人教版高数必修二第5讲：空间中的平行关系(学生版)

空间中的平行关系

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了解直线和平面的三种位置关系； 理解并掌握直线与平面平行的判定定理； 理解并掌握直线与平面平行的性质定理； 理解并掌握平面与平面平行的性质定理．

一、直线与平面的位置关系

位置关系 交点个数

图形语言

符号语言

直线在平面内

a α⊂

直线在平面外

直线与平面相交

a A α=I

直线与平面平行

//a α

二、直线和平面平行

1.定义：如果一条直线和一个平面________，那么这条直线与这个平面平行．

2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

推理模式：////a b a a b ααα⊄⎫

⎪

⊂⇒⎬⎪⎭

特别说明：

1、定理中的三个条件缺一不可．

2、该定理的作用：证明线面平行．

a

α

A

a

α

a

α

3、该定理可简记为“线线平行，则线面平行．”

3.性质定理

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这______________．

推理模式

//

// a

a a b

b

α

β

αβ

⎫

⎪

⊂⇒

⎬

⎪

=⎭

I

特别说明：

1、定理中的三个条件缺一不可．

2、该定理的作用：证明线线平行．

3、该定理可简记为“线面平行，则线线平行．”

三、平面和平面的位置关系

四、平面与平面平行

1.两平面互相平行的定义

如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行．

2.两平面平行的判定定理

如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

推理模式：

,//

,////

a a

b b

a b A

αβ

αβαβ

⊂⎫

⎪

⊂⇒

⎬

⎪

=⎭

I

．简言之：线面平行⇒面面平行

推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行． 3.两个平面平行的性质

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么____________________．

推理模式：

//

//

a a b

b

αβ

γα

γβ

⎫

⎪

=⇒

⎬

⎪

=⎭

I

I

．简言之：面面平行⇒线线平行

特别说明：

平面与平面平行的其它性质

（1）两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面．

（2）夹在两个平行平面之间的平行线段相等．

（3）经过平面外一点，有且仅有一个平面和已知平面平行．

（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段_________．

类型一线面平行

例1：b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是()

A．b与α内的一条直线不相交

B．b与α内的两条直线不相交

C．b与α内的无数条直线不相交

D．b与α内的任何一条直线都不相交

练习1：(2014·甘肃天水一中高一期末测试)直线在平面外是指()

A．直线与平面没有公共点

B．直线与平面相交

C．直线与平面平行

D．直线与平面最多有一个公共点

练习2：点M、N是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是()

A．平行

B．相交

C．MN⊂平面PCB1

D．以上三种情形都有可能

练习3：在正方体ABCD－A1B1C1D1中和平面C1DB平行的侧面对角线有________条．

例2：(2014江西丰城三中高一期末测试)如图，已知E、F分别是三棱锥A－BCD

的侧棱AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD.

练习1：((2014·山东济南一中月考)如图所示，已知P是▱ABCD所在平

面外的一点，M是PB的中点，求证：PD∥平面MAC.

练习2：(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)如图，已知正方体

ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD对角线的交点，求证：C1O∥

平面AB1D1.

例3：已知直线a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，求证a∥b.

练习1：三个平面α、β、γ两两相交，

有三条交线l1、l2、l3，如果l1∥l2.求证：l3与l1、l2平行．

练习2:如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

N是PB的中点，过A、N、D三点的平面交PC于点M，求证：AD∥MN.

类型二平面与平面平行

例3：如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB、AC、A1B1、A1C1的中点，求证：平面EFA 1∥平面BCHG.

练习1：如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，

求证：平面AB1D1∥平面BDC1.

练习2：已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.

练习3：在正方体EFGH－E1F1G1H1中，平面E1FG1与平面EGH1，平面FHG1与平面F1H1G，平面F1H1H与平面FHE1，平面E1HG1与平面EH1G中互相平行的对数为()