不定方程及不定方程组的解法
不定方程及方程组
不定方程（组）及应用【知识点拨】不定方程式数论中的一个古老的分支，我国对不定方程的研究已有数千年的历史，“百鸡问题”、“中国剩余定理”等一直流传至今。
当方程的个数比方程中未知数的个数少的时候，我们就称这样的方程（或方程组）为不定方程（或不定方程组）。
为纪念古希腊数学家丢番图，不定方程也成为丢番图方程，之所以把它们叫不定方程，是因为他们的解不确定（不唯一）。
一般情况下，如果不加以限制，不定方程的解有无限个，如果考虑到题中的一些条件所限制的范围后，它只能有几个解，甚至无解，解答这类方程，必须对题中明显或者隐蔽的条件加以推理，才能正确求解。
【典型例题】例1、求不定方程5x + 9y=104的整数解【巩固训练】1、在不定方程89 —7a=4b中，a、b均为自然数，求此不定方程的解。
{ 5 %+6y - z=20例2、求三元一次不定方程组 3 % - y+4 z=12的正整数解。
【巩固训练】{ 7 x+9 j+11 z = 681、求不定方程组 2 x + j=10 的正整数解。
例3、甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支，问张明用6角钱恰好买两种铅笔共多少支？【巩固训练】装水瓶的盒子有大小两种，大的能装7个，小的能装4个，要把41个水瓶装入盒内。
问需要大小盒子各多少个？例4、某地按下列规定收取电费：每月用电不超过50度，每度收4角5分，如果超过50度，超过部分每度收8角，今年七月，甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？（电的度数按整数算）【巩固训练】1、某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度电9角收费; 如果超过24度，超过部分按每度电2元收费，已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9 元6角钱，甲乙两家各交多少电费？（电的度数按整数算）例5、把1000拆成两个自然数的和，一个是7的倍数并且要使这个数尽可能大，一个是11的倍数，并且使这个数尽可能的小，这两个数分别是多少？【巩固训练】1、把1000拆成两个自然数的和，一个是11的倍数，并且使这个数尽可能大，一个是9 的倍数，并且使这个数尽可能小。
不定方程和解不定方程应用题经典
不定方程和解不定方程应用题经典———研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。
然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。
一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。
二、不定方程的解法1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。
如：方程某﹢y﹢z=100共有几组正整数解？解：当某=1时y﹢z=99，这时共有98个解：(y，z)为(1，98)(2，97)(98，1)。
当某=2时y﹢z=98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97)(2，96)(97，1)。
当某=98时，y﹢z=2，这时有一个解。
∵98﹢97﹢96﹢﹢1=9899=48512∴方程某﹢y﹢z=100共有4851个正整数解。
2、表格记数法如：方程式4某﹢7y=55共有哪些正整数解。
解：某y123455121517477437397某某某某√√∴方程4某﹢7y=55的正整数解有某=5某=12y=5y=13、分离系数法如：求7某﹢2y=38的整数解解：y=387某1=19-3某-某2212令t=1某23872t=19-7t2某=2t则y=2t＞019-7t＞0（t为整）→25＞t＞07t=2，1当t=2时，某=2某2=4某=4y=19-7某2=5y=5当t=1时，某=2某1=2某=2y=19-7某1=12y=12第四十周不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5某－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5某－3y＝9的解有：某＝2.4某＝2.7某＝3.06某＝3.6………y＝1y＝1.5y＝2.1y＝3如果限定某、y的解是小于5的整数，那么解就只有某＝3，Y＝2这一组了。
小学数学不定方程与不定方程组的解法
不定方程与不定方程组知识框架一、知识点说明历史概述不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志着中国对不定方程理论有了系统研究．宋代数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各类竞赛考试中，不定方程经常以应用题的形式出现，除此以外，不定方程还经常作为解题的重要方法贯穿在行程问题、数论问题等压轴大题之中．在以后初高中数学的进一步学习中，不定方程也同样有着重要的地位，所以本讲的着重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在以后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义（1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
（2）不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。
（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1）b利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1】求方程2x－3y＝8的整数解【考点】不定方程【解析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋3y，x＝4＋32y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：342x ky k⎧=+⎪⎨⎪=⎩，其中k为任意数．说明由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解．方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数，当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。
不定方程的四种常用解法，多种方法叠加使用效果更佳
不定方程的四种常用解法，多种方法叠加使用效果更佳含有未知数的等式称之为方程。
小学阶段最开始接触的是一个方程只有一个未知数的情况。
比如3x+2=8，解得x=2，这样解出来的答案是唯一性的。
但是有时候我们会遇到一个方程，有两个甚至三个未知数。
这样未知数个数大于方程个数的方程（组）叫不定方程（组）。
不定方程，一般情况下解是不唯一的。
方程比如说x+y=10，问这个方程有多少组解？如果不给其他条件限制，那么这个方程会有无数组解。
所以大多数的不定方程都会有较多的限制条件。
比如说限制这些未知数均为自然数，或在某个范围内。
还是以x+y=10为例，如果x、y都是自然数，那么x、y的解会有11组。
在小升初或各大小学杯赛题目中，会出现解不定方程。
不定方程，有四种比较常用的解法。
第一种：枚举法。
枚举法在很多地方都会用得上。
比如说计数，找规律等，虽然效率不是很高但适用范围比较广。
这种方法适用于一些系数比较大的不定方程。
因为系数比较大，出现的可能性就比较少，所以可以利用枚举的方法来解答。
比如说求这个不定方程的解，7x+2y=24（x、y均为自然数）。
因为x前面的它的系数比较大，所以说x的取值范围相对来说会比较小。
因为x、y都属于自然数，x最大是3，最小是0。
也就是说，x 有可能等于0、1、2、3，最多就这4种情况，我们可以把这些x的值分别代入这个方程中解出y的值。
