磁场习题课
大学物理稳恒磁场习题课
S
当 S 很小时，可得
B2S B1S 0
B1
B2
B
有 B2 B1 ，即同一条磁感应线上的
B
相等
如再在该磁场中做一有向矩形安培环路 abcda ， ☆ bc 、 让 ab 、cd 与磁感应线平行， da 与磁感应线垂直。 / 设沿 ab 段磁感应强度为 B ，沿 cd 段磁感应强度为 B ， 由磁感应线疏密不均匀可知 ， 磁感应强度沿该回路的线积分为 / B d l B ab B cd 0
也就不能推出 H d S 0
S
r 都相等，
。
因此，一般说来，不能得出 通过以闭合曲线 L 为边界的各曲面的通量均相等的结论
例如，一永磁棒，设棒内 M 为一常值，
对以 L 为边界的二曲面 S1 和S2 ，有
☆
S1
B dS B dS
S2
M 的方向与外磁场方向相反
Pm 为无矩分子在外磁场中出则的附加磁矩，
磁场强度 引入磁场强度辅助矢量 H
H
B
☆
在各向同性均匀介质中 M m H
m 称为磁化率，是一个纯数。
0
M
顺磁质中
m 1，抗磁质中 m 1 。 H 和 B 的关系为
T
)
2．毕奥一萨伐尔定律
电流元
电流元
☆
Idl
是矢量， 与
大小等于电流 I
导线元长度 dl 的乘积，
方向沿电流正方向。
毕奥一萨伐尔定律 电流元 Idl 在
P 点产生的磁感应强度为
0 4 107 N A2
0 Idl r 0 Idl r ˆ dB 3 2 4 r 4 r
大学物理-磁学习题课和答案解析
2． 均匀磁场的磁感应强度 B 垂直于半径为r的圆面．今
4． 如图，在面电流线密度为 j 的均匀载流无限大平板附近， 有一载流为 I 半径为 R的半圆形刚性线圈，其线圈平面与载流 大平板垂直．线圈所受磁力矩为 ，受力 0 0 为 ．
μ
5、（本题3分） 长直电缆由一个圆柱导体和一共轴圆筒状导体组成，两导体 中有等值反向均匀电流I通过，其间充满磁导率为μ的均匀磁介 质．介质中离中心轴距离为r的某点处的磁场强度的大小H I =________________ ，磁感强度的大小B =__________ ． I 2 r 2 r
B (A) B (B) √ R B x (D) O 圆筒 电流 O x
B
0 I (r R) 2r
(r R)
O B
R
x O (C) x O
B
(E)
B0
O
R
R
x
R
x
2、（本题3分）一匀强磁场，其磁感强度方向垂直于纸面(指 向如图)，两带电粒子在该磁场中的运动轨迹如图所示，则 (A) 两粒子的电荷必然同号． (B) 粒子的电荷可以同号也可以异号． (C) 两粒子的动量大小必然不同． (D) 两粒子的运动周期必然不同．
（C） B dl B dl , BP BP 1 2
（D） B dl B dl , BP1 BP2
L1 L2
L1
L2
L1
L2
[ ]
5．有一矩形线圈 AOCD ，通以如图示方向的电流 I，将它置 于均匀磁场 B 中，B 的方向与X轴正方向一致，线圈平面与X 轴之间的夹角为 , 90 ．若AO边在OY轴上，且线圈可 绕OY轴自由转动，则线圈 （A）作使 角减小的转动． （B）作使 角增大的转动． （C）不会发生转动． （D）如何转动尚不能判定．
磁场习题课
6. 15-15 将一均匀分布着面电流的无限大载流平面放入均匀 磁场中，已知平面两侧的磁感应强度分别为B1,B2.求载流平面 上单位面积所受的磁力的大小和方向。
解 ： 设 原 均 匀 磁 场 为B0， 载 流
平面产生的磁场为B 0 j / 2
B1
B0
1 2
0
j
B2
B0
1 2
0
j
解：①螺绕环内的磁场强度
H NI 2.0 104 A / m L
②螺绕环内介质的磁化强度 M B H 7.76 105 A / m
0
③磁介质的磁化率
m
M H
38.8
④环状磁介质表面磁化电流面密度 jS M 7.76 10 5 A / m
总磁化面电流 I s js L 3.10 10 5 A / m
4.载流线圈受磁力矩的计算和磁矩的计算 四、几种典型电流的磁场
1.一段直线电流
B
0I 4r
cos1
cos2
2.无限长直电流
3.圆电流轴线上 4.圆电流圆心处 5.任意一段圆弧电流
B 0I
2r
B
0 IR 2
B 0I
2 R 2 x 2
3 2
2 R B＝ 0 I
为 方向为
B
0 I 4d
cos1
cos2
c os1
c os (
2
)
sin
cos2 cos( ) cos
A
1
I d
P
第7章 (稳恒磁场)习题课
二．载流导线和运动电荷所受磁场力
1． 洛伦兹力: 特征:方向垂直于v和B所构成的平 面；不作功，不改变电荷的速率和动能．
方向沿x方向 （若F为正值，则合力的方向与x轴正向一致）。
例5 半径分别为R1和R2的两个半圆弧与直径的两小段
构成的通电线圈abcda (如图所示)，放在磁感强度
为B的均匀磁场中，平行线圈所在平面．则 线圈的磁矩大小为
1 2 I ( R2 R12 ) 2 ___________ ，
R2 a b
2r
0
2
R o r
dr
B
0
2
dr
0
R
0R
