函数零点问题的几种常见求解方法

函数零点问题的几种常见求解方法

作者：卢杰

来源：《中学教学参考·中旬》 2013年第1期

湖北十堰市第一中学（442000）卢杰

函数零点是函数与导数部分的重要知识，它涉及函数的图像与性质等基本知识，渗透着转化与化归、数形结合、分类讨论、函数与方程等重要思想，体现对学生综合能力的考查.下面对常见的几种函数零点解决办法作些归纳.

方法一：解方程法.函数f(x)零点问题可转化为求方程f(x)=0的解，方程几个解就对应函数有几个零点.

【例1】函数f(x)=xcosx2在区间［0,4］上零点的个数为（）.

A.4

B.5

C.6

D.7

分析：求方程xcosx2=0在区间［0,4］上解的个数，x=0为一个解；x∈(0,4］时，

x2∈(0,16］，由cosx2=0得x2=kπ+π2 ，k∈Z，k只能取0,1,2,3,4，此时有5个解.

综上，解的个数为6，即零点个数为6.选C.

方法二：利用零点存在性定理法.如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，y=f(x)在区间(a,b)内有零点.若结合单调性，就能判断零点的个数.

【例2】函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是（）.

A.(-2,-1)

B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(1,2)

分析:因为f(0)=e0+0-2=-1＜0，f(1)=e1+1-2=e-1＞0，

所以函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间是(0,1)．选C.

方法三：数形结合法.函数零点、方程的根与函数图象的关系为

函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点�方程F(x)=f(x)-g(x)=0有实数根�函数y1=f(x)和

y2=g(x)的图像有交点.故可以把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，有时又需要把方程解的问题转化为函数零点问题，通过图象反映与轴交点的情况.

【例4】函数f(x)=lgx-cosx的零点有（）.

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

分析:可画出y=lgx和y=cosx的图象,观察得出有3个交点.选B.

【例5】函数f(x)=x2-8x+6lnx+m有三个零点，求实数m的取值范围.

分析：函数有三个零点等价于图象与x轴有三个不同的交点.

f(x)在(0,1)上递增，（1,3）上递减，(3,+∞)上递增.

结合f(x)的图象可得f(1)＞0且f(3)＜0，

解得7＜m＜15-6ln3.

以上三种方法是常见的函数零点问题解决办法，前两种方法主要适用于较简单的问题，小题中运用较多；后一种方法有时直接画出函数图象看其与轴交点的个数，有时又必须画两个图象，注意在做题过程中加以区分.

(责任编辑金铃）