向量的数量积 第1课时 向量的数量积的物理背景和数量积 教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册

6.2.4 向量的数量积

第1课时向量的数量积的

物理背景和数量积

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第一课时，本节课主要学习平面向量的数量积的定义、投影向量、数量积的性质。

向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。

课程目标

学科素养

1.教学重点：平面向量数量积的定义及投影向量；

2.教学难点：平面向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。多媒体

一、复习回顾，温故知新 1.向量的数乘的定义：

【答案】一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a λ，它的长度与方向规定如下：

（1）||||||a a λλ=；

（2）当0>λ时，a λ的方向与a 的方向相同；当0<λ时，a λ的方向与a 的方向相反。 2.向量的数乘运算律：

【答案】设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：

（1） a a )()(λμμλ=

（2）a a a μλμλ

+=+)(

（3）b a b a λλλ+=+)(

二、探索新知

思考1： 一个物体在力F 的作用下产生的位移s ，那么力F 所做的

功应当怎样计算？ 【答案】θcos ||||S F W =

思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定？

【答案】标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。 1.向量的夹角的定义：

已知两个非零向量b a 和，O 是平面上的任意一点，作,,b OB a OA ==则θ=∠AOB

)0(πθ≤≤叫做向量b a 和的夹角。

显然，当0=θ时，b a 和同向；当πθ=时，b a 和反向。

如果b a 和的夹角是2

πθ=

，我们就说b a 和垂直，记作b a ⊥。

思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？

【答案】功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。

2.数量积的定义：

已知两个非零向量b a 和，它们的夹角为θ，我们把数量θcos ||||b a 叫做向量b a 和的数量积（或内积），记作b a ⋅，即θcos ||||b a b a =⋅。

规定：零向量与任一向量的数量积为0。

说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.

（2）b a ⋅中间的“⋅”在向量运算中不能省略掉，也不能换成“⨯”； （3）运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是[ 0°，180°]。

思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候

为负？

【答案】当0°≤θ ＜ 90°时，b a ⋅为正；

当90°＜θ ≤180°时，b a ⋅为负；

当θ =90°时，b a ⋅为零。

结论：数量积符号由θcos 的符号所决定。 例1.已知,4||,5||==b a b a 和的夹角3

2π

θ=，求b a ⋅。 解：

例2.设,9||,12||==b a 254-=⋅b a ，求b a 和的夹角。 解：

3. 投影向量的定义：

如图(1)设b a ,是两个零向量,b CD a AB ==,,我们考虑如下的变换:过AB 的起点A 和终点B,分别作CD 所在直线的垂线,垂足分别为

A 1,

B 1,得到11B A ，我们称上述变换为向量a 在向量b 投影

(project).,11B A 叫做向量a 在向量b 上的投影向量。

如图(2),我们可以在平面内任取一点O,作b ON a OM ==,，过点M 作直线ON 的垂线,垂足为M 1，则1OM 就是向量a 在向 量b 上的投影向量。

探究：如图，设与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，

那么1OM 与θ,,a e 之间有怎样的关系？

【答案】e OM λ=1设。

综上可得，对于任意的],0[πθ∈，都有e a OM θcos ||1=。 探究：两个非零向量相互平行或垂直时，投影向量具有特殊性，你能

通过本节课的教学,我有以下几点体会：

(1)让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉刨设问题情景,建立数学模型,让学生经历数学知识的形成与应用,可以更好的理解数学概念、结论的形成过程,体会蕴含在其中的思想方法,增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学,要关注概念的实际背景与形成过程,帮助学生克服机械记忆概念的学习方法。

(2)鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者,教师在教学中的作用必须以确定学生主体地位为前提,教学过程中要发扬民主,要鼓励学生质疑,提倡独立思考、动手实践、自主探索、阅读自学等学习方式。对于教学中问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等,要尽可能地让所有学生都能主动参与,提出各自解决问题的方案,并引导学生在与他人的交流中选择合适的策略,使学生切实体会到自主探索数学的规律和问题解决是学好数学的有效途径。