圆的标准方程学案

(2) 圆心在 A( 3,4) ，半径长为 5 ； __________________________ (3) 圆心在 A( 3,2) ，半径长为 5； __________________________ 3、画出下列方程所表示的圆 2 2 2 ①x + y ＝4 y 1 O 【知识应用】 练习 1：判断下列各点是否在以 A(2,3) 为圆心，半径为 5 的圆上？ (1) M 1 (5,7) (2) M 2 (2,1) (3) M 3 (3,1) 1 x
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(3) 数学建构 2 2 2 圆的标准方程：(x－a) + (y－b) ＝r 以 C(a，b)为圆心，r 为半径. 2 2 2 方法迁移：由一般到特殊：当圆心在坐标原点时，圆的方程是 x + y ＝r 单位圆：半径为 1 的圆 (4) 【练习强化】 1. 写出下列圆的圆心坐标和半径。 圆心坐标 半径
( x 4) 2 ( y 1) 2 6 ( x 1) 2 ( y 4) 2 4 ( x 2) 2 y 2 9 x 2 ( y 3) 2 8 x 2 y 2 (3) 2 ( x a) 2 y 2 a 2
__________ __________ ___________ __________ __________ ___________
例 2．求圆心是 C(2，－3)，且经过原点的圆的方程. 法一： 法二：
变式：圆心是 C(2，－3)，且与 x 轴相切的圆的方程____________ 圆心是 C(2，－3)，且与 y 轴相切的圆的方程____________ 圆心是 C(1，3)，且与 3x－4y－6＝0 相切的圆的方程______ 过点（2,1）和两坐标轴都相切的圆的方程____________ 以 A（1,5），B（—1,7）为直径的圆的方程____________
②(x + 1) + y ＝1 y 1 O 1 x
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归纳规律：坐标平面内的点 P0 ( x0 , y0 ) 与圆 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 的位置关系有哪些？ 1 点在圆上 ______________________ ○ 2 点在圆内 ______________________ ○ 3 点在圆外 ______________________ ○ (5) 典例精析： 例 1： 已知 A(5 ,1) B(7,-3) 法一： C(2 ,-8)，求∆ABC 外接圆的方程. 法二：
A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆 2 2 5.已知 BC 是圆 x ＋y ＝25 的动弦，且|BC|=6，则 BC 中点的轨迹方程是(
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A．x2＋y2＝4 C．x2＋y2＝16 6. 若 圆 为 7.求过点 与圆 . ,且圆心
B．x2＋y2＝9 D．x＋y＝4 关于原点对称，则圆 的标准方程
圆的方程 2.2.1 圆的标准方程 教学目标： 1．了解确定圆的几何要素，结合两点间距离公式，掌握圆的标准方程的推导方法； 2．可根据方程写出圆的坐标和圆的半径； 3．会用几何法或代数法求出圆的标准方程. 教学重点： 结合两点间距离公式，掌握圆的标准方程的推导方法； 教学难点： 会用几何法或代数法求出圆的标准方程. 教学过程： 一、知识回顾： 1．直线 l 其方程如何求出？ 看如何建立直角坐标系 y = x+1 y y y=x 直线 l 1 1 1 x －1 x
__________ __________ ___________ __________ __________ ___________
总结： 特别地，当 (a, b) (0,0) 时，圆的方程变为___________ 2. 根据下列条件，写出圆的标准方程。 (1) 圆心在 A(2,1) ，半径长为 4； __________________________
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(6) 总结： 1.圆的标准方程 圆心和半径 圆心为（a，b）半径为 r 圆心为（0，0）半径为 r 2.特殊位置的圆的方程 圆心在原点 圆心在 X 轴上 圆心在 Y 轴上 圆心在 X 轴上且过原点 圆心在 Y 轴上且过原点 与 X 轴相切 与 Y 轴相切 与两坐标轴相切 3.点与圆的位置关系 设点 P(x0,y0)到圆心（a，b）的距离为 d，圆的半径为 r，则点与圆的位置关系如下： 位置关系 d 与 r 的关系 代数表示 点 P(x0,y0)到圆的最短距离 ，最大距离为 . 点在圆外 点在圆上 点在圆内 圆的标准方程
七．作业 1.圆 A. B. 的圆心坐标是( C. ) D.
2. 圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1 C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1 3.若点 A. C. 4.方程 表示的曲线是( 为圆 的弦 B. D. ) ) 的中点，则弦 所在直线方程为( )
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例 3、已知圆心为 C 的圆经过点 A（1,1）和 B（2，-2），且圆心在直线 : 求圆心为 C 的圆的标准方程。
上，
例 4．求圆心在直线 5x－3y－8＝0 上，且与两坐标轴都相切的圆的标准方程． 法一：(代数法)待定系数法 法二：(几何法)；利用几何性质
引申： ① 方程 y＝ 4－(x－1) 表示的曲线是什么？ y + 2 2 2 ② x + y ＝16(y≥0)，求 的取值范围 x + 1
(1) 直线 l 上的每个点的坐标都是这个方程的解； 这个方程即为直线的方程 (2) 以这个方程的解为坐标的点都在直线 l 上. 二、引入新课(方法迁移)： (1) 定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合，定点叫做圆心， r 定长叫做半径。圆 C 就是集合 P＝{M | |MC| ＝ r } (2) 建立圆的方程： C 如图是一个点 C 为圆心，r 为半径的圆，求出这个圆的方程。 特殊： y 解：以圆心 C 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系 设点 M(x,y)为圆 C 上任一点 M r 2 2 则 MC＝r 由两点间距离公式： x +y ＝r 2 2 2 C x 即 x + y ＝r 求曲线方 特殊到一般： 程步骤： 解：圆心 C(a,b)，建立如图所示的直角坐标系 ①建系 y 设点 M(x,y)为圆 C 上任一点 ②设点 则 MC＝r ③列式 M 由两点间距离公式： r ④翻译 2 2 O x (x－a) +(y－b) ＝r C ⑤化简 2 2 2 即(x－a) +(y－b) ＝r ⑥检验 反之：若点 P1(x1，y1)是方程的解，要说明其是圆上一点。 ⑦结论 2 2 2 综上：圆的方程为(x－a) + (y－b) ＝r
在直线
上的圆的标准方程
8.求圆心在直线
上且与 y 轴交于两点
的圆的标准方程
五．高考链接 1. （ 07 上海文科）圆 关于直线 对称的圆的方程是
（
）.A . C. D.
B.
2.圆(x+1)2＋(y+2)2＝8 上到直线 x+y+1=0 的距离为
的点共有（
）. .
A．1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个 3.求.以点（1，2）为圆心，与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程.
4.求光线从点 A(1,1)出发，经 y 轴反射到圆 C: (x－5)2＋(y－7)2＝14 的最短路程.
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圆的对称性 2 2 例 5.已知圆 C: (x-1) + y =1 直线 l: y=x，求圆 C 关于直线 l 对称的圆的方程.
例 6、 已知圆 的方程。
， 圆
与圆
关于直线
对称， 求圆
课堂练习．求满足下列条件的圆的方程 (1) 经过点 P(5，1)，圆心点 C(8,-3)； (2) 经过点 P(4，2)，Q(－6，－2)，且圆心在 y 轴上； (3) 以点 A(1，5)，B(－1,7)为直径的圆； 2 2 (4) 圆(x－3) + (y－4) ＝1 关于直线 x + y＝0 对称的圆的方程； (5) 圆心在 y＝x + 1 上且与直线 l：x + 2y＝0 相切于(－2，1).