2
dr
例4. 均匀带电细直线AB, 电荷线密度为λ, 绕垂直于 直线通过O 点的轴以角速度ω 匀速转动( 线形状不 变, O 点在A B 延长线上) , 求: r dr (1 ) O点的磁感应强度B; O B a A (2 ) 磁矩m ; b （1）解 ：在带电细线离O点r处取线元dr，其带 电量 dq dr，旋转时相当于一圆电流
2 r 2 R2 I 1 H 2 2 2r R R 3 2
1.解: 圆电流在O点产生的磁场 0 I 2 B1 方向× 2R 长直导线电流在O点产生的磁场 0 I 2 方向× B2 2R 导体管在O点产生的磁场由安培环路定理求得，
B3
0 I1
2 (d R)
方向×
圆心O点处的磁感应强度
大学物理（第四版）课后习题及答案磁场
1 习题题10.1：如图所示，两根长直导线互相平行地放置，导线内电流大小相等，均为I = 10 A ，方向，方向相同，如图所示，求图中M 、N 两点的磁感强度B 的大小和方向（图中r 0 = 0.020 m ）。
题10.2：已知地球北极地磁场磁感强度B 的大小为6.0´10-5 T 。
如设想此地磁场是由地球赤道上一圆电流所激发的（如图所示），此电流有多大？流向如何？题10.3：如图所示，载流导线在平面内分布，电流为I ，它在点O 的磁感强度为多少？题10.4：如图所示，半径为R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面，设线圈的总匝数为N ，通过线圈的电流为I ，求球心O 处的磁感强度。
题10.5：实验中常用所谓的亥姆霍兹线圈在局部区域内获得一近似均匀的磁场，其装置简图如图所示，一对完全相同、彼此平行的线圈，它们的半径均为R ，通过的电流均为I ，且两线圈中电流的流向相同，试证：当两线圈中心之间的距离d 等于线圈的半径R 时，在两线圈中心连线的中点附近区域，磁场可看成是均匀磁场。
（提示：如以两线圈中心为坐标原点O ，两线圈中心连线为x 轴，则中点附近的磁场可看成是均匀磁场的条件为x B d d = 0；0d d 22=x B ）题10.6：如图所示，载流长直导线的电流为I ，试求通过矩形面积的磁通量。
，试求通过矩形面积的磁通量。
题10.7：如图所示，在磁感强度为B 的均匀磁场中，有一半径为R 的半球面，B 与半球面轴线的夹角为a ，求通过该半球面的磁通量。
，求通过该半球面的磁通量。
题10.8：已知10 10 mmmm 2裸铜线允许通过50 50 A A 电流而不会使导线过热。
电流在导线横截面上均匀分布。
求：（1）导线内、外磁感强度的分布；（2）导线表面的磁感强度。
）导线表面的磁感强度。
题10.9：有一同轴电缆，其尺寸如图所示，两导体中的电流均为I ，但电流的流向相反，导体的磁性可不考虑。
磁场习题课——24(1)
·
a
B大 0
B0 B小
2a ( R R )
2 1 2 2
0 IR22
B小 0
B B大
2 2 ( R12 R2 )
0 Ia
3.如图，电流I均匀地自下而上通过宽度为 a的无限长导体 薄平板，求薄板所在平面上距板的一边为 d 的 P 点的磁感 dx 应强度。 0 I 解 ： 利用结果 B p 2a x o x 任取一细长条电流 x ~ x dx d
ห้องสมุดไป่ตู้
i
B B'
2.如图一半径为R1的无限长圆柱形导体，其内空心部分 半径为R2，空心部分的轴与圆柱的轴平行但不重合，两轴 距离为 a且 a＞ R2，现有电流 I均匀地流过导体横截面，且 电流方向与导体轴线平行，求： (1)导体轴线上的磁感应强度 (2)空心部分轴线上的磁感强度
R2 · o o
dI idx i I /a
dB
2 a d x
a
0dI
I
B dB 0
2aa d x 0 I a d ln 方向 ： 垂直纸面向里 。 2a d
0 Idx
a
4.如图所示，一根长直导线载有电流I1=30A，矩 形回路载有电流I2=20A，试计算作用在回路上的 合力。已知d=1.0cm，a=8.0cm，L=0.12m。 0 I1 解： B B C 2πx 0 I 2 I1 L F1 I 2 LB1 向左 2 d L I1 I2 0 I 2 I1 L F3 I 2 LB3 2 (d a ) 向右 A D 由dF=IdL×B , d a 可得F2= F4 , F2向上, F4向下 0 I 2 I1 La F F1 F3 I 2 LB3 2 d (d a ) 3 1.28 10 N 方向向左。
磁场对通电导线的作用力(习题课)
(2)若已知B、I方向，F方向唯一确定，若已知B(或I)、F方
向，I(或B)方向不唯一．
【典例1】 如图3－4－6所示，一金属直杆MN 两端接有导线，悬挂于线圈上方，MN与线圈轴 线均处于竖直平面内，为使MN垂直于纸面向外
运动，可以( )．
A．将a、c端接在电源正极，b、d端
利用结论法 (1)两电流相互平行时无转动趋势，同向电流相互吸引，反向 电流相互排斥； (2)两电流不平行时，有转动到相互平行且方向相同的趋势. 利用这些结论分析，可事半功倍.