我们会发现x=1和x=3这两种情况是不成立的。
第二种方法，奇偶性分析。
照样以上面的例题为例，我们用奇偶分析来帮助我们缩小x的取值范围。
两个数的和等于24，是一个偶数。
2y也一定是个偶数，所以说7x 的值一定是个偶数。
7是奇数，所以说x只能是偶数。
那么x又是从0~3，那么所以说x只能是0或者2这两种可能。
最后算出有两组答案：x=0,y=12；x=2,y=5。
第三种：余数分析。
也是用的比较多的方法，通常从系数较小的未知数入手。
它的原理其实就是利用了：和的余数等于余数的和，进行判断分析。
小学数学不定方程与不定方程组的解法
不定方程与不定方程组知识框架一、知识点说明历史概括不定方程是数论中最古老的分支之一．古希腊的丢番图早在公元 3 世纪就开始研究不定方程，所以常称不定方程为丢番图方程．中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元 5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标记着中国对不定方程理论有了系统研究．宋朝数学家秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来．考点说明在各种比赛考试中，不定方程常常以应用题的形式出现，除此之外，不定方程还常常作为解题的重要方法贯串内行程问题、数论问题等压轴大题之中．在此后初高中数学的进一步学习中，不定方程也相同有侧重要的地位，所以本讲的侧重目的是让学生学会利用不定方程这个工具，并能够在此后的学习中使用这个工具解题。
二、不定方程基本定义（ 1）定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。
（2）不定方程的解：使不定方程等号两头相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不独一。
（3）研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确立解的个数；③求出全部的解三、不定方程的试值技巧（1）奇偶性（2）整除的特色（能被 2、 3、 5 等数字整除的特征）（3）余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质）重难点（1） b 利用整除及奇偶性解不定方程（2）不定方程的试值技巧（ 3）学会解不定方程的经典例题例题精讲一、利用整除性质解不定方程【例 1 】求方程2x－ 3y＝ 8 的整数解【考点】不定方程【分析】方法一：由原方程，易得2x＝8＋ 3y，x＝ 4＋3y，所以，对 y 的随意一个值，都有一个x 与之对2应，而且，此时x 与 y 的值必然知足原方程，故这样的x 与 y 是原方程的一组解，即原方程的解x 4 3 k，此中 k 为随意数．说明可表为： 2 由 y 取值的随意性，可知上述不定方程有无量多y k组解．方法二：依据奇偶性知道2x 是偶数， 8 为偶数，所以若想 2x－3y＝ 8 建立， y 必为偶数，当 y＝ 0， x＝4；当 y＝ 2，x＝ 7；当 y＝4， x＝ 10，本题有无量多个解。
不定方程与不定方程组
不定方程与不定方程组【知识要点】如果一个方程（组）中的方程的个数少于未知数的个数，我们称之为不定方程（组）。
不定方程（组）的解是不确定的，一般情况下，不定方程（组）总有无穷多个（组）解。
但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有三种可能：（1）有无穷多个解；（2）有限组解；（3）无解。
对整系数的不定方程（组），我们主要求它的整数解。
常用到的有关定理如下：定理1 一次不定方程c by ax =+（0,0>>b a ），若（a ，b ）=1>d ，且d |c ，则该方程无整数解。
定理 2 一次不定方程()0,0>>=+b a c by ax ，若（a 、b ）=1≥d ，且d c ，则该方程有整数解。
其通解为： ()为整数t aty y bt x x ⎩⎨⎧-=+=︒︒︒x 、︒y 为方程的一个特解。
定理3 若（︒x 、︒y ）是方程1=+by ax ，（a 、b ）=1的特解，则（︒cx 、︒cy ）是方程c by ax =+的一个特解，其中（a ，b ）=d ，d |c 。
我国对不定方程（组）的研究有几千年的历史，“鸡兔同笼”、“百鸡问题”流传至今。
可见不定方程（组）的研究是数论中长盛不衰的课题。
三星级题：1．求方程31611=+y x 的整数解。
2．（1998年“希望杯”培训题）求方程863=+y x 的整数解。
3．3x+y=24的非负整数解有 组。
4．方程17x-24y=6的正整数解中最小的一个y 是 。
5．某基建队要安装一条55米长的管道，现有3米和5米长的钢管各10根，如果要尽可能地使用5米长的钢管，施工中共用 根钢管。
6．用3元5角买了10分、20分、50分的三种邮票共18枚，其中10分邮 票的总价与20分邮票的总价相同，则50分邮票共买了 枚。
7．方程x+y=5的非负整数解有（ ）。
（A ）4个 （B ）5个 （C ）6个 （D ）7个四星级题：1．设x 、y 是两个不同的正整数，且5211=+yx，试求y x +的值。
不定方程组的解法
不定方程组的解法1. 引言在高中数学中，不定方程组通常是初等代数学习中的一部分。
不定方程组是指方程组中未知数的个数等于或大于方程的个数，同时这些方程中的系数不全为常数的方程组。
解决这些方程组的问题通常是找到一组合适的值满足所有方程，即找到所有未知数的值，这些值称为方程组的解。
本文将介绍几种不定方程组的解法。
2. 全消元法全消元法是求解不定方程组的一种基本方法。
它的基本思想是通过将方程组中一部分未知数用其他未知数来表示，逐步消去所有未知数的系数，以达到求解的目的。
举例来说，考虑以下不定方程组：$$\begin{cases}x+2y+3z=6\\2x-y+z=1\\3x+y+2z=8\end{cases}$$我们可以使用全消元法解决这个问题。
我们可以先使用第二个方程的系数消除第一和第三个方程中的$x$系数。
消去后，方程组变为：$$\begin{cases}x+4y=4\\-9y-4z=-10\\5y+4z=4\end{cases}$$然后，我们使用第一和第三个方程的系数消除$y$系数。
消去后，方程组变为：$$\begin{cases}29x=-8\\-29z=-42\end{cases}$$这里$x=\frac{-8}{29}$，$z=\frac{42}{29}$。
通过代回，我们可以求出$y$。
因此，由于全消元法，我们可以找到方程组的唯一解。
3. 高斯-约旦消元法高斯-约旦消元法也是一种求解不定方程组的方法。
它的基本思想是通过加减消元和除法操作来将方程组转化为阶梯形矩阵，从而解决问题。
举例来说，考虑以下不定方程组：$$\begin{cases}x+2y+3z=6\\2x-y+z=1\\3x+y+2z=8\end{cases}$$我们可以使用高斯-约旦消元法解决这个问题。
我们可以先使用第一个方程的系数消除第二个方程中的$x$系数。
消去后，方程组变为：$$\begin{cases}x+2y+3z=6\\-5y-z=-11\\3x+y+2z=8\end{cases}$$然后，我们使用第二个方程的系数消除第三个方程中的$x$系数。
不定方程—解答
不定⽅程—解答不定⽅程不定⽅程是指未知数的个数多于⽅程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的⽅程.不定⽅程是数论的⼀个重要课题，也是⼀个⾮常困难和复杂的课题.1．⼏类不定⽅程(1) ⼀次不定⽅程在不定⽅程和不定⽅程组中，最简单的不定⽅程是整系数⽅程)0,0(,0≠>=++b a c by ax ①通常称之为⼆元⼀次不定⽅程。
⼀次不定⽅程解的情况有如下定理。
定理1．⼆元⼀次不定⽅程ax by c +=(,,a b c 为整数)有整数解的充分必要条件是c b a |),(。
定理2．若(,)1a b =，且00,x y 为①之⼀解，则⽅程①全部解为0x x bt =+， 0y y at =-，其中t 为整数。
