斜截面上的应力
轴向拉伸和压缩时,斜截面上正应力和切应力的公式
轴向拉伸和压缩时,斜截面上正应力和切应力的公式
轴向拉伸和压缩时，斜截面上正应力和切应力的公式如下：
1. 斜截面上的正应力公式：
σ = σx cos2θ + σy sin2θ
其中，σx 和σy 分别为轴向拉伸和压缩时的正应力，θ为斜截面与轴线的夹角。
2. 斜截面上的切应力公式：
τ = (σx - σy) sin2θ cos2θ
其中，τ为斜截面上的切应力。
需要注意的是，斜截面上的应力分量是相互作用的，也就是说，斜截面上的正应力和切应力是不可分离的。
同时，当θ = 45°时，斜截面上的切应力为零，也就是说，在这种情况下，斜截面上只有正应力。
- 1 -。
拉压杆斜截面上的应力
应力计算公式
σ=F/A，其中σ为横截面 上的应力，F为轴向拉伸 力，A为横截面面积。
压杆
定义
压杆是受到压缩作用的杆 件，其轴向压力垂直于杆 轴线。
受力特点
压杆在轴向压力作用下， 其横截面上的应力分布呈 现均匀性，且方向与压缩 力方向相反。
应力计算公式
σ=F/A，其中σ为横截面上 的应力，F为轴向压缩力， A为横截面面积。
常用的计算方法包括：截面法、能量法等，具体计算方法的选择取决于问题的具 体条件和要求。
04 斜截面上的应力对拉压杆 的影响
斜截面上的应力对拉杆的影响
拉杆在受到拉伸时，斜截面上的应力分布不均匀，表现为拉应力。拉应力的大小与拉杆的长度、截面 尺寸和材料有关。斜截面上的拉应力会导致拉杆发生伸长变形，影响其承载能力和稳定性。
拉压杆的设计原则与注意事项
设计原则
拉压杆的设计应遵循力学原理和相关标准规范，确保其具有足够的强度、刚度 和稳定性。
注意事项
在拉压杆的设计过程中，还需要考虑制造工艺、使用环境和维修保养等因素， 以确保其性能和安全可靠性。
感谢您的观看
THANKS
为了提高拉压杆的整体稳定性，可以通过优化设计、选择合 适的材料和加强结构措施等手段来改善斜截面上的应力分布 。例如，可以通过改变截面形状、增加加强筋或采用复合材 料等方法来提高拉压杆的承载能力和稳定性。
05 拉压杆的设计与优化
拉杆的设计与优化
拉杆的设计
拉杆的设计应考虑其承受的拉力 大小、方向和作用点，以及使用 环境和材料特性等因素。
表面。
斜截面上的应力方向与截面的 法线方向垂直，并垂直于杆件
的轴线。
在拉压杆的轴线方向上，斜截 面上的应力呈现对称分布，而 在垂直方向上呈现非对称分布 。
3-2平面应力在任意斜截面上的应力分量pdf
说明：弹性力学符号体系与传统的材料力学符号体系中，切应力τ 的符号规定 方向相反，孙国钧，赵社戌编教材采用弹性力学符号体系，金忠谋等编教材采 用材料力学符号体系，下面分述之。
弹性力学符号体系
y y’
σy τy
σy’
τx’y’ σx
τx σx
x’
τ
α
x
σx'
= σα
在应力状态中主应力是正应力中的最大值或最小值。在平面应力状态下主 应力的方向，即σ1 和 与 x 轴的夹角αo 满足：
主应力σ1 和σ2
为
⎜⎜⎝⎛
σ σ
1 2
⎟⎟⎠⎞＝⎜⎜⎝⎛σσ
max min
⎟⎟⎠⎞
=
σx
+σ 2
y
±
⎜⎜⎝⎛
σ
x
−σ 2
y
⎟⎟⎠⎞
+τ
2 xy
最大剪应力 所在的截面，满足：
如令 角满足上式，则
=
σx
+ σy 2
+
σx
− σy 2
cos 2α + τxy
sin 2α
τx' y' = τα =
−
σx
− 2
σy
sin
2α
+
τxy
cos 2α
σy'
= σα+90o
=
σx
+ σy 2
−
σx
− σy 2
cos 2α − τxy sin 2α
上式建立了任意斜截面以及与其垂直的截面上的应力分量σ x' ，σ y' ，τ x' y' 与坐标 面上应力分量σx, σy, τxy 之间的关系。
工程力学试题库-材料力学
