第5节线性子空间的基与维数

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线性空间的基与维数

2,
a
3,
a
T
4)
线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的
坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是
唯一的．
例２所有二阶实矩阵组成的集合V，对于矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
0 0
0 0
E
21
1
0
,
E
22
( x1, x2 , , xn )T
结论
１．数域 P上任意两个n 维线性空间都同
构２．．同构的线性空间之间具有反身性、对称性
与传递性．
３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
( 2)
V中任一元素总可由1,2 ,
,
线
n
性
表示,
那末, 1,2 , ,n 就称为线性空间V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为n 维线性空间,记作Vn . 当一个线性空间 V 中存在任意多个线性无关
的向量时，就称 V 是无限维的．
若1 ,2 , ,n为Vn的一个基,则Vn可表示为
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空间V 中，最多能有多少线性无关的向量？

线性空间的基与维数

线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是由一组元素构成的集合，这些元素之间满足线性运算的性质。

在线性空间中，基与维数是两个重要的概念。

一、线性空间的基线性空间的基是指线性空间中的一组线性无关的元素，通过这组元素可以表示整个线性空间中的任意元素。

换言之，线性空间中的每个元素都可以唯一地由基中的元素线性组合而成。

线性空间的基具有以下特性：1. 基中的元素线性无关，即任意一个基中的元素不能被其他基中的元素线性表示。

2. 基中的元素张成整个线性空间，即线性空间中的任意元素都可以由基中的元素线性组合而成。

3. 基中的元素个数是唯一的，即同一个线性空间中的不同基所包含的元素个数是相同的，这个个数称为线性空间的维数。

二、线性空间的维数线性空间的维数是指线性空间中的基所包含的元素的个数，用整数表示。

维数是衡量线性空间大小的一个重要指标。

线性空间的维数具有以下性质：1. 对于一个线性空间，如果存在一个有限的基，则该线性空间的维数是有限的。

2. 对于一个线性空间，如果不存在有限的基，则该线性空间的维数是无限的。

维数是线性空间一个重要的性质，它决定了线性空间的很多性质。

在线性代数中，我们可以通过求解线性方程组的秩来确定线性空间的维数。

三、基与维数的应用基与维数在线性代数的各个分支中有广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景：1. 线性变换的表示：线性变换可以由一个矩阵表示，基的选择与线性变换的矩阵表示密切相关。

2. 向量空间的表示：向量空间中的向量可以由线性组合表示，基的选择可以简化向量空间中向量的表示和计算。

3. 子空间的判断：基与维数可以用来判断一个子集是否构成了线性空间的子空间。

4. 线性方程组的解空间：线性方程组的解空间可以由基与维数表示。

总结：线性空间的基与维数是线性代数中的重要概念。

基是线性空间中一组线性无关的元素，可以表示线性空间中的任意元素；维数是基所包含的元素的个数，它决定了线性空间的很多性质。

线性空间,基和维数

第六章线性空间
§1 集合映射集合 §2 线性空间的定义与简单性质 §3 维数基与坐标维数 §4 基变换与坐标变换 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构小结与习题
§6.3 维数基与坐标
一、线性空间中向量之间的线性关系二、线性空间的维数、基与坐标线性空间的维数、
§6.3 维数基坐标
（ 2）基在 n 维线性空间 V 中，n 个线性无关的向量
ε 1 , ε 2 ,L , ε n ，称为 V 的一组基；的一组基
（3）坐标
ε1 , ε 2 ,L, ε n 为线性空间 V 的一组基， ∈ V , α 的一组基，若 α = a1ε 1 + a2ε 2 + L + anε n , a1 , a2 ,L , an ∈ P
注：任意数域看成是它自身上的线性空间是一维的，任意数域P看成是它自身上的线性空间是一维的看成是它自身上的线性空间是一维的，
就是它的一组基. 数1就是它的一组基就是它的一组基
§6.3 维数基坐标
例5
求数域P上的线性空间求数域上的线性空间 P
2×2
的维数和一组基．的维数和一组基．
解：令 E11 = 1 0 , E12 = 0 1 , E21 = 0 0 , E22 = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0
§6.3 维数基坐标
注意：注意：
的基不是唯一的，中任意个 ① n 维线性空间 V的基不是唯一的，V中任意 n个的基不是唯一的线性无关的向量都是V的一组基．线性无关的向量都是的一组基．的一组基任意两组基向量是等价的． ② 任意两组基向量是等价的．例3（1）证明：线性空间维的，（）证明：线性空间P[x]n是n 维的，且 1，x，x2，…，xn－1 为 P[x]n 的一组基．，，的一组基．，－（2）证明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1 ）证明：，－，－，－－也为P[x]n的一组基．的一组基．也为

