方程与等式

方程与等式

方程是建立在等式的基础之上的，因此，等式是研究方程的基础，那么方程与等式之间究竟存在着什么样的关系呢？为此我们必须明确以下几个问题：

一、正确理解等式的意义

用等号来表示相等关系的式子叫等式.如：1

2

+

1

3

＝

5

6

，m+n＝n+m，S＝a3，5x+3＝11

都叫等式，而象－1

3

a+b,

7

11

m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式.

在我们所遇到的等式中，有两种类型：

（1）恒等式：等式中的字母不论取任何数值（在它的取值范围内）代入计算，等式的两边的值都相等，这样的等式叫做恒等式.比如我们用字母表示的加法交换律，加法结合律，乘法交换律，乘法分配律等.等式两边都是数字，不含字母的等式，如8+3＝4+7，也是恒等式.

（2）条件等式：等式中的字母，在它的取值范围内取某些数值，代入计算，等式的两边的值相等，而取另外一些数值代入计算时，等式的两边的值却不相等，这样的等式叫做条件等式。如x＋2＝5，只有当x＝3时，等式才成立.

要注意等式和代数式的区别：等式含有等号，而代数式不含有等号.等式可以用来表示两个代数式的相等关系，但等式不是代数式，等式的左，右两边是代数式.

二、知道方程和方程的解的概念

含有未知数的等式叫做方程.如：上面说的5x+3＝11就是方程；又如1

2

x+6＝3x－5，x+2y

＝5，4x2+5＝2x等也都是方程.

由此，方程的概念必须明确两点：①是等式，②含有未知数，二者缺一不可.

由等式和方程的概念，我们知道方程一定是等式，而等式则不一定是方程.

在研究方程之前未知的数叫未知数.如－5x+4＝8中，其中x是未知数，而－5，4，8是已知数；又如3x－2y＝－5，其中x，y是未知数，3，－2，－5是已知数.

求得方程的解的过程，叫做解方程.

使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫方程的解.只含有一个未知数的方程的解，也叫做根.例如方程2x+3＝7，当x＝2时，方程左边＝2×2+3＝7＝右边，所以2是方程2x+3＝7的解，或说2是方程的根.

要检验一个数是否某个一元方程的解，根据方程的解的意义，只要把这个数分别代入方程左、右两边，看方程的左右两边的值是否相等，若左、右两边的值相等，则这个数是这个方程的解，反之，则不是.另外检验某数是否是方程的解以后可以用来验证我们解方程的过程是否正确.

三、正确理解等式的性质

等式有两个重要性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式.

等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0）所得的结果仍是等式.

如：－3

4

x－5＝4，两边都加5得－

3

4

x－5+5＝4+5，即－

3

4

x＝9仍是等式；在这个等

式两边都乘以－4

3

得，－

3

4

x×(－

4

3

)＝9×(－

4

3

)，即x＝12，也仍是等式，这样我们就可

以利用等式的这两个性质解方程了.

四、了解同解方程的概念

（1）同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程.如，2x+3＝5的解是x＝1，3x+15＝x+17的解也是x＝1，所以这两个方程是同解方程.

（2）方程同解原理

同解原理1：方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程.

同解原理2：方程两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，所得的方程与原方程是同解方程.

值得注意的是我们解方程的过程是同解过程，平时所说的运用等式性质解方程，实质上是依据方程的同解原理解方程.