(教案)函数的应用(一)
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函数的应用(一)
【教学过程】
一、新知初探
二、初试身手
1.一个矩形的周长是40,则矩形的长y关于宽x的函数解析式为()
A.y=20-x,0 B.y=20-2x,0 C.y=40-x,0 D.y=40-2x,0 答案:A 2.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是() A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.分段函数模型 D.无法确定 答案:C 由s与t的图象,可知t分4段,则函数模型为分段函数模型。 3.某商店进货单价为45元,若按50元一个销售,能卖出50个;若销售单价每涨1元,其销售量就减少2个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为每个________元.答案:60 设涨价x元,销售的利润为y元, 则y=(50+x-45)(50-2x)=-2x2+40x+250 =-2(x-10)2+450, 所以当x=10,即销售价为60元时,y取得最大值. 三、合作探究 一次函数模型的应用 类型1 例1:某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒() A.2000套 B.3000套 C.4000套 D.5000套 答案:D 因利润z=12x-(6x+30000),所以z=6x-30000,由z≥0解得x≥5000,故至少日生产文具盒5000套. 规律方法 1.一次函数模型的实际应用 一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则. 2.一次函数的最值求解 一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0),解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值. 跟踪训练 1.如图所示,这是某通讯公司规定的打某国际长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象.根据图象填空: ①通话2分钟,需要付电话费________元; ②通话5分钟,需要付电话费________元; ③如果t≥3,则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为________. 答案:①3.6;②6;③y=1.2t(t≥3) 解析:①由图象可知,当t≤3时,电话费都是3.6元. ②由图象可知,当t=5时,y=6,需付电话费6元. ③易知当t≥3时,图象过点(3,3.6),(5,6),待定系数求得y=1.2t(t≥3). 二次函数模型的应用 类型2 例2:某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; (3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 思路点拨:本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系,虽然x∈[50,55],x∈N,但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题;平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系,可看成是一个二次函数模型的应用题.解:(1)根据题意,得y=90-3(x-50), 化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N). (2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N). (3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200, 所以当x<60时,w随x的增大而增大. 又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元. 规律方法 二次函数模型的解析式为g(x)=ax2+bx+c(a≠0).在函数建模中,它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答. 跟踪训练 2.A,B两城相距100km,在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A,B两城供电,为保证城市安全,核电站距城市距离不得少于10km,已知每个城市的供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ=0.25.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月. (1)把A,B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数,并求定义域; (2)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用最小. 解:(1)由题意设甲城的月供电费用为y1,则y1=λ×20x2. 设乙城的月供电费用为y2,则y2=λ×10×(100-x)2, ∴甲、乙两城月供电总费用y=λ×20x2+λ×10×(100-x)2. ∵λ=0.25, ∴y=5x2+5 2(100-x) 2(10≤x≤90). (2)由y=5x2+5 2(100-x) 2= 15 2x 2-500x+25 000 =15 2⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ x- 100 32+ 50 000 3, 则当x=100 3时,y最小. 故当核电站建在距A城100 3km时,才能使供电总费用最小. 分段函数模型的应用 类型3 例3:某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种 产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-1 2t 2(万元). (1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利