甘肃省武威市高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程课件

解析
D.7
由f(x)＝xcos x2＝0，得x＝0或cos x2＝0.
又x∈[0,4]，所以x2∈[0,16].
π 由于cos( ＋kπ)＝0(k∈Z)， 2 π 而在 ＋kπ(k∈Z)的所有取值中， 2 π 3π 5π 7π 9π 只有2， 2 ， 2 ， 2 ， 2 满足在[0,16] 内，
故零点个数为1＋5＝6.
则当0<b<2时，两函数图象有两个交点， 从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.
题型三 二次函数的零点问题 例4 已知f(x) ＝ x2 ＋ (a2 － 1)x＋ (a － 2) 的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数a的取值范围. 解答
方法一
设方程 x2 ＋ (a2 － 1)x ＋ (a － 2) ＝ 0 的两根分别为 x1 ， x2(x1<x2) ，
零点 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数y＝ax2＋ Δ＝0 Δ<0
bx＋c (a>0)的图象 (x1,0)，(x2,0) 2
与x轴的交点 零点个数
(x1,0) 1
无交点
0
知识拓展 1.有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点. (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号. 2.三个等价关系 方程 f(x) ＝ 0 有实数根 ⇔ 函数 y ＝ f(x) 的图象与 x轴有交点 ⇔ 函数 y＝ f(x) 有 零点.
∴x0∈(2,3)，故选C.
1 x－2 3 (2)(2016· 济南模拟)设函数y＝x 与y＝( ) 的图象的交点为(x0，y0)，若 2
(1,2) x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________.
1 x－2 令 f(x)＝x －(2) ，则 f(x0)＝0，
3wk.baidu.com
答案
解析
易知f(x)为增函数，且f(1)<0，f(2)>0，
(2) 若定义在R上的偶函数 f(x) 满足f(x＋ 2) ＝ f(x) ，当 x∈[0,1] 时， f(x) ＝ x， 则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是 答案 A.多于4 B.4 C.3
解析
D.2
由题意知，f(x)是周期为2的偶函数. 在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象， 如图， 观察图象可以发现它们有4个交点， 即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)· f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间 (a，b) 内有零点，即存在c∈(a，b)， 使得 f(c)＝0 ，这个 c 也就是方程f(x)＝0的根.
2.二分法 f(b)<0 的函数 y ＝ f(x) ，通过不断地 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)· 把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区间的两个端点逐步逼近
2 y ＝－ x －3x， 所以 有两组不同解， y＝a1－x
消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根， 所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9. 又由图象得a>0，∴0<a<1或a>9.
引申探究
本 例 (2) 中 ， 若 f(x) ＝ a 恰 有 四 个 互 异 的 实 数 根 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 9 (0，4) 答案 解析 ________. 作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的图象如右：
1 ∴(－3a＋1)· (1－a)<0，解得3<a<1， ∴实数 a
1 的取值范围是3，1 .
题型分类
深度剖析
题型一 函数零点的确定 命题点1 确定函数零点所在区间 例1 (1)(2017· 长沙调研)已知函数f(x)＝ln
解析
1 x－2 x－ 2
的零点为x0，则x0所
思维升华
(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法. (2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合 函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.
跟踪训练1
的区间是 答案 A.(0,1)
6 (1)已知函数f(x)＝ －log2x，在下列区间中，包含f(x)零点 x
作出函数 y＝|log0.5x|和
由图象知两函数图象有2个交点， 故函数f(x)有2个零点.
5.函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值 1 ，1 答案 解析 3 范围是________.
∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)<0，
解析
1 1 3.(2016· 吉林长春检测)函数f(x)＝ ln x＋x－ －2的零点所在的区间是 2 x A.(1，1) B.(1,2) C.(2，e) D.(e,3) 答案 解析 e
1 1 1 因为 f( e)＝－2＋ e－e－2<0，f(1)＝－2<0，
1 1 1 1 f(2)＝2ln 2－2<0，f(e)＝2＋e－ e－2>0，
所以f(2)f(e)<0，
1 1 所以函数 f(x)＝2ln x＋x－x －2 的零点所在区间是(2，e).
2 4.函数f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零点个数为________.
