第九章 点的合成运动

由于
ɺ a = va
ɺ ɺ ve = vO′ = aO′ = ae
于是可得： 于是可得：
aa = ae + ar
即：当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加 当牵连运动为平动时， 速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢 量和。这就是牵连运动为平动时点的加速度合成定 量和。这就是牵连运动为平动时点的加速度合成定 。 为牵连运动为平动时点的加速度合成定 为： 的 。 的 为：
于是可得：
1 2 vM = va = v + v = v + 2 (v1 cos α − v2 ) sin α 1 2 = v12 + v2 − 2v1v2 cos α sin α
2 e1 2 r1 2 1
如图， 如图，设 O′x′y′z ′ 为平动参考 9.3 系，动点 相对于动系的相对坐 动点M相对于动系的相对坐 牵 则动点M的相 标为 x′ 、y′ 、z ′ ，则动点 的相 连 运 对速度和加速度为
ɺ x vr = ɺɺ′i ′ + ɺɺ′j ′ + ɺɺ′k ′ = ar y z
由点的速度合成定理有： 由点的速度合成定理有：
va = ve + vr
两边对时间求导， 两边对时间求导，得：
ɺ ɺ ɺ va = ve + vr
9.3
牵 连 运 动 为 平 动 时 点 的 加 速 度 合 成 定 理
aa
τ
2 0
A
ae
C
ξ
建立如图的投影坐标轴 Aξη ， τ n 由aa + aa = ae + ar ，将各矢量投影 到 ξ 轴上，得
− aa cos θ − a sin θ = ae
n a
τ
于是可得
ae = − r (ε 0 cos θ + ω sin θ )
2 0
该加速度即为BC的加速度。
例8 图示半径为r的半圆形凸轮在水平面上滑 9.3 动，使直杆OA可绕轴O转动。OA=r，在图示瞬时 牵 杆OA与铅垂线夹角 θ = 30 ，杆端A与凸轮相接触， 连 点O与 O1在同一铅直线上，凸轮的的速度为 v ，加 运 动 速度为 a 。求在图示瞬时A点的速度和加速度。并 为 求OA杆的角速度和角加速度。 O 平 η 动 解：以杆端A为动点，静系 va θ 时 取在地面上，动系取在凸轮上， 点 v vr A v e a θ 动点的速度合成矢量图如图。 的 r 加 建立如图的投影坐标轴 Aξη ， 速 O1 度 由va = ve + vr，将各矢量投影到投 合 影轴上，得 成
O
概念
9.1
绝 对 运 动 相 对 运 动
动点在绝对运动中的轨迹、 动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为 绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度。 绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度。 动点在相对运动中的轨迹、 动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为 相对轨迹、相对速度和相对加速度。 相对轨迹、相对速度和相对加速度。 在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（ 在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（瞬 时牵连点） 时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该瞬 时的牵连速度 牵连加速度。 牵连速度和 时的牵连速度和牵连加速度。 分别表示绝对速度和绝对加速度。 用 va 和 aa分别表示绝对速度和绝对加速度。 分别表示相对速度和相对加速度。 用 vr 和 ar分别表示相对速度和相对加速度。 分别表示牵连速度和牵连加速度。 用 ve 和 ae 分别表示牵连速度和牵连加速度。
例2 如图车A沿半径为150m vA vB 9.2 的圆弧道路以匀速vA = 45km h 行驶， O 点 车B沿直线道路以匀速 vB = 60km h A B 的 行驶 ，两车相距30m，求：（1） R 速 A车相对B车的速度；（2）B车相 度 对A车的速度。 解：（1）以车A为动点，静系取在地面上， 合 动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。 由图可得：
M 1M ′ MM 2 = lim lim ∆t ∆t →0 ∆t = vr ∆t →0
9.2
点 的 速 度 合
于是可得： 于是可得：
M2
B
va ve
M′
B′
va = ve + vr
vr
M
M1
A
A′ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该 瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。 瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就 是点的速度合成定理。 点的速度合成定理。
速 度 合 成 定 理
va cosθ = ve
即：
ve = va cosθ = rω 0 cosθ
该速度即为BC的速度。
动点的加速度合成矢量图如 9.3 图。其中： 牵
连 运 动 为 平 动 时 点 的 加 速 度 合 成 定 理
a a = rε 0
τ
a = rω
n a
ω 0η O n B aa a ε 0θ r
引例:曲柄连杆机构,曲柄绕O定轴转动,带动连杆水平 滑动,则套筒的运动? 人 M v
A
O
人
直线轨道上行驶的汽车,升空与降落的直升机.当观 察者分别在地面和运动的物体上时A,M的运动?