材料力学基本知识复习要点1.材料力学的任务材料力学的主要任务就是在满足刚度、强度和稳定性的基础上，以最经济的代价，为构件确定合理的截面形状和尺寸，选择合适的材料，为合理设计构件提供必要的理论基础和计算方法。
2.变形固体及其基本假设连续性假设：认为组成物体的物质密实地充满物体所在的空间，毫无空隙。
均匀性假设：认为物体内各处的力学性能完全相同。
各向同性假设：认为组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。
小变形假设：认为构件在荷载作用下的变形与构件原始尺寸相比非常小。
3.外力与内力的概念外力：施加在结构上的外部荷载及支座反力。
内力：在外力作用下，构件内部各质点间相互作用力的改变量，即附加相互作用力。
内力成对出现，等值、反向，分别作用在构件的两部分上。
4.应力、正应力与切应力应力：截面上任一点内力的集度。
正应力：垂直于截面的应力分量。
切应力：和截面相切的应力分量。
5.截面法分二留一，内力代替。
可概括为四个字：截、弃、代、平。
即：欲求某点处内力，假想用截面把构件截开为两部分，保留其中一部分，舍弃另一部分，用内力代替弃去部分对保留部分的作用力，并进行受力平衡分析，求出内力。
6.变形与线应变切应变变形：变形固体形状的改变。
线应变：单位长度的伸缩量。
练习题一.单选题1、工程构件要正常安全的工作，必须满足一定的条件。
下列除（）项，其他各项是必须满足的条件。
A、强度条件B、刚度条件C、稳定性条件D、硬度条件2、物体受力作用而发生变形，当外力去掉后又能恢复原来形状和尺寸的性质称为（）A．弹性B．塑性C．刚性D．稳定性3、结构的超静定次数等于（）。
A．未知力的数目B．未知力数目与独立平衡方程数目的差数C．支座反力的数目D．支座反力数目与独立平衡方程数目的差数4、各向同性假设认为，材料内部各点的（）是相同的。
A.力学性质B.外力C.变形D.位移5、根据小变形条件，可以认为（）A.构件不变形B.结构不变形C.构件仅发生弹性变形D.构件变形远小于其原始尺寸6、构件的强度、刚度和稳定性（）A.只与材料的力学性质有关B.只与构件的形状尺寸有关C.与二者都有关D.与二者都无关7、在下列各工程材料中，（）不可应用各向同性假设。
工程力学第二单元斜截面应力
2
如果斜截面ef的面积为dA，则 体元左侧面eb的面积为 dA·cosa，而底面bf的面积为 dA·sina。
脱离体efb处于平衡状态，可利用平衡条件来求各截 面上应力之间的关系，取斜截面的法线n和切线t为投 影轴，体元的平衡方程为：
Fn 0，sa d A t x d Acosa sina s x d Acosa cosa
的计算公式为：
σα
σx
σy 2
σx
σy 2
cos 2α
τx
sin 2α
(13-3)
τα
σx
σy 2
sin 2α
τx
cos 2α
(13-4)
4
t y d Asina cosa s y d Asina sina 0
Ft 0，ta d A t x d Acosa cosa s x d Acosa sina
t y d Asin a sin a s y d Asin a cosa 0
3
一、斜截面应力
一般情况下的平面应力单元体如图a所示，为了简便起见，常 用平面图形如图b所示来表示，放在x-y坐标系中。作为一般情 况，设其上作用有正应力σx、σy以及切应力τx、τy，应力的 角标x和y表示其作用面的法线方向与x和y轴同向。 接下来，我们研究根据单元体各面上已知的应力分量来确定 其任一斜截面上的未知应力分量，并从而确定该点处的最大正应 力及其所在截面的方位。
根据切应力互等定理有： τ y τ x
将其代入平衡方程可得：
σα σx cos2 α σ y sin2 α 2τx sin αcosα (13-1)
06材料力学
注册土木工程师（港口与航道工程）执业资格考试培训讲稿基础考试：上午4小时120道题每题1分其中材料力学15道题平均每道题用时2分钟。
