江苏高考 解析几何 定值定点问题 含答案解析

第2课时 定点、定值问题

题型一 定点问题

例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，3

2中恰

有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；

(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．

(1)解 由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知椭圆C 经过P 3，P 4两点． 又由1a 2＋1b 2>1a 2＋3

4b 2知，椭圆C 不经过点P 1，

所以点P 2在椭圆C 上．

因此⎩⎨⎧

1

b 2＝1，1a 2

＋3

4b 2

＝1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 2

＝4，b 2＝1.

故椭圆C 的方程为x 24

＋y 2

＝1.

(2)证明 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2.

如果l 与x 轴垂直，设l ：x ＝t ，由题设知t ≠0，且|t |<2，可得A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

t ，4－t 22，

⎝

⎛⎭⎪⎫

t ，－4－t 22，则k 1＋k 2＝4－t 2－22t －4－t 2＋22t ＝－1，得t ＝2，不符合题设． 从而可设l ：y ＝kx ＋m (m ≠1)． 将y ＝kx ＋m 代入x 24＋y 2

＝1，

得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 由题设可知Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则x 1,2＝－8km ±16(4k 2－m 2＋1)

2(4k 2

＋1)， 所以x 1＋x 2＝－8km

4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－4

4k 2＋1

.

而k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1

x 2

＝kx 1＋m －1x 1＋kx 2＋m －1

x 2

＝

2kx 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)

x 1x 2

.

由题设知k 1＋k 2＝－1，

故(2k ＋1)x 1x 2＋(m －1)(x 1＋x 2)＝0. 即(2k ＋1)· 4m 2－44k 2＋1＋(m －1)· －8km

4k 2＋1＝0，

解得k ＝－m ＋1

2

.

当且仅当m >－1时，Δ>0，于是l ：y ＝－m ＋1

2x ＋m ，

即y ＋1＝－m ＋1

2(x －2)，所以l 过定点(2，－1)．

思维升华 圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．

(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 跟踪训练1 已知焦距为22的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，直线y ＝4

3与椭圆C

交于P ，Q 两点(P 在Q 的左边)，Q 在x 轴上的射影为B ，且四边形ABPQ 是平行四边形． (1)求椭圆C 的方程；

(2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点M ，N .

①若直线l 过原点且与坐标轴不重合，E 是直线3x ＋3y －2＝0上一点，且△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形，求k 的值；

②若M 是椭圆的左顶点，D 是直线MN 上一点，且DA ⊥AM ，点G 是x 轴上异于点M 的点，且以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点，求证：点G 是定点． (1)解 由题意可得2c ＝22，即c ＝2， 设Q ⎝⎛⎭⎫n ，4

3，因为四边形ABPQ 为平行四边形， PQ ＝2n ，AB ＝a －n ，所以2n ＝a －n ，n ＝a 3

，

则

⎝⎛⎭⎫a 32a 2

＋169

b

2＝1，解得b 2＝2，a 2＝b 2＋c 2＝4， 可得椭圆C 的方程为x 24＋y 2

2

＝1.

(2)①解 将直线y ＝kx (k ≠0)代入椭圆方程， 可得(1＋2k 2)x 2＝4， 解得x ＝±

21＋2k

2

，

可设M ⎝ ⎛⎭

⎪⎫21＋2k 2，2k 1＋2k 2， 由E 是3x ＋3y －2＝0上一点， 可设E ⎝⎛⎭⎫m ，23－m ⎝⎛⎭⎫m ≠0，且m ≠2

3， E 到直线kx －y ＝0的距离为d ＝

⎪

⎪⎪⎪

km ＋m －231＋k

2

，

因为△EMN 是以E 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以OE ⊥MN ，OM ＝d ， 即有2

3－m m ＝－1k

，①

4＋4k

2

1＋2k 2

＝⎪

⎪⎪⎪

km ＋m －231＋k

2

，②

由①得m ＝2k

3(k －1)(k ≠1)，代入②式，

化简整理可得7k 2－18k ＋8＝0，解得k ＝2或4

7

.

②证明 由M (－2,0)，可得直线MN 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ≠0)，代入椭圆方程可得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 解得x N ＝2－4k 21＋2k 2

，

y N ＝k (x N ＋2)＝4k

1＋2k 2，即N ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

2－4k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2， 设G (t,0)(t ≠－2)，由题意可得D (2,4k )，A (2,0)， 以DN 为直径的圆恒过直线AN 和DG 的交点， 可得AN ⊥DG ，即有AN →·DG →

＝0，

即为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2·

(t －2，－4k )＝0，解得t ＝0. 故点G 是定点，即为原点(0,0)．

题型二 定值问题

例2 (2018·苏锡常镇模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，

离心率为

2

2

，椭圆的右顶点为A .

(1)求该椭圆的方程；