一次函数与二元一次方程的关系

21.5 一次函数与二元一次方程的关系1．掌握一次函数与方程的关系；(重点)

2．综合应用一次函数与方程关系解决问题．(难点)

一、情境导入

下面三个方程有什么共同点和不同点？你能进行解释吗？

(1)2x＋1＝3；(2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.

能从函数的角度解这三个方程吗？

二、合作探究

探究点一：一次函数与一元一次方程

一次函数y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，且k ≠0)的图象如图

所示，根据图象信息可求得关于x 的方程kx ＋b ＝0的解为( )

A ．x ＝－1

B ．x ＝2

C ．x ＝0

D ．x ＝3

解析：∵y ＝kx ＋b 经过点(2，3)、(0，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，2k ＋b ＝3，解得⎩

⎪⎨⎪⎧b ＝1，k ＝1，∴一次函数解析式为y ＝x ＋1.令x ＋1＝0，解得x ＝－1.故选A.

方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y ＝kx ＋b ，确定它与x 轴的交点的横坐标的值．

探究点二：一次函数与二元一次方程(组)

直角坐标系中有两条直线：y ＝35x ＋95，y ＝－32

x ＋6，它们的交点为P ，第一条直线交x 轴于点A ，第二条直线交x 轴于点B .

(1)求A 、B 两点的坐标；

(2)用图象法解方程组⎩

⎪⎨⎪⎧5y －3x ＝9，3x ＋2y ＝12； (3)求△P AB 的面积．

解析：(1)分别令y ＝0，求出x 的值即可得到点A 、B 的坐标；(2)建立平面直角坐标系，然后作出两直线，交点坐标即为方程组的解；(3)求出AB 的长，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解：(1)令y ＝0，则35x ＋95＝0，解得x ＝－3，所以点A 的坐标为(－3，0)．令－32

x ＋6＝0，解得x ＝4，所以点B 的坐标为(4，0)；

(2)如图所示，方程组的解是⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3； (3)AB ＝4－(－3)＝4＋3＝7，S △P AB ＝12×7×3＝212

. 方法总结：本题考查了二元一次方程(组)与一次函数的关系：两个方程的解的对应点分别在两条直线上，所以作出两个二元一次方程所对应的两条直线，求出交点，则交点的坐标同时满足两个方程，即为方程组的解．

探究点三：运用一次函数与方程解决实际问题

某销售公司推销一种产品，设x (单位：件)是推销产品

的数量，y (单位：元)是付给推销员的月报酬．公司付给推销员的月报酬的两种方案如图所示，推销员可以任选一种与公司签订合同，看图解答下列问题：

(1)求每种付酬方案y 关于x 的函数表达式；

(2)当选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时，求x 的取值范围．

解析：(1)由图已知两点，可根据待定系数法列方程组，求出函数关系式；(2)列出方程得出两直线的相交点的坐标，即可得选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬时x 的取值范围．

解：(1)设方案一的解析式为y ＝kx ，把(40，1600)代入解析式，可得k ＝40，∴方案一y 关于x 的解析

式为y ＝40x ；设方案二的解析式为y ＝ax ＋b ，把(40，1400)和(0，600)代入解析式，可得⎩

⎪⎨⎪⎧b ＝600，40a ＋b ＝1400，解

得⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝20，b ＝600，∴方案二y 关于x 的解析式为y ＝20x ＋600； (2)根据两直线相交可得40x ＝20x ＋600，解得x ＝30，故两直线交点的横坐标为30.当x ＞30时，选择方案一所得报酬高于选择方案二所得报酬．

方法总结：解决此类识图题，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．

三、板书设计

1．一次函数与一元一次方程的关系

2．用图象法求二元一次方程组的解

3．应用一次函数与方程解决实际问题

在教学的过程中，学生是教学的主体，所以发挥学生的主动性相当的重要．本节课是在一次函数的基

础上教学的，是对学生学习的又一次综合与扩展．课堂教学充分体现了新课标的教学理念：教师为主导、学生为主体，把课堂还给学生．