磁场习题课

2[ R 2
0 IR2
(a x)2 ]3/ 2
方向相同，总场强为B = B1 + B2． 设k = μ0IR2/2，则
B2

2[ R 2
0 IR2
(a x)2 ]3/ 2
B

k{ [
R2
1 (a
x)2 ]3/ 2
[R2
1 (a
x)2 ]3/ 2 }
2
B 0IR2 2(R2 x2 )3/2
该圆电流在球心O处激发的磁场为
dB

0
2
(x2
y2 y2 )3/2
dI
公式14.19
作业:14.8
dl
球心O处总的磁感强度B为
B


0
/2
0 2

(x2
y2I y2 )3/2

2N R
Rd
由图可知：
x R cos y R sin
y
x
得：
B

/2
0
0NI R
sin2
= R，试证：O1、O2中点O处附近为均匀磁场 。
[证明] 一个半径为R的环电流在离圆心为x的
2a
轴线上产生的磁感应强度大小为：
B 0IR2 2(R2 x2 )3/2
公式14.19
设两线圈相距为2a，以O点为原点建立坐标，两
Ix
I
O1
O2
RO
x
R
线圈在x点产生的场强分别为
作业:14.4
B1
1. 如图所示，半径为R的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行， 且以单层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝数为N，通过线圈的电流为 I，求球心O处的磁感应强度。
解：设单位弧长上电流线圈匝数为n，则
n N 2N
2R / 4 R
沿弧长取dl，d I In dl, dl Rd,
d I 2N Rd I R
R2 4(a R2 (a
x)2 x)2 ]7 / 2

[
R2 4(a R2 (a
x)2 x)2 ]7 /
2
}
在x = 0处d2B/dx2 = 0，得R2 = 4a2，所源自文库2a= R．
x = 0处的场强为
Bk
2
[R2 (R / 2)2 ]3/ 2
k 16 80I
6
4. 如图所示，真空中一长直导线通有电流 I(t)=I0et ，式中为t 时间，
I0 、为正常量；另一长为l1、宽为l2的矩形导线框与长直导线平行共
面。设时刻 t 二者相距为a，矩形框正以速率v 向右运动，求此时刻线
框内的感应电动势。
参考：习题16.10
解:取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通过线
d

0NI
4R
磁感强度B的方向由电流的流向根据右手定则确定。
1
2.（实验中常用所谓的亥姆霍兹线圈在局部区域内获得一近似均匀的磁
场，其装置简图如图所示，一对完全相同、彼此平行的线圈，它们的半
径均为R，通过的电流均为I，且两线圈中电流的流向相同。）两个共轴
圆线圈，每个线圈中的电流强度都是I，半径为R，两个圆心间距离O1O2
解1：如图所示，假想半圆形导线OP在 宽为2R的静止在“[ ”形导轨上滑动，
p
B
两者之间形成一个闭合回路。设顺时针
方向为回路正向，任一时刻端点O或端 点P距“[”形导轨左侧距离为x，
Rv
穿过该闭合回路的磁通量：
o
d 2RB d x 2RvB
dt
dt
由于静止的“[”形导轨上的电动势为零，

vB
R
op直线 po半圆 2RvB
o
Up>U0
由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；
任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势。
11
7.如图所示，一长为l，质量为m的导体棒CD，其电阻为R，沿两条平行
的导电轨道无摩擦地滑下，轨道的电阻可忽略不计，轨道与导体构成一
个回路的总感应电动势，它可能是动生与感生电动势的总和。

动生 (v B) d l
vB1l1 vB2l1
vl1(B1 B2 )

0 I 0 2
l1l2v et a(l2 a)
B B
1
2

0
I
(t)
(
1

1
)
2 a l a
2

0 I 0 2

0l1 I 0 2
ln

a
l2 a

vl2 a(a
l2
)
e
t
显然，它是大于零的，表明感应电动势在线框内
取顺时针方向，可以通过楞次定律进行验证。
I (t) I0et
l1 v
a
l2


0 I 0 2
l1 ln a
l2 a
et
通常用法拉第电磁感应定律来计算闭合路径中的感应电动势，得出的是整
ln
a
l2 a

I (t)
d dt
ln
a
l2 a

l2

0l1I (t) 2


ln

a
l2 a

vl2 a(a

l2
)

7
d dt

0l1I (t) 2



ln
a
l2 a

vl2 a(a

l2
)

由法拉第电磁感应定律得



d dt
中学: 斜面方向合力为零,导体棒达到下滑的稳定速度(最大速度).
FA

BIl

Bl

R

B2l 2 R
vcos ,
FA cos mg sin
B2l2 vcos2 mg sin
R
v

mg Rs inθ
B2l2cos 2
14
8.在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线
3
试证：O1、O2中点O处附近为均匀磁场 。
B对x求一阶导数得
B

