2022年广东省专插本考试《高等数学》真题+答案

广东省2022年普通学校专升本真题

高等数学

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分。每小题只有一个符合题目要求)

1.若函数f (x )={

x +1,x ≠1

a,x =1

,在 x ≠1处连续，则常数a=（ ）

A.-1

B.0

C.1

D.2

2.lim x→0

(1−3x )1x

=（ ） A.e

−3

B.e 13

C.1

D.e 3

3.lim x→0

u n =0是级数∑u n ∞n=1收敛的（ ） A.充分条件 B.必要条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件 4.已知1

x 2是函数f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx =+∞

1

（ ）

A.2

B.1

C.-1

D.-2

5.将二次积分I =∫dx 10∫f(x 2+y 2)dy 1

x 化为极坐标系下的二次积分，则I=（ ）

A.∫dθπ

4

0∫f(p 2)dp secθ0 B.∫dθπ

40∫pf(p 2)dp cscθ0

C.∫

dθπ2π4

∫f(p 2)dp secθ0 D.∫dθπ

2π4

∫pf(p 2)dp cscθ0

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

6.若x →0时，无穷小量2x 与3x 2+mx 等价，则常数m =

7.设{x =5t −t 2

y =log 2t ，则dy dx |t=2

=

8.椭圆x 24+

y 23

=1所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体积为

9.微分方程e −x y′=2的通解是

10.函数Z =x ln y 在点（e ，e ）处的全微分dz |（e ,e ）= 三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 11.求极限lim

x→1

x 3+3x 2−9x+5x 3−3x+2

12.设y =arc tan x 2

，求 d 2y

dx 2|

x=1

13.设函数f (x )={ x 2sin 1

x +2x,x ≠0

0, x =0 ,利用导数定义求f′(0).

14.求不定积分2x √1−x 2

15.已知∫tanxdx =−ln |cos x |+C ，求定积分∫xsec 2π4

0xdx

16.设Z =f(x,y)是由方程Z =2x −y 2e z 所确定的隐函数，计算ðz

ðx −y ðz

ðy 17.计算二重积分∬cosxdσD ，其中D 是由曲线y =sinx(o ≤x ≤π2)和直线 y =0,x =π

2围成的有界闭区域。

18.判断级数∑(n 3n −3

2n )∞n=1的敛散性。

四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分） 19.设函数f(x)=2xlnx −x −1

x +2 （1）求曲线y =f(x)的拐点；

（2）讨论曲线y =f(x)上是否存在经过坐标原点的切线。 20.设函数f(x)连续

（1）证明：∫f(x −t)dt =∫f(t)dt x 0x

0 ；

（2）若f(x)满足f(x)=3x +1+∫tf(t)dt −x ∫f(x −t)dt x

0x

0，求f(x)

参考答案

一、单项选择题。

1.D 解析：f(1)=a ,lim x→1

f(x)=lim x→1

(x +1)=2,若函数lim x→1

f(x)=f(x 0),则

lim x→1

f(x)=2=f(1)=a ，所以a =2.

2.A 解析： lim x→0

(1−

3x)1x

=lim x→0

[(1+

(−3x))1−3x ]

−3

=[lim x→0

(1+

(−3x))1−3x ]

−3

=e −3

3.B 解析：级数收敛，一般项趋于零；一般项趋于零，级数不一定收敛；一般项趋于零是级数收敛的必要条件，非充分条件。

4.C 解析：∫f(x)dx =1

x 2|

+∞

1=lim x→+∞

1x 2−11=−1+∞

1

5.D 画出积分区域可知 sin θ1=1r ,r =1

sin θ1

=csc θ1

已知θ的积分区域为[π4，π2],y 的积分区域为[0，1

sin θ]，即[0，csc θ]，故

I =∫dx ∫f(x 2+y 2)dy 1

x

1

=∫dθ∫

f((rcosθ)2+(rsinθ)2)rdr =∫dθ∫

rf(r 2)dr cscθ

π2

π4

cos θ0

π

2

π4

二、填空题。 6. 2 解析：lim

x→03x 2+Mx 2x

=lim x→0

32x +

M 2=M 2 ,又lim β

α=1为等价无穷，所以M =2.

7. 1

2ln2 解析：dy

dt =5−2t ，dy

dt =1

tln2，所以dy

dx =dy dt dx dt

=

1tln2

5−2t ,dy

dx

=|t=2 =

1tln2

5−4

=12ln2=1

ln4

8. 8π 解析：V =2∗2π∫dx ∫√3(1−x 2

4)02

0ydy =4π∫1

2y 2|020√3(1−x 2

4)dx =

2π∫3(1

−x 2

4)dx =

2π∫(3

−

34

x 2

)202

0dx =2π(3x −

x 34

)|20

=2π(6−2)=8π 9. y =2e x +C 解析：e −x y′=e −x dy

dx =2，化简得dy

dx =2e x ，对等式两边积分得∫dy

dx =∫2e x ，得y =2e x +C ，即方式通解为y =2e x +C