§5 线性子空间

n
由它的一组基生成. 即Pn 由它的一组基生成类似地，类似地，还有
事实上，事实上，任一有限维线性空间都可由它的一组基生成. 它的一组基生成
P[ x ]n = L(1, x , x 2 ,L , x n−1 ) = a0 + a1 x + L + an−1 x n−1 a0 , a1 ,L , an−1 ∈ P
一、线性子空间二、生成子空间
一、线性子间
1、线性子空间的定义
是数域P上的线性空间设V是数域上的线性空间，集合 W ⊆ V (W ≠ ∅ ) 是数域上的线性空间，对于V中的两种运算也构成数域若W对于中的两种运算也构成数域上的线性空间对于中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间．的一个线性子空间子空间．则称为的一个线性子空间，简称为子空间线性子空间也是数域P上一线性空间上一线性空间，注：① 线性子空间也是数域上一线性空间，它也有基与维数的概念. 有基与维数的概念. ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的维数. 维数.
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基. 若为的子空间，求出其维数与一组基. 的子空间，不是P 的子空间. 解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是 n的子空间. 事实上，事实上，W1 是n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 ① 的解空间. 所以，的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
例5
判断P 的下列子集合哪些是子空间：判断 n的下列子集合哪些是子空间：
W1 = {( x1 , x2 ,L , xn ) x1 + x2 + L + xn = 0, xi ∈ P } W2 = {( x1 , x2 ,L , xn ) x1 + x2 + L + xn = 1, xi ∈ P } W3 = {( x1 , x2 ,L , xn−1 ,0) xi ∈ P , i = 1,2,L , n − 1}

子空间的交的基与维数的一种简易求法

求子空间的交与维数是线性代数中常见的知识点，本文通过一种简便
的方法使求子空间的交与维数的问题更加容易。

首先，假设有两个子空间S1S2，那么求它们的交可以把它们看成两个
集合，求它们的并集，集合有交集——这就是求子空间交的算法。

只
需要将S1和S2分别用向量来表示，把两个子空间中的向量连接起来，那么就可以这样来求解：从这个集合中把共同维度（即集合体中所有
向量内积为0）的向量去掉，那么剩下的向量构成了这两个子空间的交。

其次，求子空间的维数。

在求交的基础上，便可以求出所求子空间的
维数。

因为交是由向量构成的，也就是说维数即是这个子空间中所含
的向量数量。

显然，通过求解交的方法，可以简便的的求出子空间的
维数。

总的来说，通过一种求子空间的交和维数的简易求法，可以让求解子
空间交维数变得更加简单容易，而不需要耗费大量的精力和时间。

因此，本文提出的这种求法在线性代数教学和科研中都有着重要的作用。

第5节线性子空间的基与维数

r
s x1 1 x2 2 xs s x j aij i i 1 j 1
r
如果能找到不全为0的 x1 , x2 ,, xs ,，使
x j a1 j x j a2 j x j arj 0 j 1 j 1 j 1
命题5.8 设W和Z都是线性空间V的子空间，如果
W Z 且 dim(W )=dim( Z ), 则 W Z .
例5.2（Ex 3）下面的证明方法类似引理5.2。
i ai 11 ai 2 2 air r aij j ,
i 1,2,, s.
考虑下面的线性表示
r
( ai 1 xi )1 ( ai 2 xi ) 2 ( air xi ) r 0
i 1 i 1 i 1
r
r
r
ai 1 xi ai 2 xi air xi 0
i 1 i 1 i 1
r
r
r
a11 x1 a21 x2 ar 1 xr 0 a12 x1 a22 x2 ar 2 xr 0 a x a x a x 0 2r 2 rr r 1r 1
x1 b1 几个例子表明：线性空 x x b 2 2 1 x1 x2 x3 b3 间的基不是唯一的，基中的向量是有序的。 x x x x b 2 3 n n 1
解得坐标为
x1 b1 , x2 b2 b1 , x3 b3 b2 ,, xn bn bn1
即任意向量都可由 1 , 2 ,, n 线性表示。由命题5.1知1 , 2 ,, n 是一个基且向量坐标为

