5.1电磁场的失势和标势

B A
现代物理导论I
将（1.2）式代入（1.1）式中第一式，得
A E 0 t A 表示 E 为无旋场，可用标势描述： t A E t
A 故，一般地有 E t
（1.3）
（1.2）和（1.3）式把电磁场用失势和标势表示出来。 注意：这里的势 不再具有静电场中的意义，在高频系统中， 电压的概念也失去确切的意义。在变化场中，磁场和电场是相 互作用的整体，必须把标势和失势作为一个整体来描述电磁场。
（2.12） 、 （2.13）式称为推迟势。 推迟势说明：
r 时刻 t 的电荷电流分布。因此达朗贝尔方程的解 c
£ ¨1£ © µ ç ´ Å ³ ¡ Ò Ô Ó Ð Ï Þ Ë Ø ¶ È £ ¨Õ æ ¿ Õ Ö Ð c
1
0 0
£ © Ï ò Í â ´ « ² ¥ ¡ £
标表示为
1 2 1 2 1 r 2 2 Qt x 2 0 r r r c r
现代物理导论I
除原点外 r 0 ， 满足
1 2 1 r 2 2 0 2 r r r c r
由此证明（2.9）式是（2.2）式的解。
2、推迟势 如果电荷不在原点上，而在 x 点上，有
现代物理导论I
r Q x , t c x, t 4 0 r 对于一般变化电荷 x, t 分布所激发的标势为
r x , t 1 c x, t dV （2.12） 4 0 r 同理，一般变化电流分布 J x, t 所激发的标势为
其特点参见以下推导结果。 3、达朗贝尔方程
将（1.2） 、 （1.3）式代入（1.1）式中第二、三式，整 理后有
2 2 1 A 1 0 J A 2 2 A 2 c t c t 2 A t 0
当 0 时，积分第二项正比于 而趋于零。于是要
2
因此
求在积分第一项中，对分母因子求两阶导数时不为零。由于 当
现代物理导论I
r 0 时， Q t Qt ，积分第二项为 c Q t Q t Q t 2 1 dV 4 0 4 0 r 4 0 因此，由 函数定义，得 r Q t 2 2 1 c 1 c 2 t 2 4 r Qt x 0 0
严格说，天线上的电流和它激发的电磁场是相互作用 的：天线电流激发电磁场，电磁场反过来又作用到天线电 流上，所以辐射的本质也是一个边值问题。这种一般求解 比较复杂， 本章仅局限于讨论天线上给定电流辐射电磁波。
现代物理导论I
一、辐射的基本概念
1. 什么是辐射？ 辐射：随时间变化的电磁场离开波源向空 间传播的现象。 产生辐射的源称为天线。 2. 辐射产生的必要条件 （1）时变源存在。 （2）源电路是开放的。 3. 影响辐射强弱的原因 （1）源电路尺寸与辐射波的波长相比拟时 辐射较为明显。 （2）源电路越开放，辐射就越强。
（1.7）
现代物理导论I
讨论： £ ¨1£ © È ô ² É Ó Ã ¿ â Â × ¹ æ · ¶ £ ¬ Ô ò
2 1 2A 1 A 2 2 2 0 J c t c t 2 0
（1.8）
由此可见， （1.8）式中第二式与静电场相同，其解为 库仑势。解出势 后代入第一式可解出 A。从而确定这种 规范下的辐射电磁场。
（1）库仑规范： A 0
于是，电场
A 为无旋场（纵场） ， 项对应感应电场为无源场（横场） 。 t
由此可见，库仑规范下各项的物理意义相当明确。
其特点是：第一、二项互相独立。 项对应库仑场
A E t
现代物理导论I
1 （2）洛伦兹规范： A 2 0 C t
2
2 1 2 2 2 0 c t
又
A AL AT AL
1 2 1 EL 2 2 A A 2 0 c t t t c t
由于 E L 为纵场，其散度不恒为 0。要使上式恒成立，
AT （即说明 B 无纵场，有横场） A （2） E E L E T , E t A L A T E L , ET （存在横场） t T
现代物理导论I
E L A L t ∵根据题意，齐次达朗贝尔方程 0 ，即无源空间，
现代物理导论I
例 1、 证明根据洛伦兹条件求出的齐次达朗伯方程的 解满足横场条件。 证明： 纵场（无旋场） ： f 0 , f （例如：静电场）
横场（无源场） ： 感生电场） g 0 , g h （例如：磁场、
（1） A A L AT
B A AL AT
~
~
~
现代物理导论I
二、用势描述电磁场 简单起见，只讨论真空中的电磁场。真空中，
B E t E B 0 J 0 0 t E 0 , B 0
（1.1）
在恒定场中，由于 B 的无源性，引入失势 A，使得 （1.2） 由于磁场总是无源的，故上式是普遍成立的。 在一般的变化场中，电场的特性和静电场不同，它既 可以由电荷激发，也可以由变化磁场激发，故一般情况下 电场是有源有旋的场，它不能单独用一个标势来描述。
