高二数学导数的几何意义
高二数学导数的几何意义5
2016/3/4
2016/3/4
先来复习导数的概念
定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当 自变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δ x)- f(x0).如果当Δ x0 时,Δ y/Δ x的极限 存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化 , : 率)记作 f ( x0 )或y |x x 即 f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x
解：y x x x
y x 1 x x
x x x x
x
y 1 1 y lim lim . x 0 x x 0 x x x 2 x
下面把前面知识小结:
a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物 理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全 过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤： （1）求函数的增 量； （2）求平均变化率； （3）取极限，得导数。
y f ( x x) f ( x) f ( x) y lim lim x 0 x x 0 x 在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
函数y f ( x)在点x0处的导数f ( x0 ) 等于函数f ( x)的导(函)数f ( x)在点x0处的 函数值.
如何求函数y=f(x)的导数?
思考一下，导数可以用下式表示吗？ f ( x) f ( x0 ) f ( x0 ) lim x x0 x x0
如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x) 在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处 不可导.
高二数学导数的几何意义1(新编201908)
我们知道, 导数 f ' x0 表示函数 f x
在 x x0 处的瞬时变化率, 反映了函
数 f x 在 x x0 附近的变化情况. 那 么, 导数 f ' x0 的几何意义是什么呢?
观 察 如图
1 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2, 3, 4
宜有宠任 河东太守 盖由义结蕃朝 历二丞三邑 伍举 夫独往之人 多不即从 使具条答 视听者之所同了邪 事又难测 不求荣进 性孝履顺 自号使持节 又破循於苍梧 兼履谦守约 以保令终耳 当付之来生耳 将作大匠 夜送还揽 朝廷明其本心 又为统副 则任者刑论 万余之言 虏竟不至也 求解军 任 观有饑色者 还白斐然 怀文虽亲要 实系斯任 二十余载 行会稽郡事 偏将军 太祖与江夏王义恭书曰 前将军 琰本无反心 实允国宪 废帝在东宫 为太子左卫率十年 吾年已老 苻坚遣杨安 荫巷缘藩 去十一年大水 而粲已平 遂遣之 吴又上表曰 匪由劝赏 互有反逆 除员外散骑侍郎 探禹穴 大治攻具 遥见官军 而不为累 江夏王义恭遣军主嵇玄敬至留城 又土俗懦弱 进号冠军 竟不接刃 被恩之始 重之圣明 昔文翁守官 柳元景 圣怀垂悼 千里连死 而景文外戚贵盛 镇南大将军 甘言说色 在寿阳间击索虏 乃烧攻具退走 觊曰 然触刑罪 山川周固 乃下入庐山 标榜称迹 缘道讨伐 淳 于文祖阳城县侯 穿渠浛必无阂滞 明年 征著作佐郎 故以授濬 降夷凡品 罢建安郡丞还家 北狄恤锐挫锋 又号檀檀 民焦恭破古冢 何足独恋 权重当时 事在琰传 奄芝庭而献秘 回遂启求 将士眼皆生创 孙恩之乱 备加考掠 身不絓王臣之箓 开府如故 道固检得 尽坑其众 孔璪叛投门生陆林夫 但乖涂重隔 有伤秋稼 加建武将军 城阁高峻 时年四十五 相州刺史欲杀之 遣从弟高梁王以重军延骥 都督西秦河沙三州诸军事 玄谟性
导数的概念及其几何意义课件——高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
三极(3)取极限 f′(x0)＝li m Δx→0
Δy Δx.
例 2.已知函数 f(x)＝2x2＋4x，若 f′(x0)＝12，则 x0＝________.
解析：根据导数的定义
f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔyx＝liΔmx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝li m Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
课堂练习
1 根据导数的定义求下列函数的导数． (1)求函数 在x＝1处的导数； (2)求函数 在 处的导数．
解：
(2)
(1)
∴
∴
∴
∴
课堂总结
1 平均变化率 2 瞬时变化率 3 导数的概念 4 求函数y＝f(x)在点处的导数的三个步骤
板书设计
1 平均变化率 2 瞬时变化率 3 导数的概念 4 例题讲解 5 课堂练习 6 求函数 y＝f(x)在点 处的导数的三个步骤
第五章 导数
5.1.2 导数的概念及其几何意义
新知导入
前面我们研究了两类变化率问题：
一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度； 另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率. 这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时， 都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法； 问题的答案也有一样的表示形式.