线性代数基和维数

定义4.5.1 R n 的非零子空间H的线性无关生成集称为H的基（basis）.
n R 例4.5.2 可逆n阶方阵的n个列向量构成的基.
证明：设可逆方阵 A 1,2 ,...,n , 其列向量组线性无关. 对 R n 中的任意向量 ,由性质4.2.5, 1,2 ,...,n , 线性相关. 由例4.2.7知，可由1 ,2 ,...,n 线性表出， 1 ,2 是 ,...,n 的基 Rn . 因此
证明：证明方法类似于上例中的讨论. 令B是A的行最简形矩阵. B的主元列线性无关，而A行等价于B，由定理4.5.2可知，A的主元列线性无关.
B的非主元列可表成B的主元列的线性组合，则A 的非主元列也可表成A的主元列的线性组合，因而可以从ColA的生成集中删除. 这样，A的主元列构成了ColA的基.
如果能用两种方式表成1,2 ,..., p 的线性组合，即
k11 k22 ... k p p ,
l11 l22 ... l p p .
两式相减，有
0 (k1 l1 )1 (k2 l2 )2 ... (k p l p ) p .
例4.5.7 NulA的维数是方程组Ax=0中自由变量的个数. ColA的维数是A的主元列的数目.
n R 定理4.5.6 若H是的子空间，dim H p. 则
（1）H中任意p个线性无关的向量构成H的一组基; （2）如果H中p个向量构成H的生成集，则这 p个向量也构成H的一组基.
子空间H的基相对于生成集的另一个优点是： H中的每个向量仅能用一种方式写成基向量的线性组合，即表出是唯一的. 定理4.5.8 若 1 , 2 ,..., p 是子空间H的基，则H 中的任一向量能且仅能用一种方式表为 1 ,2 ,..., p 的线性组合. 证明：因为 1 , 2 ,..., p 是H的生成集，H中任一向量必可表为 1,2 ,..., p 的线性组合.

线性空间的基与维数

线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有加法和数乘运算的集合，并满足线性空间的定义和性质。

在线性空间中，基和维数是两个核心概念，它们对于理解线性空间的结构和性质具有重要意义。

一、线性空间的定义和性质线性空间是指满足以下定义和性质的集合：1. 集合中存在加法运算，即对于任意两个元素x和y，存在相应的元素x+y；2. 集合中存在数乘运算，即对于任意元素x和数k，存在相应的元素kx；3. 加法和数乘运算满足封闭性，即对于任意元素x和y，x+y和kx 仍然属于该集合；4. 加法满足结合律和交换律，即对于任意元素x、y和z，(x+y)+z=x+(y+z)和x+y=y+x；5. 加法满足单位元存在性，即存在一个元素0，对于任意元素x，有x+0=x；6. 加法满足逆元存在性，即对于任意元素x，存在相应的元素-y，使得x+(-y)=0；7. 数乘运算满足结合律和分配律，即对于任意元素x和k、l，有k(lx)=(kl)x和(k+l)x=kx+lx；8. 数乘运算满足单位元存在性，即对于任意元素x，有1x=x。

二、在线性空间中，基是指一个线性无关且能生成整个空间的向量组。

即对于线性空间V，存在向量组{v1, v2, ..., vn}，满足以下条件：1. 线性无关性：向量组中的任意有限个向量线性无关，即不存在非零标量c1, c2, ..., cn，使得c1v1 + c2v2 + ... + cnvn = 0；2. 生成性：向量组的线性组合能够生成整个线性空间V，即对于任意向量v∈V，存在标量c1, c2, ..., cn，使得v = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn。

