七年级数学---角的认识
七年级角的知识点
七年级角的知识点一、角的概念。
1. 角的定义。
- 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。
例如，在生活中，打开的剪刀，时针和分针等都可以看作角的实例。
- 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
当射线绕端点旋转到起始位置和终止位置成一条直线时，所成的角叫做平角；当射线绕端点旋转一周，又重新回到起始位置时，所成的角叫做周角。
平角的度数为180°，周角的度数为360°。
2. 角的表示方法。
- 用三个大写字母表示，如∠AOB，其中O是角的顶点，A、B分别是角的两条边上的点，顶点字母必须写在中间。
- 用一个大写字母表示，当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用这个顶点的大写字母来表示这个角，如∠O。
- 用数字表示，如∠1、∠2等。
- 用小写希腊字母表示，如∠α、∠β等。
二、角的度量。
1. 角度制。
- 把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。
即1° = 60′，1′=60″。
- 例如，30.5° = 30°30′，因为0.5°×60 = 30′。
2. 角的大小比较。
- 度量法：用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小。
- 叠合法：把两个角的顶点和一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较角的大小。
三、角的运算。
1. 角的和差。
- 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余。
如果∠A+∠B = 90°，那么∠A与∠B互余。
- 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补。
如果∠A+∠B = 180°，那么∠A与∠B互补。
- 同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。
例如，若∠A+∠B = 90°，∠A+∠C = 90°，则∠B = ∠C（同角的余角相等）。
初一 角ppt课件ppt课件
目录 CONTENTS
• 角的基本概念 • 角的种类 • 角的性质 • 角的运算 • 角的应用
01
角的基本概念
角的定义
总结词
角的定义是指两条射线在同一平面内形成的夹角。
详细描述
角是由两条射线在同一平面内相交形成的，这两条射线称为角的边，相交的点 称为角的顶点。根据定义，一个角的大小是固定的，与其边的长度无关，只与 两条射线的夹角有关。
角的表示方法
总结词
角的表示方法有多种，包括使用顶点和两条边的字母表示、 使用数字表示以及使用弧度表示。
详细描述
在几何学中，角通常用顶点和两条边的字母表示，例如∠ABC 表示一个角，其中B是角的顶点，AB和BC是角的两边。此外 ，也可以使用数字表示角，例如∠1、∠2等。另外，角也可以 用弧度表示，例如π/2弧度表示90度的角。
在日常生活中的应用
时钟
时钟上的时针、分针和秒针之间 的角度变化可以用来表示时间， 这是角度在日常生活中最直观的
应用之一。
导航
在导航中，方向通常用角度来表 示，例如北纬、东经等。通过测 量和计算角度，可以确定物体的
位置和方向。
建筑学
在建筑设计中，角度是一个重要 的参数，用于确定建筑物的外观 、结构和稳定性。例如，斜屋顶 的角度会影响到雨水的流向和建
。
05
角的应用
在几何图形中的应用
角度的测量
多边形的内角和
在几何学中，角度是描述两条射线、 线段或平面之间的夹角的重要参数。 通过测量角度，可以确定图形的形状 、大小和相对位置。
多边形的内角和与边数和角度有关， 通过计算多边形的内角和，可以进一 步研究多边形的性质。
三角形的全等判定
6.3.1角的概念 课件(共35张PPT) 初中数学人教版(2024)七年级上册
图例 A
O
B
用一个大写 字母表示
O
用数字表示
1
用希腊字母 表示
记法
方法解读
字母O表示顶点，要写在中 间，A，B表示角的两边上 的点，用该表示法可以表 示任何一个角。
当以某一个字母表示的点为 顶点的角只有一个时，可以 用这个顶点的字母来表示
在靠近角的顶点处加上 弧线，并标上数字或希 腊字母。该表示法形象 直观
巩固练习
1、下列图形是角吗？
2、判断题： （1）两条射线组成的图形叫角。 （2）角的大小与边的长短无关。 （3）角的两边是两条射线。
总结
定义
图例
组成元素
“静” 态的观
点
“动” 态的观
点
有公共端点的
边
两条射线组成
的图形叫做角 顶点
边
角可以看作由 一条射线绕着 它的端点旋转 而形成的图形。
终边 始边
因此，54.26°= 54°15′36″.
例3 .把45°25′48″化成度．
解：45°25′48″ =45°+25′+48×(610)' =45°+25.8' =45°+25.8×(610)° =45.43°
巩固练习
例2：填空 ① 1小时= 60分， 1分= 60 秒. ② 3.3小时= 3 小时 18 分， 2小时30分= 2.5 小时. ③ 1°= 60 ′，1′= 60 ″. ④ 0.75°= 45 ′= 2700 ″， ⑤ 1800″= 0.5 °，39°36′= 39.6 °.
向两端 无限延 伸
0个
不可 度量
射线
·
A
B· l
1.射线AB 2.射线l
(2024秋季新教材)人教版数学七年级上册6.3.1角的概念 课件(共30张PPT)
新知探究 知识点1 角的概念
例1 给出下列说法：①两条射线组成的图形是角；②将一条线 段绕它的一个端点旋转得到的图形是角；③把一个角放在放大镜 下观察，角的度数不变；④平角是一条直线，周角是一条射线.其
∠α的度数是48度56分37秒， 记作：∠α=48°56′37″.
角的度、分、秒是60进制，这和计量 时间的时、分、秒是一样的.
新知探究 知识点3 角的度量和换算
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制. 此外，还有其他度量角的单位制. 例如，以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制， 在军事上经常使用的角的密位制，等等.
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位. 如图，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°； 把1度的角60等分，每一份叫作1分的角，记作1′； 把1分的角60等分，每一份叫作1秒的角， 记作1″.
1周角＝ 360 °；1平角＝ 180°.
1°＝ 60′；1′＝ 60″.
新知探究 知识点3 角的度量和换算
O
始边 A
如果射线OB继续旋转，还会形成什么角呢？
新知探究 知识点1 角的概念
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时， 所成的角叫作平角.
B
O
A
当终边又和始边重合时，所成的角叫作周角.
O
A (B)
新知探究 知识点1 角的概念 归纳：角的概念 (1)静态：角由两条具有公共端点的射线组成. (2)动态：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.