一个动点,两个坐标系,三种运动(1、2、3问题)
坐 标 系 运动
动点
运动
动
运动 ve ,
e
坐标系 动坐标系 点
点: 动系 动点 点. .
第九章 点的合成运动
• • • • 绝对运动 相对运动 牵连运动的概念 点的速度合成定理 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 牵连运动为转动时点的加速度合成定理
概念
9.1
绝 对 运 动 相 对 运 动 运 动
前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。 前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。 而在不同的参考坐标系中对同一个点的运动的描述 得到的结果是不一样的，例如： 得到的结果是不一样的，例如： u 为了研究方便， 为了研究方便，把所研究的 动点， 点称为动点 点称为动点，把其中一个坐标系 称为静坐标系 静坐标系（ 称为静坐标系（一般固连于地球 ）；而把另一个相对于静坐标 v 上）；而把另一个相对于静坐标 系运动的坐标系称为动坐标系 动坐标系。 系运动的坐标系称为动坐标系。 为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定： 为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定： 动点相对于静坐标系的运动称为绝对运动。 称为绝对运动 动点相对于静坐标系的运动称为绝对运动。 动点相对于动坐标系的运动称为相对运动。 称为相对运动 动点相对于动坐标系的运动称为相对运动。 动坐标系相对于静坐标系的运动称为牵连运动。 称为牵连运动 动坐标系相对于静坐标系的运动称为牵连运动。 动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动， 动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动， 而牵连运动是指参考体的运动， 而牵连运动是指参考体的运动，实际上是刚体的运 动。
例4 如图半径为R的半圆形凸轮以匀速 v0 沿水平 9.2 轨道运动，带动顶杆AB沿铅垂滑槽滑动，求在图示 点 B 位置时，杆AB的速度。
的 速
度 合
解：以杆端A为动点，静系 取在地面上，动系取在凸轮上， 动点的速度合成矢量图如图。 由图可得：
vr
v0
O ϕ
ϕ
va
A
ve
va = ve ctgϕ = v0 ctgϕ
va v e
α
C R
解：以凸轮圆心C为动点，静系取在地面上， 动系取在顶杆上，动点的速度合成矢量图如图。 由图可得：
2 ve = va cos α = eω cos 45 = eω 2
v 例6 两直杆分别以 v1 、 2 v1 的速度沿垂直于杆的方向平动， A 9.2 M 点 其交角为α ，求套在两直杆上 v2 C 的 的小环M的速度。 解：以小环M为动点，静系取在地面上，动系 速 取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。 v 2 度 于是有： ve1 va D v1 v1 α A B va = ve1 + vr1 （1） 1 vr 1 M
ve 2 = l 2 + r 2 ω
ae 2 = l + r ω
2 2 2
下面研究点的绝对速度、 下面研究点的绝对速度、牵连速度和相对速 9.2 度的关系。 点 度的关系。 B M ′ B′ M2 如图，由图中矢量关系可得： 如图，由图中矢量关系可得： 的
速 度 合
MM ′ = MM 1 + M 1M ′
v2
v2 D v 1 α B
以小环M为动点，静系取在地面上，动系取在 v2 CD杆上，动点的速度合成矢量图如图。 va D v v1 1 于是有： v v
C
va = ve 2 + ve1
（2）
A
e2
α
r2
B
v2
M
C
比较（1）、（2）式，可得： 9.2
点 的 速 度 合
ve1 + vr1 = ve 2 + vr 2
α 2 = 42
例3 水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀 9.2 速 u 竖直下落，如图。试求套在该直杆和圆环交 点 点处的小环M的速度。
的 速 度 合
解：以小环M为动点，静系 u 取在地面上，动系取在AB杆上， 动点的速度合成矢量图如图。 由图可得：
A
O
ϕ
M vr B
rv
ϕ
e
va
u
ve u va = = sin ϕ sin ϕ
v a , aa
运动 vr , ar
a
运动 运动 动点
点:
例:不计质量与大小的小环M,可在直杆OA上滑动, 其滑动规律x‘=3t 2 ,OA杆绕O轴转动规律ω=6t,求:当t=1 秒时,小环M的相对速度,牵连速度.