(2) 佩尔)(pell ⽅程形如122=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平⽅数）的⽅程称为佩尔⽅程。
能够证明它⼀定有⽆穷多组正整数解；⼜设),(11y x 为该⽅程的正整数解),(y x 中使d y x +最⼩的解，则其全部正整数解如下：111111111[()()]2)()]n n n n n n x x x y x x ?=++=+-??(1,2,3,)n =。
①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出⽅程的⽆穷多组解。
②n n y x ,满⾜的关系：1(nn x y x y +=+；11211222n n n n n n x x x x y x y y ----=-??=-? 。
(3) 勾股⽅程222z y x =+这⾥只讨论勾股⽅程的正整数解，只需讨论满⾜1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素。
这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为⽅程的本原解，也称为本原的勾股数。
容易看出y x ,⼀奇⼀偶，⽆妨设y 为偶数，下⾯的结果勾股⽅程的全部本原解通解公式。
定理3．⽅程222z y x =+满⾜1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满⾜b a b a ,,0>>⼀奇⼀偶，且1),(=b a 的任意整数。
3.2 不定方程的常用解法
3．2 不定方程的常用解法对于高次不定方程，求出其通解然后再讨论有时是不现实的，因为我们甚至还没有找到判别一个高次不定方程是否有解的统一方法，当然要求出通解就更难了．或许正是因为没有统一的方法来处理高次不定方程，对具体的问题往往有许多方法来处理，并且每一种方法都表现出一定的创造性，所以，高次不定方程的问题频繁在数学竞赛中出现．当然，结合整除与同余的一些理论，求解高次不定方程也有一些常见的处理思路和解决办法． 一、因式分解法将方程的一边变为常数，而含字母的一边可以进行因式分解，这样对常数进行素因数分解后，对比方程两边，考察各因式的每种取值情况就可将不定方程变为若干个方程组去求解．这就是因式分解法处理不定方程的基本思路．例1 求方程()101xy x y －＋＝ ① 的整数解．解：利用十字相乘，可将①变形为()()1010101x y －－＝ 而101为素数，故()1010x y －，－＝（1，101），（101，1），（－1，－101），（－101，－1）． 分别求解，得方程的整数解为()x y ，＝（11，111），（111，11），（9，－91），（－91，9）． 例2 是否存在整数x 、y 、z ，使得44422222222224x y z x y y z z x ＋＋＝＋＋＋？解：若存在整数x 、y 、z 满足条件，则()22222244424222x y y z z x x y z －＝＋＋－＋＋ ＝()()22222242224x yx y z z x y－＋＋＋－＋＝()2222224x y zxy －＋－＋＝()()22222222xy x y z xy x y z ＋＋－－－＋＝()()()()2222x y z z x y ＋－－－＝()()()()x y z x y z z x y y z x ＋＋＋－＋－＋－，这要求－24能表示为4个整数x y z ＋＋，x y z ＋－，z x y ＋－，y z x ＋－的乘积的形式，而这4个数中任意两个数之差都为偶数，故这4个数具有相同的奇偶性，由－24为偶数，知它们都是偶数，但这要求42|24，矛盾． 所以，不存在符合要求的整数．说明 熟悉海伦公式的读者可以一眼看穿问题的本质．事实上，ABC S ∆a 、b 、c 为△ABC的三边长，这就是海伦公式．根号里面的式子展开后就是222a b ＋222b c ＋222c a －4a －4b －4c ．例3 求所有的正整数对（m ，n ），使得5471mn n ＋＝－． ①解：将①移项后作因式分解，得()545433711m n n n n n n ＝＋＋＝＋＋－－ ＝()()()322111n n n n n n ＋＋－－＋＋＝()()3211n n n n －＋＋＋ ② 由①知n ＞1，而n ＝2时，可得m ＝2．下面考虑n ＞2的情形，我们先看②式右边两个式子的最大公因数．()()()()32322111111n n n n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋－＋＋＋－，＋＝()()()()22212123n n n n n n n n －＋，＋＋＝－＋＋＋＋－＋，＋ ＝()27n －＋，．故()3211|7n n n n －＋，＋＋．结合②式知31n n －＋与21n n ＋＋都是7的幂次，而它们在n ≥3时，都大于7，这导致 ()()2327|11n n n n －＋＋＋，与前所得矛盾．综上可知，只有（m ，n ）＝（2，2）符合要求．说明 对①式变形后，所得②式两边符合因式分解方法解不定方程的套路，但7m并不是一个常数，这里需要有另外的方法来处理才能继续下去．活学活用方能攻城拔寨．二、配方法配方是代数变形中的常见方法，在处理不定方程的问题时还可综合利用完全平方数的特性，因此配方法在求解不定方程时大有用武之地．例4 求不定方程2234335x xy y －＋＝的全部整数解． 解：对方程两边都乘以3，配方后即得()22325105x y y －＋＝． ①由①式得 25105y ≤， 所以 4y ≤．当4y ＝时，325x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（1，4），（―1，―4）． 当1y ＝时，3210x y －＝，此时原方程的解为（x ，y ）＝（4，1），（―4，―1）．当023y ＝，，时，()232x y －分别为105，85，60 ．此时，所得的方程组显然无整数解． 上面的讨论表明，原方程有4组解：（x ，y ）＝（4，1），（1，4），（―4，―1），（―1，―4）． 例5 求方程2432x x y y y y ＋＝＋＋＋的整数解．解：同上例，对方程两边同乘以4，并对左边进行配方，得()()24322141x y y y y ＋＝＋＋＋＋． ①下面对①式右端进行估计．由于()43241y y y y ＋＋＋＋ ()222212y y y y ＝＋＋－＋ ()2222341y y y y ＝＋＋＋＋， 从而，当y ＞2或y ＜－1时，有()()()2222222121y y x y y ＋＜＋＜＋＋．由于22y y ＋与22y y ＋＋1是两个连续的整数，它们的平方之间不会含有完全平方数，故上式不成立． 因此只需考虑当－1≤y ≤2时方程的解，这是平凡的，容易得到原方程的全部整数解是 （x ，y ）＝（0，－1），（－1，－1），（0，0）（－1，0），（－6，2），（5，2）． 例6 求所有的正整数n ≥2，使得不定方程组22121222232322112211501612501612501612501612n nn n nn x x x x x x x x x x x xx x x x ⎧⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎩－－＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝＋ 有整数解．解：移项后配方，方程组变形为()()()()()()()()122122223221221850850850850n n n n x x x x x x n x x ⎧⎪⎪⎪⎪⋯⎨⎪⎪⎪⎪⎩－－－＋－6＝， ①－＋－6＝， ②－＋－6＝， －＋－6＝．由于50表示为两个正整数的平方和只有两种：2222501755＝＋＝＋，所以，由①知261x －＝、5或7，而由②知281x －＝、5或7，从而21x ＝、7、13．进一步，可知对每个1≤i ≤n ，都有1i x ＝，7或13，依11x ＝、7、13 ，分三种情况讨论． 若11x ＝，则由①知27x ＝，再由②知313x ＝，依次往下递推，可知当()1mod3k ≡时，1k x ＝；当()2mod3k ≡时，7k x ＝；当()0mod3k ≡时，13k x ＝．