1+x 4 y "=2(1+x 4)(1+x 4)2=2−6x 4(1+x 4)2 ∴d 2y dx 2|x=1=y"|x=1=−113.根据导数定义得 f′(0)=limx→0f(x+0)−f(0)x =limx→0x 2sin 1x+2xx=lim x→0(x 2+sin 1x +2)=214.原式=∫√1−x2=−222√1−x 2+3√1−x 2=−2√1−x 2+3arcsinx +C15.∫xsec 2xdx =∫xdtanx =xtanx |π40π40π40−∫tanxdx =π4+π40ln |cosx |｜π40 =π4+ln√22=π4−12ln216.对方程F(x ，y ，z)=2x −y 2e z −z =0，有F′x =2,F′y =−2ye z , F′z =−y 2e z −1，所以∂z∂x =−F ′x F ′z=2−y 2e z −1=2y 2e z +1 ，∂z∂y=−F ′y F ′z =−−2ye z−y 2e z −1=−2ye zy 2e z +1故∂z ∂x −y ∂z∂y =2y 2e z +1−y ·（−2ye zy 2e z +1 ）=2y 2e z +1+2y 2e zy 2e z +1=217.由题可知，区域D 为下图所以∬cosxd6=∫dx ∫cosxdy sinxπ20D=∫dxycosx ｜sinxdx 0π20 =∫sinxcosxdx π20 =sin 2x 2｜π2=1218.由题意知∑n3n ∞n=1 为正负级数 令a n =n3n ，limx→∞a n+1a n=limn→∞n+13n+1∗3n n=13<1根据正项级数比值审敛法，∑n3n ∞n=1是收敛的。

而∑32n ∞n<1为等比级数，公比q =12<1，也收敛。

故由级数的线性性质可知级数∑(n3n −32n )∞n=1是收敛的。

四、综合题。

19.（1）由f(x)的定义域为（0,+∞） f ‘(x)=2lnx +2−1+1x 2=2lnx +1x 2+1 f′′(x)=2x −2x 3=2(x 2−1)x 3令f′′(x)=0，即x 2−1=0 x 1=1，x 2=−1 （舍掉） 代入原式f(x)=0 ，故曲线y =f(x)拐点为（1，0）（2）由于f(x)定义域为(0,+∞)，设y =kx 是曲线y=f(x)的切线，切点为（x 0,y 0） 根据题意，可列出方程组{2x 0lnx 0−x 0−1x 0+2=kx 02lnx 0+1+1x 0=k消去K ，可得x 0+1x 0=1此方程无实数解，故不存在经过原点的切线。

20.（1）证 令x −t =u ,则t =x −u ，dt =−du 令t =x,t =0,u =x故∫f(x −t)dt =−∫f(u)du =∫f(u)du x0=∫f(t)dt x00x x0 故原命题成立（2）由(1)知f(x)=3x +1+∫tf(t)dt −x ∫f(t)dt x0x0 ① 两边求导得f ’(x)=3+xf(x)−x ∫f(t)dt −xf(x)=3−∫f(t)dt x0x0 ② 求二阶导得f ”(x)=−f(x)，故f ”(x)+f(x)=0 其特征方程为r 2+1=0 ,解得r =±i∴f(x)=C 1cosx +C 2sinx ∴f′(x)=−C 1sinx +C 2cosx 将x =0代入①②两式得，f(0)=1,f’(0)=3 并代入f(x)与f ’(x)的C 1=1，C 2=3 故f(x)=cosx +3sinx。