线性空间的维数是指基中向量的个数，用n表示。

记作dim(V) = n。

三、线性空间的基与维数的性质线性空间的基与维数具有以下性质：1. 基的个数是唯一的：线性空间V的任意两个基所含向量个数相同；2. 维数的唯一性：线性空间V的维数唯一，与基的选择无关；3. 向量组的性质：线性空间V中的任意向量组若线性无关，则含有的向量个数不超过维数；4. 维数与子空间：线性空间V的任意非零子空间的维数小于等于V的维数；5. 维数与线性变换：线性空间V到线性空间W的线性映射T是满射时，有dim(W) ≤ dim(V)；当T是一一映射时，有dim(W) ≥ dim(V)。

线形空间的维数与基

浅谈线性空间的维数与基摘要本文通过对有限维线性空间中基和维数的讨论，总结出了有限维线性空间的基和维数的求解方法，并且，用不同的方法对线性空间的基和维数的应用进行了探讨.关键词：线性空间；维数；基；同构；子空间THE DISCUSSING TO THE DIMENSIONS ANDBASES OF LINEAR SPACEABSTRACTIn this paper, by discussing dimensions and bases of finite dimensions linear space, we Summarizes the methods to soluting dimensions and bases of finite dimensional linear space. Moreover, the application of the bases and dimensions are discussed in different ways.Keywords: linear space; dimension; base; isomorphism; subspace .目录摘要 (1)关键词： (1)ABSTRACT (2)一、基本概念 (4)二、线性空间的基和维数求解方法 (5)2.1、定义法 (5)2.2、利用相关定理求维数与基 (8)三、线性空间基和维数的应用 (10)3.1、次子空间的应用 (10)3.2、在同构线性空间中的应用 (12)四、有限维线性空间基的扩充 (13)五、参考文献 (15)致谢 (15)一、基本概念定义1.2、U 中向量集H 如果满足下述两个条件，① 向量集H 是线性相关的；② U 中每一个向量可以由H 中有限个向量线性表出；则H 是U 的一个基，只含0向量的基是空集。

定义1.3、U 称为有限维的，如果U 有一个基包含有限多个向量，否则U 称为无限维的，有限维线性空间的一个基所含向量个数称为U 的维数。

线性代数第五章向量空间

称为n元向量空间。
,an P
向量空间---基和维数
向量空间V中若向量组 1 ,2 , ,k 为极大
向线性无关组，则称其为向量空间V的一组基
量维数：基中所含向量的个数，dimV k.
空 Pn 的基和维数：由n个n元向量组成的极大
间
线性无关组。故基不唯一。
1,2, ,n , i 0,0, ,1, ,0T
m2 n 2

mn1n , mn2n ,
m11
M=

m21

mnnn .

mn1
m12 m22
mn2
m1n
m2
n

mnn

1 2
n 1 2
n M
M称为基(I)到基(II)的过渡矩阵。（M可逆？）
向量空间---过渡矩阵
(I ) 1,2, ,n; (II) 1, 2, , n 是 Pn
间
Байду номын сангаас
k31 3 , 1 / 1, 1 ; k32 3 , 2 / 2 , 2 ;
3 3
3 , 2 2 , 2
2
3, 1 1, 1
1.
向量空间---作业
向 P139 6 量 P142 3(1), 3(2) 空 P147 6,7
, , , ;
, 0, 且 , 0 O.
, , 是 Rn 中任意向量，k为任意实数。
向量空间---内积和标准正交基
向量的长度：|| || ,
向
单位向量： || || 1
向的两组基，向量在基(I)、(II)的坐标分

线性空间的基与维数

x1 1 x2 2 xn n ,
有序数组x1 , x2 , , xn 称为元素在 1 , 2 , , n 这个基下的坐标 , 并记作
T x1 , x2 ,, xn .
例1 在线性空间P[ x ]4中, p1 1, p 2 x , p 3 x 2 , p 4 x 3 , p 5 x 4 就是它的一个基 .
T T
则有
( x1 , x2 ,, xn )
பைடு நூலகம்
T
结论１．数域 P上任意两个n 维线性空间都同构．２．同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性．３．同维数的线性空间必同构．
同构的意义
在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
k1 k 2 , k 1 E 11 k 2 E 12 k 3 E 21 k 4 E 22 k3 k4
因此 0 0 , k 1 E 11 k 2 E 12 k 3 E 21 k 4 E 22 O 0 0
k 1 k 2 k 3 k 3 0,
n维线性空间
Vn
R
n
x1 1 x2 2 xn n
x ( x1 , x2 , , xn )
T
( 2)设
( x1 , x2 ,, xn )T ( y1 , y2 ,, yn )T
( x1 , x2 ,, xn ) ( y1 , y2 ,, yn )
线性空间的基与维数
已知：在 R 中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．

