差商及其性质(课堂PPT)
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§4 差商与牛顿插值多项式
4.1 差商（均差）及性质
1 差商（均差）
已知y =f ( x)
则 f ( x)在 x0 ,
函数表 x
f (x)
x1 ,x1 , x2 ,
x0 f (x0 )
, xn1 ,
xfn(xx1上1 ) 平均变f (x化xnn )率(分xi别 为x j：,当（i4.1）j)
f
x0 , x1
f ( x1 ) f ( x0 ), x1 x0
f
x1, x2
f ( x2 ) f ( x1 ), x2 x1
，f
xn1, xn
f ( xn ) f ( xn1 ). xn xn1
即有定义：
定义为f(x) 的差商
1
定义4（1）对于[ xi , x j ] ，称
阶差商f x0, x1, , xk 关于节点
x0 ,
x1 ,
,
xk 是对称的，或说
均差与节点顺序无关，即
f x0, x1, , xk f x1, x0, , xk f xk , xk1, , x0
例如：f xi , x j , xk f xi , xk , x j , f x j , xi , xk f x j , xk , xi
f x, x0
源自文库
f ( x) f ( x0 ) x x0
f (x)
f ( x0 ) f x, x0 ( x x0 )
1(
f (xn1)
f (x0)
)
xn1 x0 ( xn1 x1)( xn1 x2 ) ( xn1 xn ) ( x0 x1)( x0 x2 ) ( x0 xn )
n
f(xj)
( x j x0 ) ( x j xn1)
j1 xn1 x0 ( x j x0 )(x j x1) ( x j x j1)(x j x j1) ( x j xn1)
的线性组合，即
f
x0 , x1, , xk
k
f (xj)
j0 ( x j x0 )(x j x1 ) ( x j x j1 )(x j x j1 ) ( x j xk )
k
j0
k
f (xj)
k
f (xj)
( x j xi ) j0 k 1 ( x j )
i0
（2）k
i j
f[xj,
xk ]
f [xi ,
x
j
] ,
xk xi
称为y =f ( x) 在点 xi , x j , xk 的二阶差商（二阶均差）；
n－1 阶
（3）一般由函数y=f ( x) 的n－1阶差商表可定义函数的n阶差差商商。
即
f [x0 , x1 , , xn ] [x0 , x1 , , xn ] f（x）
f (x0 ) x0 x1
f (x1 ) x1 x0
f
x0 , x1
f (x1 ) f (x0 ) x1 x0
(1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1)
证明：（1）当k =1时, f x0 , x1
假设当k n时成立，即有
f
(x1 )
f
(
x0
)
f (x0 )
f (x1 )
f [x0，x1，
xn]
n
j0 (xj
x0 )
(xj
f (xj) xj1)(x j
x j1 )
(xj
xn )
f [x1，x2，
xn1]
n1
j1 ( x j
x1 )
(xj
f (xj) xj1)(xj
x j1)
(xj
xn1 )
则由定义
f [x0, x1, , xn，xn1]
f x1, x2 , xn1 f x0 , x1, , xn xn1 x0
ff x1 , x2 , ,xxnn f xx00,, xx11,, ,,xxnn11
xn x0
称为函数y= f ( x) 在 x0 , x1, , xn 点的n阶差商（n阶均差）。
2
2 基本性质
定理5（1）f ( x) 的k阶差商 f x0, x1, , xk 是函数值 f (x0 ), f (x1 ), , f (xk )
f [x0, x1, , xk ]
计算顺序:同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列 上一行的差商再作差商。
6
4.2 牛顿插值多项式
x
x0
x1 xn ( xi x j ,
1 牛顿插值多项式的推导 f ( x) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( xn ) 当i j)
已知 y f (x) 函数表（4.1）, 由差商定义及对称性，得 （4.1）
xk f (xk )
f [x0, x1] f [x1, x2] f [x0, x1, x2]
f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x3, x4] f [x2, x3, x4]
f [xk1, xk ] f [xk2, xk1, xk ]
f [x0, x1, x2, x3] f [x1, x2, x3, x4]
x1 x0
x0 x1 x1 x0
f [x0，x1，
xn]
n
j0 (xj
x0 )
(xj
f (xj) x j 1 )( x j
x j1)
(xj
xn )
f [x1，x2，
xn1]
n1
j1 ( x j
x1 )
(xj
f (xj) xj1)(xj
x j1)
(xj
xn1 )
4
假设当k n时成立，即有
n1
f (xj)
j0 ( x j x0 )(x j x1) ( x j x j1)(x j x j1) ( x j xn1)
#
5
3 差商表
表2.4
xi
f (xi )
(0 阶差商)
一阶差商 二阶差商
三阶差商
k 阶差商
x0 f (x0)
x1 f (x1) x2 f (x2) x3 f (x3) x4 f (x4)
f xk , x j , xi f xk , xi , x j
共6个
3
分析 ：
f x0, x1, , xk
k
f (xj)
j0 ( x j x0 )(x j x1 ) ( x j x j1 )(x j x j1 ) ( x j xk )
当k
=1时, f
[ x0，x1
]
f
xi , x j
xi , x j
f (x)
f ( x j ) f ( xi ), x j xi
为函数 f ( x) 在 xi , x j 的一阶差商（一阶均差）；