01年结构考题：拉压2 剪切1 扭转2 截面性质3 弯曲内力2 弯曲正应力3 弯曲变形（含超）2 应力状态强度理论 1 组合变形 2 稳定 102年岩土考题：拉压3 剪切1 扭转2 截面性质2 弯曲内力2 弯曲正应力1 弯曲变形（含超）1 应力状态强度理论 2 组合变形 1 稳定 102年结构考题：拉压3 剪切1 扭转1 截面性质2 弯曲内力2 弯曲正应力2 弯曲变形（含超）1 应力状态强度理论 2 组合变形 1 稳定 2全部是选择题，计算量小根据考试特点复习时应：基本概念要清楚，基本公式和定义要记牢，解题方法要熟练，要培养快速反应能力一、基本概念内力：构件在外力作用下发生变形，引起构件内部各质点之间产生的附加内力（简称内力）。
应力：截面内一点处内力的分布集度。
单位是：N/m2（Pa）、N/mm2（MPa）等。
应力可分为正应力σ和剪应力τ（剪应力）。
位移：构件内任一点由其原来位置到其新位置的连线称为该点的线位移。
构件内某一线段（或平面）由原始位置所转过的角度称为该线段（或平面）的角位移。
变形：构件形状的改变。
应变：构件内任一点处的变形程度。
应变又可分为线应变ε和剪应变γ，均为无量纲量。
线应变ε表示变形前构件内任一点处的一条微线段,变形后的长度改变量与其原始长度之比。
剪应变γ表示过构件内任一点的两个互相垂直的微线段，变形后两个微线段的角度改变量。
例题0 单元体变形后的形状如图中虚线所示，则A点的剪应变是( )。
(A) O，2γ，２γ (B) γ，γ，２γ(C) γ，２γ，２γ (D) O，γ，２γ例题0图答案：D二、四种基本变形的内力、应力及强度、变形1、内力拉压内力：轴力N扭转内力M T弯曲内力Q、M关键点内力的正负号，内力图的画法重点弯曲内力（因拉压、扭转内力较简单）熟练利用剪力、弯矩与分布力的微分关系及其图形的规律判断内力图的正确性。
§2.3 平面应力状态的图解法
应力 方向截面的代表点在 平面上构成一条曲线，由分析可
应变 分析
知这条曲线是一个封闭的圆，称为该点的应力圆，也称莫尔
及应 圆。
力应
变关
系
讲
义
1
莫尔圆（应力圆）的画法
BRY
(1) 斜截面上应力 ， 的符号规定
材 料
该点任意平行于 z 轴方向截面上的
力
正应力 ，以拉为“+”；
学 B
切应力 ，以使单元体有顺时针转动趋势为“+”。
料 为单位 1 的直角楔体微元。
力 学
Fnp 0：
r r
B
B 第
p dAcos r dAsin
2
( q dA) cos ( q dA)sin 0
q
p
A
p
np
章
p cos r sin q cos q sin r p
应力 应变 分析
p cos p sin q cos q sin
BRY
§2.3 平面应力状态的图解法
—— 应力圆（莫尔圆）
材
料
力 应力圆（莫尔圆）
学
B
建立直角坐标系 O ，水平轴为正应力 轴，铅垂轴为
第 切应力 轴。某点若为 xy 平面内的平面应力状态，以该点某
2 章
一平行于 z 轴方向斜截面上的正应力 和切应力 的数值为 坐标，可在 平面上得到一个代表点。所有平行于 z 轴
C(
x
y
,
0)
2
B E
P2
系
讲
D A P1 x
义
4
莫尔圆（应力圆）的作用
BRY
莫尔圆（应力圆）图直观地给出了平面应力状态下单元
等直圆杆扭转时斜截面上的应力
[] = ( 0.8 ~ 1.0 ) [ ] ( 铸铁 )
强度计算三方面：
① 校核强度：
max
Tm a x Wt
[ ]
② 设计截面尺寸：
Wt
Tm a x
[ ]
Wt
实：D3 16 空：1D6（3 1 4）
③ 计算许可载荷： Tmax Wt[ ]
[例2] 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，
(a)
´ (b)
M
1. 点M的应力单元体如图(b)：
2. 斜截面上的应力；
取分离体如图(d)：
´ (c)
x
´ (d)