所以，由第n 式，知当且仅当()11mod3n ≡＋时，原方程组有整数解，即当且仅当3|n 时，n 符合要求．对另外两种情况17x ＝和113x ＝同样讨论，得到的条件是一样的． 综上可知，满足条件的n 是所有3的倍数．说明 进一步讨论可知，当3|n 时，方程组恰有3组整数解．三、不等式估计利用不等式的知识，先确定不定方程中的某个字母的范围，然后逐个枚举得到所有解，这个方法称为不等式估计，它也是我们处理不定方程的常见方法．当然，如果能够恰当地利用字母的对称性等，那么作不等式估计时会简洁很多．例7 求不定方程3361x y xy －＝＋的正整数解．解：设（x ，y ）为方程的正整数解，则x ＞y ．设x ＝y ＋d ，则d 为正整数，且()()3361y d y y d y ＋＋＝＋－22333dy yd d ＝＋＋，即有 ()()23313161d y d d y d －＋－＋＝．故 361d ＜， 于是 3d ≤． 分别令1d ＝、2、3代入，得222161y y ＋＋＝， 2510861y y ＋＋＝， 28242761y y ＋＋＝．只有第一个方程有整数解，并由y 为正整数知y ＝5，进而x ＝6．所以，原方程只有一组正整数解（x ，y ）＝（6，5）． 例8 求所有的正整数a 、b ，使得22444aa b ＋＋＝． ①解：若（a ，b ）是满足①的正整数数对，则2b 为偶数，且24ab ＞，从而b 为偶数，且2ab ＞，故22ab ≥＋．于是()22244422a aa b ＋＋＝≥＋4a ＝＋4·2a ＋4，知22aa ≥，可得4a ≤（对a 归纳可证：当5a ≥时，有22aa ＜）．分别就a ＝1，2，3，4代入①式，可得方程的所有正整数解为（a ，b ）＝（2，6）或（4，18）．例9 求所有的正整数数组（a ，b ，c ，x ，y ，z ），使得a b c xyz x y z abc ⎧⎨⎩＋＋＝，＋＋＝，这里a b c ≥≥，x y z ≥≥．解：由对称性，我们只需考虑x a ≥的情形．这时 33xyz a b c a x ＝＋＋≤≤， 故 3yz ≤，于是 （y ，z ）＝（1，1），（2，1），（3，1）．当（y ，z ）＝（1，1）时，a b c x ＋＋＝且2x abc ＋＝，于是 2abc a b c ＝＋＋＋． 若2c ≥，则2324a b c a a abc ＋＋＋≤＋≤≤， 等号当且仅当2a b c ＝＝＝时成立．若1c ＝，则3ab a b ＝＋＋， 即 ()()114a b －－＝，得 （a ，b ）＝（5，2），（3，3）．当（y ，z ）＝（2，1）时，2266abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，与上述类似讨论可知c ＝1，进而()()212115a b －－＝，得 （a ，b ）＝（3，2）． 当（y ，z ）＝（3，1）时，331212abc x a b c ＝＋＝＋＋＋，类似可知，此时无解．综上所述，可知（a ，b ，c ，x ，y ，z ） ＝（2，2，2，6，1，1），（5，2，1，8，1，1），（3，3，1，7，1，1）， （3，2，1，3，2，1），（6，1，1，2，2，2），（8，1，1，5，2，1）， （7，1，1，3，3，1）．说明 此题中如果没有条件a ≥b ≥c 和x ≥y ≥z ，也需要利用对称性作出这样的假设后再处理，解题中利用对称性假设x ≥a 是巧妙的，这样问题就转化为只有3种情况而便于处理了．四、同余方法若不定方程()120n F x x x ，，…，＝有整数解，则对任意的*m N ∈，其整数解（1x ，2x ，…，n x ）均满足()()120mod n F x x x m ≡，，…，．运用这一条件，同余可以作为不定方程是否有整数解的一块试金石． 例10 证明：不定方程22386x y z ＋－＝ ①没有整数解．证明 若（x ，y ，z ）是方程①的整数解，对①的两边模2，可知x 、y 同奇偶；再对①两边模4可知x 、y 都为奇数，于是()221mod8x y ≡≡，这要求6()22382mod8x y z ≡＝＋－，矛盾．故方程①没有整数解．说明 利用同余方法解不定方程问题时，选择恰当的数作为模是十分重要的，它不仅涉及问题解决的繁简程度，重要的是能否卡住字母的范围或导出矛盾． 例11 求所有的非负整数x 、y 、z ，使得223xyz ＋＝． ①解：（1）当y ＝0时，有()()22111xz z z ＝－＝－＋，于是可设 2z α－1＝，2z β＋1＝，0αβ≤≤，因此 222βα－＝．此时，若2α≥，则4|22βα－，与42矛盾，故1α≤．而0α＝导致23β＝，矛盾，故1α＝，2β＝，所以 z ＝3，x ＝3，得 （x ，y ，z ）＝（3，0，3）（2）当y ＞0时，由于323xy＋，故3z ，所以 ()21mod3z ≡．对①两边模3，知()()11mod3x≡－， 故x 为偶数，现在设x ＝2m ，则 ()()223mmyz z －＋＝，所以可设 23mz α－＝，23m z β＋＝，0αβ≤≤，y αβ＋＝， 于是 1332m βα＋－＝，若α≥1，则3|33βα－，但132m ＋，矛盾，故α＝0，因此1312m β＋－＝． 当m ＝0时，β＝1，得（x ，y ，z ）＝（0，1，2）； 当m ＞0时，()120mod4m ＋＝，故 ()31mod4β＝， 这要求β位偶数，设β＝2n ，则()()122313131m n n n ＋＝－＝－＋， 同y ＝0时的讨论，可知 312n－＝，即n ＝1，进而m ＝2，得 （x ，y ，z ）＝（4，2，5）． 所以（x ，y ，z ）＝（3，0，3），（0，1，2），（4，2，5）．例12 设m 、n 为正整数，且n ＞1，求25m n －的最小值．解：由于25m n －为奇数，而m ＝7，n ＝3时，253m n －＝，故若能证明n ＞1时，251m n －≠，则所求的最小值为3．若存在正整数m 、n ，使得n ＞1，且251m n －＝，则251m n －＝或251m n－＝－． 如果251mn－＝，那么m ≥3，两边模8，要求()57mod8n ≡， 但对任意正整数n ，51n≡或()5mod8，矛盾，故251mn－＝不成立． 如果251m n－＝－，那么由n ＞1，知m ≥3．两边模8，得 ()51mod8n≡，可知n 为偶数．设n ＝2x ，x 为正整数，则 ()()25151m x x ＝－＋， 由于51x－与51x＋是两个相邻偶数，这要求512x －＝，514x＋＝， 不可能．所以，25mn－的最小值为3．说明 上面的两个例子都用到了一个结论：两个差为2的正整数之积为2的幂次，则这两个数只能为2和4．该结论在例11的前半段解答中已予以证明．五、构造法有些不定方程的问题只需证明该方程有解或有无穷多个解，这时经常采用构造法来处理． 例13 证明：方程253x y z ＋＝有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．证明 取15102k x ＋＝，642k y ＋＝，1072k z ＋＝，k 为非负整数，则这样的x 、y 、z 满足253x y z ＋＝，所以方程有无穷多组满足0xyz ≠的整数解．另证 先求方程的一组特解，易知x ＝10，y ＝3，z ＝7 是方程253x y z ＋＝的一组解．因而1510k x a ＝，63k y a ＝，107k z a ＝（a ，k 为非负整数）是方程的解．例14 证明：对任意整数n ，方程222x y z n ＋－＝ ①证明 现有命题“当m 为奇数或4的倍数时，方程22a b m －＝有整数解（a ，b ）”，它对解决本题是有用的．这个命题基于下面2个恒等式：()22121k k k ＋－＝＋，()()2214k k k ＋－－1＝．对于方程①，只需取x ，使x 与n 的奇偶性相反（这样的x 有无穷多个），从而利用上述命题，方程 222y z n x －＝－ 有整数解，可知方程①有无穷多组整数解．例15 是否存在两两不同的正整数m 、n 、p 、q ，使得m n p q ＋＝＋2012都成立？解：存在满足条件的正整数．由方程的结构，我们寻找形如2m a ＝，3n b ＝，2p c ＝，3q d ＝的正整数．