七年级数学上册角知识点
七年级数学上册角知识点一、角的定义角是由两条射线（或直线段）公共端点所构成的图形，公共端点称为角的顶点，其中一条射线（或直线段）称为角的始边，另一条射线（或直线段）称为角的终边。
二、角的度数1. 角度：角度是衡量角大小的单位，用“°”表示。
一个完整的角度为360°，一个直角为90°，一个钝角为大于90°，一个锐角为小于90°。
2. 角的转角：一个角度的转角指的是它绕其顶点旋转的角度。
如图所示，∠DOC和∠AOB的转角均为100°，因为它们绕顶点O旋转了100°。
三、角的分类1. 锐角：小于90°的角被称为锐角。
2. 直角：等于90°的角被称为直角。
3. 钝角：大于90°且小于180°的角被称为钝角。
4. 周角：等于360°的角被称为周角。
5. 对顶角：顶点相重合的两个角互为对顶角，它们的大小相等。
四、角的运算1. 角度的加法：对于两个角a和b，它们的和（标记为a + b）是一个新角，其顶点仍为原来的顶点，其始边为a的始边，其终边为b的终边。
如下图所示：2. 角度的减法：对于两个角a和b，它们的差（标记为a - b）是一个新角，其顶点仍为原来的顶点，其始边为a的始边，其终边为b的始边。
如下图所示：3. 角度的乘法：杠杆的切断定理表明，两个角度的和可以表示为另外三个角的乘积之和。
如下图所示：四、角的平分线如果一条线段把一个角划分为两个大小相等的角，那么这条线段就被称为该角的平分线。
如下图所示，AB是∠AOC的平分线，且∠AOC中的两个角大小相同。
五、角的相关概念1. 垂线：一条从一个点向另一条线段垂直的直线被称为垂线。
它的长度为两条交叉线段之间的最短距离。
如下图所示，BD为直线AB的垂线。
2. 夹角：夹角是由两条交叉的线段所形成的角度，其大小与交叉线段的相对方向有关。
如下图所示：3. 余角：余角是指两角的和等于90°的角。
七年级数学 第12讲 角的认识(解析版)
第12讲角的认识1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2.认识钟面角、方位角，并掌握其运算；3.掌握运用尺规作已知角，相等角等。
知识点1：角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA 是角的始边，终止位置OB 是角的终边．注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA 绕点O 旋转，当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB 和OA 重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：图1图2注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．知识点2：角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．知识点3：钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．知识点4：方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．考点1：度分秒的换算例1.（2022秋•榆阳区校级期末）若∠α＝5.15°，则∠α用度、分、秒表示为（）A．5°15'B．5°1′5″C．5°9′D．5°30′【答案】C【解答】解：∠α＝5.15°＝5°+0.15×60′＝5°+9′＝5°9′．故选：C．【变式1-1】（2022秋•绥德县期末）20°13'12″化为用度表示是（）A．20.12°B．20.2°C．20.20°D．20.22°【答案】D【解答】解：20°13'12″＝20.22°．故选：D．【变式1-2】（2022秋•汉寿县期末）将30.24°用度、分、秒表示为（）A．30°12′24″B．30°14′24″C．30°14′25″D．30°15′28″【答案】B【解答】解：30.24°＝30°+（0.24×60）'＝30°14'+（0.4×60）''＝30°14'24''，故选：B．【变式1-3】（2022秋•高碑店市期末）已知∠1＝38°36'，∠2＝38.36°，∠3＝38.6°，则下列说法正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠1＝∠3C．∠2＝∠3D．∠1，∠2，∠3互不相等【答案】B【解答】解：∵1°＝60′，∴36′＝0.6°，∴∠1＝38°36'＝38.6°，∵∠3＝38.6°，∴∠1＝∠3，故选：B．考点2：角的概念和表示例2.（2022秋•河东区期末）下列图形中，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、能用∠1，∠ACB表示，不能用∠C表示，故选项不符合题意；B、能用∠1，∠ACB表示，不能用∠C表示同一个角，故选项不符合题意；C、能用∠1，∠ACB，∠C表示同一个角，故选项符合题意；D、∠1和∠ACB表示不同的角，故选项不符合题意；故选：C．【变式2-1】（2022秋•河池期末）如图，下列说法正确的是（）A．∠1与∠BOC表示同一个角B．∠1＝∠2C．∠2与∠AOB表示同一个角D．图中只有两个角，即∠1和∠2【答案】A【解答】解：A．∠1与∠BOC表示同一个角，该选项正确，故符合题意；B．∠1＝∠2不一定成立，该选项错误，故不符合题意；C．∠2与∠AOC表示同一个角，该选项错误，故不符合题意；D．图中有三个角，分别为∠1、∠2和∠AOB，该选项错误，故不符合题意．故选：A．【变式2-2】（2022秋•曲靖期末）下列图形中，能用∠AOB，∠O，∠1三种表示方法表示同一个角的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：根据角的概念，选项A可以用∠AOB，∠O，∠1三种表示方法表示同一个角，故选：A．【变式2-3】（2022秋•吉安期末）拿一个10倍的放大镜看一个1°的角，则这个角为（）A．100°B．10°C．1°D．不能确定，视放大镜的距离而定【答案】C【解答】解：放大镜只能放大物体的大小，而角度只是形状，是不能被放大镜改变的，所以，拿一个10倍的放大镜看一个1°的角，则这个角仍为1°．故选：C．考点3：作图-基本作图例3.（2023春•和平区月考）已知：∠AOB及边OB上一点C．求作：∠DCB，使得∠DCB＝∠AOB．要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法（说明：作出一个即可）．【答案】见解答．【解答】解：如图：∠DCB即为所求．【变式3-1】（2023春•云岩区校级期中）尺规作图：如图，已知∠α，请你利用尺规作图作∠AOB，使∠AOB＝∠α．（不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【解答】解：如图所示：【变式3-2】（2023春•连平县期中）如图（1）利用尺规作∠CED，使得∠CED＝∠A．（不写作法，保留作图痕迹）．（2）判断直线DE与AB的位置关系：平行或相交．【答案】（1）见解答；（2）平行或相交．【解答】解：（1）如图1，如图2；（2）如图1，∵∠CED＝∠A，∴DE∥AB，；如图2，DE与AB相交．故答案为平行或相交．【变式3-3】（2023春•惠来县期中）如图，已知∠AOB，点P是OB边上的一点．在∠AOB的内部，求作∠BPC使∠BPC＝∠AOB．要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解答．【解答】解：如图，∠BPC为所作．考点4：钟面角例4.（2022秋•叙州区期末）如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹角为（）A．50°B．45°C．42.5°D．40°【答案】B【解答】解：由题意得：1.5×30°＝45°，故选：B．