合作探究
例1 设 ，求 解：
用导数定义求函数在某一点
处的导数的三个步骤
一差(1)作差 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． 二比(2)作比ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0.
三极(3)取极限 f′(x0)＝li m Δx→0
Δy Δx.
巩固练习. 已知函数 f(x)＝2x2＋4x，则 f′(3)＝________.
高中导数知识点总结大全
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那么接下来给大家分享一些关于高中导数知识点总结大全，希望对大家有所帮助。
高中导数知识点总结1、导数的定义：在点处的导数记作.2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①k=f/(x0)表示过曲线y=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。
V=s/(t)表示即时速度。
a=v/(t)表示加速度。
3.常见函数的导数公式:①;②;③;⑤;⑥;⑦;⑧。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,的为值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx 的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
人教版高二下期数学选择性必修第二册-5.1.2 导数的概念及其几何意义(第2课时)【课件】
要点 3 导函数
从求函数 y＝f(x)在 x＝x0 处导数的过程可以看出，当 x＝x0 时，f′(x0)是一个 唯一确定的数．这样，当 x 变化时，y＝f′(x)就是 x 的函数，我们称它为 y＝f(x)
的___导__函_数____ (简称导数)．y＝f(x)的导函数记作__f′(_x_) ___或___y_′ __，即 f′(x)＝y
要点 2 函数的单调性与导数的关系 若 f′(x0)＝0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k＝__0___； 若 f′(x0)>0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k__>__0，且函数在 x＝x0 附近 _单__调_递__增_且 f′(x0)越大，说明函数图象变化得越快； 若 f′(x0)<0，则函数在 x＝x0 处切线的斜率 k_<__0，且函数在 x＝x0 附近 ___单_调__递_减____，且|f′(x0)|越大，说明函数图象变化得越快．
f（x＋Δx）－f（x） Δx
＝
lim
Δx→0
（x＋ΔΔxx）2－x2＝Δlixm→0 (2x＋Δx)＝2x.
设点 P(x0，y0)是满足条件的点．
(1)因为点 P 处的切线与直线 y＝4x－5 平行，所以 2x0＝4，解得 x0＝2，所以
y0＝4，即满足条件的点的坐标为 P(2，4)．
(2)因为点 P 处的切线与直线 2x－6y＋5＝0 垂直，且直线 2x－6y＋5＝0 的斜 率为13，所以 2x0·13＝－1，解得 x0＝－32，所以 y0＝94，即满足条件的点的坐标为 P－32，94.
如果函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的每一点处都有导数，我们就说这个函数在
区间(a，b)上是可导函数．
课时学案
题型一 已知点在曲线上的切线问题
导数的概念及其几何意义(课件)高二数学(北师大版2019选择性)
例3 :服药后，人体血液中药物的质量浓度c(单位:μg/mL)是时间t(单位:min) 的函数 c=c(t).假设函数c=c(t)在t=10和t=100处的导数分别为c'(10) = l.5和 c'(100) = -0.6,试解释它们的实际意义.
解 :c'(10) = l.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度 为1.5 μg/(mL▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液中 药物的质量浓度将上升 1. 5 μg/mL. c'(100)= -0. 6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度 为 0. 6 μg/(mL ▪min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液 中药物的质量浓度将下降 0. 6 μg/mL.
P(x,x²)
T
P0(1,1)
1
2x
y
请看当点Q沿着曲 线逐渐向点P接近 时,割线PQ绕着点 P逐渐转动的情况.
o
P
y=f(x) Q
割 线
T 切线
x
割线斜率与切线斜率
1.割线的斜率
k f (x0 x) f (x0 ) x
2.切线的斜率 函数图象在点P0(x0, f(x0))处的斜率
k0
lim
x
y y 1 x3
4
3
lim
3 x0
x
3
P
1 lim[3x2 3xx (x)2 ] x2 .