(d)
n
x
´ t
转角规定：
轴正向转至截面外法线 由平衡方程：
逆时针：为“+” 顺时针：为“–”
Fn 0 ; dA (dAcos)sin ( dAsin)cos 0
Ft 0 ; dA (dAcos)cos ( dAsin)sin 0
非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲成空 间曲面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不 适用，须由弹性力学方法求解。
一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。
(纵向纤维长度不变, 无 , 只有 ) 二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面
此杆的强度和刚度。
h 100 2 ; 0.246; 0.229
b 50
②校核强度
Wt hb2 0.246 0.1 0.052 61.6106 m3
max
T max Wt
4000 61.6 106
65MPa
③校核刚度
It h b3 0.229 0.1 0.053 284 10 8 m4
材料力学典型例题及解析7.应力应变状态典型习题解析
应力、应变状态分析典型习题解析1 已知矩形截面梁，某截面上的剪力F S =120 kN 及弯矩m kN 10⋅=M 。
绘出表示1、2、3及4点应力状态的微体，并求出各点的主应力。
b = 60 mm ，h = 100 mm 。
解题分析：从图中可分析1、4点是单向应力状态，2点在中性轴上为纯剪切应力状态，31取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。
则各点处的应力状态如图示。
2、梁截面惯性矩为点微体上既有正应力又有切应力。
解：、画各点处微体的应力状态图计算各点处主应力4843333m 1050012m 10100(106012−−−×=×××==）bh I z 1点处弯曲正应力（压应力）MPa 100Pa 10100m10500m 1050m N 101064833−=×=×××⋅×==−−z I My σ1点为单向压缩受力状态，所以021==σσ，MPa 1003−=σ2点为纯剪切应力状态，MPa 30Pa 1030m10100602N1012036263=×=×××××=−τ（向下）容易得到，MPa 301=σ，02=σ，MPa303−=σ3点为一般平面应力状态弯曲正应力MPa50Pa 1050m 10500m 1025m N 101064833=×=×××⋅×==−−z I My σ弯曲切应力σ14τ2F S =120 kN题图1中性轴324hστ25 mm 31b M =10 kN·mσ3150 mm 1MPa 5.22Pa 1050.22m10500m 1060m 105.372560N 101206483393*S =×=××××××××==−−−zz bI S F τMPa6.8MPa6.58Pa)10522()2Pa 1050(2Pa 1050)2(22626622minmax −=×+×±×=+−±+=x y x yx τσσσσσσ所以 MPa 6.581=σ，02=σ，MPa 6.83−=σ4点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与1点相等。
(推荐)平面应力问题
l
yx
m yx l y
yx P xy
x
y A
fx px
x
为 l2、m2，则
y
B fy py
n
tan 2
cos(90 2 ) cos 2
m2 l2
2 x xy
(或 xy ) 2 y
22
应力主向的计算公式：
tan
1
x
(x
dx,
y)
x
(
x,
y)
x (x, x
y)
dx
1 2!
