2022年高考数学真题《不等式》专项汇编(含答案)

2022年高考数学真题《不等式》专项汇编（含答案）

1.【2022年 全国甲卷(文)，23】已知a ，b ，c 均为正数，且22243a b c ++=，证明： （1）23a b c ++≤； （2）若2b c =，则

11

3a c

+≥. 2.【2022年 全国乙卷(理)，23】已知a ，b ，c 都是正数，且32

2

32

31a b c ++=，证明： （1）1

9

abc ≤；

（2）

a b c b c a c a b ++≤

+++3.【2022年 陕西省模拟，23】设x 、y 、z 为正实数，且4x y z ++=. (1)

≤

(2)证明：()()()22241233

x y z -+-+-≥

4.【2022年 贵州贵阳模拟，23】已知实数a ，b ，c 满足0a b c ++=.

（2）若0a <，0b <，1abc =，求c 的最小值.

5.【2022年 安徽马鞍山模拟，23】已知函数()22f x ax x a =++-（a ∈R ） （1）当1a =时，求不等式()6f x <的解集． （2）当13a -≤≤时，求()1f a -的最大值与最小值．

6.【2022年 内蒙古呼伦贝尔模拟，23】设函数()231f x x x =+--． (1)求不等式()0f x >的解集；

(2)若()f x 的最小值是m ，且232a b c m ++=，求222a b c ++的最小值． 7.【2022年 吉林长春模拟，23】设函数()1f x x =+，()21g x x =-. （1）解关于x 的不等式()()1f x g x ->；

（2）若()()22f x g x ax +>+对一切实数恒成立，求实数a 的取值范围. 8.【2022年 四川宜宾模拟，23】 [选修4-5：不等式选讲]： 已知函数()22f x x x =-++. （1）求不等式()24f x x ≥+的解集；

（2）若()f x 的最小值为k ，且实数,,a b c ，满足()a b c k +=，求证：22228a b c ++≥

9.【2022年 甘肃嘉陵关模拟，23】已知函数()|21||1|f x x x =-++. （1）解不等式()6f x ；

（2）记函数()()|1|g x f x x =++的最小值为m ，若,,a b c ∈R ，且230a b c m ++-=，求222a b c ++的最小值.

10.【2022年 重庆市模拟，23】已知函数()|2+=(0)f x ax bx a b ->>｜｜｜． (1)若22a b == ，解不等式()2|f x x ≥｜； (2)求证：()2b f x a

≥．

答案以及解析

1.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析

解析：（1）解法一（平方转化基本不等式证明）因为22243a b c ++=， 所以2222(2)42(22)a b c a b c ab bc ac ++=+++++

()222222

3(2)(2)a b b c a c ⎡⎤⎡⎤≤++++++⎣⎦⎣⎦，

当且仅当21a b c ===时取等号，

所以2222

(2)32(2)9a b c a b c ⎡⎤++≤+++=⎣⎦.

又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤.

解法二（柯西不等式证明）因为22243a b c ++=，

所以根据柯西不等式有()()

2222222334111(2)a b c a b c ⨯=++++≥++， 当且仅当21a b c ===时取等号. 又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤.

解法三（权方和不等式证明）根据权方和不等式可得2222

1(2)43(111)111

a b c a b c ++≤++=++（当且仅当

21a b c ===时取等号），

所以2(2)9a b c ++≤.

又a ，b ，c 均为正数，所以23a b c ++≤. （2）因为2b c =，所以根据（1）有43a c +≤.

1113314414114533333a c a c c a a c a c a c a c ⎛

++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+≥+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当21a b c ===时取得等号. 2.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析

解析：（1）因为a ，b ，c 都是正数，333222

1a b c =++≥ 所以19

abc ≤，

当且仅当2

3

13a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭

时等号成立.

（2）由基本不等式得b c +≥

a b c ≤

+， 同理得

b a

c ≤

+c a b ≤+利用不等式的性质得a b c

b c a c a b

++

+++

≤

3332

2

2

b

c

=

33322

2

b c =

=

，

当且仅当23

13a b c ⎛⎫

=== ⎪⎝⎭

时等号成立.

3.答案：(1)见解析(1) 见解析 解析：(1)因为x,y,z 为正实数，

由基本不等式可得422x x y z ⎛⎫⎛⎫=+++≥ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭，

当且仅当

12

x y z ===≤(2)由柯西不等式可得()()()()()()()

2

222222123123111x y z x y z ⎡⎤-+-+-≤-+-+-⋅++⎡⎤⎣⎦⎣⎦

， 所以，()()()()

2

2

2

2

641233

3

x y z x y z ++--+-+-≥

=

， 当且仅当123x y z -=-=-时，即当13x =，43y =，73z =时，等号成立，

故()()()22241233

x y z -+-+-≥

.

4、