【典例3】 一个可以自由运动的线圈L1和一个 固定的线圈L2互相绝缘垂直放置，且两个线圈
的圆心重合，当两线圈通以如图3－4－9所示的
判断通电导体在磁场中的运动
2．直导线AB与圆线圈的平面垂直且隔有一小段 距离，直导线固定，线圈可以自由运动．当通 有如图3－4－14所示的电流时(同时通电)，从左 向右看，线圈将( )．
A．顺时针转动，同时靠近直导线AB
B．顺时针转动，同时离开直导线AB
C．逆时针转动，同时靠近直导线AB图3－4－14 D．不动
【变式1】 画出图中各磁场对通电导线的安培 力的方向．
解析 无论B、I是否垂直，安培力总是垂直于B 与I决定的平面，且满足左手定则．
答案 如图所示
二、安培力的大小计算
1．公式F＝ILB中L指的是导线在磁场中且垂直
于磁场方向的“有效长度”．即导线在磁场中 在垂直于磁场方向投影的长度．
2．弯曲导线的有效长度L，等于连接两端点直 线的长度(如图3－4－4)；相应的电流沿L由始
向上，这时金属棒恰好静止．求：(1)匀强磁场磁
感应强度的大小；(2)ab棒对导轨压力的大小．(g
磁场习题课
y2 dB = dI 2 2 3/ 2 2 (x + y )
球心O处总的磁感强度 为 球心 处总的磁感强度B为 处总的磁感强度
π / 2 µ0
µ0
公式14.19 公式 由图可知： 由图可知：
x = R cosθ y = R sin θ
作业:14.8 作业
dl
B = ∫0
y I 2N ⋅ R dθ 2 ( x 2 + y 2 )3 / 2 πR ⋅
2
y
x
π /2 得： B = ∫
0
µ NI µ0 NI 2 sin θ d θ = 0 4R πR
1
磁感强度B的方向由电流的流向根据右手定则确定。 磁感强度 的方向由电流的流向根据右手定则确定。 的方向由电流的流向根据右手定则确定
2.（实验中常用所谓的亥姆霍兹线圈在局部区域内获得一近似均匀的磁 （ 其装置简图如图所示，一对完全相同、彼此平行的线圈， 场，其装置简图如图所示，一对完全相同、彼此平行的线圈，它们的半 径均为R，通过的电流均为I，且两线圈中电流的流向相同。 径均为 ，通过的电流均为 ，且两线圈中电流的流向相同。）两个共轴 圆线圈，每个线圈中的电流强度都是I，半径为R，两个圆心间距离O 圆线圈，每个线圈中的电流强度都是 ，半径为 ，两个圆心间距离 1O2 = R，试证：O1、O2中点 处附近为均匀磁场 。 中点O处附近为均匀磁场 ，试证： 2a
Φ = ∫ B ⋅d S
S
计算。 计算。对于均匀磁场则有 Φ = ∫ B ⋅ d S = BS cosθ S 其中 S cosθ = S ⊥
为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。 为闭会回路在垂直于磁场的平面内的投影面积。
5
对于本题， 对于本题，
05 磁场习题课
1
A
I
I2
5
R1、R2分别为1导线和2导线的电阻,显 然I1R1=I2R2=VAB ,因此 B0=0
5. 如图所示，一个半径为R的无限长半圆拄面导体， 沿长度方向的电流 I 在拄面上均匀分布．求半圆柱面 轴线oo’上的磁感强度． 解：半圆柱面分割成宽度 dl Rd 的 细电流， 则细电流在轴线上一点激发的 磁感强度方向(如图)大小为 0dI Idl I dB 其中：dI 2R R 分析对称性 B y dB cos 0 y I 0 BX dB sin Rd sin 0 0 2R R 0 I 积分得：B Bx 2 R
B 0
无限长导线产生的磁感应强度：
I
I
0 I 所以该导体产生的磁感应强度为： B 方向水平向右 2R
0 I B 2R
方向水平向右
15.一开口曲面如图，开口是半径为 R的圆，匀强磁场与开口圆所 决定的平面的内法线方向的夹角为，通过这个曲面的磁通量为:
B
n
圆面
2 B S BR cos
U H
1 IB nq d
IB n edU H
8. 半径为R的薄圆盘，放在磁感强度为B 的均匀磁场中，B 的 方向 与盘面平行．圆盘表面电荷面密度为 若圆盘以角速度 绕过 盘心并垂直盘面的铀转动．求作用在圆盘上的磁力矩
解：在盘面上取宽度为dr的细圆环， 其等效电流为dI 2rdr / T 此圆环的磁矩为
所以圆心O处的磁感应强度为：
I 2 B B B 0 R2 R12 4 R1 R2
2 1 2 2
I
方向：与y轴的夹角
B2 R1 arctg arctg B1 R2
磁场习题课
2a a
30 I1a 0 I 1 (2a r )ctg30 dr = (2 ln 2 1) 2πr 2π
(2)各边受力: )各边受力: MN边受力: 边受力: 边受力
F = ∫ I dl × B
I1
N
I2
30
3 0 I 1I 2 0I1 FMN = B 1I 2actg 30 = I 2a 3 = 2 πa 2π 方向向左 MO边受力: 边受力: 边受力 2a 0 I1 0 I1 I 2 FMO = ∫ I 2 dr = ln 2 a 2πr 2π 方向向下 NO边受力: 边受力: 边受力
BH B2 ∵wm = = ∝ B2 2 20
⑵此情形,小螺管内: B′=0 此情形,小螺管内: ′
∴ w ′ = 4wm m
∴ w′ = 0 m
P ε
线圈P的自感和电阻分别是线圈 的两倍 线圈 的自感和电阻分别是线圈Q的两倍 的自感和电阻分别是线圈 两线圈间的互感忽略不计, ,两线圈间的互感忽略不计,则P与Q的磁 与 的磁 场能量的比值为 (A)4. (B)2. (C)1. (D)1/2. 解: W=LI2/2 LP/LQ=2, IP/IQ=1/2
ε ac = ∫ (V × B ) d l = ∫ VB cos α dl
