韦达定理在圆锥曲线中的应用
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计算题
1. 已知直线：与椭圆：交于，两点，与直线：交于点。
（1）证明：与相切。
（2）设线段的中点为，且，求的方程。
2. （本小题满分12分）
已知点，，动点满足条件，记动点的轨迹为。
（1）求的方程。
（2）若，是上的不同的两点，是坐标原点，求的最小值。
3. （本小题满分14分）
已知直线经过椭圆：（）的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线：分别交于、两点，
（1）求椭圆的方程；
（2）确定线段的长度的最小值；
（3）当线段的长度取最小值时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定的个数；若不存在，请说明理由。
4. （本小题满分12分）
已知椭圆：（）的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点。
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线的斜率存在且与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点，求到直线的距离。
5. （本小题满分12分）
已知椭圆的方程为（），称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“伴随圆”，椭圆的短轴长为，离心率为。
（1）求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（2）若直线与椭圆交于，两点，与其“伴随圆”交于，两点，当时，求面积的最大值。
6. （本小题满分14分）
已知椭圆：（，）的右准线的方程为，短轴长为。
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，若直线（）与椭圆交于、两点，问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由。
7. （本小题满分13分）
已知椭圆：（）的离心率，并且经过定点。
（1）求椭圆的方程；
（2）问是否存在直线，使直线与椭圆交于点、，满足。若存在，求的值，若不存在，请说明理由。
8. （本小题满分14分）
如图，已知椭圆（）的离心率为，、为其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，的周长为。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求面积的最大值（为坐标原点）；
（3）直线也过且与椭圆交于、两点，且，设线段、的中点分别为、两点，试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。
9. 已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：（）相交于不同的两点，，与抛物线的准线
相交于不同的两点，，且。
(1)求抛物线的方程。
(2)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，，且满足。证明直线过定点
，并求出点的坐标。
10. 已知平面上的动点及两个定点，，直线，的斜率分别为，，且
。
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设直线：与曲线交于不同两点，，当时，求点到直线的距离（为坐标原点）。
11. （本小题满分8分）
已知椭圆：（）的离心率为，左、右焦点分别为、，过焦点的直线交椭圆于、两点，且的周长为。
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于、两点，且，求的面积。
12. 已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为，右焦点为 。
（1）求椭圆的标准方程。
（2）若直线经过点且与椭圆有且仅有一个公共点，过点作直线交椭圆于另一点， ①证明：当直线与直线的斜率，均存在时，为定值；②求面积的最小值。
13. （本小题满分12分）
已知椭圆：（），离心率，短轴长为。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，椭圆左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论。
14. 已知抛物线：（）的焦点，为坐标原点，，是抛物线上异于的两点。
（1）求抛物线的方程。
（2）若，求证：直线过定点。
15. 已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为，直线：与椭圆交于、
两点，且线段的垂直平分线通过点。
（1）求椭圆的标准方程。
（2）当（为坐标原点）面积取最大值时，求直线的方程。
16. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的离心率为，且过点，过椭
圆的左顶点作直线轴，点为直线上的动点，点为椭圆右顶点，直线交椭圆于。
（1）求椭圆的方程。
（2）求证：。
（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由。
17. （本小题满分14分）
如图，设是椭圆：（）的左焦点，直线为，直线与轴交于点，线段为椭圆的长轴，已知，且。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交于不同两点、，求证：；
（3）求三角形面积的最大值。
18. （本小题满分12分）
在直角坐标系中，曲线：的右顶点是，上顶点是。
（1）求以为直径的圆的标准方程；
（2）过点且斜率为（）的直线交曲线于两点，，且，其中为坐标原点，求直线的方程。
19. （本小题满分12分）
已知抛物线：（），过点作直线垂直轴交抛物线于、两点，
于，，为坐标原点。
（1）求的值；
（2）若抛物线上存在不同的两点、关于直线对称，求的取值范围。
20. 已知椭圆：（）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆左右两个焦点构成的
三角形周长为。
（1）求椭圆的方程。
（2）如图，设点为椭圆上任意一点，直线和椭圆交于、两点，且直线、与轴分别交于、两点，求证： 。