【变式4-1】（2022秋•通道县期末）如图，1时30分的时候，钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的角度是135°．【答案】135°．【解答】解：∵钟表圆盘为360°，一共有12个间隔，∴每个间隔为360°÷12＝30°，∵1时30分之间有4.5个间隔，∴钟表的时针与分针所组成的小于平角的角的角度是4.5×30°＝135°．故答案为：135°．【变式4-2】（2022秋•绥宁县期末）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°．【答案】60°．【解答】解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，∴钟表上10点整时，时针与分针之间是2个大格，所成的角是2×30°＝60°．故答案为：60°考点5：方位角例5.（2022秋•澄迈县期末）如图，以点O为观测点，点A在点O北偏东20°30′的方向上，点B 在点O南偏西50°的方向上，则∠AOB的度数是（）A．70°30′B．150°C．150°30′D．160°30′【答案】C【解答】解：如图：由题意得：∠AOC＝20°30′，∠BOD＝40°，∠COD＝90°，∴∠AOB＝∠AOC+∠COD+∠BOD＝20°30′+90°+40°＝150°30′，故选：C．【变式5-1】（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，已知轮船A在灯塔P的北偏东30°30'方向，轮船B在灯塔P的南偏东70°20'方向，则∠APB的度数是（）A．60°30'B．18°40'C．79°10'D．80°10'【答案】C【解答】解：如图：由题意得：∠APC＝30°30′，∠DPB＝70°20'，∴∠APB＝180°﹣∠APC﹣∠DPB＝179°60′﹣（30°30′+70°20′）＝179°60′﹣100°50′＝79°10′，故选：C．【变式5-2】（2023•河北）淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的（）A．南偏西70°方向B．南偏东20°方向C．北偏西20°方向D．北偏东70°方向【答案】D【解答】解：如图：由题意得：∠ABC＝70°，AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCB＝70°，∴淇淇家位于西柏坡的北偏东70°方向，故选：D．【变式5-3】（2022秋•高碑店市期末）如图，点A在点O的北偏东28°方向，点B在点O的东偏南45°方向，∠AOB＝107°．【答案】北偏东28°；107．【解答】解：如图：点A在点O的北偏东28°方向，点B在点O的东偏南45°方向，∠AOB＝90°﹣28°+45°＝107°，故答案为：北偏东28°；107．1．（2022•聊城）如图，△ABC中，若∠BAC＝80°，∠ACB＝70°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（）A．∠BAQ＝40°B．DE＝BD C．AF＝AC D．∠EQF＝25°【答案】见试题解答内容【解答】解：A．由作图可知，AQ平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP＝∠BAC＝40°，故选项A正确，不符合题意；B．由作图可知，MQ是BC的垂直平分线，∴∠DEB＝90°，∵∠B＝30°，∴DE＝BD，故选项B正确，不符合题意；C．∵∠B＝30°，∠BAP＝40°，∴∠AFC＝70°，∵∠C＝70°，∴AF＝AC，故选项C正确，不符合题意；D．∵∠EFQ＝∠AFC＝70°，∠QEF＝90°，∴∠EQF＝20°；故选项D错误，符合题意．故选：D．2．（2022•百色）如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（）A．∠B＝45°B．AE＝EB C．AC＝BC D．AB⊥CD 【答案】A【解答】解：由作图痕迹得CD垂直平分AB，AE＝BE，AC＝BC，AB⊥CD．所以A选项不一定成立，B、C、D选项成立．故选：A．3．（2022•舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线；选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线，故选：D．4．（2022秋•定州市期末）如图，下列说法中不正确的是（）A．∠1与∠AOB是同一个角B．∠α与∠COB是同一个角C．∠AOC可以用∠O来表示D．图中共有三个角：∠AOB，∠BOC，∠AOC【答案】C【解答】解：A、∠1与∠AOB是同一个角，正确，故A不符合题意；B、∠α与∠COB是同一个角，正确，故B不符合题意；C、在角的顶点处只有一个角时，才能用一个大写字母表示角，∠AOC不可以用∠O表示，故C符合题意；D、图中共有三个角，∠AOB，∠BOC，∠AOC，正确，故D不符合题意．故选：C．5．（2023•岳阳）如图，①在OA，OB上分别截取线段OD，OE，使OD＝OE；②分别以D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点C；③作射线OC．若∠AOB＝60°，则∠AOC ＝30°．【答案】30．【解答】解：∵由作法可知，OC是∠AOB的平分线，∴∠AOC＝∠AOB＝＝30°．故答案为：30．6．（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB 的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝90°．【答案】90．【解答】解：如图：由题意得：∠APC＝34°，∠BPC＝56°，∴∠APB＝∠APC+∠BPC＝90°，故答案为：90．7.（2022•陕西）如图，已知△ABC，CA＝CB，∠ACD是△ABC的一个外角．请用尺规作图法，求作射线CP，使CP∥AB．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】作图见解答过程．【解答】解：如图，射线CP即为所求．1．（2023•临沂）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（）A．50°B．80°C．130°D．150°【答案】C【解答】解：根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．故选：C．2．（2023春•莱西市期中）如图，B，D，C三点在直线l上，点A在直线l外，下列说法正确的是（）A．直线BD和直线CD表示的是同一条直线B．射线BD和射线CD表示的是同一条射线C．∠A和∠BAD表示的是同一个角D．∠1和∠B表示的是同一个角【答案】A【解答】解：A、直线BD和直线CD表示的是同一条直线正确，故A正确；B、射线BD和射线CD的端点不同，表示的是不同射线，故B不正确；C、点A处共三个角，不能将某个角表示成∠A，故C不正确；D、点B处有两个小于180°的角，不能将某个角表示成∠B，故D不正确；故选：A．3．（2023春•潍坊期中）图中能用一个大写字母表示的角有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：可以只用一个大写字母表示的角有∠A，∠B．故选：B．4．（2023•西和县一模）8点30分，时针与分针所夹的小于平角的角为（）A．55°B．60°C．75°D．80°【答案】C【解答】解：由题意知，2.5×30°＝75°，∴8点30分，时针与分针所夹的小于平角的角为75°，故选：C．5．（2022秋•焦作期末）下列图中的∠1也可以用∠O表示的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、可以一个字母表示，故此选项正确B、必须三个字母表示，故此选项错误；C、必须三个字母表示，故此选项错误；D、必须三个字母表示，故此选项错误；．