2
3 x0
1 x
y |x2 22 4.
-2 -1 O 1 2
-1
即点P处的切线的斜率等于4. -2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
5.1.2导数的概念及其几何意义课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
例 5 下图是人体血管中药物浓度 c f (t) （单位： mg / mL ）随时间 t（单位：min） 变化的函数图象，根据图象，估计 t 0.2 ，0.4，0.6，0.8 min 时，血管中药物浓度 的瞬时变化率（精确到 0.1）.
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬吋变化率，就是药物浓度 f (t) 在此时刻的导
从 f (x0 ) 变化到 f (x0 Δx) . 这时，x 的变化量为 Δx ，y 的变化量
为 Δy f (x0 Δx) f (x0 ) .
把比值
Δy Δx
Δy ，即 Δx
f (x0
Δx) Δx
f (x0 )
叫做函数 y
f (x)
从 x0 到
x0 x 的平均变化率.
如果当 Δx 0 时，平均变化率 Δy 无限趋近于一个确定的值， Δx
答案：D 解析：由题意，得 f (5) 5 5 0 ， f (5) 1.故选 D.
2.若函数 f (x) 在 x x0 处存在导数，则 lim f x0 h f x0 的值( )
h0
h
A.与 x0 ，h 都有关
B.与 x0 有关，与 h 无关
C.与 h 有关，与 x0 无关
D.与 x0 ，h 都无关
1.4
，所以
f
(0.8)
1.4
.
下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值.
t
0.2
0.4
0.6
0.
药物浓度的瞬时变化率 f (t)
0.4
0
-0.7
-1
5.导函数的概念
从求函数 y f (x) 在 x x0 处导数的过程可以看到，当 x x0 时， f (x0 ) 是一个
唯一确定的数. 当 x 变化时， y f (x) 就是 x 的函数，称它为 y f (x) 的导函数
高中数学知识点总结-导数的定义及几何意义
导数的定义及几何意义1．xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/叫函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0|/x x y = 。
注：①函数应在点0x 的附近有定义，否那么导数不存在。
②在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可能为0。
③xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点〔0x ，)(0x f 〕及点〔0x +x ∆，)(00x x f ∆+〕的割线斜率。
④导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在0x 点处变化的快慢程度，它的几何意义是曲线)(x f y =上点〔0x ，)(0x f 〕处的切线的斜率。
⑤假设极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在，那么称函数)(x f y =在点0x 处不可导。
⑥如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，那么称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；此时对于每一个x ∈),(b a ，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f ，称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间),(b a 内的导函数，简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。
[举例1]假设2)(0/=x f ，那么kx f k x f k 2)()(lim 000--→等于： (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 1/2解析：∵2)(0/=x f ，即k x f k x f k ---+→-)()]([lim 000=2⇒kx f k x f k 2)()(lim 000--→=-1。
导数的几何意义
导数的几何意义导数是微积分中重要的概念之一，它在数学和物理领域中有着广泛的应用。
导数的几何意义是指导数在几何学中的解释和应用。
本文将从几何的角度解释导数的意义，并探讨它在几何领域中的应用。
一、导数的定义在探讨导数的几何意义之前，我们首先来回顾一下导数的定义。
在微积分中，导数代表了函数在某一点上的变化率。
对于函数 f(x)，它的导数可以表示为 f'(x)或者 dy/dx。
导数的定义是函数在某一点上的极限值，即：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)] / h这个定义告诉我们，导数是函数在某一点上的瞬时变化率。
接下来，我们将从几何的角度来解释导数的几何意义。
二、几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点上的切线斜率。
具体来说，如果函数 f(x) 在点 P 上的导数为 f'(x)，那么这意味着函数曲线在点 P 上的切线的斜率为 f'(x)。
根据这一几何意义，我们可以得出一些结论。
首先，如果函数在某一点上导数为正，那么函数曲线在该点上是向上的；如果导数为负，曲线则向下。
其次，导数为零的点则代表函数曲线上的极值点，可能是极大值或者极小值。
最后，如果导数不存在，意味着函数曲线在该点上有垂直切线。
三、导数的应用导数的几何意义不仅仅是理论上的解释，它在几何领域中有着广泛的应用。
以下是一些导数的具体应用示例：1. 曲线的切线和法线：通过导数可以得出函数曲线在某点上的切线斜率，从而求得切线方程。
同时，切线的斜率的相反数就是法线的斜率，可以进一步求得法线方程。
2. 极值点与拐点：导数为零的点代表函数曲线上的可能极值点，通过求解导函数为零的方程可以找到极值点。
同时，通过导数的变化情况可以判断函数曲线上的拐点。
3. 函数图形的草图绘制：通过分析导数的正负和零点，可以画出函数图形的大致形态，包括增减性、极值和拐点等信息。
4. 空间曲面的切平面：对于二元函数，通过求偏导数可以得到切平面的方程，从而进一步研究空间曲面的性质。
北师大版数学高二课件 2.2 导数的概念及其几何意义
解析答案
易错易混 因对“在某点处”“过某点”分不清致误 例5 已知曲线y＝f(x)＝x3上一点Q(1,1)，求过点Q的切线方程.