ccLeabharlann ′ ∵V=ωr =ωRsinθ dl=Rdθ
c
a
a
α=
c
π
2
θ
εac= VBcosαdl =∫ ωRsinθBcosαRdθ ∫
a a
π ω = BR ∫ sin θdθ= BωR2 0 4 = UC Ua > 0
2 2
Q
W L I 1 ∴ P = P ( P )2 = →(D) WQ LQ IQ 2
带电粒子在匀强磁场中的运动(习题课)
1、两个对称规律：
粒子在磁场中做圆周运动的对称规律： 从同一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时， 速度与边界的夹角相等。
2、如图所示，在y<0的区域内存在匀强磁场，磁 场方向垂直纸面向外，磁感应强度为B。一个正电 子以速度v从O点射入磁场，入射方向在xy平面内， 与x轴正向的夹角为θ。若正电子射出磁场的位置 与O点的距离为L，求正电子的电量和质量之比？
一侧有匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感 应强度大小为B 。一带电粒子从平板上的狭缝O处 以垂直于平板的初速v射入磁场区域，最后到达平 板上的P 点。已知B 、v以及P 到O的距离l ．不计 重力,求此粒子的电荷q与质量m 之比。
解：粒子初速v垂直于磁场，粒子在磁场中受洛伦兹 力而做匀速圆周运动，设其半径为R ，
变化2、假如 化1。
mg
2qE
问题同变
变化3、小球下滑速度为最大速
度一半时的加速度。
变化4：假如电场反向，判断 运动情形。
（2）圆周运动情形
例1、用绝缘细线悬吊着的带正电小 球在匀匀强磁场中做简谐运动， 则
A、当小球每次通过平衡位置时， 动能相同
B、当小球每次通过平衡位置时，速 度相同
C、当小球每次通过平衡位置时， 丝线拉力相同
带电粒子做圆周运动的 分析方法－圆心的确定
（１）已知入射方向和出射方向,可以通过入射点和出 射点分别作垂直与入射方向和出射方向的直线，两条 直线的交点就是圆弧轨道的圆心
O
V
M
P
V0
带电粒子做圆周运动的 分析方法－圆心的确定
（２）已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射 点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中 垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心．
磁场习题课
1. 磁场的基本规律
S
B dS 0
L i
m B ds
S
B dl o I i
2. 磁场的源
ˆ 0 Idl r dB 2 4 r ˆ 0 qv r B 2 4 r
B Bi
i
直电流、(半)无限长、 园电流、圆柱面、螺线管、 螺绕环、无限大平面
0
2
k (r1 r2 )
0
S R 2 2[ R 2 k o1o2
2.81R 2
B 0.8R0 0.285
0 I
R
I I S 2.81R 2
例题.有一个无限长直圆筒形导体，导体和空腔半径分别为R1和R2， ， 它们的轴线相互平行，两轴线间的距离为a [ R2 ( R1 a) 2R1 ] ，如 图所示．电流I沿轴向流动，在横截面上均匀分布．求两轴线上任 一点的磁感应强度．
2R
f
r f θ
I
B
0 I B 2 r
0 I 2 f ILB 2 r
0 I 2 0 I 2 f cos 2 r 4 R
0 I 2 ( N 1) 0 I 2 ( N 1) F ( N 1) f cos 2 r 4 R
y
B0
B1
x
y h
B2
y
B
x
B
x
例：一均匀带电无限长直圆柱体，电荷体密度为ρ，半 径为R，若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为 ω，如图， 求圆柱体内距轴线r处的磁感应强度大小及方向。
R
磁场习题课(二)
磁场习题课（二）1. 如图所示,真空有一个半径r=0.5m 的圆形磁场,与坐标原点相切,磁场的磁感应强度大小B=2×10-3T,方向垂直于纸面向里,在x=r 处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度为L 1=0.5m 的匀强电场区域,电场强度E=1.5×103N/C.在x=2m 处有一垂直x 方向的足够长的荧光屏,从O 点处向不同方向发射出速率相同的荷质比=1×109C/kg 带正电的粒子,粒子的运动轨迹在纸面内,一个速度方向沿y 轴正方向射入磁场的粒子,恰能从磁场与电场的相切处进入电场.不计重力及阻力的作用.求:(1)粒子进入电场时的速度和沿y 轴正方向射入的粒子在磁场中运动的时间？(2)从O 点入射的所有粒子经磁场偏转后出射的速度方向有何特点？请说明理由.(3)速度方向与y 轴正方向成30°(如图中所示)射入磁场的粒子,最后打到荧光屏上,该发光点的位置坐标.2. 如图所示,在x>0的空间中,存在沿x 轴方向的匀强电场,电场强度E=10N/C ；在x<0的空间中存在垂直xy 平面方向的匀强磁场,磁感应强度B=0.5T.一带负电的粒子(比荷q/m=160C/kg),在x=0.06m 处的D 点以v=8m/s 的初速度沿y 轴正方向开始运动,不计带电粒子的重力.求:⑪带电粒子开始运动后第一次通过y 轴时距O 点的距离； ⑫带电粒子进入磁场后经多长时返回电场(保留两位有效数字).3. 如图所示,粒子源O 产生初速度为零、电荷量为q 、质量为m 的正离子,被电压为0U 的加速电场加速后通过直管,在到两极板等距离处垂直射入平行板间的偏转电场,两平行板间电压为20U .离子偏转后通过极板MN 上的小孔S 离开电场.