第五节线性子空间

注意： 1）有限维线性空间V 的任意一个子空间都可由V 中一组向量生成； 2）有限维线性空间V 具有不超过 dimV 的任一维数的子空间。
2 生成子空间的性质
定理 3 1）两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价； 2） L(1, 2 ,, r ) 的维数等于向量组1,2 ,, r 的秩；
定理 4 设W 是 n 维线性空间V 的 m 维子空间，1, 2 ,, m 是W 的一组基，那么这组基必定可扩充为整个空间的基，即在V 中必定可以找到 n m 个向量 m1, m2 ,, n ，使得1, 2 ,, m ， m1, m2 ,, n 是V 的一组基。
例 7 设W {A | A P nn ,且 | A | 0} ，问W 是否是 Pnn 的子空间？
二、子空间的构造 1 生成子空间
r
L(1, 2 ,, r ) { ki i | ki P, i 1,2,, r} i 1
例 8 在 P[x] 中，由1, x, x2 ,, xn1 生成的子空间为 L(1, x, x 2 ,, x n1 ) P[x]n 。
n
例 4 设W {(a1, a2 ,, an ) | ai 0, ai P} ，问W 是否是 Pn 的子空 i 1
间？例 5 设 A Pmn ， X (x1, x2 ,, xn ) ，令W {X | AX 0}，问W 是
否是 Pn 的子空间？
例 6 设W {A | A P nn ,且A A} ，问W 是否是 Pnn 的子空间？
3）当
A

0
0
2 0

0

时，求
C(
A)
的维数和一组基。

基与维数的几种求法

线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V 中，如果有n 个向量宀，…n 满足:⑴1,2…，n 线性无关。

⑵V 中任一向量G 总可以由 S ,..0n线性表示。

那么称V 为n 维(有限维)线性空间，n 为V 的维数，记为dim V = n ,并称O∙ι,Ct 2,…，ct n 为线性空间V 的一组基。

如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。

例1设V=IXAX=O?，A 为数域P 上m n 矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。

解设矩阵A 的秩为r ,则齐次线性方程组 AX=O 的任一基础解系都是 V 的基，且V 的维数为n -r 。

[0 a例2数域P 上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成'<-a b 」的线性空间，求此空间的维数和一组基。

方法二在已知线性空间的维数为 n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

例3假定R IX I n 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：1,X -1 , X-1 2川|, X-1 n 4 构成 R IX ]n的基。

n证明考察 k 1+k 2(x -1)+IH+k n (x -1) =0由X n4的系数为0得k n =0 ,并代入上式可得X nJ 的系数k n ∕=0 依此类推便有k n = k n 4I = k 1= 0 ,a,b P 的一组线性无关的向量组，且对V 中任广O a有r0 a=a '0 1、 + b'0 O Ai —a b 」I a b 」J 0」<01‘0 1 ' ‘0 0'<1 0」' <0 1」V 的维数为2。

元素按定义为V 的一组基,故1,(x_1 )，HI,(x_1 )^ 线性无关n 1又RlX n的维数为n,于是I) x_1 ,川，x_1 为RlX(I的基。

线性空间的基与维数

线性空间的基与维数线性空间是线性代数中的重要概念，它在数学和应用领域中都有广泛的应用。

本文将探讨线性空间的基与维数，以及它们在线性代数中的意义和应用。

一、线性空间的概念与性质线性空间是指一个具备了加法运算和数乘运算的集合，且满足以下性质：1. 封闭性：对于任意向量组成的集合S，如果对于任意向量a，b∈S和任意标量c∈F（其中F表示该线性空间定义域内的域），都有a + b和c·a仍然属于S，则称S是该线性空间的一个子空间；2. 零向量：对于线性空间V，存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v∈V，有v + 0 = v；3. 加法逆元：对于线性空间V中的任意向量v，存在一个逆元向量−v，使得v + (−v) = 0；4. 结合律和分配律：对于线性空间V中的任意向量a，b和c，有(a + b) + c = a + (b + c)和c(a + b) = ca + cb。