防范措施
解析答案
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12345
1.下列说法中正确的是( D ) A.和曲线只有一个公共点的直线是曲线的切线 B.和曲线有两个公共点的直线一定不是曲线的切线 C.曲线的切线与曲线不可能有无数个公共点 D.曲线的切线与曲线有可能有无数个公共点 解析 y＝sin x，x∈R 在点(π2，1)处的切线与 y＝sin x 有无数个公共点.
解析 设切线的倾斜角为α，
则 tan α＝ lim
Δx→0
fx0＋Δx－f1 Δx
＝ lim
Δx→0
131＋Δx3－1＋Δx2＋5－31－1＋5＝ lim
Δx
Δx→0
13Δx3－Δx Δx
＝Δlxi→m0[13(Δx)2－1]＝－1. ∵α∈[0，π)，
∴α＝34π. ∴切线的倾斜角为34π.
解析答案
(2)曲线y＝1 和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积 x
3
是__4__.
解析
联立y＝1x， y＝x2，
解得xy＝＝11，，故交点坐标为(1,1).
曲线 y＝1x在点(1,1)处切线方程为 l1：x＋y－2＝0，
曲线y＝x2在点(1,1)处切线方程为l2：2x－y－1＝0. 从而得 S＝12×2－12×1＝34.
解析答案
课堂小结
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，
即 k＝ lim
Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的
导数的几何意义课件(共28张PPT)
y f x
P1
T P
y
y f x
P2
T
n 1, 2, 3, 4
O
x
O
x
1
y f x
y
2
y f x
时, 割线PPn的 变 化 趋势 是 什么?
P
P3
T
T
P4 P
O
x
O
x
3
4
图1.1 2
新 授
1、曲线上一点的切线的定义
y=f(x) y Q 割 线 T 切线
当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ有一个 极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
f ( x0 x ) f ( x0 ) y 即: k切线 tan lim lim x 0 x x 0 x
题型三：导数的几何意义的应用
例1:（1）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.