这里a 、b 、c 、d 为正整数． 此时，条件转化为2012a b c d ＋＝＋＞，2323a b c d ＋＝＋，即 a c d b －＝－，()()()()22a c a c d b d bd b －＋＝－＋＋．令1d b －＝，即1b d ＝－，且使2012b ＞，则b 、d 的奇偶性不同，现令2212b bd d a ＋＋＋＝，2212b bd dc ＋＋－＝，那么a 、c 为正整数，且由a 、b 、c 、d 确定的m 、n 、p 、q 满足条件．例16 证明：存在无穷多组正整数组()x y z ，，，使得x 、y 、z 两两不同，并且 33xx y z ＝＋．证明 一个想法是：将x 取为3k ＋1形式的数，这时()3131k x x k ＋＝＋()()33131kk k ＝＋＋ ()()3333131k kk k k ＝＋＋＋因此，如果使3k 为一个完全立方数，那么符合要求的正整数x 、y 、z 就找到了．为此，令323m k ＋＝，这里m 为正整数，那么令31x k ＝＋，()1331km x k ＋＝＋，()31kz k ＝＋，则x 、y 、z 两两不同，且满足33xx y z ＝＋．命题获证．说明 如果不要求x 、y 、z 两两不同，我们还可以这样来构造：取2m y z ＝＝，2x α＝，则当231m αα•＝＋时，就有33xx y z ＝＋．容易看出满足231m αα•＝＋的正整数对()m α，有无穷多对．。
不定方程求解方法
不定方程求解方法一、不定方程是啥。
1.1 不定方程呢，就是方程的个数比未知数的个数少的方程。
比如说，x + y = 5，这里就两个未知数x和y，但是就一个方程。
这就像你要去猜两个东西是啥，但是只给了你一个线索，有点像雾里看花，摸不着头脑。
1.2 这种方程在数学里可是很常见的。
它的解不是唯一确定的，往往有好多组解。
这就好比一个大宝藏，有好多条路可以通向它。
二、求解不定方程的一些常用方法。
2.1 枚举法。
这就像一个一个去试。
比如说对于简单的不定方程2x + 3y = 10，我们可以从x = 0开始试。
当x = 0的时候，y就不是整数了；当x = 1的时候，y也不是整数；当x = 2的时候，y = 2。
就这么一个一个试，虽然有点笨，但是对于一些简单的不定方程还是很有效的。
就像我们找东西，有时候没有捷径，那就只能一个角落一个角落地找，这就叫笨鸟先飞嘛。
2.2 利用数的性质。
比如说奇偶性。
如果方程是x + y = 11，我们知道两个数相加是奇数，那么这两个数必定是一奇一偶。
这就像给我们开了一个小窗户，能看到一点里面的情况。
再比如说倍数关系，如果方程是3x + 6y = 18，我们可以先把方程化简成x + 2y = 6，因为6y肯定是3的倍数，18也是3的倍数，所以x也得是3的倍数。
这就像是在一团乱麻里找到了一个线头，顺着这个线头就能把麻理清楚。
2.3 换元法。
就拿方程x²+ y²+ 2x 4y = 20来说，我们可以设u = x + 1，v = y 2，这样方程就变成了u²+ v²= 25。
这就像给方程换了一身衣服，让它看起来更顺眼，更容易解决。
这就好比我们整理房间，把东西重新摆放一下，看起来就整齐多了。
三、实际应用中的不定方程求解。
3.1 在生活里有很多地方会用到不定方程求解。
比如说你去买水果，苹果一个3元，香蕉一根2元，你带了10元钱，设买苹果x个，买香蕉y根，那方程就是3x + 2y = 10。
2022年不定方程的解题思路-国家公务员考试行测解题技巧
不定方程的解题思路-2022国家公务员考试行测解题技巧不定方程(组)是指未知数个数多于方程个数，不能通过一般的消元法直接得到唯一解，常与差倍比问题、利润问题等热门考点相结合，故需要考生们在备考的过程中加以重视。
今日与大家一起探讨一下公务员行测考试中不定方程(组)的解题思路。
不定方程(组)包含不定方程与不定方程组，而依据题目条件对未知数是否必需为整数的限制，可以将不定方程组分为限定性不定方程组和非限定性不定方程组。
前者指未知数必需为正整数，后者则无此要求。
两种类型的不定方程组问题都有其固定的解题思路，方法性与技巧性比较强，把握相应的思路去解题便会事半功倍。
不定方程题型特征：依据题干可列出一个包含两个未知数的方程解题方法：首先分析奇偶、倍数、尾数等数字特性，然后尝试代入排解例1.【2022联考】每年三月某单位都要组织员工去A、B两地参与植树活动，已知去A地每人来回车费20元，人均植树5棵，去B 地每人来回车费30元，人均植树3棵，设到A地有员工x人，A、B 两地共植树y棵，y与x之间满意y=8x-15，若来回车费总和不超过3000元时，那么，最多可植树多少棵?A.498B.400C.489D.500【解题思路】已知植树棵数 y=8x-15，一个方程两个未知数为不定方程，8x为偶数，15为奇数，偶数-奇数=奇数，则y为奇数，排解A、B、D项，正确答案为C。
【点评】本题若采纳常规解方程的方法也可解题，但耗费时间久，不适合考场使用。
本题不需要算车费等其他数值，因此可利用数字特性直接锁定答案。
不定方程组1.限定性不定方程组题型特征：可依据题意列出方程组，未知数多于方程数，且未知数必需为正整数，常用来表示人数、盒子或者其他物体的个数等解题方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解例1.【2022江苏】小王打靶共用了10发子弹，全部命中，都在10环、8环和5环上，总成果为75环，则命中10环的子弹数是：A.1 发B.2 发C.3 发D.4 发【解题思路】设命中10环、8环、5环的子弹数分别为正整数x、y、z。
不定方程组的通解
不定方程组的通解不定方程组（Diophantine equations）是数学中一类非常有趣且具有挑战性的问题。
在解答不定方程组的过程中，我们需要找到能满足给定条件的整数解，这对于数学研究和实际问题的解决具有重要意义。
本文将介绍不定方程组的定义、解法以及一些解法的具体例子，希望能为读者提供全面的知识和启发。
不定方程组是由整数变量构成的方程组。
在一般的方程组中，我们常常要求解实数或复数解，而不定方程组则要求解整数解。
不定方程组的一般形式可以写作：a1x1 + a2x2 + ... + anxN = b其中ai（i=1,2,...,N）和b为已知的整数系数，x1,x2, (x)为未知的整数变量。
不定方程组并没有具体的个数限制，但其中的每一个方程都必须是整数。
不定方程组的解法可以分为两类：有界整数解和无界整数解。
对于有界整数解，我们可以通过穷举法或利用一些已知的性质来求解。
而对于无界整数解，我们通常利用更高级的数论方法，如模运算等，来找到解的特性。
在解一般的不定方程组时，我们可以利用一些基本的数学原理来简化问题。
例如，如果不定方程组中的多个方程具有共同的因子，那么我们可以通过将其约减到最简形式，从而简化问题。
此外，我们还可以利用奇偶性、模运算等方法来寻找解的特性，进而找到通解。
为了说明不定方程组的解法，我们来看一个典型的例子：假设我们需要求解不定方程组：3x + 4y = 7我们可以先通过穷举法找到一组整数解。
假设x和y的取值范围在[-10,10]之间，我们可以依次尝试每一个可能的整数值。
通过试验可得，当x=1，y=1时，方程组的等式成立。
因此，一组整数解为x=1，y=1。
但这样的穷举法并不适用于更复杂的不定方程组。
对于更高级的解法，我们可以利用模运算和一些数论性质来求解。
例如，对于上述方程组，我们可以发现其中的一个特性：3和4都不能同时被2整除。
因此，我们可以通过模运算来求解。
我们可以将方程组变换为：4y ≡ 7 (mod 3)这意味着4y与7在模3下有相同的余数。
九、不定方程
二
二元一次不定方程及解法
1 二元一次不定方程的整数解 定理1：二元一次不定方程 ax+by=c (a,b,c为整数,且a,b都不为零) 有整数解的充分必要条件是(a,b)|c. 推论1：如果(a,b)=d,那么ax+by=d一定 有整数解. 推论2：如果(a,b)=1,那么ax+by=c一定 有整数解. 定理2：设方程ax+by=c(a,b,c为整 数,(a,b)=1)有一组整数解(x0,y0),则它的一 切解可表示为x=x0+bt,y=y0-at(叫做通解 公式).