故选：A．6．（2022秋•嵩县期末）如图，下列说法中正确的是（）A．OA的方向是北偏东30°B．OB的方向是北偏西60°C．OC的方向是南偏西15°D．OC的方向是南偏西75°【答案】D【解答】解：由方向角的定义可知，OA的方向是北偏东90°﹣30°＝60°，因此选项A不符合题意；OB的方向是北偏西90°﹣60°＝30°，因此选项B不符合题意；OC的方向是南偏西90°﹣15°＝75°，因此选项C不符合题意；选项D符合题意；故选：D．7．（2022秋•迁安市期末）如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，则∠2的度数是（）A．27°40′B．62°20′C．57°40′D．58°20【答案】C【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，∴∠EAC＝32°20′，∵∠EAD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′；故选：C．8．（2022秋•金台区校级期末）下列说法中正确的是（）A．射线AB与射线BA是同一条射线B．两条射线组成的图形叫做角C．各边都相等的多边形是正多边形D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离【答案】D【解答】解：A、射线AB与射线BA不是同一条射线，故此选项错误；B、有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，故此选项错误；C、各边都相等、各角都相等的多边形是正多边形，故此选项错误；D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，故此选项正确．故选：D．9．（2022秋•六盘水期末）12点15分，时针与分针所夹的小于平角的角为（）A．90°B．67.5°C．82.5°D．60°【答案】C【解答】解：12点15分，时针与分针相距2+＝份，12点15分，时针与分针夹角是30°×＝82.5°，故选：C．10．（2022秋•达川区校级期末）如图，AB是直线，O是直线上一点，OC、OD是两条射线，则图中小于平角的角有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【解答】解：图中小于平角的角有：∠AOC，∠COD，∠BOD，∠AOD，∠COB，共5个．故选：C．11．（2022秋•娄星区期末）把8.32°用度、分、秒表示正确的是（）A．8°3′2″B．8°30′20″C．8°18′12″D．8°19′12″【答案】D【解答】解：0.32°＝（0.32×60）′＝19.2′，0.2′＝（0.2×60）″＝12″，∴8.32°＝8°19′12″，故选：D．12．（2023春•东平县期中）请计算13.17°＝13°10′12″．【答案】13；10；12．【解答】解：∵1°＝60′，∴0.17°＝10.2′，∵1′＝60″，∴0.2′＝12″∴13.17°＝13°10′12″故答案为：13；10；12．13．（2022秋•汉川市期末）如图，钟表的时针与分针所成角的度数为135°．【答案】135°．【解答】解：，即图中钟表的时针与分针所成角的度数为135°．故答案为：135°．14．（2023春•光明区校级期中）如图，一航班沿北偏东60°方向从A地飞往C地，到达C地上空时，由于天气情况不适合着陆，准备备降B地，已知C地在B地的北偏西45°方向，则其改变航向时∠α的度数为75°．【答案】75°．【解答】解：如图，由题意得∠EAC＝60°，∠CBF＝45°，AE∥BF，∴∠AFB＝∠EAC＝60°，∵∠α+∠CBF+∠CFB＝180°，∴∠α＝180°﹣（∠CBF+∠CFB）＝180°﹣（60°+45°）＝180°﹣105°＝75°，故答案为：75°．15．（2023春•禅城区校级月考）如图，已知∠DCE，∠AOB，利用尺规作图比较它们的大小（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析．【解答】解：如图，由图知，点A′在∠AOB的内部，所以∠AOB＞∠DCE．16．（2023•未央区校级一模）如图，△ABC中，用尺规作图法作∠ABD＝∠C，与边AC交于点D（保留作图痕迹，不用写作法）【答案】作图见解析部分．【解答】解：如图，射线BD即为所求．17．（2023春•寿阳县期中）已知∠α、∠β，求作：∠AOB，使∠AOB＝∠α+∠β（保留作图痕迹）．【答案】见试题解答内容【解答】解：。
七年级数学角的认识知识点
七年级数学角的认识知识点角是数学中很重要的概念之一，是指由两条线段或两条射线共同围成的区域，常用α、β、γ 等字母来表示。
在七年级数学，一定要掌握好角的相关概念和知识点，下面将为大家详细介绍。
一、角的基本概念1、角的度量单位角的度量单位有度和弧度两种，其中度是最常见的角度单位，用°表示，顾名思义，1°等于360度分之一。
而弧度采用弧长占圆的半径的比值作为单位，通常用诸如π/6, π/2, π/3 等无量纲形式表示。
2、角的三要素一个角由三个元素组成：顶点、两个端点，其中顶点是角的中心点，两个端点是以顶点为中心点的两条射线的端点，这两条射线被称为角的两边，分别用 AB、AC 表示。
3、角的分类根据角的度数，角可以分为以下几种类型：(1) 锐角：指小于 90°的角度。
(2) 直角：指等于 90°的角度。
(3) 钝角：指大于 90°小于 180°的角度。
(4) 平角：指等于 180°的角度。
二、角的度数和弧度的转换1、角度和弧度的转换公式度数和弧度之间可以相互转换，其转换公式如下：\[ 弧度 = \frac{角度\times\pi}{180} \]\[ 角度 = \frac{弧度\times180}{\pi} \]2、角度制和弧度制的换算在角度制中，一个完整的圆覆盖了 360°，所以本文中的角度都在0°-360°范围内。
而在弧度制中，一个完整的圆覆盖了2π 弧度，所以角度制和弧度制的换算公式为：\[1度 = \frac{\pi}{180} 弧度, 1 弧度 = \frac{180}{\pi}度\]三、角的运算1、同角的概念同角是指夹在两条射线之间的角度相等的角，可以表示为∠A和∠B，也可以表示为∠∠AOC 和∠∠BOE。
2、角的加减法在直角坐标系中，可以通过向量加减的方法来计算两个角的和差。
其中，∠A 和∠B 的和记为∠A + ∠B，通过将∠A 向量和∠B 向量首尾相连得到∠C，那么∠C 就是∠A + ∠B。
七年级数学---角的认识
角角：由一点引出两条射线形成的图形叫做角。
这两条射线叫做角的。
这一点叫做角的。
角也可看作是由一条射线绕它端点旋转而成的。
角的表示方法：（1）用三个大写英文字母表示；（2）用一个大写英文字母表示；（3）用阿拉伯数字表示；（4）用小写希腊字母表示。
角的度量单位：1度记作1º,1分记作1¹,1秒记作1¹¹.角的表示方法：①用三个大写字母表示:如∠AOB②用一个大写字母表示:如∠O（只适用单独一个角）③用弧线加数字来表示: 如∠1④用弧线加希腊字母来表示:如∠a角的度量单位的换算：1° = 1′ = 1周角= 1平角=平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平角的角叫做钝角.它们之间的关系是：1周角=2平角=4直角=360º1平角=2直角=180º 1直角=90º换算方法：（1）把高级单位转化为低级单位要乘进率；（2）把低级单位转化成高级单位要除以进率；（3）转化时必须逐级进行，越级转化容易出错。
角的平分线：余角和补角：余角：两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即其中一个角是另一个角的余角。
补角：两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中一个角是另一个的补角。
余角和补角的性质1、同角或等角的余角相等。
