共顶点的等腰三角形问题

课堂小结
如果两个等腰三角形共顶点且顶角相等，那么将两条腰分配到不同的两个 三角形中会得到全等三角形，并且我们会发现：改变两个三角形的相对位置并 不会改变所得的三角形的全等关系.
∵AC=BC ∴BC＝EF ∴BC－FC＝EF－FC 即BF＝CE ∴BF＝FD ∴△BFD是等腰直角三角形 ∴∠DBE＝45°.
典例精解
类型二：共顶点的等边三角形
如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：
AN=BM.
N M
A
1
2 3
B
C
证明： ∵△ACM和△BCN都为等边三角形， ∴∠1＝∠3＝60° ∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2 即∠ACN＝∠MCB ∵CA＝CM，CB＝CN ∴△CAN≌△CMB(SAS) ∴AN＝BM
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初中数学知识点精讲课程
共顶点的等腰三角形问题
等腰三角形的两条腰相等，如果两个等腰三角形共顶点且顶角相等，那么 将两条腰分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些线段在数 量和位置上有着特殊的关系.
常见的有共顶点的等腰直角三角形和等边三角形，我们一起来探究.
F
∴BE＝CF
典例精解
类型一：共顶点的等腰三角形问题
如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，求
证：⑴BE＝CF；⑵求证：BE⊥CF；
C
⑵证明：∵△EAB≌△FAC
45
EM 1
3B
2
A
∴∠2＝∠4 ∵∠2＋∠3＋∠5＝90° ∴∠4＋∠5＋∠3＝∠2＋∠5＋∠3 ＝90°
变式题
如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：
AN=BM. 如果改变两个三角形的相对位置，以上结论还成立吗？
N
B
M
A
2 1
3
C
证明： ∵△ACM和△BCN都为等边三角形， ∴∠1＝∠3＝60° ∴∠1＋－∠2＝∠3＋－ ∠2 即∠ACN＝∠MCB ∵CA＝CM，CB＝CN ∴△CAN≌△CMB(SAS) ∴AN＝BM
典例精解
类型一：共顶点的等腰三角形问题
Байду номын сангаас
如图，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝90°，BE、CF交于M，求
证：⑴BE＝CF；⑵BE⊥CF；
C
⑴证明：∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
EM 1
B
∴∠BAC＋∠1＝∠EAF＋∠1
即∠EAB＝∠FAC
A
又∵AB＝AC，AE＝AF
∴△EAB≌△FAC
∴BE⊥CF
F
变式题
如图，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD
，求证：∠DBE=45°.
A
证明：过D作DF⊥BE于F
∵△ABC和△ADE为等腰直
1
角三角形
B
F
2
C3
E
∴AE=ED，∠ACE=∠EFD ∠1＝90°－∠2=∠3
D
∴△ACE≌△EFD
∴CE=FD，EF＝AC