已知ABC 是一个外边界为等腰三角形的匀强磁场区域,磁场方向垂直纸面向外,边界AB=AC=L,030=θ,离子经过一段匀速直线运动,垂直AB 边从AB 中点进入磁场.(忽略离子所受重力)⑪若磁场的磁感应强度大小为0B ,试求离子在磁场中做圆周运动的半径； ⑫若离子能从AC 边穿出,试求磁场的磁感应强度大小的范围.4. 如图所示,直角坐标系在一真空区域里,y 轴的左方有一匀强电场,场强方向跟y 轴负方向成θ=30º角,y 轴右方有一垂直于坐标系平面的匀强磁场,在x 轴上的A 点有一质子发射器,它向x 轴的正方向发射速度大小为v =2.0×106m/s 的质子,质子经磁场在y 轴的P 点射出磁场,射出方向恰垂直于电场的方向,质子在电场中经过一段时间,运动到x 轴的Q 点.已知A 点与原点O 的距离为10cm,Q 点与原点O 的距离为(203-10)cm,质子的比荷为C/kg100.18⨯=mq .求:（1）磁感应强度的大小和方向； （2）质子在磁场中运动的时间； （3）电场强度的大小.mqx5. 如图所示,粒子源K 与虚线MN 之间是一加速电场.虚线MN 与PQ 之间是匀强电场,虚线PQ 与荧光屏之间是匀强磁场,且MN 、PQ 与荧光屏三者互相平行.电场和磁场的方向如图所示.图中A 点与O 点的连线垂直于荧光屏.从K 发射出的一初速度为零的带正电的粒子,被电场加速后以速度v 0从A 点垂直射入偏转电场,在离开偏转电场后进入匀强磁场,最后恰好垂直地打在图中的荧光屏上,已知电场和磁场区域在竖直方向足够长,加速电场电压与偏转电场的场强关系为,式中的d 是偏转电场的宽度,磁场的磁感应强度与偏转电场的电场强度和带电粒子离开加速电场的速度v 0关系符合表达式,(以上关系式中U 、E 、B 均为未知量)(1)试说明v 0的大小与K 和MN 之间的距离有何关系； (2)求带电粒子进入磁场时的速度大小；(3)带电粒子最后在电场和磁场中总的偏转距离是多少6. 如图所示,在y ＞0的空间中存在匀强电场,场强方向沿y 轴正方向,场强大小为E.在y ＜0的空间中存在匀强磁场,磁场方向垂直xOy 平面（纸面）向外,磁感应强度大小为B.一电量为q 、质量为m 、重力不计的带负电的粒子,在y 轴上y ＝L 处的P 点由静止释放,然后从O 点进入匀强磁场.已知粒子在y ＜0的空间运动时一直处于磁场区域内,求:（1）粒子到达O 点时速度大小v ；（2）粒子经过O 点后第一次到达x 轴上Q 点（图中未画出）的横坐标x 0；（3）粒子从P 点出发第一次到达x 轴上Q 点所用的时间t.7. 如图所示,有位于竖直平面上的半径为R 的圆形光滑绝缘轨道,其上半部分处于竖直向下.场强为E 的匀强电场中,下半部分处于垂直水平面向里的匀强磁场中；质量为m,带正电,电荷量为q 的小球,从轨道的水平直径的M 端由静止释放,若小球在某一次通过最低点时对轨道的压力为零,求:(1)磁感应强度B 的大小；(2)小球对轨道最低点的最大压力；(3)若要小球在圆形轨道内做完整的圆周运动,求小球从轨道的水平直径的M 端下滑的最小速度.8. 在xOy 平面内,x ＞0的区域存在垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B=0.4T;x ＜0的区域存在沿x 轴正方向的匀强电场.现有一质量为m=4.0×10-9kg,带电荷量为q=2.0×10－7C 的正粒子从x 轴正方向上的M 点以速度v 0=20m/s 进入磁场,如图11-10所示,v 0与x 轴正方向的夹角θ=45°,M 点与O 点相距为l=2m.已知粒子能以沿着y 轴负方向的速度垂直穿过x 轴负半轴上的N 点,不计粒子重力.求:(1)粒子穿过y 轴正半轴的位置以及此时速度与y 轴负方向的夹角; (2)x ＜0区域电场的场强;(3)试问粒子能否经过坐标原点O?若不能,请说明原因;若能,请求出粒子从M 点运动到O 点所经历的时间.2E d U =0E v B=9. 如图所示,一个质量为m=2.0×10-11kg,电荷量q=+1.0×10-5C 的带电微粒（重力忽略不计）,从静止开始经U 1=100V 电压加速后,水平进入两平行金属板间的偏转电场,偏转电场的电压U 2=100V .金属板长L=20cm,两板间距d=103cm.求: （1）微粒进入偏转电场时的速度v 0大小； （2）微粒射出偏转电场时的偏转角θ；（3）若该匀强磁场的宽度为D=10cm,为使微粒不会由磁场右边射出,该匀强磁场的磁感应强度B 至少多大？10. 如图所示,一带电的小球从P 点自由下落,P 点距场区边界MN 高为h,边界MN 下方有方向竖直向下、电场场强为E 的匀强电场,同时还有匀强磁场,小球从边界上的a 点进入电场与磁场的复合场后,恰能作匀速圆周运动,并从边界上的b 点穿出,已知ab=L,求: ⑪该匀强磁场的磁感强度B 的大小和方向； ⑫小球从P 经a 至b 时,共需时间为多少？11. 如图所示,在xoy 平面内,第Ⅲ象限内的直线OM 是电场与磁场的边界,OM 与负x 轴成45°角.在x ＜0且OM 的左侧空间存在着负x 方向的匀强电场E,场强大小为0.32N/C ；在y ＜0且OM 的右侧空间存在着垂直纸面向里的匀强磁场B,磁感应强度大小为0.1T.一不计重力的带负电的微粒,从坐标原点O 沿y 轴负方向以v 0=2×103m/s 的初速度进入磁场,最终离开电磁场区域.已知微粒的电荷量q=5×10-18C,质量m=1×10-24kg,求:（1）带电微粒第一次经过磁场边界的位置坐标； （2）带电微粒在磁场区域运动的总时间；（3）带电微粒最终离开电、磁场区域的位置坐标.12. 如图所示,在某一足够大的真空室中,虚线PH 的右侧是一磁感应强度为B,方向垂直纸面向里的匀强磁场,左侧是一场强为E 、方向水平向左的匀强电场.