（2）由函数y=f ( x) 的一阶差商表，再作一次差商，即
f
xi , x j , xk
xi , x j , xk
f (x)
4.1 差商（均差）及性质
1 差商（均差）
已知y =f ( x)
则 f ( x)在 x0 ,
函数表 x
f (x)
x1 ,x1 , x2 ,
x0 f (x0 )
, xn1 ,
xfn(xx1上1 ) 平均变f (x化xnn )率(分xi别 为x j：,当（i4.1）j)
f
x0 , x1
f ( x1 ) f ( x0 ), x1 x0
f
x1, x2
f ( x2 ) f ( x1 ), x2 x1
，f
xn1, xn
f ( xn ) f ( xn1 ). xn xn1
即有定义：
定义为f(x) 的差商
1
定义4（1）对于[ xi , x j ] ，称
阶差商f x0, x1, , xk 关于节点
x0 ,
x1 ,
,
xk 是对称的，或说
均差与节点顺序无关，即
f x0, x1, , xk f x1, x0, , xk f xk , xk1, , x0
例如：f xi , x j , xk f xi , xk , x j , f x j , xi , xk f x j , xk , xi
f x, x0
源自文库
f ( x) f ( x0 ) x x0
f (x)
f ( x0 ) f x, x0 ( x x0 )
1(
f (xn1)
f (x0)
)
xn1 x0 ( xn1 x1)( xn1 x2 ) ( xn1 xn ) ( x0 x1)( x0 x2 ) ( x0 xn )
n
f(xj)
( x j x0 ) ( x j xn1)
j1 xn1 x0 ( x j x0 )(x j x1) ( x j x j1)(x j x j1) ( x j xn1)
的线性组合，即
f
x0 , x1, , xk
k
f (xj)
j0 ( x j x0 )(x j x1 ) ( x j x j1 )(x j x j1 ) ( x j xk )
k
j0
k
f (xj)
k
f (xj)
( x j xi ) j0 k 1 ( x j )
i0
（2）k
i j
f[xj,
xk ]
f [xi ,
x
j
] ,
xk xi
称为y =f ( x) 在点 xi , x j , xk 的二阶差商（二阶均差）；
n－1 阶
（3）一般由函数y=f ( x) 的n－1阶差商表可定义函数的n阶差差商商。
即
f [x0 , x1 , , xn ] [x0 , x1 , , xn ] f（x）
f (x0 ) x0 x1
f (x1 ) x1 x0
f
x0 , x1
f (x1 ) f (x0 ) x1 x0
(1)可用归纳法证明。(2)利用(1)很容易得到。只证(1)
证明：（1）当k =1时, f x0 , x1
假设当k n时成立，即有
f
(x1 )
f
(
x0
)
f (x0 )
f (x1 )
f [x0，x1，
xn]
n
j0 (xj
x0 )
(xj
f (xj) xj1)(x j
x j1 )
(xj
xn )
f [x1，x2，
xn1]
n1
j1 ( x j
x1 )
(xj
f (xj) xj1)(xj
x j1)
(xj
xn1 )
则由定义
f [x0, x1, , xn，xn1]
f x1, x2 , xn1 f x0 , x1, , xn xn1 x0
ff x1 , x2 , ,xxnn f xx00,, xx11,, ,,xxnn11
xn x0
称为函数y= f ( x) 在 x0 , x1, , xn 点的n阶差商（n阶均差）。
2
2 基本性质
定理5（1）f ( x) 的k阶差商 f x0, x1, , xk 是函数值 f (x0 ), f (x1 ), , f (xk )
f [x0, x1, , xk ]
计算顺序:同列维尔法，即每次用前一列同行的差商与前一列 上一行的差商再作差商。
6
4.2 牛顿插值多项式
x
x0
x1 xn ( xi x j ,
1 牛顿插值多项式的推导 f ( x) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( xn ) 当i j)
已知 y f (x) 函数表（4.1）, 由差商定义及对称性，得 （4.1）
xk f (xk )
f [x0, x1] f [x1, x2] f [x0, x1, x2]
f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x3, x4] f [x2, x3, x4]
f [xk1, xk ] f [xk2, xk1, xk ]
f [x0, x1, x2, x3] f [x1, x2, x3, x4]
x1 x0
x0 x1 x1 x0
f [x0，x1，
xn]
n
j0 (xj
x0 )
(xj
f (xj) x j 1 )( x j
x j1)
(xj
xn )
f [x1，x2，
xn1]
n1
j1 ( x j
x1 )
(xj
f (xj) xj1)(xj
x j1)
(xj
xn1 )
4
假设当k n时成立，即有
n1
f (xj)
j0 ( x j x0 )(x j x1) ( x j x j1)(x j x j1) ( x j xn1)
#
5
3 差商表
表2.4
xi
f (xi )
(0 阶差商)
一阶差商 二阶差商
三阶差商
k 阶差商
x0 f (x0)
x1 f (x1) x2 f (x2) x3 f (x3) x4 f (x4)
f xk , x j , xi f xk , xi , x j
共6个
3
分析 ：
f x0, x1, , xk
k
f (xj)
j0 ( x j x0 )(x j x1 ) ( x j x j1 )(x j x j1 ) ( x j xk )
当k
=1时, f
[ x0，x1
]
f
xi , x j
xi , x j
f (x)
f ( x j ) f ( xi ), x j xi
为函数 f ( x) 在 xi , x j 的一阶差商（一阶均差）；
（2）由函数y=f ( x) 的一阶差商表，再作一次差商，即
f
xi , x j , xk
xi , x j , xk
f (x)