广东专插本(高等数学)模拟试卷40(题后含答案及解析)
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广东专插本(高等数学)模拟试卷40(题后含答案及解析)
题型有:1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题
选择题在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。
1.设函数f(χ)=则= ( )
A.1
B.0
C.2
D.不存在
正确答案:D
2.设函数f(χ)在χ=1可导,则= ( )
A.f?(1)
B.2f?(1)
C.3f?(1)
D.-f?(1)
正确答案:C
3.设函数y=2cosχ,则y?= ( )
A.2cosχln2
B.-2cosχsin2
C.-ln2.2cosχ.sinχ
D.-2cosχsinχ
正确答案:C
4.设2f(χ)cosχ=[f(χ)]2,f(0)=1,则f(χ)= ( ) A.cosχ
B.2-cosχ
C.1+sinχ
D.1-sinχ
正确答案:C
5.设函数z=eχy,则dz= ( )
A.eχydχ
B.(χdy+ydχ)eχy
C.χdy+ydχ
D.(χ+y)eχy
正确答案:B
填空题
6.=_____。
正确答案:
7.曲线处的切线方程为_____。
正确答案:
8.函数y=f(χ)由参数方程,所确定,则_____。正确答案:
9.已知,则a=_______,b_______。正确答案:-1,2
10.微分方程y?-2y?+y=0的通解为______。
正确答案:y=C1e2+C2χeχ(C1,C2为任意常数)
解答题解答时应写出推理、演算步骤。
11.求极限。
正确答案:
12.设是连续函数,求a,b的值。
正确答案:由于当χ<0,χ>0时,f(χ)为初等函数,则连续,现只需使f(χ)在χ=0连续即可,由连续定义,得
即b=1,a为任意实数。
13.已知函数z=χ2eχy,求。
正确答案:
14.求微分方程y?+2y?+y=0满足初始条件y(0)=0,y?(0)=1的特解。
正确答案:微分方程的特征方程为r2+2r+1=0,得特征根为r=-1,且为二重根,故方程通解为y=(C1+C2χ)e-χ,又由初始条件y(0)=0,y?(0)=1,得C1=0,C2=1,故原微分方程的特解为y=χe-χ。
15.求不定积分。
正确答案:
16.求。
正确答案:因2+2cos2χ=2(1+cos2χ)=4cos2χ,所以
17.求,其中D为y=χ,y=χ+a,y=a和y=3a(a>0)为边的平行四边形。
正确答案:首先画出积分区域D,把它看作y型,则
已知曲线y=χ2,试求:
18.曲线在点(1,1)处的切线方程与法线方程;
正确答案:(1)根据导数的几何意义,曲线y=χ2在点(1,1)处切线的斜率
为曲线y=χ2在点(1,1)处法线的斜率为所以切线方程为y-1=2(χ-1),即2χ-y-1=0。则法线方程为
即χ+2y-3=0。
19.曲线上哪一点处的切线与直线y=4χ-1平行?
正确答案:(2)设所求的点为M0(χ0,y0),曲线y=χ2在点(χ0,y0)处切
线的斜率为切线与直线y=4χ-1平行时,它
们的斜率相等,即2χ0=4,所以χ0=2,此时y0=4,故在点M0(2,4)处的切线与直线y=4χ-1平行。
综合题
设平面图形D是由曲线y=eχ,直线y=e及y轴所围成的,求:
20.平面图形D的面积;
正确答案:平面图形D如图所示,取χ为积分变量,且χ∈[0,1]。
平面图形D的面积为
。
21.平面图形D绕y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
正确答案:平面图形D绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积为
22.设函数(χ>0),其中f(χ)在区间[a,+∞)上连续,f?(χ)在(a,+∞)内存在且大于零,求证:F(χ)在(a,+∞)内单调递增。
正确答案:
∴F(χ)在(a,+∞)内单调递增。