答案
解析
由
1 x f(x)＝0，得|log0.5x|＝ ， 2 1 x y＝ 的图象， 2
3 9 当 x＝－2时，y1＝4；
当x＝0或x＝－3时，y1＝0，
9 由图象易知，当 y1＝|x ＋3x|和 y2＝a 的图象有四个交点时，0<a<4.
2
思维升华
已知函数零点情况求参数的步骤及方法 (1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所 满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围. (2)方法：常利用数形结合法.
(2)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异 (0,1)∪(9，＋∞) 的实数根，则实数a的取值范围是________________. 设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，
答案 解析
几何画板展示
在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示. 由图可知f(x)－a|x－ 1|＝0 有4 个互异的实数根等价于y1 ＝ |x2＋3x|与 y2＝ a|x－1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × ) (2) 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 (a ， b) 内 有 零 点 ( 函 数 图 象 连 续 不 断 ) ， 则 f(a)· f(b)<0.( × ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( × ) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ ) (5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)· f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只 有一个零点.( √ )
答案 解析
m≠2， f0<0， 依题意，结合函数 f(x)的图象分析可知 m 需满足f－1· f2<0， f1· m≠2， 即[m－2－m＋2m＋1]2m＋1<0， [m－2＋m＋2m＋1][4m－2＋2m＋2m＋1]<0，
解析
B.(1,2)
C.(2,4)
D.(4，＋∞)
因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，
3 1 f(4)＝2－log24＝－2<0，
所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4).
(2)函数f(x)＝xcos x2在区间[0,4]上的零点个数为 A.4 B.5 C.6
答案
∴x0所在的区间是(1,2).
命题点2 函数零点个数的判断 例2
2 x －2，x≤0， 答案 2 (1)函数f(x)＝ 的零点个数是____. 2x－6＋ln x，x>0
解析
当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝ － 2 (正根舍去)， 所以在(－∞，0]上有一个零点； 当x>0时，f′(x)＝2＋1 >0恒成立， x 所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数. 又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点， 综上，函数f(x)的零点个数为2.
在的区间是 答案 A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
∵f(x)＝ln
1 x－2 x－2 在(0，＋∞)上为增函数，
1 －1 1－ ＝ln 2
又 f(1)＝ln f(2)＝ln
1－2<0，
1 1 3 － >0， 2
1 0 2－ <0，f(3)＝ln 2
考点自测
1 x 1.(教材改编)函数 f ( x) x ( ) 的零点个数为 答案 2 A.0 B.1 C.2 D.3
1 f(x)是增函数，又f(0)＝－1，f(1)＝ ， 2
1 2
解析
∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一个零点.
2.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 答案 A.y＝cos x C.y＝ln x 由于y＝sin x是奇函数； y＝ln x是非奇非偶函数； y＝x2＋1是偶函数但没有零点； 只有y＝cos x是偶函数又有零点. B.y＝sin x D.y＝x2＋1
跟踪训练2
(1)(2016· 枣庄模拟)已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在区间(0,1)
答案 解析
(－2,0) 上有零点，则a的取值范围为________. ∵－a＝x2＋x在(0,1)上有解，
12 1 又 y＝x ＋x＝(x＋2) －4，
2
∴函数y＝x2＋x，x∈(0,1)的值域为(0,2)，
则(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，
由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，
即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.
方法二 函数图象大致如图，则有f(1)<0，
即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2<a<1.
故实数a的取值范围是(－2,1).
思维升华
解决与二次函数有关的零点问题：
∴0<－a<2，∴－2<a<0.
(2)(2015· 湖南)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围 (0,2) 是________.
答案 解析
几何画板展示
由f(x)＝|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b. 在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
3.1 函数与方程
知识梳理
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使 f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.
(2)几个等价关系
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴 有交点⇔函数y＝f(x)有零点 .
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
(1)利用一元二次方程的求根公式；
(2)利用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；
(3)利用二次函数的图象列不等式组.
跟踪训练3 (2016· 临沂一模)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两 1 1 ， 4 2 个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是_______.
题型二 函数零点的应用 (1)函数f(x)＝2x－ 2－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值 x 范围是 答案 解析 例3 A.(1,3) B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)
因为函数f(x)＝2x－2－a在区间(1,2)上单调递增， x 又函数f(x)＝2x－2－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)· f(2)<0， x 所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0＜a＜3.