二、线性空间的基在线性空间V中，如果存在一组向量{v1, v2, ..., vn}，满足：1. 这组向量线性无关；2. 任意向量v∈V都可以由这组向量线性表示。

那么，这组向量{v1, v2, ..., vn}被称为线性空间V的一个基。

基是线性空间中最重要的概念之一，它可以用来表示线性空间中的任意向量。

三、线性空间的维数线性空间的维数是指该线性空间的基所包含的向量个数。

记线性空间V的维数为dim(V)，则对于线性空间V的任意基，它所包含的向量个数都相同，即dim(V)是唯一确定的。

维数的概念在线性代数中具有重要的意义。

它可以用来衡量线性空间的大小以及其所能表示的向量的种类。

维数为1的线性空间只包含一个向量，而维数为n的线性空间可以表示任意n维向量。

四、线性空间的维数与基的关系线性空间的维数与其基是密切相关的。

根据线性代数的基本定理，任意线性空间中的所有基都包含相同数量的向量，即具有相同的维数。

设线性空间V的维数为n，则任意一个基包含n个线性无关的向量。

线性子空间

它的一组基生成.
类似地，还有
P[ x]n L(1, x, x2,L , xn1)
a0 a1 x L an1xn1 a0 ,a1,L ,an1 P
第六章线性空间 §5 线性子空间
有关结论 1、设W为n维线性空间V的任一子空间，1,2 ,L ,r 是W的一组基，则有 W L(1,2 ,L ,r ) 2、（定理3）
第六章线性空间 §5 线性子空间
由于W V，规则1）、2）、5）、6）、7）、8）是显然成立的．下证3）、4）成立．
∵W ，∴ W . 且对 W，由数乘运算封闭，有 (1) W，即W中元素的负元素就是
它在V中的负元素，4）成立．
由加法封闭，有 0 ( )W ,即W中的零元
就是V中的零元， 3）成立．
第六章线性空间 §5 线性子空间
例7 在Pn 中，
i
(0,L
, 0,1, 0L i
, 0),
i 1,2,L ,n
为Pn的一组基， (a1,a2,L ,an ) Pn
有 a11 a2 2 L an n
故有 Pn L(1,2,L ,n )
事实上，任一有限维线性空间都可由
即Pn 由它的一组基生成.
第六章线性空间 §5 线性子空间
2、线性子空间的判定定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V
(W )，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W ,k P, 有 k W
则W是V的一个子空间．证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证
W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1 、W3是Pn元齐次线性方程组
x1 x2 L xn 0

求生成的子空间的基与维数

求生成的子空间的基与维数
假设我们有一个向量空间V，它的维数为n。

现在我们想要找到一个子空间W，使得它可以由V的一组线性无关的向量生成。

那么如何求出W的基和维数呢？
首先，我们需要找到V中的一组线性无关的向量，用它们来生成W。

这些向量可以是V中的任意向量，但是为了方便起见，我们通常选择V的前k个基向量，其中k是W的维数。

接下来，我们需要把这些向量放在一个矩阵中，记作A。

然后我们对A进行高斯消元，得到一个行简化阶梯矩阵B。

这个矩阵的前k行就是W的基向量。

最后，我们只需要计算B的秩，就可以得到W的维数。

如果B 的秩为k，那么W的维数就是k。

如果B的秩小于k，那么W的维数就是B的秩。

综上所述，求一个生成子空间的基和维数的步骤如下：
1. 找到一个线性无关的向量组，用它们来生成子空间。

2. 把这些向量放在矩阵A中，对A进行高斯消元，得到矩阵B。

3. 取B的前k行作为子空间的基向量。

4. 计算B的秩，得到子空间的维数。

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第5节 线性子空间的基与维数

线性空间的基与维数

线性空间的基与维数

线性空间,基和维数

§5 线性子空间

子空间的交的基与维数的一种简易求法

第5节 线性子空间的基与维数

线性代数基和维数

线性空间的基与维数

线形空间的维数与基

线性代数 第五章 向量空间

线性空间的基与维数

第五节线性子空间

基与维数的几种求法

线性空间的基与维数

线性子空间

求生成的子空间的基与维数

第5节线性子空间的基与维数

第5节线性子空间的基与维数

线性代数第五章向量空间