一百马，一百瓦。大马驮三瓦， 中马驮二瓦，两小马驮一瓦，最 后不剩马和瓦，问大马、中马、 小马各几何？
三 其它类型的不定方程(组)的 解法举例
例3 求不定方程3x+7y+16z=40 的整数解. 例4 求不定方程3x2+5y2=345的 正整数解. 例5 求证x3+113=y3无正整数解.
百鸡问题
鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱 三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡， 问鸡翁、母、雏各程（组）的概念及分类
不定方程(组)：如果方程(组)中方程的 个数少于未知数的个数，称此方程(组) 为不定方程(组). 对于含有n个未知数的不定方程(组),若 存在n个不全为零的数x1,x2 ,· · · ,xn满足 这个方程(组),那么称(x1,x2 ,· · · ,xn)是这 个方程(组)的一个非零解. 不定方程的类型：按未知数的个数划 分，可分为二元、三元· · · · · ；按未知 数的次数划分，可分为一次、二次、 三次· · · · · · .
不定方程与不定方程组
第二十七讲 不定方程、方程组不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组)，其特点是解往往有无穷多个，不能惟一确定．对于不定方程(组)，我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设d c b a 、、、为整数，那么不定方程c by ax =+有如下两个重要命题：(1)假设(a ，b)=d ，且d 卜c ，那么不定方程c by ax =+没有整数解；(2)假设00y x ，是方程c by ax =+且(a ，b)=1的一组整数解(称特解)，那么为整数）t aty y bt x x (00⎩⎨⎧-=+=是方程的全部整数解(称通解)．解不定方程(组)，没有现成的模式、固定的方法可循，需要依据方程(组)的特点进展恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、别离整系数、因数分解。
配方利用非负数性质、穷举，乘法公式，不等式分析等．举例【例1】 正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6，那么m 的最大值为 ．(新加坡数学竞赛题)思路点拔 把m 用含n 的代数式表示，并别离其整数局部(简称别离整系数法)．再结合整除的知识，求出m 的最大值．注：求整系数不定方程c by ax =+的整数解。
通常有以下几个步骤：〔1〕判断有无整数解；(2)求一个特解；(3)写出通解；(4)由整数t 同时要满足的条件(不等式组)，代入(2)中的表达式，写出不定方程的正整数解．别离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论．【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开场，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开场，每隔9千米设一个测速照相标志，那么刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( )．A ．32千米B ．37千米C ．55千米D ．90千米(省竞赛题)思路点拨 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为3+4x 、10十9y(x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程3+4x=0+9y 的正整数解．【例3】 (1)求方程15x+52y=6的所有整数解．(2)求方程x+y ＝x 2一xy+y 2的整数解．(莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程65111=++z y x 的正整数解． (“希望杯〞邀请赛试题)思路点拨 对于(1)通过观察或辗转相除法，先求出特解．对于(2)易想到完全平方公式，从配方人手，对于(2)易知x 、y 、z 都大于1，不妨设l<x ≤y ≤z ，那么zy x 111≥≥，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值围，求出其结果．注：方程和不等式的相关性质，寻求井缩小某个字母的取值围，通过验算获得全部解答．【例4】 一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终粒盒都剩1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？〔2002年市竞赛题〕思路点拨 无论怎么取，盒子里的棋子数不变，恰当设未知数，把问题转化为求不定方程的正整数解．【例5】中国百鸡问题：一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?(出自中国数学家丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为z y x 、、，那么有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++100335100z y x z y x 通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．【例6】 甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组学生a 人，乙组学生b 人，丙组学生c 人，由题意得28a+30b+31c=365，怎样解三元一次不定方程?运用放缩法，从求出a+b+c 的取值围入手．注： 解不定方程组根本方法有：(1)视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；(2)通过消元，将问题转化为不定方程求解；(3)运用整体思想方法求解．【例7】 不定方程4x+7y=2001有组正整数解．思路点拨 49十7y=3×667 易知⎩⎨⎧=-=667667y x 是其一组特解，∴其通解为⎩⎨⎧-=+-=t y t x 46677667，z t ∈，∵⎩⎨⎧≥-≥+-1466717667t t ，解之得96≤t ≤166 ∴ t 可取整数值共71个．∴ 4x+7y=2001有71组正整数解．学力训练1．z y x 、、满足x+y=5及z 2=xy+y —9，那么x+2y+3z=． (2002年省竞赛题)2．4x 一3y 一6z=0，x+2y 一7c=0(xyz ≠0)，那么22222275632zy x z y x ++++的值为． 3．用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18，每种邮票至少买一，共有种不同的买法．4．购置5种数学用品A 1、A 2、A 3、A 4、A 5的件数和用钱总数列成下表：那么5种数学用品各买一件共需元．(市竞赛题)5．希望中学收到王教师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有个．(市中考题)6．方程(x+1)2+(y-2)2＝1的整数解有( )．A．1组 B．2组 C．4组 D．无数组7．二元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( )．A．20001999个 B．19992000个 C．2001000个 D．2001999个( “希望杯〞邀请赛试题)8．以下是一个六位数乘上一个—位数的竖式，各代表一个数(不一定一样)，那么a+b+c+d+e+f=( )．A．27 B．24 C．30 D．无法确定(“五羊杯〞邀请赛试题)9．求以下方程的整数解：(1)1lx+5y=7；(2)4x+y=3xy．10．在车站开场检票时，有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站．检票开场后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，假设开放一个检票口，那么需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；假设开放两个检票口，那么只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟将排队等侯检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口?(市中考题)11．下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布〞的游戏规那么：游戏在两位同学之间进展，用伸出手掌表示“布〞，两人同时口念“锤子、剪子、布〞，一念到“布〞时，同时出手，“布〞赢“锤子〞，“锤子〞赢“剪子〞，“剪子〞赢“布〞．现在我们约定：“布〞赢“锤子〞得9分，“锤子〞赢“剪子〞得5分，“剪子〞赢“布〞得2分． (1)小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子〞赢“布〞7次．聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布〞赢“锤子〞、“锤子〞赢“剪子〞各多少次?(2)如果小明与某同学玩了假设干次，得了30分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填人下表．12．满足1998十m ＝1997+n (0<rn<n<1998)的整数对(m ，n)共有 对．13．有理数x ，y ，z 满足⎩⎨⎧=+-+-=0223362z xy y x y x ，那么22y+z 的值为． 14．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是 岁．15．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟抽完水，那么，至少需要抽水机台．16．有甲、乙、丙3种商品，某人假设购甲3件、乙7件、丙1件共需24元，假设购甲4件、乙l0件、丙l 件共需33元，那么此人购甲、乙、丙各1件共需元．17．