2 x (x,
x2
y)
(dx)2
1 n!
n x (
x
x,
n
y
)
(dx)n
10
略去二阶及二阶以上的微量后便得
x
(
x,
y)
x (x, x
y)
dx
同样 y 、 xy 、 yx 都一样处理，得到图示应力状
l x m yx l
m y l xy m
19
求解得：
m l
x yx
o
m yx
l y
y
2
(
x
y )
(
x
y
2 xy
)
0
yx y
x
P
A
xy
x B
px
n
n
py p
n
p x l x m yx
三向应力状态简介
例：填空题。
危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应选用
破坏形式为
。
第一
脆性断裂
强度理论进行计算，因为此时材料的
例：选择题。 纯剪切应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案：
（A）变大 （B）变小 （C）不变 （D）不确定
123 m
K
例： 圆轴直径为d，材料的弹性模量为E，泊松比为 μ ，为了测得轴端的力偶ｍ之值，但只有一 枚电阻片。 (1) 试设计电阻片粘贴的位置和方向； (2) 若按照你所定的位置和方向，已测得线应
对于二向应力状态：
1 1 E ( 1 2 )
2
1 E
(
2
1)
3 E ( 1 2 )
2 1
CL10TU30
下 面 考 虑 体 积 变 化 ：
V0abc
V 1 a ( 1 1 ) b ( 1 2 ) c ( 1 3 ) 2
a b c ( 1 1 23 )
） ） ）
§10-6 复杂应力状态下的变形比能
拉压变形能：
U1Pl1PPl P2l
2
2 EA 2EA
变形比能：
P
P
l l
uU P2l
2
1
V 2EAAl 2E 2
CL10TU40
变形比能：
u 1
2
u2 1112 1222 133 2
1 3
变形比能：
u21112122 2133
2 1 E 1 2 1 E12 2 13 2 2 （(1 2 2 3 ）23 31 )
强度理论的论述基本一致。
二
例：填空题。
一球体在外表面受均布压力p = 1 MPa作用，则在球心处的主应力 1 =
02.3.应力·拉(压)杆内的应力解析
4
FF
90106 Pa 90MPa
x
s2
FN 2 A2
20103 152 106
FN1 28.38k9N106 PaFN289M20PkaN
第19页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
Ⅲ. 拉(压)杆斜截面上的应力
k
F
F
k
k
F
F
斜截面上的内力： F F
k
变形假设：两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后仍相 互平行。
第二章 轴向拉伸和压缩
平均应力的定义
受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积ΔA上分布 内力的平均集度即平均应力， p F ，其方向和大小一般
m A
随所取ΔA的大小而不同。
F
M
A
第3页
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
总应力定义：
该截面上M点处分布内力的集度为
p
lim F
A0 A
武生院建筑工程学院：材料力学
第二章 轴向拉伸和压缩
ac
F
a
c
F
b
d
bd
3. 推论：拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段 的伸长(缩短)变形是均匀的。由于假设材料是均匀的，而杆 的分布内力集度又与杆件纵向线段的变形相对应，因而杆件
横截面上的正应力s呈均匀分布，亦即横截面上各点处的正 应力s 都相等。由合力概念知：
第15页
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第二章 轴向拉伸和压缩
例题2-3 已知薄壁圆环 d = 200 mm，δ= 5 mm，p = 2 MPa。试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。
材料力学-应力状态分析
+
σ x σ y
2
cos 2α τ x sin 2α
sin 2α + τ x cos 2α
注意： 的正负号， 注意：1）σx 、σy 、τx 和 α的正负号， 2） 公式中的切应力是τx ，而非τy， 而非 的正负号。 3） 计算出的σα和τα 的正负号。
τα τ α>0
τα τ α<0
