常拟常曲率黎曼流形中具有常数量曲率的完备超曲面

＋
１ 预 备 知 识 和 引理
设 是等距 浸入 在 Ｎ州 中 的一 个 维 黎曼 相 子 流 形 ， Ｎ 中 选 取 局 部 规 范 正 交 标 架 场 在 ｛ ， 得 限 制 在 ｍｎ上 时 ， ｅ）使 向量 场 ｛ ｅ）与
变 为
Ｋ Ａｃ 一 口 ＢＤ （ 肋 一 ８Ｏ Ｃ Ａ ￣ ）＋ ｂ ＳＣ Ｂ ＋ （Ａ ￥
Ｊｎ ２ １ ａ ．０ ０
文章 编 号 ：１ ７ —９Ｘ（０ ０ Ｏ 一０ ９０ ６ ２６ １ ２ １ ）ｌ０ ２ —５
常拟 常 曲率黎 曼流形 中具有 常数 量 曲率的完备超 曲面
李明 图， 裴瑞 昌 ， 恒 飞 丁
（ 天水 师 范 学 院 数 学 与 统 计 学 院 ， 肃 天 水 ７ １ ０ ） 甘 ４０ １
∑＾ ， 一ｈ． ｈ 。
（） ８
作 者 简 介 ： 明 图 （ ９０） 男 ， 肃 民勤 人 ， 水 师 范学 院 助 教 ， 要 从 事 子 流 行 几 何 的研 究 ． 李 １８ 一， 甘 天 主
３ ０
甘肃联合大学学报（ 自然科 学版 ）
第 ２ 卷 ４
因此 ， 得到 Ｍｎ 的结 构方 程
摘
要 ： 论 常 拟 常 曲率 黎 曼 流 形 中具 有 常 数 量 曲率 的完 备 超 曲 面 ． 超 曲 面 和 单 位 向 量 场 ｅ相 切 时 ， 到 了 讨 在 得
关于这类超 曲面的一个分类定理． 关 键 词 ： 常 曲 率 黎 曼 流 形 ； 位 向 量 场 ； 量 曲 率 ； 曲 面 ； 脐 拟 单 数 超 全
（） ２ Ｉ ＾ ｃ— Ｄ Ｂ ｃ— 日 ） 肋 —Ｉ — ｃ Ａ Ｄ ， ＾
ｇＢ ｃ— ｇ ｏ ＆ 一 ｇ ＾ Ｄ ， ． Ｄ ａ＆ 比 ）
（） １
其 中， Ａ ｇ Ｂ是 ｇ的分 量 ， ｂ是 』 上 的 Ｃ 。 ａ和 ＼ ， 。 函数 ，
＝
｛ 是单位向量场， ：Ａ ｅ １特别 ） 且 ｇＢ ＝ ．
第２ ４卷 第 １期 ２１ ０ ０年 １月
甘 肃 联 合 大 学 学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＧａ ｓ ａ ｈ ｉｅｓｔ （ ｔ ｒｌ ｉｎ ｅ ） ｏ ｒ ａ ｎ ｕＬｉｎ ｅＵｎｖ ｒｉｙ Ｎａｕ ａ ｅ ｃ ｓ ｏ Ｓｃ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ １ １２ ．
面． ｈ ｎＳＹ 和 Ｙａ 在文 ［］中分 别给 出了 Ｃ ｅ ｎＳＴ ３
紧致 且具 有 非负 截 面 曲率 和欧 氏空 间 Ｒ 中
其中∑ 一１ 时， 合文［ 中ｇ８ ． 结 同 ５ ］ （ 一１ ， ，
Ａ
单 位 向量 场 可 以表示 为
一
具 有非 负 截 面 曲 率 的完 备 超 曲 面 的 刚 性 分 类 定 理 ． ｃ ０时 ，０ ６年 ， 世 昌和刘 三 阳在 文 ［ ３ 当 ＜ ２０ 舒 ４
中研究 了双 曲空 间 Ｈ州 （ １ 一 ）中具 有 常标 准数 量
