复变函数课件2-2函数解析的充要条件

uy vy
1,
故曲线族 u( x, y) c1 与 v( x, y) c2 相互正交.
如果 uy 和 v y 中有一个为零, 则另一个必不为零,
两族中的曲线在交点处的切线一条是水平的, 另
一条是铅直的, 它们仍然相互正交.
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三、小结与思考
在本课中我们得到了一个重要结论—函数
解析的充要条件:
y i y 所以 v 与u不全为零,
y y 如果在曲线的交点处v 与u都不为零,
y y
根据隐函数求导法则,
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曲线族 u( x, y) c1 与 v( x, y) c2 中任一条曲
线的斜率分别为
k1
ux uy
,
k2
vx vy
,
根据柯西－黎曼方程得
k1
k2
ux uy
vx vy
vy uy
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根据定理一, 可得函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在 点 z x yi 处的导数公式:
f (z) u i v 1 u v . x x i y y
函数在区域 D内解析的充要条件 定理二 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
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解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域 D内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定 f (z) 在 D内是解析的.
(2) 如果复变函数 f (z) u iv 中 u,v 在 D内 的各一阶偏导数都存在、连续(因而 u, v( x, y) 可微)并满足 C R 方程, 那么根据解析函数 的充要条件可以断定 f (z) 在 D内解析.
u x
i
v x
x
u y
i
v y
y
(1
i
3
)x
(
2
i
4
)y.
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6
由柯西－黎曼方程 u v , u v i2 v , x y y x x
f (z z) f (z)
u x
i
v x
(x
iy)
(1
i
3
)x
(
2
i 4
)y.
f (z z) f (z) z
u x
i
v x
(1
i 3
解析? 解 u 2x ay,
x
u ax 2by, y
v 2cx dy, v dx 2 y,
x
y
欲使 u v , u v , x y y x
2x ay dx 2 y, 2cx dy ax 2by,
所求 a 2, b 1, c 1, d 2.
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例4 证明函数 f (z) xy 在点 z 0 满足柯 西－黎曼方程但在点z 0 不可导.
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二、典型例题
例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: (1) w z; (2) f (z) e x (cos y i sin y); (3) w z Re(z).
解 (1) w z, u x, v y,
u 1, u 0, v 0, v 1.
x
y
x
y
不满足柯西－黎曼方程,
(4) f (z)解析;
(5) Re[ f (z)] 常数; (6) Im[ f (z)] 常数;
(7) v u2;
(8) arg f (z) 常数.
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例7 设 f (z) u iv 为一解析函数, 且 f (z) 0, 那末曲线族u( x, y) c1 与 v( x, y) c2 必相互正交, 其中c1 , c2 为常数. 证 因为 f (z) v 1 u 0,
因为 lim (z) 0, z0
所以
lim
x0
1
lim
x0
2
0,
y0
y0
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4
由此可知 u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微, 且满足方程 u v , u v . x y y x
(2) 充分性. 由于 f (z z) f (z) u( x x, y y) u( x, y)
)
x z
(
2
i 4
)
y z
.
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7
因为 x 1, y 1,
z
z
lim
z0
(1
i
3
)
x z
(
2
i
4
)
y z
0,
所以 f (z) lim f (z z) f (z) u i v .
z0
z
x x
即函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在点 z x yi 可导.
[证毕]
第二节 函数解析的充要条件
一、主要定理 二、典型例题 三、小结与思考
一、主要定理
定理一
设函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定义在区域
D 内, 则 f (z) 在 D内一点 z x yi 可导的充要条
件是 : u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微, 并且在该
z0
令 f (z z) f (z) u iv,
f (z) a ib, (z) 1 i2 ,
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3
所以 u iv
(a ib) (x iy) (1 i2 ) (x iy) (ax by 1x 2y)
i(bx ay 2x 1y)
于是 u ax by 1x 2y, v bx ay 2x 1y.
x x y y 故 u v u v 0,
x y y x
所以 u 常数, v 常数, 因此 f (z) 在区域 D内为一常数.
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参照以上例题可进一步证明: 如果 f (z) 在区域 D内解析, 则以下条件彼此等价. (1) f (z) 恒取实值; (2) f (z) 0;
(3) f (z) 常数;
证 因为 f (z) xy , 所以 u xy , v 0,
ux
(0,0)
lim
x0
u(
x,0) x
u(0,0) 0
0
vy
(0,0),
uy (0,0)
lim
y0
u(0,
y) y
u(0,0) 0
0
vx (0,0),
柯西－黎曼方程在点 z 0 成立.
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但当 z 沿第一象限内的Hale Waihona Puke Baidu线 y kx 趋于零时,
f (z) f (0) z0
xy
x iy
k, 1 ik
随 k 变化,
故 lim f (z) f (0) 不存在, z0 z 0
函数 f (z) xy 在点 z 0 不可导.
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例6 如果 f (z) 在区域 D内处处为零, 则 f (z) 在 区域 D内为一常数. 证 f (z) u i v v i u 0,
故 w z 在复平面内处处不可导, 处处不解析.
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(2) f (z) ex (cos y i sin y) 指数函数
u e x cos y, v e x sin y,
u e x cos y, x v e x sin y, x
u e x sin y,
y
四个偏导数
v e x cos y, 均连续 y
u( x, y)与 v( x, y) 在D内可微, 并且满足柯西－
黎曼方程
u v , u v . x y y x
掌握并能灵活应用柯西—黎曼方程.
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思考题
用柯西－黎曼条件判断 f (z) u( x, y) iv( x, y) 解析时应注意什么?
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思考题答案
首先判断 u( x, y) 和 v( x, y) 在 D内是否可微; 其次再看是否满足C - R条件 : u v , u v ;
即 u v , u v . x y y x
故 f (z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
且 f (z) ex (cos y i sin y) f (z).
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(3) w z Re(z) x2 xyi, u x2, v xy,
u 2x, u 0, v y, v x.
x y y x 最后判定 f (z)的解析性.
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放映结束，按Esc退出.
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点满足柯西－黎曼方程
柯西介绍
u v , u v . x y y x
黎曼介绍
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证 (1) 必要性. 设 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定义在区域 D内, 且 f (z) 在 D内一点 z x yi 可导, 则对于充分小的z x iy 0,
有 f (z z) f (z) f (z)z (z)z, 其中 lim (z) 0,
i[v( x x, y y) v( x, y)] u iv, 又因为 u( x, y) 与 v( x, y) 在点 ( x, y) 可微,
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5
于是
u
u x
x
u y
y
1x
2
y,
v
v x
x
v y
y
3x
4y,
其中
lim
x0
k
0,
(k 1,2,3,4)
y0
因此 f (z z) f (z)
x
y
x
y
四个偏导数均连续
仅当 x y 0时, 满足柯西－黎曼方程,
故函数 w z Re(z) 仅在 z 0 处可导,
在复平面内处处不解析.
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例3 设 f (z) x2 axy by2 i(cx2 dxy y2 ),
问常数 a, b, c, d 取何值时, f (z) 在复平面内处处