图示圆轴中， 已知圆轴直径d=100mm， 轴向拉 例 ： 图示圆轴中 ， 已知圆轴直径 ， 力 F=500kN，外力矩Me=7kNm。求 C点α = 30°截 ， 外力矩 。 点 ° 面上的应力。 面上的应力。 y
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
C
A1
σ
D
y
σ1 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y + 2
2 +τ x
2
2
σ2 =
σ x +σ y
2
σ x +σ y 2 +τ x 2
σy
τ
D
x
τx τy
σx
o A2
2α0
C
A1
σ
D
y
2τ x 2α 0 = arctan σ x σ y
σ x σ y R= 2
+τ x2
2
σ x +σ y σ α 2
σy
σ x σ y 2 2 + τα = +τ x 2 τ
2 2
D
x
τx τy
σx
o
C D
y
σ
50MPa
拉压杆斜截面上的应力
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拉压杆应力与材料力学性能的关系
材料力学性能包括弹性模量、 泊松比和剪切模量等参数，这 些参பைடு நூலகம்与拉压杆应力之间存在
密切关系。
泊松比是描述材料横向变形与 纵向变形关系的参数，泊松比 越大，材料横向变形越小，拉 压杆的应力越大。
弹性模量是描述材料抵抗变形 能力的参数，弹性模量越大， 材料抵抗变形的能力越强，因
稳定性分析
为了防止失稳现象的发生，需要对拉压杆进行稳 定性分析，确定其临界载荷和失稳形态。
3
稳定性分析方法
可以采用静力学方法和动力学方法进行稳定性分 析，以确定拉压杆的临界载荷和失稳形态。
04 斜截面上的应力计算
斜截面应力的计算公式
公式推导
斜截面应力计算公式是通过材料力学 中的应力分析方法推导得出的，考虑 了杆件受力、截面尺寸等因素的影响 。
拉压杆斜截面上的应 力
目录
CONTENTS
• 拉压杆应力概述 • 斜截面上的应力分布 • 拉压杆的强度和刚度 • 斜截面上的应力计算 • 拉压杆的设计与优化
01 拉压杆应力概述
拉压杆应力的定义
01
拉压杆应力是指在拉压杆件中， 由于受到外力作用而产生的内部 应力，表现为杆件内部相邻部分 之间的相互挤压或拉伸。
剪切应力
由于外力作用，杆件在斜截面 上产生的切向应力，其方向与 切线方向一致。
正应力
由于外力作用，杆件在斜截面 上产生的径向应力，其方向与
垂直线方向一致。
斜截面应力分布的规律
规律
斜截面应力分布的规律与杆件的材料、 截面的形状、外力的大小和方向等因 素有关。
轴向拉压时斜截面上的应力
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
第四强度理论
第四强度理论（形状改变比能理论）
– 这一理论认为，形状改变比能Ux是引起材料发生屈服 破坏的原因。也就是说，材料无论处在什么应力状态 下，只要形状改变比能Ux达到材料在单向拉伸屈服时 的形状改变比能Uxs，材料就发生屈服破坏。即：(p291) Ux=Uxs 其强度条件为：
二向应力状态斜截面上的应力
如图为二向应力状态：
考虑平衡可得到：
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
二向应力状态下的强度理论源自东 财Dongbei University of Finance Economics ＆
强度理论－第一强度理论
强度理论
– 就是关于材料在不同的应力状态下失效的假设
第一强度理论（最大拉应力理论）★★★★
只要有一个主应力的值达到单向拉伸时σ b，材料就发生屈服； 即： σ1＝ σ b；引入安全系数后，其强度设计准则（强度条件 为：
σr1＝ σ1≤[σ]， 式中： σr1称为第一强度理论的相当应力； [σ]为单向拉伸时
的许用应力
实验证明，该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料 沿最大拉应力所在截面发生断裂的现象；而对于单向受压或 三向受压等没有拉应力的情况则不适合。
二向应力状态下的强度理论
东 财
Dongbei University of Finance Economics ＆
第二强度理论
第二强度理论（最大伸长线应变理论）
二向应力状态下的强度理论
材料力学
50 100 50 100 cos60 70sin 60
2
2
73.1MPa
30
x
y 2
sin 2
xy cos2
50 100 sin 60 70cos60 2
30MPa
（2）主应力及主平面的方位