2、同角或等角的补角相等。
例1、把一个周角7等分,每一份是多少（精确到分）例2、19°36′= °56°37′= °38°15′和38.5°一样大吗？例3、⑴150°20′25″+ 11°39′35″⑵90°21′16″－26°10′6″⑶12°5′×6⑷16°18′÷3例4、如图：AOB是一条直线，∠AOC=900，∠D OE=900，写出∠AOD、∠C OD、∠AOC、∠AOB、∠B OD中某些角之间的两个等量关系。
北师大版(2024)数学七年级上册 4.2.1 角的认识 课件(共23张PPT)
情境引入
在小学我们学习过角，请说说你对角的认识。你能在图4-16中找到角吗？
图4-16
获取新知
探究点1：角、平角、周角的概念
角由两条具有公共端点的射线组成(如图4-17)。 角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的(如图4-18)。
A
边
顶点
O
边
B
图4-17
图4-18
角的大小与边 的长短无关。
文化馆 幼儿园
图书馆
游乐园 超市
课堂小结
这节课，你有什么收获？
课堂小结
角的定义
有公共端点的两条射线组成的图形 一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
平角、周角的 定义
一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角。 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角。
角
用三个大写字母或一个大写字母表示
B C
A
图4-21
D
解：（1）∠BAC,∠BAD和∠CAD
(2)∵以点A为顶点的角有3个 ∴∠BAC，∠BAD和∠CAD不能用∠A来表示
例题讲解
例2 下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠0三种方 法表示同一个角的是( D )
[解析]A、图中的∠AOB 不能用∠0 表示，故本选项错误; B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误; C、图中的∠1 和∠AOB 不是表示同一个角，故本选项错误; D、图中∠1、∠AOB、∠O 表示同一个角，故本选项正确;
角的表示方法 用一个数字加弧线表示
用一个小写希腊字母加弧线表示
角的度量 方位角
度、分、秒 1°=60′，1′=60″
课堂小结
这节课，你有什么困惑？
6.3.1+角的概念+考点梳理及难点突破++课件-++2024-2025学年人教版七年级数学上册
单位
（3）秒：把 1 分的角 60 等分，每一份叫作 1
秒的角，记作 1″
返回目录
考
点
清 角度制 以度、分、秒为单位的角的度量制
单
（1）从高位向低位：1°=60′，1′=60″，
解
读
1°=3 600″
角的
换算
（2）从低位向高位：1′=
′=（
）°
（ ）°，1″=
续表
（ ）
返回目录
考
点
清 26°12′；
单
（2）33°24′36″=33°+24′+36×（
） ′=
解
读
33°+24.6′=33°+24.6×
（ ）°=33°+0.41°=33.41°．
返回目录
考
点
清
单
解
读
■考点三
方向角
内容
图示
方向角一般以正北、正
方向
角
南方向为基准，以偏西、
偏东的角度描述物体
所在或运动的方向，这
）
返回目录
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ C
返回目录
2. 角的表示
考
点
说明
清 表示方法
单
表示顶点的字
解
读 用三个大写
母必须写在中
的字母表示
间
当角的顶点处
用一个大写 只有一个角时，
的字母表示 才可以用一个
大写字母表示
图示
记法
∠AOB 或
∠BOA
角的认识七年级数学
在摄影中，角度的选择和计算对于拍摄出有艺术感的照片至关重 要。
驾驶方向调整
在驾驶过程中，通过角度的计算可以精确地调整车辆的方向和转弯 角度。
体育训练中的角度计算
在体育训练中，角度的计算对于提高运动员的技术水平和运动表现 至关重要。
THANKS
感谢观看
一度的六十分之一，表示角度的细分。
度量工具：量角器
量角器是用来测量角的度数的工具， 一般是一个圆形或半圆形的刻度盘， 刻有度数和刻度线。
使用量角器时，将量角器的中心点与 角的顶点重合，零刻度线与角的一条 边重合，然后读取另一条边所对的刻 度线，即为角的度数。
角的度量方法
直接测量法
使用量角器直接测量角的度数。
角的分类：锐角、直角、钝角
总结词
• 锐角
• 直角
• 钝角
根据角的大小，可以将 其分为锐角、直角和钝
角。
大小在0°到90°之间的角， 特条边垂直相交。
大小在90°到180°之间 的角，特点是两条边夹
角较大。
特殊角：平角、周角
01
02
03
总结词
平角和周角是特殊的角， 平角等于180°，周角等于 360°。
05
角在实际生活中的应用
角度计算在几何图形中的应用
三角形角度计算
在几何学中，三角形角度 的计算是解决许多问题的 基础，如测量、几何作图 和证明定理等。
多边形角度计算
多边形的角度计算有助于 了解多边形的性质和特征， 如正多边形的内角和外角 计算。
角度与几何变换
角度计算在几何变换中也 有广泛应用，如平移、旋 转和对称等变换中，角度 的变化和计算是关键。
详细描述
角的定义是由两条射线从一个公共端点出发形成的图形。根 据定义，角的边的长度对于角的大小没有直接影响。无论角 的边是长还是短，只要夹角大小不变，角的大小就保持不变 。
七年级上册角的知识点
七年级上册角的知识点在初中数学学习中，角是一个重要的概念，是许多数学问题的基础。
在七年级上册中，我们学习了角的定义、分类、测量以及相关公式等知识点。
本文将逐一介绍这些知识点。
一、角的定义在图形中，两条射线，它们有一个公共端点，这个公共端点叫做角的顶点，两条射线分别称作角的两边。
如图所示：-------->l∠A-------->k其中∠A表示角，它的两个边分别是l和k，公共端点是A。
二、角的分类1.锐角：角的度数小于90度，如图所示：------>∠ABC------>2.直角：角的度数等于90度，如图所示：------∠DEF------3.钝角：角的度数大于90度，小于180度，如图所示：------>∠GHI------>4.平角：角的度数等于180度，如图所示：---------∠JKL---------三、角的测量角的度数可以用角度（°）来表示，度的概念最初来源于天文学中测量太阳、月亮等天体运动的角度。
一圆的圆心角是360度。
我们可以通过角与弧的关系来计算角的度数。
假设一个圆的周长为L，一个圆心角所对应的弧长为l，那么该圆心角的角度为:360°l------L四、常用角公式1. 正弦定理：对于任何角ABC，有：sinA/BC = sinB/AC = sinC/AB 2. 余弦定理：对于任何角ABC，有：AB² = BC² + AC² - 2BC*ACcosA 3. 正切定理：对于任何角ABC，有：tanA = sinA/cosA五、角的应用角在数学中用得非常广泛，它与平面几何、三角函数、向量等内容紧密相关。
一些典型的应用包括：1. 利用角度和引理解决平面几何问题。
2. 利用三角函数解决三角形问题。
3. 利用向量计算角的余弦值等。
综上所述，七年级上册角的知识点包括角的定义、分类、测量以及相关公式等内容。
七年级下册关于角的知识点
七年级下册关于角的知识点角是几何形体中的重要概念，它是我们学习数学和几何时必须熟练掌握的基础知识点之一。
本篇文章将为大家介绍七年级下册关于角的知识点，帮助大家更好地理解和掌握角的概念和性质。
一、角的定义和表示方法角是由两条射线共同确定的，具有大小和方向的几何图形。
射线的共同端点称为角的顶点，两条射线分别为角的两边。
用符号“∠”表示角，如∠ABC表示点B为角的顶点，A、C为角的两边。
二、角的分类1.锐角：角的度数小于90度，如∠ABC。
2.直角：角的度数等于90度，如∠EFG。
3.钝角：角的度数大于90度，如∠HIJ。
