应变分量与协调方程

u v dx dx dx dx A ' B ' AB x x AB dx
2
2
u dx dx dx x dx
2
u x x
v 根据小变形假设，x
是微量，故
u v dx dx dx x x
x x 3x
u
2
x f ( y)
y
v 2y y
v y 2 g ( x)
xy
v u f ' ( y ) g ' ( x) xy x y
•显然该应变分量没有对应的位移。
•要使这一方程组不矛盾，则六个应变分量必 须满足一定的条件。以下我们将着手建立这 一条件。
要使几何方程求解位移时方程组不矛盾， 则六个应变分量必须满足一定的条件。
从几何方程中消去位移分量，第一式和第 二式分别对y和 x求二阶偏导数，然后相加 可得
x v u 2 ( ) 2 x y xy x y xy 2 2 2 2 yz z v w 同理： y 2 ( ) 2 z y yz z y yz
Venant）方程
2 2 2 z y yz 2 2 y z yz 2 2 2
（Saint
x z xz 2 2 z x xz yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz 2 y yz xz xy ( )2 y x y z xz yz xz xy 2 z ( )2 z x y z xy
切应变——棱边之间夹角（直角）改变。
正应变
切应变
坐标 A x, y ， B x dx, y ， C x, y dy
A(x,y)点位移 u，v —〉 u x, y ， v x, y
B(x+dx,y)点位移 C(x,y+dy)点位移
u x dx, y ， v x dx, y u x, y dy ， v x, y dy
Ax, y A' x u, y v u v C x, y dy C ' x u dy, y dy v dy y y
y
1 v u
2 y y
2
1
v y y
BB v( x dx, y ) v xy tan xy AB dx (u ( x dx, y ) u ) vx dx v 1 ux dx x
2 2
2 y源自文库
2 xy
2 xz 2 z 2 x 2 w u 2 ( ) 2 x z xz x z xz
将几何方程的四，五，六式分别对z，x，y 求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，消去w、v 则 yz xy 2u
几何意义
Ax, y A' x u, y v
B x dx, y B ' x dx u(x dx, y), y v(x dx, y)
u v B ' x dx u dx, y v dx x x
i ' j ' nii' n jj' ij
1 xz 2 11 12 13 1 yz 21 22 23 2 31 32 33 z
• 应变张量
1 x 2 xy 1 ij yx y 2 1 1 zy zx 2 2
几何方程
位移分量和应变分量之间的关系
u x x v u xy x y v y y w z z
yz
w v y z
zx
u w z x
几何方程又称柯西方程
微分线段伸长——正应变大于零 微分线段夹角缩小——切应变分量大于零
1 2
1 2
P0 P

P0 P

x y
0 y
P0 P

P0 P

保证单值连 续的条件是 积分与积分 路径无关
z
0 z
P0 P

z z z dx dy dz x y z
是单值连续的，则问题可证。
根据格林公式
y z 1 xz xy ( ) 2 y z y z 1 u w v u [ ( ) ( ) 2 y z x z x y 1 w v x ( ) 2 x y z x
位移 u，v ， w 是单值连续函数，进一步分析 位移函数具有连续的3阶导数。
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x ' x u u x, y , z z ' z w w x, y , z y ' y v v x, y , z
物体内部各点空间位置发生变化。 各点位置变化量称为位移。 物体上各点位置发生变化——变形 一点的变形通过微分六面体单元描述 微分单元体的变形，分为两部分讨论。 正应变——棱边的伸长和缩短；
x
xz
y

z
2
yz
对x求一阶偏导数，则
yz xz xy 2 x ( )2 x x y z yz
分别轮换x,y,z，则可得如下六个关系式
2 y
x 2 2 x y xy
2
2 xy
•应变协调方程
•——圣维南
刚体位移：物体内部 各点位置变化，但仍 保持初始状态相对位 置不变。
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x x u u x, y , z
'
变形位移：位移不仅使 得位置改变，而且改变 了物体内部各个点的相 对位置。
z ' z w w x, y , z
y ' y v v x, y , z
位移 u ， v ， w 是单值连 续函数，进一步分析位 移函数具有连续的 3 阶 导数。
u u x, y , z w w x, y , z v v x, y , z
坐标 A x, y ， B x dx, y ， C x, y dy 坐标 A ' x u, y v
x 1 xz xy ( ) x 2 y z
x 1 yz y y 2 y z x z 1 yz z y 2 z
du u u u 1 1 dx dy dz x dx ( xy z )dy ( xz y )dz x y z 2 2
x x x d x dx dy dz x y z
轮换x , y, z，可得 du，dv和dy，dz
应变
由于外部因素（载荷或温度），物体内部 各点空间位置发生变化。各点位置变化量称为 位移。 位移形式 • 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持 初始状态相对位置不变。 • 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变 了物体内部各个点的相对位置。
M’(x’,y’,z’) M(x,y,z)
x ' x u u x, y , z z ' z w w x, y , z y ' y v v x, y , z
如通过积分，计算出
u u0 v v0 w w0
0 x P0 P

x dx ( xy z )dy ( xz y )dz
1 1 ( xy z )dx y dy ( yz x )dz 2 2 1 1 ( xz y )dx ( yz x )dy x dz 2 2 x x x dx dy dz x y z y x dx y y dy y z dz
微小应变的几何解释
• 几何方程——位移导数表示的应变；
• 应变描述一点的变形，但还不足以完全描述
弹性体的变形；
• 原因是没有考虑单元体位置的改变，
即单元体的刚体转动 • 刚性位移可以分解为平动与转动 • 刚性转动——变形位移的一部分，但是不产 生变形。
主应变与主应变方向
• 变形通过应变描述
• 应变状态—— 坐标变换时，应变分量是 随之坐标改变而变化。 • 应变分量的转轴公式
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变
分量均可确定。因此应变状态就完全确定。
•坐标变换后各应变分量均发生改变，但作为
一个整体，所描述的应变状态并未改变。
• 体积应变：仅与线应变有关与角应变无关。 V * V u v w x y z . x y z V
•变形协调方程的数学意义
•使3个位移为未知函数的六个几何方程不相 矛盾。
•变形协调方程的物理意义
•物体变形后每一单元体都发生形状改变，如 变形不满足一定的关系，变形后的单元体将 不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或 嵌入现象。 •为使变形后的物体保持连续体，应变分量必 须满足一定的关系。
•证明 —— 应变协调方程是变形连续的 必要和 充分条件。 •变形连续的物理意义，反映在数学上则要求位 移分量为单值连续函数。 •目标——如果应变分量满足应变协调方程，则 对于单连通域，就可以通过几何方程积分求得 单值连续的位移分量。 •利用位移和转动分量的全微分，则
坐标 B ' x dx u( x dx, y), y v( x dx, y)
坐标 C ' x u( x, y dy), y dy v( x, y dy)
按幂级数展开，并略去dx、dy二次以上项：
u u x dx, y u x, y dx ... x v v x dx, y v x, y dx ... x u u x, y dy u x, y dy ... y v v x, y dy v x, y dy ... y
C C u ( x, y dy ) u yx tan yx AC dy (v( x, y dy ) v) u y dy u 1 vy dy y v u xy xy yx tan xy tan yx x y
• ——弹性体一点体积的改变量
• 引入体积应变有助于
•
•
简化公式
解释
协调方程
• 数学意义：
• 几何方程——6个应变分量通过3个位移分量 描述
• 力学意义——变形连续
• 弹性体任意一点的变形必须受到其相邻单元
体变形的约束，不得出现“撕裂”和“重
叠”。
• 例1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0, 求其位移。 • 解： u 3 2