max m in
0
tan 21
x 2 xy
y
上式可求出相差900的两个角a 1，对应两个互相垂直的极值切应力截 面。
m
ax
min
x
2
y
2
2 xy
比较公式 可见 所以有
tan 20
2 xy x
y
tan
21
x xy
y
max min
x
y
2
x
2
y
2
2 xy
三、最大切应力及其作用平面的位置
x
y
2
sin 2
xy cos 2
令 1 时
即
d 0 d
d d
( x
y ) cos21 2 xy sin 21
tan 2 0
1
tan 21
2a1
2a0
π 2
,
a1
a0
π 4
例 图a所示为受力构件内单元体各面上的应力，试用
已知应力状态如图所示
60o
σ2
p
σ1
解：(1) 求主应力
σ1
=
pD 2t
=
3×106 ×1 = 150 2 × 0.01
MPa
σ2
=
pD 4t
= σ1 2
= 75
MPa
σ3 = 0
最大切应力
τ max
=
σ1
−σ3 2
= 150 − 0 2
=
75
MPa
(2) 斜截面 ab 上的正应力及切应力：
σ x = σ 2 σ y = σ1 τ xy = 0 α = 60o
τ
(35,60.6)
60o
-70
70 σ
(e) (1) 应力分量
σ x = 70MPa σ y = 70MPa τ xy = 0 α = 30o
(2) 用解析法求斜截面上的应力
σα
=σ x
+σ 2
y
+σx
−σ 2
y
cos 2α
−τ
x sin 2α
= 70 + 70 = 70MPa 2
τ
α
σ =
x
−σ 2
σ1 = 70.4 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −10.4 MPa
(4) 截面上 4 点的应力：
σ (4) = −σ (1) = 120 MPa τ (4) = 0
应力状态单元：
120MPa
主应力：
σ1 = 120 MPa σ 2 = σ 3 = 0
8.8. 图为薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图。若 P=20 kN，T=600 NN·m，且 d=50 mm，δ=2 mm。 试求：(1)A 点在指定斜截面上的应力。(2)A 点主应力的大小及方向，并用单元体表示。
平面应力状态公式推导
平面应力状态公式推导一、平面应力状态的概念。
在物体内一点处的应力状态，如果所有应力作用面都平行于某一平面（设为xy平面），则称该点处于平面应力状态。
此时，在该点处垂直于xy平面方向（设为z方向）上的正应力σ_z和剪应力τ_zx、τ_zy都为零。
（一）单元体表示。
在平面应力状态下，通常取一个微小的正六面体（单元体）来研究该点的应力情况。
单元体的六个面中，有一对面垂直于z轴，由于σ_z = 0，τ_zx=τ_zy = 0，我们主要关注平行于xy平面的四个面上的应力。
设单元体上作用有σ_x、σ_y和τ_xy（τ_yx与τ_xy大小相等），其中σ_x是x面上（外法线沿x轴方向的面）的正应力，σ_y是y面上（外法线沿y轴方向的面）的正应力，τ_xy是x面上沿y方向的剪应力。
二、斜截面应力公式推导。
设斜截面外法线n与x轴正向夹角为α（逆时针方向为正）。
（一）利用平衡条件推导。
1. 建立坐标系和力的分解。
- 取斜截面面积为dA，则x面的面积为dAcosα，y面的面积为dAsinα。
- 根据应力的定义，作用在x面上的力为σ_xdAcosα和τ_xydAcosα（沿x、y 方向分解）；作用在y面上的力为σ_ydAsinα和τ_yxdAsinα（沿x、y方向分解）。
2. 沿斜截面外法线n方向的力平衡。
- 斜截面上的正应力σ_α，根据力的平衡条件∑ F_n=0，有：- σ_αdA=σ_xdAcos^2α+σ_ydAsin^2α + 2τ_xydAsinαcosα- 两边同时除以dA，得到σ_α=σ_xcos^2α+σ_ysin^2α+ 2τ_xysinαcosα- 利用三角函数的二倍角公式cos^2α=(1 +cos2α)/(2)，sin^2α=(1-co s2α)/(2)以及sin2α = 2sinαcosα，可将上式化为：- σ_α=frac{σ_x+σ_y}{2}+frac{σ_x-σ_y}{2}cos2α+τ_xysin2α3. 沿斜截面切线方向的力平衡。
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● 应力状态的概念 ● 平面应力状态分析的解析法
7- 1 应力状态的概念 一、问题的提出
杆件在基本变形时横截面上应力的 分布规律
轴向拉压：
N A