4.平角：角的度数等于180度，如∠KLM。
三、角的度数和弧度制1.度数制：以1度为单位，一圈为360度。
例如∠ABC=60度，表示∠ABC的度数是60。
2.弧度制：以1弧度为单位，一圈为2π弧度。
例如∠DEF=π/3弧度，表示∠DEF的度数是60。
四、角的性质1.角的和：两个角的和等于它们的补角的差或它们的余角的和。
例如∠ABC+∠CBD=∠ABD，因为∠ABD是∠ABC的补角，∠CBD是∠ABD的余角。
2.角的差：两个角的差等于它们的补角的和或它们的余角的差。
例如∠ABC-∠CBD=∠ABD，因为∠ABD是∠ABC的补角，∠CBD是∠ABD的余角。
3.共线角：共线的两个角互为补角或余角。
例如∠ABC和∠CBD是共线角，且互为补角或余角。
4.平行线与交错线：平行线产生的同位角相等，交错线产生的内错角和外错角相等。
五、角的构造和优化我们可以通过直尺和圆规等简单的工具，将任意大小的角分解成较小的角，也可以将多个角合成为一个大的角。
优化角度可以帮助我们准确地描述物体的外形和特征。
六、角的应用1.在几何学和三角学中，角是许多重要概念和定理的基础，例如勾股定理、正弦、余弦和正切函数等等。
2.在物理和工程学中，角的概念常常用于描述机器设备、建筑结构和工业设计的形状和角度。
3.在日常生活中，角度的概念也经常被引用，例如计算家具的角度、确定图像的旋转方向等等。
七年级角的认识
七年级角的认识【知识要点】1.角的概念：①由两条具有公共端点的射线组成,两条射线的公共端点是这个角的顶点,这两条射线叫做角的边.②由一条射线绕着它的端点,从一个位置转到另一个位置所形成的图形叫做角.2.角的表示法①用角的顶点和两边上各一点的三个大写字母表示,如图 a 中的角,记作∠AOB 。
注：顶点字母写在中间。
②在角的顶点处只有一个角时,用一个字母表示,如∠AOB 也可记作∠O 。
③用希腊字母加弧线表示,如图b,∠ABC 记作∠α。
④用数字加弧线表示,如图b,∠ACB 记作∠1。
3.角的单位：角的度量单位是度、分、秒 ,单位换算：六十进制 061'=︒,061''=' 4.平角、周角、直角平角=180° 周角=360° 直角=90° 1周角=2平角=4直角5.方位角 :方位角是表示方向的角,具体表示时通常南北在前,再写偏东或偏西多少度.6.角的计数:由一个顶点引出n 条射线共有2)1(-n n 个角(小于或等于平角). 7.角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.【经典例题】【例1】如图,在∠AOB 的内部有两条射线OC,OD,请问图中有几个角？ 思考：若在∠AOB 的内部有n 条射线时,有几个角？【例2】①3点45分时,时针与分针的夹角是________度。
BOAaOBC A1bαA 1A 3A nA 2...②某校七年级在下午3：00开展“阳光体育”活动．下午3：00这一时刻,时钟上分针与时针所夹的角等于__________度。
③换算单位：48°39′+67°31′= 41.2°=_____°_____′0.75°=′= ″ 2700″= ′ = °【例3】①如图,OC平分∠BOD,∠AOD=110°,∠COD=35°,求∠AOC的度数．②如图,OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线,∠EOD=60°,求∠AOB的度数．【例4】如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北（即北偏西45°）方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D,仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向的射线并求出∠AOB的度数．O【例5】如图,三角板的直角顶点在直线l上,看∠1=40°,则∠2的度数是．【课堂练习】1.下列说法正确的是（ ）A.平角是一条直线B.已知OC 是∠AOB 的平分线,则∠AOB=21∠AOC C.周角是一条射线 D.上午9点整时,时针和分针的夹角是90° 2.下列说法正确的是（ ）A.若两个角的和为180°,则必有一个角是钝角B.平面上A,B 两点间的距离是线段ABC.若线段AC=BC,则点C 是线段AB 的中点D.平面上有三点A,B,C,过其中两点的直线有三条或一条 3.下列关于角的说法正确的个数是( )①角是由两条射线组成的图形；②角的边越长,角越大；③有公共端点的两条线段组成的图形叫做角；④∠AOB=90°,∠BOC=30°则∠AOC=120°； ⑤角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
七年级上册数学角重要知识点
七年级上册数学角重要知识点数学角重要知识点
数学角是我们学习数学时需要掌握的重要概念之一，下面我们来一起学习一下七年级上册数学角的重要知识点。
一、角的定义
角是由两条射线共同端点所组成的图形，其中的射线称为角的边，共同的端点称为角的顶点。
角的大小通常用度数或弧度来表示。
二、角的分类
按角的大小，角可以分为三种类型：
1.锐角：小于90度的角称为锐角。
2.直角：等于90度的角称为直角。
3.钝角：大于90度小于180度的角称为钝角。
三、角的度数
角的大小用度数来表示，如一个圆的周长是360度，一个直角的角度是90度。
四、角的度分秒表示法
度数也可以用几度几分几秒的形式表示，例如一个角大小可以表示为67°28′36″。
五、角的度数计算
1.角大小的计算公式：角度数 = 弧度数× 180°/π
2.角度的加减：对于角α和角β，α+β和α-β的度数分别等于它们各自的度数之和和之差。
六、角平分线
在一个角内，连接角的顶点和角的边上一点，把角分成两个相
等的角的射线称为角的平分线。
七、垂线
垂线是指从一个点向另一条直线或曲线作的垂直于该直线或曲
线的直线段，在平面几何中具有重要的作用。
八、垂直和水平
垂直和水平是指二维平面上垂直于地面和水平于地面的方向。
在数学中，把垂直方向称为竖直方向，把水平方向称为横向。
以上就是七年级上册数学角的重要知识点，掌握好这些知识点，可以为以后的学习打下坚实的基础。
七年级上册角的知识点总结
七年级上册角的知识点总结在七年级上册的学习中，角是一个重要的数学概念。
在这篇文章中，我们将对角的相关知识点进行总结。
一、角的定义角是由两条射线共同确定的图形部分。
两条射线的端点称为角的顶点，这两条射线叫做角的边。
二、角的度量角的度量可以用度或者弧度表示。
其中1度等于$\frac{\pi}{180}$弧度。
当我们要将角的度数转化为弧度时，需要将度数乘以$\frac{\pi}{180}$。
三、角的分类按照角的大小，角可以分为锐角、直角、钝角和周角。
锐角是指角的大小在0度到90度之间；直角是指角的大小为90度；钝角是指角的大小在90度到180度之间；周角是指角的大小为360度。
四、角的性质1. 两个互余角的和为直角，即它们的角度之和为90度。
2. 同位角相等，即它们的位置相同，大小相等。
3. 相邻角互为补角，即它们的和为直角。
4. 在同一平面内，一条直线将平面分为两部分，形成一个或多个角。
这些角的和等于180度。
五、角的计算当我们已知一个角的大小，可以通过计算得到其他角的大小。
1. 计算互余角：已知角A的大小为x度，它的互余角B的大小为90-x度。
2. 计算补角：已知角A的大小为x度，它的补角B的大小为90度-x度。
3. 计算同位角：已知角A和角B是同位角且它们的大小相等，我们可以得到其他同位角的大小。
六、角的应用角在实际中有着广泛的应用。
例如，它可以用于测量两条航线之间的偏角，也可以用于计算圆的弧度和弧长。
总之，角是数学中的重要概念之一，我们需要深入理解和掌握相关的知识点，以便更好地应用到生活和工作中。
七年级角的知识点课件
七年级角的知识点课件一、角的定义角是由两条相交的线段在一定平面内所围成的图形。
二、角的分类1、按角的大小分类(1) 零角：角的度数为0°，相当于两条射线重合。
(2) 直角：角的度数为90°。
