斜截面上的应力
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第十章 应力状态 分析
● 应力状态的概念 ● 平面应力状态分析的解析法
7- 1 应力状态的概念 一、问题的提出
杆件在基本变形时横截面上应力的 分布规律
轴向拉压：
N A
圆轴扭转：
M
n
p
I
平面弯曲：
My Iz
* QS z bI z
危险点处于单向应力状态或处于纯剪应
1、空间应力状态的概念
三个主应力均不为零
2、最大正应力和最大剪应力
max 1 1 - 3 max
2
3、广义虎克定律
单向应力状态下有
由 1引 起 的 应 变 1
1
E
纵向应变 E 横 向 应 变 - - E
- 由 2引 起 的 应 变 1
-
sin 2a - xy cos 2a
a + x + y C
结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数 2、比较a 、 : a = - 结论：在相互垂直的两截面上的剪应力数值相 等，它们的方向是共同指向或背离这个 平面的交线（剪应力互等定理）
二、主应力
力状态，相应强度条件为：
max max
实际问题：杆件的危险点处于更复杂的
受力状态
薄壁圆筒承受内压
x
破坏现象
脆性材料受压 和受扭破坏
钢筋混凝土梁
二、一点的应力状态
在受力构件内，在通过 同一点各个不同方位的 截面上，应力的大小和 方向是随截面的方位不 同而按照一定的规律变 化 通过构件内某一点的各 个不同方位的截面上的 应力及其相互关系，称 为点的应力状态
五、应力状态的分类
单向应力状态：三对主应力中，只有一对主应力
不等于零的情况。
二向应力状态：三对主应力中有两对主应力不等
于零的情况。
三向应力状态：三对主应力皆不等于零的情况。
7-2 平面应力状态分析—解析法
一、斜截面上的应力
已知：单元体 x，y，xyyx， a 研究与z轴平行的任一斜截面c e上的应力。 符号规则： 角：从x轴正方向反时针转至斜截面的 外法线方向为正，反之为负。 正应力：拉为正，压为负。 剪应力：使微元体或其局部产生顺时针方 向转动趋势者为正，反之为负。
三、研究方法：取单元体
单元体：微小的正六面体
原始单元体：单元体各侧面上应力均已知
纯剪单元体：单元体各侧面上只有剪应力 ，没有正应力。
主单元体：单元 体各侧面上只有正应力， 没有剪应力。
四、主平面 主应力 主方向
主平面：单元体中剪应力等于零的平面 主应力：主平面上的正应力
主方向：主平面的法线方向
2 2
a 0对应 max
x + y
2
a 0 + 90 对应 min
x + y
2
三、最大和最小剪应力
d a 0 da
2
x - y
2
cos 2a - 2 xy sin 2a 0
x - y tg 2a 2 xy
max
x - y 2 + + xy 2 x - y 2 - 2 + xy
N0 a dA+( xy dAcosa)sina-(x dAcosa)cosa +( yx dAsina)cosa-(y dAsina)sina0 T=0 a dA-(xy dAcosa)cosa-(x dAcosa)sina +(yx dAsina)sina+(y dAsina)cosa0
2 2
(a)
1 42.4 2 0 MPa - 2.4 3
确定主平面的位置
- 2 x - 2 20 tg 2a 0 2 x - y 10 - 30
2a 0
在第三象限
2a0 180 + 63 26
最大主应力位置
1
a0
2
2
min
例7-1 试求中所示单元体的主应力和最大剪应力。 （1）求主应力
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x + y x - y 2 + x 2 2 min
10 + 30 10 - 30 + 202 2 2 + 42.4MPa（ 拉 应 力 ） - 2.4MPa（ 压 应 力 ）
0
45 a0
0
1
2
135
3 -
max x + y x - y 2 + x 2 2 min
x
max 1 x min 3 - x
此现象称为纯剪切
7-3 空间应力状态
d a 0 da
-2
x - y
2
sin 2a - 2 xy cos 2a 0
2 xy
a 0
主方向tg 2a -
x - y
tg 2a 0
- 2 xy
x - y
x - y 2 + + xy 2 x - y 2 - + xy 2
a a
x + y 2 x - y 2
+
x - y 2
cos 2a - xy sin 2a
sin 2a + xy cos 2a
讨论
1 、90 + a
x + y 2 x - y 2 x - y 2 cos 2a + xy sin 2a
3
a 0 12143'
3
（2）求最大剪应力
1 42.4 2 0 MPa - 2.4 3
1
(a)
max
1 - 3
2