在虚线PH 上的一点O 处有一质量为M 、电荷量为Q 的镭核(22688Ra).某时刻原来静止的镭核水平向右放出一个质量为m 、电荷量为q 的α粒子而衰变为氡(Rn)核,设α粒子与氡核分离后它们之间的作用力忽略不计,涉及动量问题时,亏损的质量可不计.经过一段时间α粒子刚好到达虚线PH 上的A 点,测得OA=L.求此时刻氡核的速率.13. 如图所示,匀强电场区域和匀强磁场区域是紧邻的,且宽度相等均为d,电场方向在纸平面内,而磁场方向垂直纸面向里.一带正电粒子从O 点以速度v 0沿垂直电场方向进入电场,在电场力的作用下发生偏转,从A 点离开电场进入磁场,离开电场时带电粒子在电场方向的位移为电场宽度的一半,当粒子从C 点穿出磁场时速度方向与进入电场O 点时的速度方向一致,(带电粒子重力不计)求:(l)粒子从C 点穿出磁场时的速度v ；(2)电场强度E 和磁感应强度B 的比值E/B ； (3)拉子在电、磁场中运动的总时间.14. 如图20所示,在直角坐标系的I.II 象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场,第III 象限有沿y 轴负方向的匀强电场,第四象限内无电场和磁场.质量为m,电量为q 的粒子由M 点以速度v 0沿x 轴负方向进入电场,不计粒子的重力,粒子经N 和x 轴上的P 点最后又回到M 点.设OM=OP=l,ON=2l,求:（1）电场强度E 的大小；（2）匀强磁场磁感应强度B 的大小；（3）粒子从M 点进入电场,经N.P 点最后又回到M 点所用的时间t.15. 如图所示，真空室内存在宽度为d=8cm 的匀强磁场区域，磁感应强度B=0.332T ，磁场方向垂直于纸面向里；ab 、cd 足够长，cd 为厚度不计的金箔，金箔右侧有一匀强电场区域，电场强度E=3.32×105N/C ；方向与金箔成37°角。
大学物理学-稳恒磁场习题课
⑶电子进入均匀磁场B中，如图所示，当电子位于 A点的时刻，具有与磁场方向成 角的速度v，它绕螺旋 线一周后到达B点，求AB的长度，并画出电子的螺旋轨 道，顺着磁场方向看去，它是顺时针旋进还是逆时针旋 进？如果是正离子（如质子），结果有何不同？
1、均匀磁场的磁感应强度B垂直于半径为r的圆面，今以该圆面
其中 直电流 ab和cd的延长线
o dc
fI
R1 R2
eI
过o
b
电流bc是以o为圆心、以 R2为半径的1/4圆弧
I
电流de也是以o为圆心、
但，是以R1为半径的1/4 圆弧
a
直电流ef与圆弧电流de在
e点相切
求：场点o处的磁感强度 B
解：
场点o处的磁感强度是由五段
特殊形状电流产生的场的叠加，f I
o dc
磁场力的大小相等方向相反； (3)质量为m，电量为q的带电粒子，受洛仑兹力作用，
其动能和动量都不变； (4)洛仑兹力总与速度方向垂直，所以带电粒子运动的
轨迹必定是圆。
习题课 1 一电子束以速度v沿X轴方向射出，在Y轴上 有电场强度为E的电场，为了使电子束不发生偏 转，假设只能提供磁感应强度大小为B=2E/v的
df
2ds
n
2 0
2 0
i dl 单位面积受力
da
df Idl B其余
da dl 0i
B总 0i
2 其余 0i
2
df
0i 2
n
dadl 2
表三 作用力
4.应用
静电场
稳恒磁场
类比总结
电偶极子 pe
fi 0
i M pE
三
磁偶极子 pm
fi 0
习题课：带电粒子在磁场中偏转的几种题型课件
(1)微粒从A到P所经历的时间和加速度的大小。
(2)求出微粒到达P点时速度方向与x轴正方向的夹角,并画出带电
微粒在电场和磁场中由A至Q的运动轨迹。
(3)电场强度E和磁感应强度B的大小。
解析:(1)微粒从平行x轴正方向射入电场区域,由A到P做类平抛
运动,微粒在x轴正方向做匀速直线运动,
由 x=v0t,得
中画出粒子运动轨迹的示意图。
要点提示:
1.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的程序解题法——三
步法
(1)画轨迹:即确定圆心,画出轨迹。
r=
(2)定半径:①由半径公式 求解;②利用几何知识解直角三角
形求解,做题时一定要作好辅助线,由圆的半径和其他几何边构成
直角三角形。
(3)找联系,列方程:①根据半径公式 r= ,建立半径、速度、磁感
t= =0.05
0
s
微粒沿 y 轴负方向做初速度为零的匀加速直线运动,由
得 a=2.4×103 m/s2。
(2)vy=at,tan α= =1,所以 α=45°
0
轨迹如图
1 2
y= at
2
(3)由 qE=ma,得 E=24 N/C
设微粒从 P 点进入磁场以速度 v 做匀速圆周运
动,v= 2v0=120 2 m/s
所示。
(3)当速率一定时,粒子运动的弧长越长,圆心角越大,运动时间越
长。
【例题1】如图所示,PN和MQ两板平行且板间存在垂直纸面向
里的匀强磁场,两板间距离及PN和MQ长均为d,一带正电质子从PN
板的正中间O点以速度v0垂直射入磁场,为使质子能射出两板间,试
求磁感应强度B的大小。已知质子带电荷量为e,质量为m。
磁场对通电导线的作用力(习题课)
（1）IL B1min =F安min= mgsinα
B1min方向垂直斜面向上
（2）F安2=ILB2sinα =mg F安2=ILB2min=mg B2min= mg/IL
B1min
FNF安合=mg
N
mg
F安min
F安2=mg
mg
练4.质量为m的通电细杆ab置于倾角为θ的导轨上，导 轨的宽度为d，杆ab与导轨间的摩擦因数为μ.有电流时， ab恰好在导轨上静止，如图3-24所示.图(b)中的四个侧视 图中，标出了四种可能的匀强磁场方向，其中杆ab与导轨 之间的摩擦力可能为零的图是( A B ).