(3) 钝角：角的度数大于90°且小于180°。
(4) 锐角：角的度数小于90°。
2、按角的位置关系分类(1) 对顶角：两个相交直线之间的非相邻角。
(2) 垂直角：一对相邻且共面的直角。
(3) 邻补角：两个角的和为90°。
(4) 对补角：两个角的和为180°。
三、角的基本性质1、角的度数是它的旋转量度。
2、角的度量单位是度。
3、角的对边是角平分线上的点。
4、邻补角、对补角之间的和为90°或180°。
5、垂直角相等。
四、角的度数计算1、整周角：度数为360°。
2、半周角：度数为180°。
3、角的度数计算公式：弧度制：角的弧度数 = 弧长 / 半径度制：角的度数 = 弧度数× 180° /π五、角的运算1、角的加减法两角相加的公式：(α+β)°=α°+β°两角相减的公式：(α-β)°=α°-β°2、角的乘除法两个角的乘法：(α × β)°=（α°×β°）/ 360°两个角的除法：(α / β)°=α°× 360°/ β°（β ≠ 0） 3、正弦、余弦、正切的概念在直角三角形中，定义对于角 A：sinA = 对边 / 斜边cosA = 邻边 / 斜边tanA = 对边 / 邻边并规定：当一个角的正弦、余弦、正切值为某一数值时，这个角叫做这个正弦、余弦、正切数的一角。
六、常见角的度数1、零角：0°2、直角：90°3、平角：180°4、45°角5、30°角6、60°角七、角的应用1、用角的度数表示方位以正北为基准，逆时针方向旋转的角度表示方向。
七年级数学上册第四章几何图形初步4.3角4.3.1角课件新版新人教版
注意 角的符号应书写标准,“∠”不可与“<”混淆.
例2 如图4-3-1-1,写出全部符合条件的角.
图4-3-1-1
(1)能用一个大写字母表示的角;
(2)能用一个数字表示的角,并将这些角用字母表示出来; (3)以D为顶点且小于平角的角; (4)以A为顶点且小于平角的角.
分析 当一个顶点处只有一个角时,这个角可以用顶点处的一个大写字 母表示;当一个顶点处有多个角时,则这个角可以用三个大写字母表示, 并且将顶点处的字母写在中间. 解析 (1)∠B.
1 ×18=18.305°,故C选项错误;22.25°=22°+0.25×60'=22°15',故D选 3 600
项正确.
10.将下列各角用度、分、秒表示出来. (1)32.41°;(2)75.5°;(3) °. 解析 (1)32.41°=32°+0.41×60‘=32°+24.6’=32°+24‘+0.6×60″=32°24'36″.
初中数学（人教版）
七年级 上册
第四章 几何图形初步
知识点一 角的认识
1.角的认识及分类
静态定义 角 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这 个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两 条边 重要提示 动态定义 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.旋转开始时 的射线叫做角的始边,旋转终止时的射线叫做角的终边,在角的形成过程 中,射线旋转时经过的平面部分是角的内部,未经过的部分是角的外部
1 12
(2)75.5°=75°+0.5×60'=75°30'. (3) °= ×60'=5'.
七年级数学角(2024)
角的基本性质
2024/1/29
角的和性质
两个角如果它们的非公共边构成 一条直线，那么这两个角的度数 之和等于180°。
角的差性质
两个角如果它们的非公共边构成 一条直线，那么这两个角的度数 之差等于它们夹角的度数。
6
角平分线与垂直平分线
角平分线定义
从一个角的顶点引出一条射线，
把这个角分成两个相等的角，这
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综合应用举例
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利用相似三角形的性质解决实际问题，如 测量高度、宽度等。 利用位似图形的性质进行图形的放大或缩 小。 在几何证明中，利用相似图形的性质进行 推理和证明。
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谢谢您的聆听
THANKS
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角通常用三个大写字母表 示，如∠ABC，其中B是角 的顶点，AB和BC是角的两 条边。
还有一种表示方法是用一 个数字或希腊字母来表示 ，如∠1或∠α。
4
角的度量单位及换算
2024/1/29
角的度量单位是度，用符号“°”表示。
1度等于60分，1分等于60秒，即1°=60′ ，1′=60″。 角度的换算需要注意进位和借位，例如 45°30′+25°20′=70°50′。
条射线叫做这个角的平分线。
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角平分线的性质
02
角平分线上的点到这个角的两边
的距离相等。
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垂直平分线定义
经过某一条线段的中点，并且垂
直于这条线段的直线，叫做这条
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线段的垂直平分线。
垂直平分线的性质
04
垂直平分线上的点到线段两个端
点的距离相等。
七年级上册数学角知识点
七年级上册数学角知识点在数学中，角是一个相对直线之间的旋转，它可以帮助我们描述和解决各种问题。
在本文中，我们将讨论七年级上册数学中的角知识点。
一、角的基本概念1.角的定义角是一个由两条射线和它们的公共端点组成的图形。
这个公共端点称为角的顶点，两条射线分别称为角的两边。
2.角的表示方法通常用大写字母表示角的顶点，其中两条射线分别是从这个字母的不同端点开始的。
例如，在下图中，角BAC可以表示为∠BAC，角CAD可以表示为∠CAD。
3. 角的度量单位角可以用度数、弧度和梯度等多种单位来进行度量。
在七年级上，我们主要使用度数作为角的度量单位。
一度表示一个圆周的1/360。
二、角的分类1.按角度大小分类根据角的度数大小，角可以分为三种类型：（1）锐角：角的度数小于90°；（2）直角：角的度数等于90°；（3）钝角：角的度数大于90°但小于180°。
2.按角的位置分类根据角的位置，角可以分为两种类型：（1）内角：由图形中的两条线段组成的角；（2）外角：由一条线段和它所在的直线上的另一条线段组成的角。
三、角的运算1.角的加法若角PQR和角QRS的顶点、边相同，那么它们可以通过加法来得到一个新角PRQ，即两个角顺时针方向的旋转角度之和。
例如，在下图中，∠PQR+∠QRS=∠PRQ。
2.角的减法若角PRQ和角QRS的顶点、边相同，并且∠PRQ的度数大于∠QRS的度数，那么我们可以用减法计算它们的差，即从∠PRQ 的度数中减去∠QRS的度数，结果得到一个新角PQR。
例如，在下图中，∠PRQ-∠QRS=∠PQR。
3.角的乘法我们可以通过倍增一个角来获得一个角的n倍，即将角不断旋转，直到旋转到它所需要的角度。
例如，2∠ABC就是将角ABC 旋转两次，旋转后的角记作∠A′B′C′，如下图所示。
四、角的应用1.角的度数应用在数学中，我们常常需要用到角度来描述和计算各种形状和运动。
例如，当我们制作家具或者建筑模型时，需要根据相应角度来切割和拼接木材或者建筑构件。
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角
角：由一点引出两条射线形成的图形叫做角。
这两条射线叫做角的。
这一点叫做角的。
角也可看作是由一条射线绕它端点旋转而成的。
角的表示方法：（1）用三个大写英文字母表示；（2）用一个大写英文字母表示；
（3）用阿拉伯数字表示；（4）用小写希腊字母表示。
角的度量单位：1度记作1º,1分记作1¹,1秒记作1¹¹.