圆轴扭转：
M
n
p
I
平面弯曲：
My Iz
* QS z bI z
危险点处于单向应力状态或处于纯剪应
1、空间应力状态的概念
三个主应力均不为零
2、最大正应力和最大剪应力
max 1 1 - 3 max
2
3、广义虎克定律
单向应力状态下有
由 1引 起 的 应 变 1
1
E
纵向应变 E 横 向 应 变 - - E
- 由 2引 起 的 应 变 1
-
sin 2a - xy cos 2a
a + x + y C
结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数 2、比较a 、 : a = - 结论：在相互垂直的两截面上的剪应力数值相 等，它们的方向是共同指向或背离这个 平面的交线（剪应力互等定理）
二、主应力
力状态，相应强度条件为：
max max
实际问题：杆件的危险点处于更复杂的
受力状态
薄壁圆筒承受内压
x
破坏现象
脆性材料受压 和受扭破坏
钢筋混凝土梁
二、一点的应力状态
在受力构件内，在通过 同一点各个不同方位的 截面上，应力的大小和 方向是随截面的方位不 同而按照一定的规律变 化 通过构件内某一点的各 个不同方位的截面上的 应力及其相互关系，称 为点的应力状态
五、应力状态的分类
单向应力状态：三对主应力中，只有一对主应力
不等于零的情况。
二向应力状态：三对主应力中有两对主应力不等
于零的情况。
三向应力状态：三对主应力皆不等于零的情况。
7-2 平面应力状态分析—解析法
一、斜截面上的应力
已知：单元体 x，y，xyyx， a 研究与z轴平行的任一斜截面c e上的应力。 符号规则： 角：从x轴正方向反时针转至斜截面的 外法线方向为正，反之为负。 正应力：拉为正，压为负。 剪应力：使微元体或其局部产生顺时针方 向转动趋势者为正，反之为负。
三、研究方法：取单元体
单元体：微小的正六面体
原始单元体：单元体各侧面上应力均已知
纯剪单元体：单元体各侧面上只有剪应力 ，没有正应力。
主单元体：单元 体各侧面上只有正应力， 没有剪应力。
四、主平面 主应力 主方向
主平面：单元体中剪应力等于零的平面 主应力：主平面上的正应力
主方向：主平面的法线方向
2 2
a 0对应 max
x + y
2
a 0 + 90 对应 min
x + y
2
三、最大和最小剪应力
d a 0 da
2
x - y
2
cos 2a - 2 xy sin 2a 0
x - y tg 2a 2 xy
max
x - y 2 + + xy 2 x - y 2 - 2 + xy
N0 a dA+( xy dAcosa)sina-(x dAcosa)cosa +( yx dAsina)cosa-(y dAsina)sina0 T=0 a dA-(xy dAcosa)cosa-(x dAcosa)sina +(yx dAsina)sina+(y dAsina)cosa0
2 2
(a)
1 42.4 2 0 MPa - 2.4 3
确定主平面的位置
- 2 x - 2 20 tg 2a 0 2 x - y 10 - 30
2a 0
在第三象限
2a0 180 + 63 26
最大主应力位置
1
a0
2
2
min
例7-1 试求中所示单元体的主应力和最大剪应力。 （1）求主应力
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x + y x - y 2 + x 2 2 min
10 + 30 10 - 30 + 202 2 2 + 42.4MPa（ 拉 应 力 ） - 2.4MPa（ 压 应 力 ）
0
45 a0
0
1
2
135
3 -
max x + y x - y 2 + x 2 2 min
x
max 1 x min 3 - x
此现象称为纯剪切
7-3 空间应力状态
d a 0 da
-2
x - y
2
sin 2a - 2 xy cos 2a 0
2 xy
a 0
主方向tg 2a -
x - y
tg 2a 0
- 2 xy
x - y
x - y 2 + + xy 2 x - y 2 - + xy 2
a a
x + y 2 x - y 2
+
x - y 2
cos 2a - xy sin 2a
sin 2a + xy cos 2a
讨论
1 、90 + a
x + y 2 x - y 2 x - y 2 cos 2a + xy sin 2a
3
a 0 12143'
3
（2）求最大剪应力
1 42.4 2 0 MPa - 2.4 3
1
(a)
max
1 - 3
2
22 .4 MPa
3、 纯剪切应力状态
- 2 x tg 2a 0 - x - y
a0 135