例6．如图所示，一根质量为m的金属棒AC用软线悬挂在磁感应强 度为B的匀强磁场中，通入A→C方向的电流时，悬线张力不为零， 欲使悬线张力为零，可以采用的办法是（A D ） A、不改变电流和磁场方向，适当增大电流 B、只改变电流方向，并适当减小电流 C、不改变磁场和电流方向，适当减小磁感应强度 D、同时改变磁场和电流方向，并适当增大磁感应强度
例5、如图所示，一条劲度系数较小的 金属弹簧处于自由状态，当弹簧通以 电流时，弹簧将（ A ） Ａ.纵向收缩，径向膨胀； Ｂ.纵向伸长，径向收缩； Ｃ.纵向收缩，径向伸长； Ｄ.纵向伸长，径向膨胀。
螺线管通电后，在轴向上有收缩趋势；在径向上有扩张趋势．
练习1．如图所示，条形磁铁放在水平桌面上，在其正中 央的上方固定一根长直导线，导线与磁铁垂直，给导线通 以垂直纸面向外的电流，则（ A ） A、磁铁对桌面压力减小，不受桌面的摩擦力作用 B、磁铁对桌面压力减小，受到桌面的摩擦力作用 C、磁铁对桌面压力增大，不受桌面的摩擦力作用 D、磁铁对桌面压力增大，受到桌面的摩擦力作用
S
例3 如图所示，在条形磁铁S极附近悬挂一个线圈，线圈与水平 磁铁位于同一平面内，当线圈中电流沿图示方向流动时，将会出现 ( D ) A．线圈向磁铁平移 B．线圈远离磁铁平移 C．从上往下看，线圈顺时针转动，同时靠近磁铁 D．从上往下看，线圈逆时针转动，同时靠近磁铁
稳恒磁场习题
B
的大小：
0 ，电流 I 2
0 I 2 0 Ir 2 B2 2a 2a R 2 r 2
B0
2a( R r )
2 2
0 Ir
2
(2)空心部分轴线上 O 点 B 的大小 :
电流 I 2 产生的 B2 0
电流 I 1产生的
0 I 1r 0 a IR B1 2 2R 2R 2 R 2 r 2 0 Ia 2 ( R 2 r 2 )
a a
可见，起点与终点一样的曲导线和直导线，只要处在 均匀磁场中，所受安培力一样．
例题11、如图在无限长直电流I1的磁场中， 有一通有电流I2,边长为a的正三角形回路 （回路与直电流共面）。求回路所受合力
解：由安培定律
dF I 2dl B
I1
A
0 I1 B 2x
B FAC
B
0 I
R
I
无限长直螺线管内部的磁场
磁通量
B 0 nI
磁场中的高斯定理 m B dS B cos dS
B dS 0
安培环路定理
B dl 0 I
L L
安培定律
dF Idl B
F
均匀磁场对载流线圈
0 Idl sin dB 2 4 r
B dB
载流直导线的磁场:
2
I
0 I B (cos 1 cos 2 ) 4a
0 I 无限长载流直导线: B 2a
直导线延长线上: 载流圆环 载流圆弧
a
1 2 R 2
b
解：
B B1 B2 B3
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l2
et
a(l2 a)
在中固定a，仅对 t求导数得感生电动势
感生
0I0l1 2
ln a
l2 a
8
5. 长直导线与矩形单匝线圈共面放置，导线与线圈的长边平行，矩形
线圈的边长分别为a、b，它到直导线的距离为c（如图），当矩形线圈
中通有电流 I = I0sint 时，求直导线中的感应电动势。
5 5R3 5 5R
4
3.如图所示，在磁感应强度B=7.610-4T 的均匀磁场中，放置一个线 圈。此线圈由两个半径均为3.7cm且相互垂直的半圆构成，磁感应强度 的方向与两半圆平面的夹角分别为620和280。若在 4.510-3S 的时间内 磁场突然减至零，试问在此线圈内的感应电动势为多少？
中学: 斜面方向合力为零,导体棒达到下滑的稳定速度(最大速度).