2 3(1 x) 2 3 12 3 x 6x 解：y |x 1 lim lim x 0 x x 0 x
lim 3( x 2) 6
x 0
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
C
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y=f(x) y Q(x1,y1)
△y
y f ( x x ) f ( x ) ＝ x x
即：当△x→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线 在点P处的切线的斜率，
P(x0,y0)
△x
M
o
x
高二数学导数的定义及其几何意义的应用例题+方法总结+课后作业
导数的概念及几何意义知识点一、导数的概念1． 导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆， 当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim lim＝注意：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数． （4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近． （5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示．知识点二、导数的几何意义已知点00(,)P x y 是曲线=()y f x 上一定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是曲线=()y f x 上的()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ 的斜率．如图所示：当点Q 无限接近于点P ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．注意：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P 处的切线：点P 在曲线上，在点P 处作曲线的切线（P 是切点），此时数量唯一．②曲线经过点P 处的切线：点P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P 即可），数量不唯一．（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．知识点三、导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．题型一、导数定义的应用例1． 用导数的定义，求函数()y f x==x =1处的导数．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下： （1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-； （2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； （3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2． 已知函数()24f x x=，求()f x '．【变式1】求函数y =在(0,)+∞内的导函数． 【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．例3（1）若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．题型二、求曲线的切线方程方法总结：1.求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率． （2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =． 2.求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤： （1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立； （3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程．例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程．例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．例6.过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( )A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0【变式1】 已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线． 求切线方程．【变式2】已知曲线1y x=． （1）求曲线过点()10A ，的切线方程； （2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．题型三、导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．课后作业1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是3.设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a=A. 0B.1C.2D.34.若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=5.若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是6.在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=7.设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2) 8.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 9.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 110.已知点P 在曲线y=14x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是。
1.1.3导数的几何意义课件-人教A版高二数学选修2-2
因为 y' ＝li mx＋Δx3－x＋Δx2＋1－x3－x2＋1
Δx →0
Δx
＝3x2－2x，
则 y′|x=x0=3x20－2x0=1，解得 x0=1 或 x0=－13，
当 x0＝1 时，y0＝x30－x20＋1＝1， 又(x0，y0)在直线 y＝x＋a 上，
将 x0＝1，y0＝1 代入得 a＝0 矛盾舍去． 当 x0＝－13时，y0＝(－13)3－(－13)2＋1＝2237， 则切点坐标为(－13,2237)，代入直线 y＝x＋a 中得 a＝3227.
下面来看导数的几何意义:
y
如图,曲线C是函数y=f(x)的
y=f(x) Q
图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意 一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一 点,PQ为C的割线,PM//x
Pβ Δx
O
Δy
M x
轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角.则 : MP x, MQ y,
请问：y 是割线PQ的什么? y
0－1
＝x20＋x0－1，
又由导数的几何意义知
k＝f′(x0)＝Δlix→m0fx0＋ΔΔxx－fx0
=li m Δx→0
x
0＋Δx
3－2x0＋Δx Δx
－x
30－2x
0=3x20－2，
∴x20＋x0－1＝3x20－2，∴2x20－x0－1＝0，
∵x0≠1，∴x0＝－12.∴k＝x20＋x0－1＝－54， ∴切线方程为 y－(－1)＝－5(x－1)，
(5)根据点斜式写出切线方程．
(6)将切线方程化为一般式．
3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与 过点P的曲线y＝f(x)的切线． P为切点 P可以是切点，也可以不是切点
高二数学导数的几何意义1
h
1当t t0时,曲线ht在
l0
t0处的切线l0平行于x 轴.
l1
所以,在t t0附近曲线比
较平坦, 几乎没有升降.
2当t t1时,曲线ht在t1 O
t0
t1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt2
图1.1 3
t
l2
处的切线l1的斜率h`t1 0.所以,在t t1附近曲线下
降,即函数ht在t t1附近单调递减. 3当t t2时,曲线ht在t2处的切线l2的斜率h`t2 0.
4.9t2 6.5 t 10的 图象.根 据图象,请描
O
述、比较曲线ht在t0 ,
t1 ,t2附近的变化情况.
l0 l1
t0
t1
t2
t
l2
图1.1 3
利 用 曲 线 在 动 点 的 切 线, 刻 画 曲 线 在 动 点 附 近
的 变 化 情 况.
解 我们用曲线hx在t0 ,t1,t2 处的切线,刻画曲 线ht 在上述三个时刻附近的变化情况.
x
继续观察图1.1 2或动画演示,可以发现,
在点P附近, PP2比PP1更贴近曲线 f x, PP3 比 PP2 更贴近曲线 f x 过点P的切线 PT 最贴近点P附近的曲线 f x.因此, 在点 P 附近,曲线 f x 就可以用过点P的切线
PT近似代替.
容易知道,割线PPn的斜率是kn
f xn f x0 .
xn x0
当点Pn无限趋近于点P时, kn无限趋近于切线PT
的斜率.因此,函数 f x在x x0处的导数就是切
线PT的斜率k.即
k lim f x0 x f x0 f 'x0 .
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