2
（2.4）
在数学中，已知其解为球面波，作代换：
代入（2.4）式，得 u 的方程：
u r , t r , t r
其通解为
2u 1 2u 2 2 0 2 r c t
r r u r , t f t g t c c
现代物理导论I
式中 f 和 g 是两个任意函数。在辐射场中，收敛项 g 0 。故除原点外， 的解为
r f t c r Q 在静电场中，电势 ，可以设想变化场中亦具形式 4 0 r
Qt r c r , t 4 0 r
（2.9）
必须 E L 0 （无纵场） 。证毕
5.2
1、标势的达朗贝尔方程
2
推迟势
现代物理导论I
1 （2.1） 2 2 0 c t 设在原点有一电荷 Qt ，其密度 x, t Qt x ，
2
这时（2.1）式为
2 1 1 2 2 2 Qt x （2.2） 0 c t 由于球对称性， 只依赖于 r 、 t ， （2.2）式用球坐
现代物理导论I
陈尚达
材料与光电物理学院
第五章 电磁波的辐射
1、电磁场的失势和标势
2、推迟势 3、电偶极辐射 4、磁偶极辐射和电四极矩辐射 5、天线辐射 6、电磁波的衍射 7、电磁场的动量
现代物理导论I
5.1
电磁场的失势和标势
现代物理导论I
上一章我们介绍了电磁波在空间的传播。在实践上， 电磁波常常是由运动电荷辐射出来的，例如无线电波就是 发射天线上的高频交流电流辐射出来的。本章研究高频交 流电辐射电磁波的规律。
式的解。当 r 0 时，显 现来证明（2.9）式亦是（2.2）
然， （2.9）式确是 （2.4）式的解。 r 0 是（2.9）式的一 个奇异点，
现代物理导论I
r Q t 2 2 1 c （2.10） c 2 t 2 4 r 0 在 r 0 处不为零。由此可见， （2.10）式 r 0 处具有 函数的奇异性。我们做一半径为 的小球包围原点， 作积 分 r Q t 2 2 1 c 2 0 4r dr c 2 t 2 4 r 0
现代物理导论I
2、 规范变换和规范不变性 用矢势 A 和标势 描写电磁场不是唯一的。 如设 为
任意时空函数，有
B A
A A
A A t t
E
由此可见， A, 与 A, 描写的是同一电磁场，我
称为达朗贝尔方程。其意义为：电荷产生标势波动，电流产 生矢势波动。离开电荷电流分布区域后，矢势和标势以相同 波动方式在空间传播，而由他们导出的电磁场 E 和 B 亦以 波动方式在空间传播。
洛伦兹规范的最大优点是失势和标势的方程具有对称性， 在相对论中显示出协变性， 对理论探讨和计算提供很大的 方便。后面都采用洛伦兹规范。
A ' t t
们可以作变换
A A A t
（1.4）
现代物理导论I
称为势的规范变换， 每一组 A, 成为一种规范。 当做规
范变换时，应遵照规范不变性，即所有物理量和物理规律 都应保持不变。 由于（1.2） 、 （1.3）式中，B 和 E 并没有对 A 的散度 作出规定，故我们可以取 A 为任意值作为辅助条件。 应用最广的是以下两种：
¨ £ 2© £ ô È É ² Ã Ó å Â × Â È ×æ ¹ ¶ ·¬ £ ò Ô
现代物理导论I
2 1 2A A c 2 t 2 0 J （1.9） 2 2 1 2 2 c t 0 其特点是： A 、 分别由两个彼此独立的方程描述，
（2）电磁场一旦从源中辐射出来就独立于源而存在。
当给定 、 J 后，可由（2.12） 、 （2.13）式求出势，再 由 （ 式 （1.2） 、1.3）
B A
求出空间点的电磁场。
A E t
5.3
电偶极辐射
现代物理导论I
电磁波是从变化的电荷、电流系统辐射出来的。 宏观上，主要是利用载有高频交变电流的天线产 生辐射，微观上，一个做变速运动的带电粒子即 可产生辐射。 本节仅讨论电荷分布以一定频率做周期运动， 且电荷体系线度远远小于电荷到观测点的距离的 情况。
1、计算辐射场的公式
若电流 J 是一定频率的交变电流：
Jx, t Jxe it
现代物理导论I
r J x ,t 0 c 0 A x, t dV 4 r 4
r J x , t 0 c Ax, t dV 4 r
（2.13）
现代物理导论I
Βιβλιοθήκη Baidu
£ ¨2.12£ © º Í £ ¨2.13£ © Ê ½ ± í à ÷£ º ¿ Õ ¼ ä Ä ³ µ ã x Ô Ù Ä ³ Ê ±¿ Ì tµ Ä ³ ¡ ² » Ê Ç È ¡ ¾ ö Ó Ù Í ¬ Ò » Ê ±¿ Ì tµ Ä µ ç º É µ ç Á ÷· Ö ² ¼ £ ¬¶ ø Ê Ç Ò À À µ Ó Ù ½ Ï Ô ç