FA
BIl
Bl
R
B2l 2 R
vcos ,
FA cos mg sin
B2l2 vcos2 mg sin
R
v
mg Rs inθ
B2l2cos 2
14
8.在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与柱的轴线
PQ
Ek
d
x
Ek
闭合回路。轨道所在的平面与水平面成 角，整个装置放在均匀磁场中，
磁感应强度B的方向为竖直向上。求：（1）导体在下滑时速度随时间的
变化规律；（2）导体棒CD的最大速度vm。
参考：习题16.4
分析：感应电流所受安培力的方向？
B
v B
Idl B
v
如图所示，导体棒在下滑过程中除受重力P和导轨支持力FN外，还受到一
参考：习题16.17
a
解:如果在直导线中通以电流I，在距离为r处产生的
I
磁感应强度为B =0I/2r．在矩形线圈中取一面积
b
元dS=bdr，通过线圈的磁通量为
c
BdS ac 0Ibdr 0Ib ln a c
S
c 2 r 2
c
M12=M21=M
互感系数为 M 0b ln a c I 2 c
R2 4(a R2 (a
x)2 x)2 ]7 / 2
[
R2 4(a R2 (a
x)2 x)2 ]7 /
2
}
在x = 0处d2B/dx2 = 0，得R2 = 4a2，所以2a= R．
x = 0处的场强为
Bk
2
[R2 (R / 2)2 ]3/ 2
k 16 80I
该圆电流在球心O处激发的磁场为
dB
0
2
(x2
y2 y2 )3/2
dI
公式14.19
作业:14.8
dl
球心O处总的磁感强度B为
B
0
/2
0 2
(x2
y2I y2 )3/2
2N R
Rd
由图可知：
x R cos y R sin
y
x
得：
B
/2
0
0NI R
sin2
ln
a
l2 a
I (t)
d dt
ln
a
l2 a
l2
0l1I (t) 2
ln
a
l2 a
vl2 a(a
l2
)
7
d dt
0l1I (t) 2
ln
a
l2 a
vl2 a(a
l2
)
由法拉第电磁感应定律得
d dt
(2)
将式(1)代入式(2)，并令 H B2l 2 cos2
mR
则有 g sin Hv dv 分离变量并两边积分
dt
v
0
dv g sin Hv
0t d t
得 1 ln g sin Hv t
H
gsin
由此得导体在t时刻的速度
v
mgRsin
B2l2 cos2 t
平行。如图所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化
率为常量。试证：棒上感应电动势的大小为
dB l
R2
l
2
B
dt 2
2
R0
L Ek d l
P
Q
证1：取 闭合回路OPQ,由法拉第电磁感
应定律，有
L
Ek
dl
S
B t
6
4. 如图所示，真空中一长直导线通有电流 I(t)=I0et ，式中为t 时间，
I0 、为正常量；另一长为l1、宽为l2的矩形导线框与长直导线平行共
面。设时刻 t 二者相距为a，矩形框正以速率v 向右运动，求此时刻线
框内的感应电动势。
参考：习题16.10
解:取线框面积的正法向垂直纸面向里，则通过线
d
0NI
4R
磁感强度B的方向由电流的流向根据右手定则确定。
1
2.（实验中常用所谓的亥姆霍兹线圈在局部区域内获得一近似均匀的磁
场，其装置简图如图所示，一对完全相同、彼此平行的线圈，它们的半
径均为R，通过的电流均为I，且两线圈中电流的流向相同。）两个共轴
圆线圈，每个线圈中的电流强度都是I，半径为R，两个圆心间距离O1O2
个与下滑速度有关的安培力FA ，这个力是阻碍导体棒下滑的。根据安培
定律，该力的大小为
FA
BIl
Bl
R
B2l 2 R
vcos
(1)
12
FA
BIl
Bl
R
B2l 2 R
vcos
(1)
导体棒沿轨道方向的动力学方程为
mg sin FA cos
ma m dv dt
v
则导线中感应电动势
2RvB
x
负号表示电动势的方向为逆时针，对OP段来说瑞点P的电势较高。
10
解意2处：取建导立体如元图d所l，示则的由坐矢标量系，(v在 B导)体上任
y
v
B
的d指向(v可知B，) d端l点P的电势较高。 vB sin 900 cos d l vB cosR d
公式14.19
一个线圈产生的磁场的曲线是 凸状，两边各有一个拐点．
两个线圈的磁场叠加之后，如 果它们相距太近，其曲线就是 更高的凸状；
如果它们相距太远，其曲线的 中间部分就会下凹，与两边的 峰之间各有一个拐点．
当它们由远而近到最适当的位 置时，两个拐点就会在中间重 合，这时的磁场最均匀，而拐 点处的二阶导数为零．
p
v
B
dl
o
R
x
d vBR-//22 cos d 2RvB
o
解3：连接OP使导线构成一个闭合回路。由于磁场是均匀的，在任意
时刻，穿过回路的磁通量 BS 常数
p
由法拉第电磁感应定律 d
dt
可知: 0 op直线 po半圆
d
S
l
所以： PQ
d dt
O向P与、径Q向O段垂，直因，为与Edk（l 矢涡量旋点电积场为）0的。方
S
dB dt
dB dt
l 2
R2
l
2
2
15
证2：在r＜R 区域，感生电场强度的大小
Ek
rdB 2dt
B
设PQ上线元dx处，Ek的方向如图所
R
示，则金属杆PQ上的电动势为
2[ R 2
0 IR2
(a x)2 ]3/ 2
方向相同，总场强为B = B1 + B2． 设k = μ0IR2/2，则
B2
2[ R 2
0 IR2
(a x)2 ]3/ 2
B
k{ [
R2
1 (a
x)2 ]3/ 2
[R2
1 (a
x)2 ]3/ 2 }
2
B 0IR2 2(R2 x2 )3/2
= R，试证：O1、O2中点O处附近为均匀磁场 。
[证明] 一个半径为R的环电流在离圆心为x的
2a
轴线上产生的磁感应强度大小为：
B 0IR2 2(R2 x2 )3/2
公式14.19
设两线圈相距为2a，以O点为原点建立坐标，两
Ix
I
O1
O2
RO
x
R
线圈在x点产生的场强分别为
作业:14.4
B1
解1：如图所示，假想半圆形导线OP在 宽为2R的静止在“[ ”形导轨上滑动，
p
B
两者之间形成一个闭合回路。设顺时针
方向为回路正向，任一时刻端点O或端 点P距“[”形导轨左侧距离为x，
Rv
穿过该闭合回路的磁通量：
o
d 2RB d x 2RvB
dt
dt
由于静止的“[”形导轨上的电动势为零，
框的磁通量(由长直电流所提供)为 d
I (t) I0et