双棒问题

电磁学中的双金属棒运动类问题

★例1、如图所示，两金属杆a b 和cd 长均为l ，电阻均为R ，质量分别为M 和m ，M m >，用两根质量和电阻均可忽略不计的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧。两金属杆都处在水平位置。整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感应强度为B ，若金属杆正好匀速向下运动，求其运动的速度。

22

()2M m gR v B l

-=

★例2、两根足够长的光滑平行金属导轨在同一水平面内，宽为l 导轨的一半位于磁感应强度为B 的匀强磁场中，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置两根垂直于导轨的质量均为m 的金属棒a b 和cd ，其中棒a b 在磁场区域外。当水平推棒a b 一下，使它获得向右的速度0v ，如图所示。求棒a b 和cd 两端的最终电压各是多少。

012E B lv B lv ==

★例题3、如图所示，两根相距0.20l m =平行金属导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，磁感应强度0.20B T =，导轨上面横放着两根金属细杆，构成矩形回路。每根金属细杆的电阻

0.25r =Ω。回路中其余部分的电阻可忽略不计。已知两金属细杆在平行于导轨的拉力作用下沿导轨向相

反的方向匀速平移，速度大小都是 5.0v m s =，如图所示。不计导轨的摩擦。 （1）求作用于每根细杆的拉力的大小。

（2）求两金属细杆在间距增加0.40m 的滑动过程中总计产生的热量。

★拓展1： 如图所示，在水平面上有两条平行导电导轨M N 、PQ ，导轨间距离为l ，匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸面）向里，磁感应强度大小为B ，两根金属杆甲、乙摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为1m 、2m 和1R 、2R ，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为μ，已知甲杆被外力拖动以恒定的速度沿导轨运动；达到稳定状态时，乙杆也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略不计，求此时乙杆克服摩擦力做功的功率。（2004广东高考）

解法1：设杆2的运动速度为v ，由于两杆运动时，两杆间

和导轨构成的回路中的磁通量发生变化，产生感应电动势

)(0v v Bl E -= ①

感应电流 2

1R R E I +=

②

杆2作匀速运动，它受到的安培力等于它受到的摩擦力，g m BlI 2μ= ③ 导体杆2克服摩擦力做功的功率 gv m P 2μ= ④

解得 )]([212

2

202R R l

B g

m v g m P +-

=μμ ⑤

解法2：以F 表示拖动杆1的外力，以I 表示由杆1、杆2和导轨构成的回路中的电流，达到稳定时，对杆1有 01=--B I l g m F μ ① 对杆2有 02=-g m B I l μ ② 外力F 的功率 0Fv P F = ③

以P 表示杆2克服摩擦力做功的功率，则有0

1212

)(gv m R R I P P

F μ-+-= ④

由以上各式得 )]([212

2

02R R l

B g

m v g m P g +-=μμ ⑤

★拓展2：如图所示，PQMN 与C D E F 为两根足够长的固定平行金属导轨，导轨间距为L 。PQ 、

M N 、C D 、E F 为相同的弧形导轨；QM 、D E 为足够长的水平导轨。导轨的水平部分QM 和D E 处

于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B 。a 、b 为材料相同、长都为L 的导体棒，跨接在导轨上。已知a 棒的质量为m 、电阻为R ，a 棒的横截面是b 的3倍。金属棒a 和b 都从距水平面高度为h 的弧形导轨上由静止释放，分别通过DQ 、EM 同时进入匀强磁场中，a 、b 棒在水平导轨上运动时不会相碰。

若金属棒a 、b 与导轨接触良好，且不计导轨的电阻和棒与导轨的摩擦。

（1）金属棒a 、b 刚进入磁场时，回路中感应电流的方向如何?

（2）通过分析计算说明，从金属棒a 、b 进入磁场至某金属第一次离开磁场的过程中， 电路中产生的焦耳热。

★拓展3：如图所示，平行倾斜导轨与平行水平导轨平滑连接，两导轨光滑且电阻不计。水平部分有竖直向上的匀强磁场穿过， 2.0B T =，导轨间距0.5L m =。导体棒a b 的质量为1 1.0m k g =，电阻

10.2R =Ω，静止在水平导轨上。导体棒cd 的质量2 2.0m kg =，电阻为20.3R =Ω，从高0.45h m =的

倾斜导轨上由静止滑下。求：

（1）cd 棒刚进入磁场时a b 棒的加速度。

（2）若cd 不与a b 相碰撞，且导轨足够长，a b 、cd 两棒的最终速度分别是多大。 （3）整个过程中，在a b 、cd 棒上产生的热量各为多少？（210g m s =）

★拓展4:“拓展3”中LNKQ 处导轨间距为M LPK 处导轨间距的一半，且各处水平导轨足够长，则各问的结论各为多少？（用物理符号表示）

练练手：

★1、如图1，平行光滑导轨MNPQ 相距L ，电阻可忽略，其水平部分置于磁感应强度为B 的竖直向上的匀强磁场中，导线a 和b 质量均为m ，a 、b 相距足够远，b 放在水平导轨上，a 从斜轨上高h 处自由滑下，求回路中产生的最大焦耳热。

★2、如图17－120所示，磁场方向竖直且足够大，水平放置的光滑平行金属导轨由宽窄两部分连接而成，宽者间距是窄者的2倍．两根质量相同的金属棒ab 、cd 均垂直导轨平面．现给ab 一水平向左的初速v 0同时使cd 不动时，ab 整个运动过程产生热量为Q ．那么，当cd 不固定时，ab 以v 0起动后的全过程中一共产生多少热量(设导轨很长，cd 也不会跑到宽轨上)？

解：cd 固定时有2

1

2

Q m v =

cd 可动时，设ab 速度减为u ，cd 速度增为2u 的经历时间为t ．此

时，穿过回路的磁通量不再变化，感应电流消失，ab 、cd 均作匀速直线运动．

上述的t 时间内，每一时刻ab 受的磁场力都是cd 的2倍，可认为ab 受的平均磁场力为cd 。

则对a b 有：02F t m v m u -

=-（1）

对有：＝－cd Ft m2u 0

(2)

由式和式得－＝，＝

(1)(2)mv mu 4mu u 0v 05

设以上过程产生热量，由能量守恒得：′＝－＋

＝

·

＝

Q mv [

12

mu 12

m(2u)]mv Q

02

2

2

02

12

45

12

45

★如图所示，abcde 和/

/

/

/

/

e d c b a 为两平行的光滑轨道，其中abcd 和/

/

/

/

/

e d c b a 部分为处于水平面内的导轨，ab 与a /b 的间距为cd 与d c /

间距的2倍，de 、e d /

部分为与水平导轨部分处于竖直向上的匀

强磁场中，弯轨部分处于匀强磁场外。在靠近aa ＇和cc ＇处分别放着两根金属棒MN 、PQ ，质量分别为m

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