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小一样的小球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，那么小明摸出的球中红球的个数最多不超过个．18．(1)求满足y 4+2x 4+1=4x 2y 的所有整数对(x ，y)；(2)求出所有满足5(xy+yz+zx)＝4xyz 的正整数解．(新加坡奥林匹克试题)19．兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱(以元为单位)的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取l0元，弟弟再取10元；这样依次反复进展，最后，哥哥先取10元，弟弟再取缺乏10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等．问这顶草帽值多少钱?(市竞赛题)20．某人家的是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的．(市选拔赛试题)所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面3个数码7．28，但前面的3个数码看不清楚了，请你帮助查清这笔账．(市〞金桥杯〞数学知识应用竞赛试题)22．一支科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17km 的速度前进，沿河岸向上游行进假设干天后到达目的地，然后在生态区考察了假设干天，完成任务后以每天25km 的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km 后回到出发点，试问：科学考察队在生态区考察了多少天? (省竞赛题)参考答案。
不定方程组求解方法归纳
不定方程组求解方法归纳不定方程组求解方法归纳不定方程组是数学中的一种基本问题，其求解方法有很多种。
下面我们将根据不定方程组的不同形式和特点，归纳总结出几种常见的求解方法。
第一种方法是试错法。
这种方法适用于一些简单的不定方程组，通过列举所有可能的解，然后逐个验证，找出符合方程的解。
这种方法的优点是简单直观，但对于复杂的不定方程组，列举解的数量往往非常庞大，使得试错法变得不太实际。
第二种方法是代入法。
这种方法适用于一些特殊的不定方程组，通过将一个未知数表示成其他未知数的函数形式，然后代入方程组中的其他方程，最终得到关于一个未知数的方程。
然后再根据这个方程，通过求解或逐步代入的方法，得到该未知数的值。
然后将该值带入其他方程，逐步求解其他未知数。
这种方法的优点是可以减少未知数的数量，但对于复杂的方程组，求解过程可能会比较繁琐。
第三种方法是线性代数法。
这种方法适用于一些线性方程组，通过矩阵的消元法，将方程组转化为阶梯形或行最简形，然后通过回代法求解未知数的值。
这种方法的优点是适用范围广，可以解决复杂的线性方程组，但对于非线性方程组，这种方法就不适用了。
第四种方法是数论方法。
这种方法适用于一些特殊的不定方程组，如整数解、奇偶解等。
通过数论的相关理论，可以得到一些特殊解的性质，从而简化求解过程。
这种方法的优点是可以通过一些数论技巧，简化解的求取过程，但对于一般的不定方程组，这种方法并不适用。
综上所述，不定方程组的求解方法有多种，可以根据方程组的形式和特点选择合适的方法。
试错法适用于简单方程组，代入法适用于特殊方程组，线性代数法适用于线性方程组，数论方法适用于特殊的不定方程组。
在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的方法，来求解不定方程组。
不定方程(组)及其应用专题讲座
例题讲解：
例题9甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵, 其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都 植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数 大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有多少人?
解：设甲小队有x人,乙小队有y人.由两小队植树
棵数相等,得到 13 x-7=10 y-5. 因为上式右端个位数为5,所以13x的个位数应是2, 得到x=4, y=5是上式的一组解,且x每增大10, y就增 大13,仍是上式的解.
x y 3y 4 ，则3x 1 3y 4 3y 4 3y 4
x 1 x 1 x 0 ， ， 程组 的正整数解。 解： （1）×2+（2）： x+y=4 （3） 由（3）得：y=4-x; 把y=4-x代入（1）：z=x-2. 因为x和y、z都是正整数，所以： x ＞ 0, 4-x＞0, 且x-2＞0； 解这个不等式组得： 4＞x＞2, 即x= 3. 那么y=4-x=4-3=1， z=x-2=3-2=1. 故此方程组的正整数解为： x= 3， y=1，z=1。 (附:当k为何负整数时，方程组{3x+2y=k+1、 4x+3y=k-1的解时满足x>y且x-y>6?)
例题讲解：
例题10甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6 棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人 都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵 数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有多少人?
解：为使10y-5在100与200之间,只有y
=5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有 4+10=14(人),共有18+14=32(人). 答：甲、乙两小队共有32人。
不定方程组求解技巧
不定方程组求解技巧不定方程组指的是未知量个数大于方程个数的方程组。
由于未知量个数大于方程个数，所以不定方程组在一般情况下存在无穷多解。
求解不定方程组需要采用一定的技巧和方法，下面介绍几种常见的求解技巧。
1. 参数法：参数法是求解不定方程组的常用方法之一。
首先，找出方程组中的一个方程，通过变量的代换，使得方程中的一个未知量等于一个参数（通常用字母表示），然后解出其他未知量。
最后，将参数取遍所有可能的值，得到方程组的全部解。
例如，考虑不定方程组：x + 2y = 32x + 3y = 5取方程组第一个方程中的x 作为参数t ，则可以将x 表示为 x = t，代入第二个方程中，得到：2t + 3y = 5解这个方程得到：y = (5 - 2t) / 3因此，不定方程组的解为：(x, y) = (t, (5 - 2t) / 3)，其中 t 可以取任意实数。
2. 等式法：等式法是另一种常用的不定方程组求解方法。
在等式法中，通过将其中一个方程两边同时乘以某个常数，使得方程中的一个未知量的系数和另一个方程中该未知量的系数相等，然后将两个方程相加或相减，得到一个只含有一个未知量的方程，进而求解该未知量。
最后，将求得的未知量代入其中一个方程，解出其他未知量。
例如，考虑不定方程组：2x - 3y = 14x + 6y = 8将第一个方程两边同时乘以2，得到：4x - 6y = 2将该式与第二个方程相加，得到：8x + 0y = 10解得 x = 10 / 8 = 5 / 4将求得的 x 值代入第一个方程，解得 y = (2 - 2x) / -3 = (2 - 2 * 5 / 4) / -3 = -1 / 2因此，不定方程组的解为：(x, y) = (5 / 4, -1 / 2)3. 消元法：消元法也是求解不定方程组的一种常用方法。
通过对方程组进行加减运算，将其中一个未知量的系数化为零，从而得到一个新的方程组，可以继续消元，直到最后只剩下一个只含有一个未知量的方程，然后解此方程。
不定方程方程组(含答案)-
27.不定方程、方程组知识纵横不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),•其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,•加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)•常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设a 、b 、c 、d 为整数,则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题: (1)若(a,b)=d,且d c,则不定方程ax+by=c 没有整数解;(2)若x 0,y 0是方程ax+by=c 且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩(t 为整数)是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，•需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。