22 .4 MPa
3、 纯剪切应力状态
- 2 x tg 2a 0 - x - y
a0 135
● 应力状态的概念 ● 平面应力状态分析的解析法
7- 1 应力状态的概念 一、问题的提出
杆件在基本变形时横截面上应力的 分布规律
轴向拉压：
N A
圆轴扭转：
M
n
p
I
平面弯曲：
My Iz
* QS z bI z
危险点处于单向应力状态或处于纯剪应
1、空间应力状态的概念
三个主应力均不为零
2、最大正应力和最大剪应力
max 1 1 - 3 max
2
3、广义虎克定律
单向应力状态下有
由 1引 起 的 应 变 1
1
E
纵向应变 E 横 向 应 变 - - E
- 由 2引 起 的 应 变 1
-
sin 2a - xy cos 2a
a + x + y C
结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数 2、比较a 、 : a = - 结论：在相互垂直的两截面上的剪应力数值相 等，它们的方向是共同指向或背离这个 平面的交线（剪应力互等定理）
二、主应力
力状态，相应强度条件为：
max max
实际问题：杆件的危险点处于更复杂的
受力状态
薄壁圆筒承受内压
x
破坏现象
脆性材料受压 和受扭破坏
钢筋混凝土梁
二、一点的应力状态
在受力构件内，在通过 同一点各个不同方位的 截面上，应力的大小和 方向是随截面的方位不 同而按照一定的规律变 化 通过构件内某一点的各 个不同方位的截面上的 应力及其相互关系，称 为点的应力状态
五、应力状态的分类
单向应力状态：三对主应力中，只有一对主应力
不等于零的情况。
二向应力状态：三对主应力中有两对主应力不等
于零的情况。
三向应力状态：三对主应力皆不等于零的情况。
7-2 平面应力状态分析—解析法
一、斜截面上的应力
已知：单元体 x，y，xyyx， a 研究与z轴平行的任一斜截面c e上的应力。 符号规则： 角：从x轴正方向反时针转至斜截面的 外法线方向为正，反之为负。 正应力：拉为正，压为负。 剪应力：使微元体或其局部产生顺时针方 向转动趋势者为正，反之为负。
三、研究方法：取单元体
单元体：微小的正六面体
原始单元体：单元体各侧面上应力均已知
纯剪单元体：单元体各侧面上只有剪应力 ，没有正应力。
主单元体：单元 体各侧面上只有正应力， 没有剪应力。
四、主平面 主应力 主方向
主平面：单元体中剪应力等于零的平面 主应力：主平面上的正应力
主方向：主平面的法线方向
2 2
a 0对应 max
x + y
2
a 0 + 90 对应 min
x + y
2
三、最大和最小剪应力
d a 0 da
2
x - y
2
cos 2a - 2 xy sin 2a 0
x - y tg 2a 2 xy
max
x - y 2 + + xy 2 x - y 2 - 2 + xy
N0 a dA+( xy dAcosa)sina-(x dAcosa)cosa +( yx dAsina)cosa-(y dAsina)sina0 T=0 a dA-(xy dAcosa)cosa-(x dAcosa)sina +(yx dAsina)sina+(y dAsina)cosa0
2 2
(a)
1 42.4 2 0 MPa - 2.4 3
确定主平面的位置
- 2 x - 2 20 tg 2a 0 2 x - y 10 - 30
2a 0
在第三象限
2a0 180 + 63 26
最大主应力位置
1
a0
2
2
min
例7-1 试求中所示单元体的主应力和最大剪应力。 （1）求主应力
x 10MPa, y 30MPa, x 20MPa max x + y x - y 2 + x 2 2 min
10 + 30 10 - 30 + 202 2 2 + 42.4MPa（ 拉 应 力 ） - 2.4MPa（ 压 应 力 ）
0
45 a0
0
1
2
135
3 -
max x + y x - y 2 + x 2 2 min
x
max 1 x min 3 - x
此现象称为纯剪切
7-3 空间应力状态
d a 0 da
-2
x - y
2
sin 2a - 2 xy cos 2a 0
2 xy
a 0
主方向tg 2a -
x - y
tg 2a 0
- 2 xy
x - y
x - y 2 + + xy 2 x - y 2 - + xy 2
a a
x + y 2 x - y 2
+
x - y 2
cos 2a - xy sin 2a
sin 2a + xy cos 2a
讨论
1 、90 + a
x + y 2 x - y 2 x - y 2 cos 2a + xy sin 2a
3
a 0 12143'
3
（2）求最大剪应力
1 42.4 2 0 MPa - 2.4 3
1
(a)
max
1 - 3
2
22 .4 MPa
3、 纯剪切应力状态
- 2 x tg 2a 0 - x - y
a0 135