角的表示方法：
①用三个大写字母表示:如∠AOB
②用一个大写字母表示:如∠O（只适用单独一个角）
③用弧线加数字来表示: 如∠1
④用弧线加希腊字母来表示:如∠a
角的度量单位的换算：
1° = 1′ = 1周角= 1平角=
平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平角的角叫做钝角.
它们之间的关系是：1周角=2平角=4直角=360º1平角=2直角=180º 1直角=90º
换算方法：（1）把高级单位转化为低级单位要乘进率；
（2）把低级单位转化成高级单位要除以进率；
（3）转化时必须逐级进行，越级转化容易出错。
角的平分线：
余角和补角：
余角：两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即其中一个角是另一个角的余角。
补角：两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中一个角是另一个的补角。
余角和补角的性质
1、同角或等角的余角相等。
2、同角或等角的补角相等。
例1、把一个周角7等分,每一份是多少（精确到分）
例2、19°36′= °
56°37′= °
38°15′和38.5°一样大吗？
例3、⑴150°20′25″+ 11°39′35″
⑵90°21′16″－26°10′6″
⑶12°5′×6
⑷16°18′÷3
例4、如图：AOB是一条直线，∠AOC=900，∠D OE=900，写出∠AOD、∠C OD、
∠AOC、∠AOB、∠B OD中某些角之间的两个等量关系。
例5、如图：已知O为直线AB上一点，∠A OC的平分线OM，∠B OC的平分线为ON，
求∠M ON的度数？
例6、如图，∠CBA=90°，∠CBA与∠CBD的度数比是5:1 则∠DBA＝________度，∠CBD 的补角是_________度.
例7、
已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数。
例8、(1)一个角的余角比它的补角29还多1°，求这个角.
(2)已知互余两角的差为20°，求这两个角的度数.
(3) 如图∠AOB=60°,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,求∠EOD
课堂练习
1．在钟表上，1点30分时，时针与分针所成的角是（）．
A．150° B．165° C．135° D．120°
2．下列各角中，不可能是钝角的角是（）．
A．
1
3周角 B．
2
3平角 C．
2
3钝角 D．
2
3直角
3.如图，点O在直线AB上，OD平分∠COA ，OE平分∠COB，
①∠COB +∠AOC= °,∠EOD= °。
②图中互余角有对，互补角有对。
4.已知OA⊥OB,直线CD经过顶点O,若∠BOD：∠AOC=5：2, 则∠AOC=______ ∠BOD=__________
6．计算：
（1）53°28′+47°32′；（2）17°50′-3°27′；
（3）15°24′×5；（4）31°42′÷5（精确到1″）．
（7）22°30′×8；（8）176°52′÷3．
7．如下图，分别确定四个城市相应钟表上时针与分针所成角的度数．
8. 如图所示：
（1）∠COD= - ，或- 。
（2）如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？
9. 如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？你能用一句话概括这一规律吗？
10.一个角的余角的补角比这个角的补角的一半大90º,求这个角.
11.如图：∠AOB是哪两个角的和？∠DOC是哪两个角的和？若∠AOB=∠COD，则还有
哪两个角相等？
12. 如图,若OB平分∠AOC, ∠AOD=78°, ∠BOC=20°,求∠
COD的度数。
13.如图所示：∠1：∠2：∠3：∠4=1：2：3：4，求∠1、∠2、∠3、∠4的度数？
14.已知一条直线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使角AOB为60度，角BOC为20度，求角AOC的度数。
15. 如图，已知：∠BOC=2∠AOB，OD平分∠AOC，∠BOD=140求：∠AOB的度数。
16. 已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，求∠AOC的度数？
17. 如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线。
(1)若∠AOC=800 ，求∠BOC的度数；
(2)若∠AOC=800，∠COE=500，求∠BOD的度数。
18.若∠AOB=390，∠BOC=210，则∠AOC的度数是多少？为什么？
19.如图所示，OM为∠A OB的平分线，射线OC在∠B OM内，ON为∠B OC的平分线，已知∠A OC=800，求∠MON？
课后练习
1.如图,∠AOE＝∠BOC,OD平分∠COE,那么图中除∠AOE＝∠BOC外,相等的角共有（）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2.互为余角的两个角之差为35°,则较大角的补角是（）
A．117.5° B．112.5° C．125° D．127.5°
3.如图,由A到B的方向是（）
A．南偏东30° B．南偏东60° C．北偏西30 D．北偏西60°
4. 2点30分时,时钟与分钟所成的角为度．
5.（1）42.34º= 度分秒
（2）56º25¹72¹¹= 度
6.计算（1）180º—（39º18¹24¹¹+12º49¹48¹¹）（2）48°39′+67°41′
（3）90°-78°19′40″（4）34º17¹×5 （5）49º28¹52¹¹÷4
7. （1）图中有哪几对互余的角？
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
8.（1）一个角的余角比它的补角29还多1°,求这个角.
(2)已知互余两角的差为20, 求这两个角的度数.
(3)如图,∠AOB ＝600,OD 、OE 分别平分∠BOC 、∠AOC,那么∠EOD ＝
9.已知∠A 和∠B 互余,∠A 与∠C 互补，∠B 和∠C 的和等于周角的1
3 ，求
∠A+∠B+∠C 的度数。
10.已知∠AOC 与∠BOC 互补,∠AOC 比∠BOC 的余角的3倍大10°,求∠AOB 的度数。
20.如图,OC 平分∠AOD,OE 是∠BOD 的平分线,如果∠AOB=130º,那么∠COE 是多少度?
21、在直线l上，按指定方向依次取点A、B、C、D，且使AB：BC：CD=2：3：4,若AB 的中点M与CD的中点N的距离为15㎝，则AB的长是多少？
22、数轴上两个质点A、B所对应的数为-8、4，A、B两点各自以一定的速度在上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒．
（1）点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度；
（2）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距6个单位长度；（3）A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C 点从原点出发作同方向的运动，且在运动过程中，始终有CB：CA=1：2，若干秒钟后，C 停留在-10处，求此时B点的位置？。