k{ [R
2

1 (a
x)2 ]3/ 2

[R2

1 (a
x)2 ]3/ 2
}
dB
ax
3k{
dx
[R2 (a x)2 ]5/ 2

[R2

ax (a x)2
]5/ 2
}
求二阶导数得
d2B dx2

3k{ [
其中 S cos S
为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。
5
对于本题，
Φ BS1 cos1 BS2 cos 2
1和2为两半圆形平面法线与B之间的夹角。
3．感应电动势的方向可由-d/dt来判定， 教材中已给出判定方法。为方便起见，所取回路的正向（顺时针或 逆时针）应与穿过回路的B的方向满足右螺旋关系，此时恒为正值， 这对符号确定较为有利。
参考：习题16.17
a
解:如果在直导线中通以电流I，在距离为r处产生的
I
磁感应强度为B =0I/2r．在矩形线圈中取一面积
b
元dS=bdr，通过线圈的磁通量为
c
BdS ac 0Ibdr 0Ib ln a c
S
c 2 r 2
c
M12=M21=M
互感系数为 M 0b ln a c I 2 c
公式14.19
一个线圈产生的磁场的曲线是 凸状，两边各有一个拐点．
两个线圈的磁场叠加之后，如 果它们相距太近，其曲线就是 更高的凸状；
如果它们相距太远，其曲线的 中间部分就会下凹，与两边的 峰之间各有一个拐点．
当它们由远而近到最适当的位 置时，两个拐点就会在中间重 合，这时的磁场最均匀，而拐 点处的二阶导数为零．
5 5R3 5 5R
4
3.如图所示，在磁感应强度B=7.610-4T 的均匀磁场中，放置一个线 圈。此线圈由两个半径均为3.7cm且相互垂直的半圆构成，磁感应强度 的方向与两半圆平面的夹角分别为620和280。若在 4.510-3S 的时间内 磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？
p
v
B
dl
o

R
x
d vBR-//22 cos d 2RvB
o
解3：连接OP使导线构成一个闭合回路。由于磁场是均匀的，在任意
时刻，穿过回路的磁通量 BS 常数
p
由法拉第电磁感应定律 d
dt
可知: 0 op直线 po半圆
v
则导线中感应电动势
2RvB
x
负号表示电动势的方向为逆时针，对OP段来说瑞点P的电势较高。
10
解意2处：取建导立体如元图d所l，示则的由坐矢标量系，(v在 B导)体上任
y
v

B
的d指向(v可知B，) d端l点P的电势较高。 vB sin 900 cos d l vB cosR d
平行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化
率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为
dB l
R2


l
2

B
dt 2
2

R0
L Ek d l
P
Q
证1：取 闭合回路OPQ,由法拉第电磁感
应定律，有


L
Ek
dl

S
B t
迎着B的方向，取逆时针为线圈回路的正向。 由法拉第电磁感应定律，有

d dt


d dt
(
BS1
cos1

BS2
cos2
)


dB dt
(
S1
cos1

S2
cos2
)


B t
(S1
cos1

S2
cos2
)

4.91104V
0 ，说明感应电动势方向与回路正向一致。
PQ


Ek

d
x


Ek
框的磁通量(由长直电流所提供)为 d
I (t) I0et

al2 a
Bl1
d
r

al2 a
20I (rt)l1
d
r

0I (t) 2
l1
ln
a
l2 a
其中a也是随时间变化的，而且da/dt = v，有
a
l1 v
d dt

0l1 2
d I (t) d t
个与下滑速度有关的安培力FA ，这个力是阻碍导体棒下滑的。根据安培
定律，该力的大小为
FA

BIl

Bl

R

B2l 2 R
vcos
(1)
12
FA

BIl

Bl

R

B2l 2 R
vcos
(1)
导体棒沿轨道方向的动力学方程为
mg sin FA cos
ma m dv dt
M d I M=？
dt
当线圈中通以交变电流I = I0sint时，
直导线中的感应电动势大小为
0b 2
(In
a
c
c
)
I
0
co
st
9
6.如图所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感应强度为B 的均匀磁场中，当导线以速率v 水平向右平动时，求导线中感应电 动势的大小，哪一端电势较高？
(1 e mR )
B2l 2 cos2
13
由此得导体在t时刻的速度
v
mgRsin
B2l2 cos2 t
(1 e mR )
B2l 2 cos2
由上式可知，当 t
1978年全国高考物理试题
v
vm

mg Rs in B2l2 cos2
此即为导体棒下滑的稳定速度，也是导体棒能够达到的最大速度， 其v－t 图线如图所示。
(2)
将式(1)代入式(2)，并令 H B2l 2 cos2
mR
则有 g sin Hv dv 分离变量并两边积分
dt
v
0
dv g sin Hv

0t d t
得 1 ln g sin Hv t
H
gsin
由此得导体在t时刻的速度
v
mgRsin
B2l2 cos2 t
解：由各种原因在回路中所引起的感应电动 势，均可由法拉第电磁感应定律求解，即



d dt


d dt

SB
d
S
但在求解时应注意下列几个问题：
1．回路必须是闭合的，所求得的电动势为 回路的总电动势。
2．应该是回路在任意时刻或任意位置处
的磁通量。它由


SB d S 计算。对于均匀磁场则有 SB d S BScos
闭合回路。轨道所在的平面与水平面成 角，整个装置放在均匀磁场中，
磁感应强度B的方向为竖直向上。求：（1）导体在下滑时速度随时间的
变化规律；（2）导体棒CD的最大速度vm。
参考：习题16.4
分析：感应电流所受安培力的方向？
B
v B
Idl B
v

如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P和导轨支持力FN外，还受到一
d
S
l
所以： PQ




d dt
O向P与、径Q向O段垂，直因，为与Edk（l 矢涡量旋点电积场为）0的。方

S
dB dt

dB dt
l 2
R2


l
2
2
15
证2：在r＜R 区域，感生电场强度的大小
Ek

rdB 2dt
B
设PQ上线元dx处，Ek的方向如图所
R
示，则金属杆PQ上的电动势为
l2
et
a(l2 a)
在中固定a，仅对 t求导数得感生电动势
感生

0I0l1 2
ln a
l2 a
8
5. 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形
线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c（如图），当矩形线圈
中通有电流 I = I0sint 时，求直导线中的感应电动势。