∑ Ｐ 一 ∑ ＋ ｅ。 （ 一 ，． ３ 件 ）
Ａ ｉ
若 与 Ｍ 相切 （ ｅ ｅ∈ Ｉ（ Ｍ ） ， 有 ｉ ， ． １Ｔ ） 则
靠｝ １— ０ ． （） ４
曲率 的完 备超 曲面 ， 到关 于 这类 超 曲 面 的一 个 得
Ｋ Ａｃ — ａ（ ｍ ｇ￣ 一 ｇｗｇＢ ）＋ ｂ ｇ ｃ Ｂ Ｄ＋ ＢＤ ｇ ． ｃ （ Ａ ￣
（） ２ 在 的每一点只有两个不 同主 曲率． 特别 地 ， 一０ ， 当ｂ 时 两个不 同主曲率都为常数． 中Ｄ（ ， 其 ｎ
良 一 ）
， 一 口＋ ．
［ 一１ ＿ （ ｆ －
限 制到
上， 有
１— ０ ． （） ７
的第 二 基本 形式 模 长平 方 Ｓ满足 ｎ ≤ Ｓ≤ Ｄ（ ， Ｒ ｎ
Ｒ） 则 ，
由 Ｃ ｆａ ’ 引理 得 ａｔｎ Ｓ
叫（ 一
（ ） 是 Ｎ州 中的全 脐常拟 常 曲率超 曲面 ； １ Ｍ月
收 稿 日期 ： ０ ９０ — ０ ２ ０ — ６２ ．
定 理 １ 设 （ ｎ≥ ３ 是 常拟 常 曲率黎 曼流 ） 形 Ｎ 中具有 常标 准数 量 曲率 Ｒ 的完备 超 曲面 ， ∈ ｒ（ Ｍ ） 记 Ｒ —Ｒ一口 ｂ ｎ 若 Ｒ≥ ０ Ｔ ． 一２ ／ ， 且
ｄ 一∑∞ 叫 一 Ａ ∞ 告∑Ｋ 一 Ａ 。（ ∞，） ６
Ｃ Ｃ， Ｄ
地 ， ａ和 ｂ都为 常数 ， 若 我们 称 Ｎ 为 常 拟常 曲率 黎
曼 流形 ．
切 ， 。 Ｍ 交． 上 述标 架 场 ｛Ａ 下 ， （ ） Ｐ 与 正 在 ｅ） 式 １
设 Ｎ （） 截 曲率 为常数 Ｃ ｃ是 的 ＋１ 黎 曼 维
流形 ， 是 Ｎ （）中具 有常数 数 量 曲率 的超 曲 Ｍ ｃ
中图分类号 ： ８．２ Ｏ１ ６ １ 文献标 识码 ： Ａ
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Ｏ 引 言 及 主要 结 果
Ｇａ ｃ ｅ 和 Ｍｉｏ ａＶ 在 ［ － ｎ ｈ ｖＧ ｈ ｖ １ 中指 出 ， 常 １ 拟 曲率 黎曼 流形 Ｎ 有 黎曼 度量 ｇ和单 位 向量 场 ｅ 两 种结 构 ． 白正 国 导 出了 Ｎ 的代数 特 征 ， Ｎ 的 即 黎曼 曲率 张量 的分 量取 如下形 式 ：
分 类定 理 ． 文 在 常 拟 常 曲率 黎 曼 流形 中讨 论 同 本
设 ｛ Ａ 是 ｛ ￣ ｝ ｅ ）的对 偶 标架 场 ， Ｎ 的结 构方 Ｏ 则 程 为
样 的 问题 ． 在
定 理．
完 备 的情形 下 ， 们 证 明 了 如下 我
ｄ ｃ 一∑∞Ｂ ＢＩ ＋￡ ＝０ ５ Ａ Ａｃ，Ｂ ｃＡ ， ） ｃｃ ，Ｊ ， Ａ 且 （
ｉ 一
Ａ 一∑ （ ）＋∑ｈＡ Ｓ 。 ｈ一
一
∑（ ， ＋ 一０ （ ｃ Ｊ Ａ ， ９ ）
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ｊ・ ｌ
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