例题求解【例１】正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为________. (2000年新加坡数学竞赛题)思路点拨 把m 用含n 的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法),再结合整除知识,求出m 的最大值. 解:75 提示:m=968n n --=9+668n -,n=9时,m 最大值为75. 【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19•千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( ).A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(2003年河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相机标志千米数分别表示为3+4x 、10+9y(x,y•为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=10+9y 的正整数解.解:选C 提示:x=794y+=2y+1+34y+,4│y+3,135xy=⎧⎨=⎩为所求的解.【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程x+y=x2-xy+y2的整数解. (莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程11156x y z++=正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公式,从配方入手;对于(2)易知x,y,z都大于1,不妨设1<x≤y≤z,则1x≥1y≥1z,•将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果.解:(1)观察易得一个特解x=42,y=-12,原方程所有整数解为42521215x ty t=-⎧⎨=-+⎩(t为整数).解法2:x=-4y+6815y+,令6815y+=t1,得y=2t1-168t+,令168t+=t,得t=8t-6,化简得42521215(x ty t t=-⎧⎨=-+⎩为整数)(2)原方程化为(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2,由此得方程的解为(0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)(3)提示: 1x<1x+1y+1z≤3x,即1x<56≤3x,由此得x=2或3,当x=2时, 1x<1y+1z=56-12=13≤1y+1y=2y，即1y<13≤2y,由此得y=4或5或6,同理当x=3时,y=3或4,由此可得当1≤x≤y≤z时,(x,y,z)共有(2,4),(4,2,12),(4,12,2),•(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2),(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4)【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子? (2002年重庆市竞赛题)思路点拨无论怎样取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,•把问题转化为求不定方程的正整数解.解:提示:设盒子里共有x 粒棋子,则x 被2、3、4、6的最小公倍数12除时,余数为1,即x=12a+1(a 为自然数),又x=11b(b 为自然数),得12a+1=11b,b=12111a + =a+111a +,11│a+1• 因0<x ≤200,故0<12a+1≤200,得0<a<16712,a=10,所以x=12×10+1=•121,•即盒子里共有121粒棋子.【例5】中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x,y,z,则有100531003x y z zx y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解.解:消去方程组中的z,得7x+4y=100,显然,(0,25)是方程的一个特解,•所以方程的通解为4257x ty t=-⎧⎨=+⎩(t 为整数),于是有t=100-x-y=100+4t-(25+7t)=75-3t,由x,y,z ≥0且t•为整数得4025707530t t t -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩,t=0,-1,-2,-3,将t 的值代入通解,得四组解 (x,y,z)=(0,25,75),(4,18,78) (8,11,81),(12,4,84)【例6】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,•丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数是365个,问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组同学a 人,乙组学生b 人,丙组学生c 人,由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定方程?运用放缩法,从求出a+b+c 的取值范围入手.解:设甲组、乙组、丙组分别有学生a 人、b 人、c 人,则28a+30b+31c=365 因28(a+b+c)<28a+30b+31c=365,得a+b+c<36528<13.04 所以a+b+c ≤13因31(a+b+c)>28a+30b+31c=365,得(a+b+c)>36531>11.7 所以a+b+c ≥12因此,a+b+c=12或13当a+b+c=13时,得2b+3c=1,此方程无正整数解. 故a+b+c ≠13,a+b+c=12学力训练一、基础夯实1.已知x,y,z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______.(2002年山东省竞赛题)2.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),那么22222223657x y zx y z++++的值为________.3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有______种不同的买法.4.购买512345则55.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,•这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10个,•那么其中排球有________个. (2003年温州市中考题)6.方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有( ).A.1组B.2组C.4组D.无数组7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( ).A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个 (第11届“希望杯”邀请赛试题)8.以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式,a、b、c、d、e、f各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=( ).abcdef× 4efabcdA.27B.24C.30D.无法确定 (“五羊杯”邀请赛试题)9.求下列方程的整数解: (1)11x+5y=7; (2)4x+y=3xy.10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.•检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,•检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;•如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口? (2001年广州市中考题)11.下面是同学们玩过的“锤子、剪子、•布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”。
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不定方程及不定方程组的解法
华图教育任小芳
在公务员行政职业能力测试数量关系模块中，经常会运用到方程法解答各类文字应用题型，但是在运用方程法的过程中，常会遇到所设的未知数数量多于方程个数的情况。
未知数数量多于方程数量，这种方程我们称之为“不定方程（组）”。
解不定方程（组）最典型的方法为代入排除法，即直接将选项代入方程中，验证是否能使其他未知数都有符合题目要求的解。
【例1】有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。
为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是（）？
A.1辆
B.3辆
C.2辆
D.4辆
【答案】：B
【解析】：每位游客均有座位且车上没有空座位，可知座位总数与游客人数相等。
假设需要大客车x辆，需要小客车y辆，根据题意列出方程：37x+20y=271。
未知数个数多于方程个数，此为不定方程问题。
20的倍数尾数一定为0，则37x的尾数应为1，代入四个选项，只有当x=3时，37x 的尾数为1，B选项正确。
【例2】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装 5个苹果共用了十多个盒子刚好装完。
问两种包装盒相差多少个？（）
A.3
B.4
C.7
D.13
【答案】：D
【解析】：假设大包装盒用了x个，小包装盒用了y个，根据题意可列出方程：12x+5y=99。
题干中只有一个等量关系，2个未知数，1个方程，此为不定方程问题。
结合数字的奇偶特性，偶数的倍数一定是偶数，可知12x为偶数。
两个数的和99为奇数，这两个数的奇偶性一定相反，因此5y的值一定为奇数。
5的倍数尾数不是0就是5，因此可以确定5y尾数为5,12x尾数为9-5=4。
由此推出x=2,y=15。
或者x=7,y=3。
题目条件“共用了10多个盒子”，x=7,y=3不符合题意，结果为x=2,y=15,差是13。
D选项正确。
在解不定方程时可结合数字的奇偶特性、尾数特性等数字特性思想，然后通过代入选项得出答案。
当题目要求的是所有未知数的和时，可用设“0”法简化计算。
【例3】小刚买了3支钢笔、1个笔记本、2瓶墨水，花去35元钱，小强在同一家店买同样的5支钢笔、1个笔记本、3瓶墨水花去52元，则买1支钢笔、1个笔记本、1瓶墨水共需（）元。
A.9
B.12
C.15
D.18
【答案】：D
【解析】：假设钢笔、笔记本、墨水的单价分别为x、y、z元，根据题意列出方程组：
3x+y+2z=35,
5x+y+3z=52.
不定方程组问题。
最后所求为x+y+z的和，因此可以设其中一个未知数的值为0，不影响最后的总和大小。
假设x=0,则 y+2z=35，
y+3z=52。
解得y=1,z=17。
x+y+z=0+1+17=18。
D选项正确。
运用设“0”法的前提是所要求的结果是所有未知数之和，假设其中一个未知数为0时不会影响所有未知数之和的大小。
当题目要求其中一个未知数大小时，则不可通过设“0”简化计算。
华图教育任小芳。