x y
动点:小环M
‘
ve
M
vr
x
动系:OA杆 绝对运动:曲线 相对运动:沿OA直线 牵连运动:圆周 ve=ωR=18 vr=6 绝对速度为多少?
a a + a = ae + a + a r + a
n a n e
τ
τ
τ
n r
时， 时， 定加速度合成定 的
运动， 运动， 。
例7 图示曲柄滑杆机构，曲柄长OA=r，当曲 9.3 柄与铅垂线成 θ 时，曲柄的角速度为ω 0 ，角加速度 牵 连 为 ε 0 ，求此时BC的速度和加速度。 运 ω 0η 解：以滑块A为动点，静系 O B 动 ε 0 θ vr v a 为 取在地面上，动系取在BC杆上， ve ξ 平 A 动点的速度合成矢量图如图。 动 C 时 建立如图的投影坐标轴 Aξη ， 点 由va = ve + vr，将各矢量投影到投 的 加 影轴上，得
建立如图的投影轴，将上 式投影到投影轴上，得：
v1 A v2
v2 ve1 va D v1 ve 2 αvr 2 B M vr 1
ξ
C
− ve1 cos α + vr1 sin α = −ve 2 1 1 v (ve1 cos α − ve 2 ) = (v1 cos α − v2 ) 即： r1 = sin α sin α
将上式两端同除 ∆t ，并
M
M1
A
A′
令 ∆t → 0 ，取极限，得 取极限， MM ′ MM 1 M 1M ′ lim ∆t = lim ∆t + lim ∆t ∆t →0 ∆t →0 ∆t →0 由速度的定义： 由速度的定义：
MM ′ lim ∆t = va ∆t →0
MM 1 lim ∆t = ve ∆t →0
运 动
例1 如图杆长l，绕O轴 9.1 以角速度ω 转动，圆盘半径 绝 对 为r，绕 o′轴以角速度ω ′转动。 运 求圆盘边缘 M 1和 M 2点的牵连 动 速度和加速度。
ve 2
M2
ae 2
ω′
ve1
M1
ae1
ω
o
o′
相 对 运 动 运 动
解：静系取在地面上，动系 取在杆上，则
ve1 = (l − r )ω 2 ae1 = (l − r )ω
动 为 平 动 时 点 的 加 速 度 合 成 定 理
z
z′
o′
ar M k ′ aa
ae
y′
y
o x
x′ i ′ j ′
ɺ ɺ ɺ vr = x′i ′ + y′j ′ + z ′k ′ ar = ɺɺ′i ′ + ɺɺ′j ′ + ɺɺ′k ′ x y z
将前式对时间求一阶导数，并和上式比较， 将前式对时间求一阶导数，并和上式比较，有：
vr1 = v + v = v + v = 75km / h v A 45 sin α1 = = = 0 .6 vr1 75
2 A 2 e 2 A 2 B
O
ve
v A v y′ r1
α1
x′
R
A
vB B
α1 = 36.9
（2）以车B为动点，静系取在地面上，动系取 9.2 在车A上。动点的速度合成矢量图如图。
例5 图示平底顶杆凸轮机构， 9.2 顶杆AB可沿导轨上下平动，偏心 点 凸轮以等角速度ω 绕O轴转动，O 的 轴位于顶杆的轴线上，工作时顶 速 杆的平底始终接触凸轮表面，设 度 凸轮半径为R，偏心距OC=e ， 合 OC 与水平线的夹角为 α ，试求 当α = 45 时，顶杆AB的速度。
A
B
ωvr o
点 的 速 度 合
vA 45 × 103 ω= = = 0.083rad / s R 3600 ×150
y′
ve = 180 × 0.083 = 15m / s = 54km / s
2 B 2 e
ω
O
x′
vA
A
vB
ve
α2
R
B
vr 2
vr 2 = v + v = 80.72km / h
ve 54 sin α 2 = = = 0.669 vr 2 80.72